9. Hermite 行列の固有値

6 ^月 11 ^{日講義参考資料}

• ^次回は6月20日(水)です．18日(月)は創立記念日の為講義 はありません．

• ^{左に太い線}(←)が引っ張ってある箇所は 発展的内容, そ れ以外は 基礎的内容 です．

• このノートはホームページ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/˜shimizu/LectLC2018.html

（google検索：「清水達郎」＋「RIMS」＋「線形代数」）から ダウンロードできます．

7. ^{最小多項式（つづき）}

命題7.11. A∈M_n(C)について以下はすべて同値である．

(1) Aは対角化可能である．

(2) A の 最 小 多 項 式 を 因 数 分 解 し た も の を FA(x) = (x − α1)^l1· · ·(x − αk)^lk, αi ̸= αj(∀i ̸= j) と し た と き，l1=l2=· · ·=lk= 1である．

(3) C^nはAの固有空間の直和である．

(4) Aの任意の固有値に対して，その一般固有空間はその固有空 間と一致する：W(αi) =Vα_i(∀i)．

略証. (1)⇔(2)は命題 7.8(前回)からわかる．(3)⇔(4)は，V_αi ⊂ W(α_i)とCⁿ =W(α₁)⊕ · · · ⊕W(α_k)からわかる．(1)⇒(3)はA が対角行列の時に具体的に固有空間を書き下せばわかる．(3)⇒(1) は固有ベクトルからなる基底をとり，それによる表現行列を考えれば よい．

復習 8. Hermite 内積と正規行列

この章の内容はすべて線形代数学ABの復習である．内積につい て不安がある人は適当な教科書を参照するか，次の９〜１１回目のプ リントを参照してください：

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/˜shimizu/LectLB2017.html 定義8.1. A∈Mn(C)に対し，その随伴行列A^∗をA^∗=A^T で定め る．ここでAはAの各成分を複素共役に取り換えた行列を意味し，

Tは転置である．

注意 (線形写像としての理解). V をエルミート内積(,)の入ったC 上内積線形空間, f :V →V を線形写像とする．任意のx, y ∈V に 対し(f(x), y) = (x, f^∗(y))が成立するような線形写像f^∗:V →V

がただ一つ存在することが知られている．f をV の適当な正規直交 基底に関して行列表示したものをAとしたときf^∗の同じ正規直交 基底による行列表示はA^∗となる．

定義8.2. A∈Mn(C)がAA^∗=Inを満たすとき，ユニタリー行列 という．言い換えれば，A⁻¹=A^∗ということ．

注意. C^{nに標準内積}(x, y) =x^Tyを入れたものを標準的な内積空間 と呼ぶ．C^{nの正規直交基底*1}b₁,· · ·, b_n ∈ C^{n を縦ベクトルとして} 並べて得られる正方行列(b₁,· · · , b_n)∈M_n(C)はユニタリー行列で ある．逆に，ユニタリー行列のn個の列は正規直交基底を与える．

命題 8.3. 任意のA∈Mn(C)に対し適当なユニタリー行列U が存 在しU^∗AU は上三角行列となる．

注意(線形写像としての理解). U^∗AU =U⁻¹AU であることに注意 する．任意の線形写像f :V →V は，V の適当な正規直交基底によ る行列表示が上三角行列になる，ということ．

命題8.3の証明. 行列のサイズに関する数学的帰納法で示す．n= 1では明 らか．一般のn^{を考える．}Aの固有多項式は複素係数多項式なので，解を持 つ．したがって固有値は必ず存在する．A∈Mn(C)^の固有値λ^{と固有ベク} トルxをひとつとる：

Ax=λx.

ただしx^{は正規化して}∥x∥= 1^{としておく．}x^{を延長して}C^{nの正規直交} 基底

x, x2, x3, . . . , xn

をとり，ユニタリー行列Uを，

U := (x, x2, . . . , xn) と定める．このとき,

U⁻¹AU=U^∗AU

=





 x^T x2T

.. . xnT





A(x, x2, . . . , xn)

=







x^TA x^TA · · · x^TA

x2TA x2TA · · · x2TA ..

. ... . .. ... xnTA xnTA · · · xnTA





(x, x2, . . . , xn)

*1すなわち(bi, bj) =δijなる基底．

=







x^TAx x^TAx2 · · · x^TAxn

x2T

Ax x2T

Ax2 · · · x2T

Axn

..

