1 関数の極限と連続性

基礎数学 II - _補講解答

2009 _年後期 , _西岡 2 _号館 11 _階 38 _号室

臨時オフィスアワー : 01/25( 月 ), 3 限

1

1 _{関数の極限と連続性}

問題

1.1.

_{次の極限値を求めよ}

. (i) lim

x→0

% 1 x − 1

x

³

&

, (ii) lim

x→∞

x + 1 2x + 3 , (iii) lim

x→∞

√ x

x

²

+ 1 . $

問題

1.2.

_{次の関数は連続か}

.

f (x) ≡ '

x cos 1

x x # = 0,

0 x = 0 $

問題

1.3.

_{次の関数は連続か}

.

f (x) ≡

 



 

exp {− 1

x } x # = 0,

0 x = 0

$

3

2 _微分

問題

2.1. (i)

_{以下の関数}

y

_{を 合成関数}

y = f ( g(x) )

の形にしたい

.

_適 当な

f (x)

_と

g(x)

_を求めよ

.

(1) y = (x

³

+ x

²

+ 1)

¹⁰

, (2) y = log(x

²

+ x + 1), (3) y = *

1 + x

²

, (4) y = cos (

log x

²

+ x + 1 )

.

(ii)

_{上記の関数}

(1) – (4)

_{を微分せよ}

. $

問題

2.2. f (x), g(x), h(x)

を微分可能な関数とする

. (i)

_{次の関数を微分せよ}

.

(a) f (

g ( h(x) ))

, (b) %

f (x) · g(x) · h(x) &

.

(ii)

_{次の関数を}

2

_{階微分せよ}

. (a) f (

g(x) )

, (b) %

f (x) · g(x) &

.

問題

2.3.

_{次の関数を微分せよ}

. (i) sin (

e

^sinx

)

, (ii) e

^x

sin x (cos x)

²

. $

5

3 _{平均値の定理} , _{テイラーの定理} , _応用

問題

3.1.

次の不等式が成立することを示せ

. (i) √

x + 1 < 1 + x

2 for x > 0, (ii) a + 1

a < b + 1

b whenever 1 < a < b. $

問題

3.2. f (x)

_を

3

階微分可能な関数とする

. (i) a < c < x

_なる

c

_があり

,

f (x) = f (a) + f

^#

(c)(x − a)

となることを示せ

.

(ii) a < d < c < x

_なる

d

_があり

,

f (x) = f (a) + f

^#

(a)(x − a) + f

^##

(d)(c − a)(x − a)

となることを示せ

. $

7

問題

3.3.

次の関数の極値を調べよ

.

(i) f (x) = x

⁵

− 10x

³

+ a, a

_は定数

, (ii) g(x) = x

^4/5

( 1 − x )

, x ≥ 0. $

問題

3.4.

_{次の極限を求めよ}

. (i) lim

x→0

1 − e

^x2

x

²

, (ii) lim

x→0

4

^x

− 3

^x

x ,

(iii) lim x

²

1 − (1/ cos x) . $

4 複素数とオイラーの等式

問題

4.1.

_{次の複素数を}

r e

^iθ

, r > 0, θ

_は実数 の形式で表せ

.

(i) − i, (ii) − 1

√ 2 + i 1

√ 2 , (iii) − 2 + 2i $

問題

4.2.

次の方程式を満たす複素数

z

_{をすべて求め}

,

_{複素平面上に図示} せよ

.

(i) z

³

= 1, (ii) z

⁴

= 1, (iii) z

³

= − 1. $

9

5 _解答

極限操作の考え方

! "

1.

数学では以下の演算は禁止されている

:

∞ − ∞ , 0 × ∞ , ∞

∞ , · · ·

2.

これらを回避して，次の許された演算に変換する：

∞ + ∞ = ∞ , ∞ × ∞ = ∞ , 1

∞ = 0, 1

0 = ∞ , · · ·

# $

[

_問題

1.1

_解答

] (i) x → 0

_{とするとき}

,

% 1 x − 1

x

³

&

= x

²

− 1

x

³

→ − 1

0 = −∞ . (ii) lim

x→∞

1

x = 0

_{に注意すると}

, x + 1

2x + 3 = 1 + (1/x) 2 + (3/x) → 1

2 .

(iii)

_やはり

lim

_x→∞

1

x

²

= 0

_{に注意して}

√ x

x

²

+ 1 = 1

* 1 + (1/x

²

) → 1

√ 1 = 1, !

