修士論文要旨（ 年度）
モデルを用いた準脆性材料の 動的破壊解析手法に関する構築研究
土木工学専攻 4号 岩田 暁 Satoshi IWATA
はじめに
構造物の破壊現象を数値解析により評価することは，
自然災害に対する防災・減災の観点から非常に重要であ り，社会的な関心も高い．例えば，地震による衝撃力や 土石流・津波・高潮などを受け構造物が破壊するような 現象は全て動的問題であり，これらを数値解析により正 確に再現するためには動的な破壊現象を評価可能な数値 解析手法が求められる．
また，破壊現象をより正確に再現するためには，構造 材料として広く用いられるコンクリートの力学的挙動を 正確に評価することは重要である．コンクリートのよう な脆性材料でかつ非均質複合材料のひび割れ進展を解析 するためには，母材・介在物の破壊や界面剥離が考慮で きる解析手法が必要である．さらに，このような破壊現 象を再現するためには，ひび割れ先端部における破壊進 行領域の力学挙動を正確に評価する必要がある．破壊進 行領域とは，応力伝達の残るひび割れ面であり，ひび割 れ幅の増大に伴い伝達される応力が減少する軟化現象が 生じる領域である．この軟化現象を表現する数値モデル として，Cohesive crackモデルが提案され，車谷らによ り，静的解析においてその有効性が示されている1)．し かしながら，動的問題においてCohesive crack モデル について検討した研究は少ない．
そこで本研究は，準脆性材料の破壊現象を正確に評価 するために，Cohesive crackモデルを用いた動的破壊解 析手法の構築を目的とする．簡易なひび割れ進展モデル にCohesive crack モデルを不連続面におけるバネ剛性 として導入することにより，動的陽解法による破壊解析 手法の構築を行う．数値解析例として，まず，簡単な要 素試験を行い本解析手法の妥当性を確認した後，コンク リート材料に特有の寸法効果の再現性の検証を行い，そ して，骨材を含む複合材料に対する動的引張破断解析例 を通して，本解析手法の有効性の検討を行う．
モデルを考慮した動的破 壊解析手法
基礎方程式
2次元での微小変形を仮定した，線形弾性体の基礎方 程式を以下に示す．
∂Tσ−ρu¨+b=0 (1)
ε=∂u (2)
σ=Dε (3)
ここで，uは変位，u¨は加速度，σはCauchy応力，ε はひずみ，Dは弾性係数行列，bは物体力を示す．
モデルの動的問題への導入 ひび割れ先端部における破壊進行領域の力学的挙動の モデル化にCohesive crack モデルを用いる．図1(a)は ひび割れ先端部の模式図であり，Cohesive crackモデル は，十分に開口していないひび割れ面（破壊進行領域）の 応力伝達を，結合力でモデル化するものである．図1(c) に示すような実験結果に基づく非線形な表面力－開口変 位関係を結合力として与える．本論文で用いた表面力－
開口変位関係は次式(4)の通りである．
tcoh(w)
=ftexp
−ft
Gfw
on ΓPZ (4) ここで，ftは引張強度，Gfは破壊エネルギー，wは不 連続面における相対変位を表す．
w:=||g||=||u[1]−u[2]|| (5) ここで本研究では，図1(d)のCohesive crack モデルで 与えられる結合力をバネの反力で置き換える2)．
tcoh=pcohg (6) ここで，pcohは不連続面における相対変位間をつなぐバ ネの剛性となり，式(6)より以下の式(7)から求まる．
pcoh= ||tcoh||
||g|| (7)
g≪0 の場合はペナルティ法によるバネ剛性p¯となる．
動的陽解法を用いることで，pcohを前の時間ステップの 値で近似することができ，界面剥離後にp¯をCohesive crack モデルによるバネ剛性pcohに置き換えることが 可能となる．図1(d)に示すΓpがペナルティ法，ΓPZが Cohesive crack モデルによるバネ剛性が作用する区間 となる．
図 Cohesive crackモデルのバネによるモデル化