. ... . .. ... xnT

Ax xnT

Ax2 · · · xnT

Axn







=







λx^Tx x^TAx2 · · · x^TAxn

λx2Tx x2TAx2 · · · x2TAxn

..

. ... . .. ... λxnTx xnTAx2 · · · xnTAxn







=









λ(x, x) x^TAx2 · · · x^TAxn

λ(x2, x) x2T

Ax2 · · · x2T

Axn

..

. ... . .. ... λ(xn, x) xnTAx2 · · · xnTAxn









=







λ x^TAx2 · · · x^TAxn

0 x2T

Ax2 · · · x2T

Axn

..

. ... . .. ... 0 xnT

Ax2 · · · xnT

Axn







n−1行n−1列正方行列A0を最後の行列の右下部分とする：

A0:=



 x2T

Ax2 · · · x2T

Axn

..

. . .. ... xnT

Ax2 · · · xnT

Axn



∈Mn−1(C)

帰納法の仮定から，あるユニタリー行列U0があって B:=U₀⁻¹A0U0

は上三角行列となる．

U1:=

( 1 0

0 U

)

∈Mn(C) とおくと，

(U U1)^∗A(U U1) =U1^∗(U^∗AU)U1

=U₁^∗







λ x^TAx2 · · · x^TAxn

0 x2T

Ax2 · · · x2T

Axn

..

. ... . .. ... 0 xnT

Ax2 · · · xnT

Axn





U1

=

( λ ∗

0 B

) .

よってA^{はユニタリー行列}U U1によって上三角化される．

この証明は実際に上三角化するアルゴリズムを与えている：

例. A=







0 1 0 1 0 0 2 0 −1





^{を上三角化せよ．}

命題8.4. 実正方行列A∈Mn(R)の固有値がすべて実数ならば，直 交行列によって上三角化できる．

Proof. R^{nの正規直交基底}x1, . . . , xnに対してP = (x1, . . . , xn)は 直交行列であることと，定理8.3の証明において，固有値が実数あれ ば帰納法が実数の範囲で進行することからわかる．

正規行列

定義 8.5. 正方行列A∈ M_n(C)がA^∗A =AA^∗ を満たすとき，A を正規行列という．

定理8.6. 正規行列はユニタリー行列によって対角化可能である．

Proof. ^定理8.3^により，Aはユニタリー行列によって三角化できる．す

なわち，あるユニタリー行列U ^があってU^∗AU ^{は上三角行列になる．}

B= (bij) :=U^∗AUとおく．bij= 0 ifi > jである．

BB^∗= (U^∗AU)(U^∗AU)^∗=U^∗AU U^∗A^∗U=U^∗AA^∗U, B^∗B= (U^∗AU)^∗(U^∗AU) =U^∗A^∗U U^∗AU=U^∗A^∗AU であり，Aは正規行列であるので，

BB^∗=B^∗B.

BB^∗の(1,1)成分は

b11b11+· · ·+b1nb1n=|b11|²+· · ·+|b1n|² であり，B^∗Bのii成分は

b11b11+· · ·+bn1bn1=|b11|² である．これらが等しいのだから，

b12=b13=· · ·=b1n= 0.

BB^∗の(2,2)成分は

b21b21+· · ·+b2nb2n=|b22|²+· · ·+|b2n|² であり，B^∗Bのii成分は

b12b12+· · ·+bn2bn2=|b12|²+|b22|²=|b22|² である．これらが等しいのだから，

b23=b24=· · ·=b2n= 0.

以下同様に(3,3)^成分，(4,4)^成分，· · · と順次確かめてば，すべてのi < j についてbij= 0がわかる．

この定理は逆も正しい：

定理8.7. A∈M_n(C)がユニタリー行列によって対角化可能ならば 正規行列である．

Proof. 対角行列は正規行列であることを用いればよい．

補題8.8. 正方行列A∈Mn(C)について以下は同値である．

(1) Aはユニタリー行列によって対角化できる．

(2) Aの固有ベクトルからなるCⁿの正規直交基底が存在する．

証明のアイデア.