11

[

_問題

1.2

_解答

] + + cos 1

x

+ + ≤ 1

_だから

+ +

+ x cos 1 x + +

+ ≤ + + x + + · + + cos 1 x

+ + ≤ + + x + + → 0 as x → 0.

よって

,

x→0

lim x cos 1

x = 0 = f (0)

となるので

, f (x)

_は連続

. !

[

_問題

1.3

_解答

] 1

x

^は

x

_{が正負どちらから}

0

に近づくかで値が異なる

. 1

x →

, + ∞ x > 0

_かつ

x → 0

−∞ x < 0

_かつ

x → 0

!0.4 !0.2 0.2 0.4

!20

!10 10 20

13

x 0 · · · ← 0.00001 0.0001 0.001 0.01

1/x ∞ · · · ← 100000 10000 1000 100

x − 0.01 − 0.001 − 0.0001 − 0.00001 → · · · 0 1/x − 100 − 1000 − 10000 − 100000 → · · · −∞

これより

exp {− 1

x } → 8 >

> <

> >

:

exp {−∞} = 1

exp {∞} = 1

∞ = 0 x > 0

_かつ

x → 0 exp {∞} = ∞ x < 0

_かつ

x → 0

よって

f (x)

_は不連続

. !

[

_問題

2.1

_解答

] (i) f (x), g(x)

_{をどう選ぶかはセンス}

=

_勘と練習

, (1) f (x) = x

¹⁰

, g(x) = x

³

+ x

²

+ 1.

(2) f (x) = log x, g(x) = x

²

+ x + 1.

(3) f (x) = √ x, g(x) = 1 + x

²

. (4) f (x) = cos x, g(x) = log (

x

²

+ x + 1 ) . (ii)

_{合成関数の微分公式}

(

f (g(x)) )

_#

= f

^#

(g(x)) g

^#

(x)

_をつかう

. (1) f

^#

(x) = 10x

⁹

, g

^#

(x) = 3x

²

+ 2x

_だから

,

% (x

³

+ x

²

+ 1)

¹⁰

&

#

= 10 (x

³

+ x

²

+ 1)

⁹

(3x

²

+ 2x) =

= 10 x (3x + 2)(x

³

+ x

²

+ 1)

⁹

.

15 (2) f

^#

(x) = 1/x, g

^#

(x) = 2x + 1

_だから

,

% log(x

²

+ x + 1) &

#

= 1

(x

²

+ x + 1) (2x + 1) = 2x + 1 x

²

+ x + 1 . (3) f

^#

(x) = 1/(2 √ x), g

^#

(x) = 2x

_だから

,

%* x

²

+ 1 &

#

= 1

2 √

x

²

+ 1 2x = x

√ x

²

+ 1 . !

(4) f

^#

(x) = − sin x.

_前の結果

(2)

_を使うと

, g

^!

(x) = “

log(x

²

+ x + 1) ”

_!

= 2x + 1

x

²

+ x + 1 .

よって

[

_問題

2.2

_解答

] (i) (a) G(x) ≡ g ( h(x) )

とおく

.

_{合成関数の微分公式}

から

d

dx G(x) = g

^#

( h(x) )

· h

^#

(x).

これと

,

再び合成関数の微分公式から

d

dx f ( g (

h(x) ))

= d dx f (

G(x) )

= f

^#

( G(x) )

· G

^#

(x)

= f

^#

(

g ( h(x) ))

· g

^#

( h(x) )

· h

^#

(x).

(

これは公式集には出ていない

.

_「

4

_{つの合成関数}

f (

g(h(k(x))) )

はどうなる

?

_{法則性が見つかるかな}

. )

の微分」

17

(b) G(x) ≡ g(x) · h(x)

_とおく

.

関数の積の微分公式から

d

dx G(x) = g

^#

(x) · h(x) + g(x) · h

^#

(x).

再び

,

関数の積の微分公式から

d

dx

% f (x) · g(x) · h(x) &

= d dx

% f (x) · G(x) &

= f

^#

(x) · G(x) + f (x) · G

^#

(x)

= f

^#

(x) · g(x) · h(x) + f (x) · g

^#

(x) · h(x) + f (x) · g(x) · h

^#

(x).

(

_{これも公式集にはない}

.

_{法則性が見つかるかな}

. )

(ii) (a)

_まず

d

dx f ( g(x) ) = f

^#

( g(x) )

· g

^#

(x).