動的破壊を考慮した弱形式
ペナルティ法とCohesive crack モデルを適用した場 合の弱形式は，通常の弾性体の弱形式にペナルティ係数 による剛性，Cohesive crackモデルによる剛性による項 が加わったものとなり，次式(8)のように表される．
Ω
ρδuu¨dΩ +
Ω
∇δu:σ dΩ +
Γp
p0 δg·g dΓp+
Γpz
pcoh δg·g dΓpz
=
Ω
δu·¯bdΩ +
Γt
δu·¯tdΓt (8) ここで，bは物体力ベクトル，tは外力ベクトル，Ωは 全体領域，ΓtはNeumann境界である．
破壊の判定
材料界面の破壊の発生については，界面での表面力を 用いて評価する．本研究では，図1(b)に示すように，ペ ナルティ法を用いて材料界面の連続条件を近似している ので，界面での表面力tpは相対変位を用いて次式(12) で求められる．
tp= ¯pg (9) ここで，ペナルティ係数p¯は構成材料のヤング率の104
～106の値を用いる．この表面力tpと外向き法線ベク
図 Cohesive crackモデルを考慮した動的陽解法による
ひび割れ進展解析のアルゴリズム
トルnを用いて次式(10)を満たした場合に破壊の発生 とした．
tp·n>0 and ||tp|| ≥ t (10) 有限要素方程式
図2に数値解析アルゴリズムを示す．本研究では微小 変形問題を仮定し，有限要素境界面で破壊を扱う離散ひ び割れモデルを採用したことにより，質量行列と剛性行 列は解析中において不変となるため，時間ステップの前 にあらかじめ計算しておくことができる．そして，空間 方向，時間方向の離散化を式(8)に対して行うと以下の 式(11)が得られる．時間方向の離散化には中心差分を 用いた動的陽解法を用いる．
Mu¨n+Fnint =Fnext (11) Fint，Fextは内力項，外力項を表し，Fint については 以下の式(12)で表せる．
Fnint= (K+Pn)un (12) ここで，KとP はそれぞれ剛性行列，ペナルティ行列，
M は集中質量行列を表し， は時間ステップを表す．
ペナルティ行列について破壊前はp¯を用い，破壊後は pcohを用いて算出する．次に，式(11)に対して，中心 差分により加速度・速度・変位を次式により算出する．
u¨n =M−1(Fnext−Fnint) (13) u˙n+12 =u˙n−12 +u¨n∆t (14) un+1=un+u˙n+12∆t (15) ここで，u˙は速度ベクトル，∆tは微小時間増分である．
図 解析モデル
図 荷重の時刻歴
動的破壊に対する検証例
図3に示すモデル中央に潜在的な破壊面を設け，上端 にゆっくりとした等速度を与え引張破断解析を行い，本 手法の妥当性の検証を行った．
解析結果として，図4に荷重の時刻歴を示す．まず，
Cohesive crackモデルを用いない動的解析では，破壊後 に自由振動が発生していることが分かる．これに対して Cohesive crackモデルを用いた本解析手法では，自由振 動を示しておらず，引張軟化の非線形挙動が再現されて いる．これは，Cohesive crackモデルによる粘着により 自由振動を抑制したからである．また，参照解である静 的解析とも一致しており本手法の妥当性が認められる．
動的破壊解析における寸法効果の検証
既往の研究において，Coheisve crackモデルを用いる ことでコンクリートに見られる寸法効果を再現可能であ ることが示されている1)．そこで，本解析手法による寸 法効果再現性の検証を目的として，図5に示す寸法の異 なる3つのモデルに対する破壊解析を行った．有限要素 分割は等しく，ひずみ速度0.005/secを上面に与えた．
解析結果として，図6に各寸法での載荷面荷重/有効 断面積の時刻歴を示す．これから，大きなモデルほど ピーク強度が低くなり，より脆性的な挙動を示し，動的 解析においてもCohesive crack モデルを適用すること で，寸法効果を再現できていることがわかる．また，図7 に時刻0.18secでの各寸法での変形図およびvon-Mises