(1)⇒(2)U^∗AU^{が対角行列，}U = (b1,· · ·, bn)^のとき，b1, . . . , bnはA の固有ベクトルからなる正規直交基底である．

(2)⇒(1)B= (bij)ijを任意の対角行列とする．各biiは固有値であり，bii

に属する固有ベクトルとしてeiが取れる．したがって標準基底はB^の固有 ベクトルからなるCⁿの正規直交基底である．ユニタリー行列は内積を保 つ．すなわち，正規直交基底を正規直交基底に変換する．

以上をまとめると，

Aが正規行列 ⇔ ユニタリー行列によって対角化可能

⇔ 固有ベクトルからなる正規直交基底が取れる

参考：Aが対角化可能 ⇔ 固有ベクトルからなる基底が取れる 実際に正規行列をユニタリー行列によって対角化するときは，各 固有空間の正規直交基底を集めた基底を取ればよい．

例. 次の行列がユニタリー行列によって対角化可能か判定し，対角化 可能なら対角化せよ．

(1) (

0 1

−1 0 )

(2)

( 1 1

0 2 )

復習：Hermite^{内積と直交直和分解}

V ^をC^{上の線形空間とする．}V の元２つの組に対して複素数を対応させ る写像

(·,·) :V ×V →C

がHermite内積であるとは次の条件をすべて満たすときをいうのだった．念

頭にC^{nとその内積}x·y=x^Tyを思い浮かべながら読むとわかりやすい．

任意のx, y, z∈V と任意のα∈C^{に対して，}

(1) (x+y, z) = (x, z) + (y, z), (2) (αx, y) =α(x, y),

(1’) (x, y+z) = (x, y) + (x, z), (2’) (x, αy) =α(x, y),

(3) (x.y) = (y, x),

(4) (x, x)∈R^であり，(x, x)≥0, (5) (x, x) = 0⇔x= 0.

内 積 は計量と も い う ．(1),(2) を ま と め て ，第１成分に関する線形性と い

う．(1’),(2’)をまとめて第２成分に関する共役線形性という．（3^{）の性質は}

歪対称性という．また，(4),(5)の性質を非退化正定値性という^*2．まとめ ると，

(複素)内積＝ 半 双線形＋歪対称＋非退化正定値

定義8.9. V =W1⊕ · · · ⊕Wkを直和分解とする．任意のi̸=jと任意の

wi∈Wi, wj∈Wjについて

(wi, wj) = 0

を満たすとき，V =W1⊕ · · · ⊕Wkを直交直和分解という．

参考

正規行列が対角化可能であることを，行列表示を用いずに証明するこ ともできる：

A^{を正規行列とする．}A ^の固有値λ^{をひとつとり，}Vλ を λ^の固

有空間，x ∈ Cⁿ\ {0} ^を λ^{のノルムが} 1 の固有ベクトルのひとつ

とする．AA^∗x = A^∗Ax =λA^∗x^よりA^∗x ∈ Vλ であるからA^{∗ は} 線形写像 A^∗ : Vλ → Vλ を誘導する．A^∗|V_λ の固有ベクトルを一つ 取 り v ∈ C^{n と す る ．}v ^{は ，}A, A^∗ 共 通 の 固 有 ベ ク ト ル で あ る(^固 有値は一般に異なる)^．v^⊥ = {y ∈ Cⁿ | (v, y) = 0} ⊂ C^{n とおく} と ，A, A^∗ は A(v^⊥) ⊂ v^⊥, A^∗(v^⊥) ⊂ v^⊥ を 満 た す こ と が わ か る ． dimv^⊥= dimCⁿ−1なので帰納的にAの固有ベクトルからなる正規 直交基底が求まる．

9. Hermite ^{行列の固有値}

H^∗=Hとなる複素正方行列をHermite(エルミート)行列，S^T = Sとなる実正方行列を対称行列というのだった．対称行列は複素行 列と見たときHermite行列である．