これをもう一度微分する

. d

²

dx

²

f ( g(x) )

= d dx f

^#

(

g(x) )

· g

^#

(x)

= % d dx f

^#

(

g(x) )&

· g

^#

(x) + f

^#

( g(x) )

· g

^##

(x)

= f

^##

( g(x) )

· %

g

^#

(x) &

2

+ f

^#

( g(x) )

· g

^##

(x).

(b)

_まず

d

dx

% f (x) · g(x) &

= f

^#

(x) · g(x) + f (x) · g

^#

(x).

_{もう一度微分}

. d

²

dx

²

f (x) · g(x) = d dx

%

f

^#

(x) · g(x) + f (x) · g

^#

(x) &

= f

^##

(x) · g(x) + f

^#

(x) · g

^#

(x) + f

^#

(x) · g

^#

(x) + f (x) · g

^##

(x)

= f

^##

(x) · g(x) + 2 f

^#

(x) · g

^#

(x) + f (x) · g

^##

(x). !

19

[

_問題

2.3

_解答

]

_方針

=

_前の

[

_問題

2.2]

_を使う

.

(i) f (x) = sin x, g(x) = e

^x

, h(x) = sin x

_とおくと

, 3

_{つの合成関数}

f ( g(h(x)) ) = sin (

e

^sinx

) .

まず

f

^#

(x) = cos x, g

^#

(x) = e

^x

, h

^#

(x) = cos x

と 問題

2.2

_より

,

d dx

% sin (

e

^sinx

)& = cos ( e

^sinx

)

· e

^sinx

· cos x

= cos ( e

^sinx

)

e

^sinx

cos x.

(ii)

_まず

d

dx e

^x

= e

^x

, d

dx sin x = cos x, d

dx (cos x)

²

= − 2 cos x · sin x.

問題

2.2

_より

, d dx

% e

^x

sin x · (cos x)

²

&

= e

^x

sin x · (cos x)

²

+e

^x

cos x · (cos x)

²

− e

^x

sin x · 2 cos x sin x

= e

^x

· cos x - sin x · cos x + (cos x)

²

− 2(sin x)

²

.

= 1

2 e

^x

· cos x ( − 1 + sin 2x + 3 cos 2x). !

21

[

_問題

3.1

_解答

]

_方針

=

_次の定理

(

_{レジメのどこかにある}

)

_を使う

:

関数の増減の判定

! "

(a, b)

_を区間

,

_関数

f (x)

_{は微分可能とする}

.

(i) x ∈ (a, b)

_で

f

^#

(x) > 0 ⇒

区間

(a, b)

_で

f (x)

_{は単調増加}

. (ii) x ∈ (a, b)

で

f

^#

(x) = 0 ⇒

区間

(a, b)

で

f (x)

は定数

.

(iii) x ∈ (a, b)

_で

f

^#

(x) < 0 ⇒

区間

(a, b)

_で

f (x)

_{は単調減少}

.

# $ $

(i) f (x) ≡ 1 + x 2 − √

x + 1

_とおく

. f

^!

(x) = 1

2 − 1 2 · 1

√ x + 1 =

√ x + 1 − 1 2 √

x + 1 > 0 for x > 0.

f (x)

_{は単調増加で}

, f (0) = 0

_だから

, 1 + x 2 − √

x + 1 = f (x) > 0.

(ii) g(x) ≡ x + 1

x

^とおく

. g

^#

(x) = 1 − 1

x

²

= x

²

− 1

x

²

> 0 for x > 1.

g(x)

_は

x > 1

_{で単調増加だから}

, 1 < a < b

_なら

a + 1

a = g(a) < g(b) = b + 1 b . !

23

[

_問題

3.2

_解答

] (i)

_{平均値の定理}

(

_{レジメのどこかにある}

) :

a < c < x

_なる

c

_があり

, (5.1) f (x) − f (a)

x − a = f

^#

(c) ⇒ f (x) = f (a) + f

^#

(c)(x − a).

(ii) f

^#

(c)

_{に平均値の定理を使う}

: a < d < c

_なる

d

_があり

f

^#

(c) − f

^#

(a)

c − a = f

^##

(d) ⇒ f

^#

(c) = f

^#

(a) + f

^##

(d) (c − a)

これを

(5.1)

_{に代入して}

,

f (x) = f (a) + %

f

^#

(a) + f

^##

(d) (c − a) &

(x − a)

[

_問題

3.3

_解答

] (i) f

_{を微分して}

,

0 = f

^#

(x) = 5x

⁴

− 30x

²

= 5x

²

(x

²

− 6) = 5x

²

(x − √

6)(x + √ 6)

⇒ x = − √ 6, 0, √

6.