図 要素寸法の異なる円孔穴あき板の解析モデル
図 各寸法での載荷面荷重/有効断面積の時刻歴
図 各寸法での変形図と応力分布(0.18 sec)
の応力分布を示す．これからも，寸法の小さいCase 2-a は他のケースに比べひび割れの進展が遅く，より強度が 高く靭性に優れた結果となり，寸法効果の再現を見て取 ることができ，本解析手法の妥当性を示すことができる．
動的引張破断解析
既往の研究において，コンクリートの高速引張載荷試 験において見かけの強度の増加，破壊形態の違いが示さ
れている3) 4)．そこで，本解析手法による高速載荷時の
力学挙動の検証を行い，本解析手法の有効性・妥当性に ついて考察する．数値解析モデルは，図8に示すように モルタルと骨材の複合構造とし，全ての三角形要素界面
図 数値解析条件
図 載荷面荷重/有効断面積－載荷面変位関係
に対して二重節点を配置した．材料定数は同図に示す通 りで，上端部に与える載荷速度は低速・高速の２ケース で，ひずみ速度表示で，低速が3.2× 10−3/sec，高速が 3.2×10−1/secである．
解析結果として，図9に載荷面荷重/有効断面積－載 荷面変位関係を示す．図のように載荷速度が速いほど ピーク強度が高く，ピーク後の軟化曲線の勾配が急であ ることが分かる．ピーク強度の増加について，高速載荷 では複数のひび割れ，さらにひび割れの枝分かれが発生 しており，この破壊形態の違いがピーク強度の増加につ ながったものと考えられる．また，高速載荷での軟化曲 線の勾配が急であることは，骨材の破壊が発生したこと で急激に破断面が形成されたためであると考えられる．
図10に各載荷速度における変形図を示す．図のよう に各載荷速度において，モデル中央の切欠きから破断面 が形成されていることが分かる．さらに，低速載荷では 界面を中心に破断面が形成されているのに対して，高速 載荷では中央付近の骨材が破壊していることが分かる．
図 各載荷速度での変形と主応力分布図
実験においても同様の破断面が形成されており妥当な結 果といえ，載荷速度の違いによる破壊形態の違いを再現 することができ本解析手法の有効性が見て取れる．
おわりに
本研究では，準脆性材料の破壊現象を評価するため に，Cohesive crackモデルを用いた動的破壊解析手法の 構築を行い，数値解析例を通して，動的破壊問題に対す る本手法の有効性・妥当性を検証し以下の結論を得た．
• 簡単な要素試験から，参照解である静的解析と良い 一致を示し，本手法の妥当性が認められた．
• コンクリート材料の破壊現象に特有の寸法効果を，
動的解析において再現することができた．
• 高速載荷時の見かけの強度の増加，破壊形態の違い を再現することにより，本解析手法の有効性・妥当 性を示した．
今後の課題として，載荷速度の増加に伴う引張軟化特性 への影響について，さらなる考察を行う予定である．
参考文献
1) 車谷麻緒，寺田賢二郎：Cohesive crackモデルに対する陽 的近似アルゴリズムの提案とその性能評価，土木学会論文 集A，Vol.64, No.3, pp.627-638, 2008.
2) 車谷麻緒，岩田暁，寺田賢二郎，岡澤重信，樫山和男：
Cohesive crackモデルを用いた準脆性材料の動的破壊解析 手法に関する基礎的研究，応用力学論文集Vol.11, pp201- 209，2008.
3) 藤掛一典：高ひずみ速度下におけるコンクリートの引張・
圧縮特性に関する研究，筑波大学博士 学位論文，1999.
4) Fenghua Zhou，Jean-Francois Molinari，Tadashi sh- ioya：A rate-dependent cohesive model for simulating dynamic crack propagation in brittle materials，Engi- neering Fracture Mechanics 72，pp1383-1410，2005.