C^{nの標準内積は}

(x, y) =x^∗y で与えられるから，任意のA∈Mn(C)に対し

(Ax, y) = (Ax)^∗y=x^∗A^∗y=x^∗(A^∗y) = (x, A^∗y) が成立する．AがHermite行列なら，

(Ax, x) = (x, A^∗x) = (x, Ax) = (x, Ax) よりx^∗Ax= (Ax, x)∈R^{が成り立つ．関数}

Cⁿ→R, x7→x^∗Ax

はAが定めるHermite形式と呼ばれ，このプリントでは A[x] =x^∗Ax

*2第1成分に関して共役線形，第２成分に関して線形，とすることもある．たと えば物理ではそれが一般的．

と書くことにする．

v∈C^{nに対して，}

∥v∥=√

(v, v) =√ v^∗v≥0 をvのノルムというのだった．

v= 0⇔ ∥v∥= 0 が成立する．

同様にR^{nの標準内積は}

(x, y) =x^Ty で与えられるから，任意のA∈M_n(R)に対し

(Ax, y) = (Ax)^Ty=x^TA^Ty=x^T(A^Ty) = (x, A^Ty) が成立する．対称行列Sに対し，関数S:Rⁿ →R^を

S[x] =x^TSx で定める．

補題9.1. Hがエルミート行列ならユニタリー行列で対角化でき，そ の固有値はすべて実数である．

Proof. エルミート行列は正規行列であるのでユニタリー行列で対角

化できる．λ∈ C^をH の固有値とすると，ある0でないベクトル v∈C^{nがあって}Hv =λvとなる．H[v] =v^∗Hv=λ∥v∥²∈R^と

∥v∥ ̸= 0よりλ∈R^である．

集合S(Cⁿ) = {x ∈ Cⁿ | ∥x∥ = 1} = {(x₁,· · ·, x_n) | ∥x₁∥²+

· · ·+∥x_n∥²= 1} ⊂C^{n を}C^{nの単位球面という．}

H[·]|S(Cⁿ):S(Cⁿ)→R

は単位球面上の連続関数(さらにいえば連続微分可能関数)である．

定理9.2. Hermite行列H ∈Mn(C)に対して max

x∈S(Cⁿ)

H[x] = sup

v∈Cⁿ\{0}

H[x]

∥x∥

はHの最大の固有値であり，最大値を与えるベクトルは対応する固 有ベクトルである．

Proof. 前 半 (最 大 固 有 値 で あ る こ と) の み 示 す ．U^∗HU =





 λ1

. .. λ_n





, λ1≤ · · · ≤λnとすると，

H[U x] =x^∗U^∗HU x=λ1∥y1∥²+· · ·+λn∥yn∥²

である．ここでy= (y1,· · ·, yn)^T =U xとおいた．∥U x∥=∥x∥= 1であり，x=U⁻¹yであるから，U|S(Cⁿ):S(Cⁿ)→S(Cⁿ)は全単 射である^*3．よって

max

y∈S(Cⁿ)

H(y) = max

x∈S(Cⁿ)

H(U x) =λ_n.

注意. この定理はさほど非自明なことは言っていないが，重要なのは

「固有多項式を解く」という代数的な問題を「連続微分可能関数の最 大値を求める」という解析の問題に帰着させている点である．

上の定理を用いてHの固有値と固有ベクトルを一つ求める．固有 ベクトルをvとする．

v^⊥={w∈Cⁿ|(v, w) = 0} はC^nのn−1次元線形部分空間となり，

H(v^⊥)⊂v^⊥

が確かめられる．よって次はH|v^⊥ に定理を適用すれば，H の固有 値が1つもとまる．以下これを繰り返せば，H の固有値が固有多項 式を解くことなくすべて求まるのである．

H[x]の最大値のひとつの求め方：Lagrangeの未定乗数法 連続微分可能関数f :R^N → R^のS(R^N) = {∥x∥ = 1}^上で の最大値を求めたい(N = 2n, f(x) = H[x]を想定している)． g : R^N →R^をg(x) = ∥x∥^{2で定めると，}S(R^N) = g⁻¹(1)で ある．

x∈R^{N に対し，}

gradf(x) =

(∂f(x)

∂x1

, . . . ,∂f(x)

∂xN

)

とおく(勾配ベクトルと呼ばれる)．x0 における勾配ベクトル gradf(x0)は，幾何学的には次のような意味を持っている：x0か らR^N のどの方向に移動すれば最も速くf(x)が増加するか？と いう問いの答えが『勾配ベクトルの方向』である．すなわち，任 意のv∈R^N \ {0}^に対し，

lim_ε→+0∥f(x₀+εv)−f(x₀)∥/∥εv∥

≤limε→+0∥f(x0+εgradf(x0))−f(x0)∥/∥εgradf(x0)∥ が成り立つ．

補 題 9.3. v ∈ g⁻¹(1) が f|g⁻¹(1) の 最 大 値 な ら ば gradf(v),gradg(v)∈R^{N は一次従属}(すなわち平行)である．

