流出解析法 2

河川工学 ( 第 4 回 )

流出解析法 2

( タンクモデル，貯留関数法，

キネマティックウエイブ法 )

(1)

(2)

(3)

R（降水量）

q（流出流量）

h（貯留高）

λ（流出係数）

(1)

（実際のタンクでは流出流量はトリチェリの定理から hの平方根に比例する．

タンクモデルは概念モデルである．）

←タンク内の水の連続式

←流出流量と貯留高の関係式

dh R q dt = −

q = λ h

（注意：ここでは降水量，流出流量は速度の次元を持つ物理量として考えている）

dh R q dt = −

dh q dt = −

R=0とする（すなわち降水量0）

この常微分方程式の一般解は

h = C exp( − λ t )

dh h

dt = − λ

exp( ) q = C λ − λ t

流出流量

ある物理量の減少率がその物理量 の現存量に比例する。

（ウラニウムなど放射性物質の半減 期などもその一例）

Cは積分定数

exp( ) q = C λ − λ t

t

q ハイドログラフの逓減部分を表している

タンクを多段あるいは流出穴を複数にしたり多段にすることに よって直接流出と基底流出を同一のモデルで表現可能．

有効雨量を用いなくてよい（観測雨量をそのまま用いる）．

パラメータ設定に労力，工夫，経験が必要．

3段タンクモデルの一例

表面流出

中間流出

地下水流出

λ₁ λ₂

λ₃

λ₄ l₂

l₁

l₃

l₄ h₁

h₂

h₃

q₁=λ₁(h₁-l₁)

α₁

α₂

α₃ 浸透

浸透

浸透

R

q₂=λ₂(h₁-l₂)

q₃=λ₃(h₂-l₃)

q₄=λ₄(h₃-l₄) i₁=α₁h₁

i₂=α₂h₂

i₃=α₃h₃

1 2 3 4

q = + + + q q q q

ある時刻の流出量

次の時刻の貯留高

( )

1 1 1 2 1

h

= + − h R q + + q i

( )

2 2 1 3 2

h

= + − h i q + i

( )

3 3 2 4 3

h

= + − h i q + i

（注意：ここでは貯留高，降水量，

流出量，浸透量の次元は長さの次 元に統一している）

p.51 演習問題 【4】

0.12 0.06

0.09 10mm 30mm

2mm h₁

h₂

q₁=0.12(h₁-30)

0.05

0.04 R

i₁=0.05h₁

i₂=0.04h₂

q₂=0.06(h₁-10)

q₂=0.09(h₂-2)

1ⁿ 0.12( 1ⁿ 30)

q = h −

( )

1

1 1 1 2 1

n n n n n n

h ⁺ = h + R − q + q +i

1ⁿ

0.05

i = h

2ⁿ

0.04

i = h

2ⁿ 0.06( 1ⁿ 10)

q = h −

3ⁿ 0.09( 2ⁿ 2)

q = h −

1 2 3

n n n n

q = q +q +q

( )

1

2 2 1 3 2

n n n n n

h ⁺ = h + −i q +i

n+1→n

1

hn h₂ⁿ

（注意：ここでは貯留高，降水量，

流出量，浸透量の次元は長さの次 元に統一している）

time R h1 q1 q2 i1 h2 q3 i2 all

1 0

2 15

3 20

4 10

5 5

6 0

7 0

8 0

9 0

10 0

時刻 降水量

1段目 タンク の水位

2段目 タンク の水位 2段目

タンク への浸 透量 1段目

タンク の上部 の穴か らの流 出流量

1段目 タンク の下部 の穴か らの流 出流量

2段目 タンク の穴か らの流 出流量

2段目 タンク から深 層への 浸透量

全流出 量

1ⁿ 0.12( 1ⁿ 30)

q = h −

2ⁿ 0.06( 1ⁿ 10)

q = h − q³ⁿ = 0.09(h²ⁿ −2)

1ⁿ

0.05

i = h

2ⁿ 0.04 2ⁿ

i = h

( )

1

1 1 1 2 1

n n n n n n

h ⁺ = h + R − q + q +i

( )

1

2 2 1 3 2

n n n n n

h ⁺ = h + −i q +i

1 2 3

n n n n

q = q + q + q

(2)

1

S = KQ

R Q dS

− = dt

Q（流出流量）

S（貯留高）

R（降雨量）

←タンク内の水の連続式

←流出流量と貯留高の関係式

流域の貯留効果

降水と同時に流出が始まる場合（貯留効果なし）

R,Q

T_p t S_p S

増水時 減水時 Q

Q_p

Q R

流出が降り始めから遅れて始まる場合（貯留効果あり）

R,Q

T_p t S_p S

増水時 減水時 Q

Q_p

Q

R

S = KQ t T ( +

)

流出の遅れ時間

(3)

kinematic wave method

運動学波解析法,等価粗度法,準定常流解析法

h q

t x r

∂ + ∂ =

∂ ∂

2 2

0 7 / 3

0

q vq h gn q

gh ghi

t x x h

∂ ∂ ∂

+ + − + =

∂ ∂ ∂

省略

0 5 / 3

q i h

= n

この二式を用い て解析を行う

連続の式

運動方程式

rは斜面への有効雨量強度

nは斜面流の場合は等価粗度（河川流ではマニングの粗度係数）

降雨（有効雨量）

河道を流 れる河川

（一様幅広長方形断面水路の場合） 流

斜面にそって河道に 流れ込む斜面流