多変数関数 極限 連続性 問題

熊本大学 数理科学総合教育

多変数関数 極限 連続性 問題

^解答

1 (i) f(x, y) =y/p

x²+y² ．x → 0 ，(x,0) → (0,0) ，f(x,0) = 0→0 (x→0). ，y→+0 (0, y)→(0,0) ，

f(0, y) = y

py² = y

|y| →1 (y→+0).

(x, y) (0,0) ^{近 方} f(x, y) ^{異 値 近 ，}

lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) 存在 ． 注意 . p

y² = |y| ^注意．例 √

2² = 2, p

(−1)² = 1 = |(−1)|

．

(ii) g(x, y) = xy/p

x²+y² ．x= rcosθ, y = rsinθ (x, y)→ (0,0)

r→0 ，θ 振 舞

|g(x, y)|=

(rcosθ)(rsinθ) p(rcosθ)²+ (rsinθ)²

=|rcosθsinθ| ≤r→0 (r→0)

． lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = 0.

2 1 (ii) 結果 ， lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0．一方，定義 f(0,0) = 1． lim

(x,y)→(0,0)f(x, y)̸=f(0,0) ，関数f(x, y) (0,0) 連続 ． 3 (i)

f_x(x, y) = −2x

(x²+y²)², f_y(x, y) = −2y (x²+y²)².

(ii)

zx =ye^xycosx+e^xy(−sinx) =e^xy(ycosx−sinx), zy =xe^xycosx.

復習.

(f(x)g(x))^′ =f^′(x)g(x) +f(x)g^′(x), (0.1) (g(f(x)))^′ =g^′(f(x))f^′(x). (0.2)

例 上記2 覚 ，(0.2) g(x) = 1/x

1 f(x)

_′

= −f^′(x) f(x)² 得 ． f(x)/g(x) =f(x)·(1/g(x)) 思

f(x) g(x)

_′

=f^′(x) 1

g(x)

+f(x) 1

g(x) _′

= f^′(x)g(x)−f(x)g^′(x) g(x)²

得 ．

1