*3要はxがS(Cⁿ)を走るとき，y=U xもS(Cⁿ)を走る，ということ

証明は省略するが，先述の勾配ベクトルの幾何学的意味を考え れば納得できるはず．なお，gradg(x) = 2xである．

この補題を用いて，最大値を与えるvの候補を探すのがLa- grangeの未定乗数法である．

例. 対称行列S =

( 1 2

2 1 )

の最大固有値を上のレシピに従っ て求める．(もちろん固有多項式を解いたほうがずっと早いが．) f(v) =S[v]とおくと，f((x, y)^T) =x²+4xy+y²である．よって

gradf(x, y) = (2x+ 4y,4x+ 2y)^T．

(2x + 4y,4x + 2y)//(2x,2y) を 解 く と (x, y)^T = (±1/√

2,±1/√

2)^T の 4 点 が S の 最 大 固 有 値 の 固 有 ベ ク ト ル の 候 補 で あ る ．し ら み つ ぶ し に 試 す と ，最 大 固 有 値 が 3， (x, y)^T = (1/√

2,1/√

2)^T がその固有ベクトルであることがわ かる．

最大固有値の近似的求め方：べき乗法

せっかくなのでHermite行列でなくても使えるノルム最大固有 値の近似的求め方を一つ挙げておく．A ∈ M_n(C)を固定する．

適当なベクトルv∈Cⁿ\ {0}^{をとり，ベクトル列} v0=v, v1=Av, v2=A²v,· · ·, vk =A^kv,· · · またはこれを正規化して得られるS(Cⁿ)内の列

w₀=v/∥v∥, w₁=Av/∥Av∥, w₂=A²v/∥A²v∥,· · · , w_k =A^kv/∥A^kv∥,· · · とそこから定まる数列

ak = (vk, Avk)/∥vk∥²= (wk, Awk) を順次計算する．

命題9.4 (べき乗法). Aの固有値がλ1,· · · , λlで，∥λ1∥<· · ·<

∥λl∥^{を満たすとする*4．このとき，}limk→∞akは，Aの固有値^*5 に収束する．

注意. *4 実際はもう少し緩い条件でも命題は成り立つ.

*5 ほとんどの場合Aのノルム最大固有値λlに収束する．

証明のアイデア. まずは Aは対角行列の場合を考える．固有空 間分解をもちいてv = v⁽¹⁾+· · ·+v^(l)（v⁽ⁱ⁾はそれぞれ固有値 λ₁,· · · , λ_lに属する固有ベクトル)とあらわしたうえでa_kを評価 するとよい．

次にAがJordan細胞の場合を考える．この場合もakはAの 固有値に収束し，A^kvは固有空間に 近づいていく ．

最後にAがJordan細胞の直和になっている時を丁寧に評価す ればよい．

例. S =

( 1 2

2 1 )

を考える．v =v₀= (1,0)^T とおくとa₀=

√5であり，

v₁= (1,2)^T, a₁∼2.6077, v₂= (5,4)^T, a₂∼2.9837, v₃= (13,14)^T, a₃∼2.9982,

v₄= (41,40)^T, a₄∼2.9998 のように計算される．

一方v= (1,−1)^T ととると，

w0= (1,−1)^T/√

2, a0=−1, w1= (−1,1)^T/√

2, a1=−1, w2= (1,−1)^T/√

2, a2=−1, w3= (−1,1)^T/√

2, a3=−1

のように{vk}kや{wk}kは収束せず振動するが，limk→∞ai= 1 は収束し固有値を与える．

A =

( 1 0

0 −1 )

，v = (3/5,4/5)^T と す る と き A^kv = (3/5,(−1)^k4/5)^T よりlim_ka_k = −7/25 であり固有値に収束 しない．

次回：このプリントの残りと2次形式

暇な人へのクイズ(講義とは関係ありません)

次の正方行列が正則行列かどうか，できるだけ少ない計算で判定 せよ．

A=











2 7 −2 0 4 4

6 0 3 −8 −2 −2

5 −2 8 −2 2 8

2 −4 −4 −2 −1 0 4 −2 2 −3 8 −6

−2 0 6 2 2 9











∈M₆(R).