増減表を作ると

x − √ 6 0 √ 6

f

^#

(x) + 0 − 0 − 0 +

f (x) - ^{f (} − √

6) . ^f(0) . ^{f ( √ 6)} -

これより

x = − √

6

で 極大値

f ( − √

6) = 24 √

6 + a, x = √

6

で 極小値

f ( √

6) = − 24 √ 6 + a.

注

: x = 0

_は

, f

^#

(0) = 0

_{だが 極大}

/

極小 のどちらでもない

.

_{増減表でこ} うした点を見分けること

.

25

!3 !2 !1 1 2 3

!60

!40

!20 20 40 60

図

5.1 a = 0

_のときの

f(x)

_のグラフ

(ii) x ≥ 0

_{に注意して}

, g

_を微分

. 0 = g

^#

(x) = 4

5 x

^−1/5

(1 − x) − x

^4/5

= 4 − 9x 5 x

^1/5

⇒ x = 4 9 .

増減表を作ると

x 0 4/9

g

^#

(x) + ∞ + 0 −

g(x) 0 - g(4/9) .

これより

x = 4

9

^{で 極大値}

g( 4

9 ) = 10 27 ( 2

3 )

^3/5

.

27

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

!0.6

!0.4

!0.2 0.2

図

5.2 g(x)

_のグラフ

[

_問題

3.4

_解答

]

_方針

=

この種の極限には「ロピタルの定理」

. (i)

まず 合成関数の微分より

d

dx e

^x2

= 2x e

^x2

.

これに注意して

,

_{ロピタルの定理を使う}

.

x

lim

→0

1 − e

^x2

x

²

= lim

x→0

` 1 − e

^x2

´

!

` x

²

´

_!

= lim

x→0

− 2x e

^x2

2x

= lim

x→0

− e

^x2

1 = − 1.

(ii)

_まず

, a = e

^loga _{と合成関数の微分から}

(4

^x

)

^#

= (e

^{xlog 4}

)

^#

= e

^{xlog 4}

· log 4 = 4

^x

· log 4, (3

^x

)

^#

= (e

^{xlog 3}

)

^#

= e

^{xlog 3}

· log 3 = 3

^x

· log 3.

29

これに注意して ロピタルの定理を使う

.

x

lim

→0

4

^x

− 3

^x

x = lim

x→0

` 4

^x

− 3

^x

´

_!

(x)

^!

= lim

x→0

4

^x

· log 4 − 3

^x

· log 3

1 = log 4 − log 3.

(iii)

_{分母分子に}

cos x

_を掛け

,

_{ロピタルを}

2

_度使う

.

x

lim

→0

x

²

1 − (1/ cos x) = lim

x→0

x

²

· cos x cos x − 1

= lim

x→0

` x

²

· cos x ´

!

` cos x − 1 ´

!

= lim

x→0

2x · cos x − x

²

· sin x

− sin x

= lim

` 2x · cos x ´

!

` ´ + lim x

²

[

_問題

4.1

_解答

]

_{オイラーの等式}

r e

^iθ

= r cos θ + i r sin θ : r > 0, i

_{は単位虚数}

, θ

_は実数 を使う

.

(i) sin 3 π

2 = − 1

_だから

, − i = e

^i3π/2

. (ii) cos 3 π

4 = − 1

√ 2 , sin 3 π 4 = 1

√ 2

^だから

− 1

√ 2 + i 1

√ 2 = e

^i3π/4

.

(iii) (ii)

_より

− 2 + 2i = 2 √ 2 %

− 1

√ 2 + i 1

√ 2

&

= 2 √

2 e

^i3π/4

. !

31

[

_問題

4.2

_解答

]

「オイラーの等式」の応用

= n

_{次方程式の解}

.

_美しい 結果

.

(i) k = 0, 1, 2, · · ·

にたいし

, exp { i 2k π } = 1

_だから

z

³

= exp { i 2 k π } ⇒ z

k

= exp { i 2 kπ

3 } , k = 0, 1, 2.

! _"

! _#

(ii)

_同様に

z

⁴

= exp { i 2 k π }

⇒ z

_k

= exp { i 2 kπ

4 } = exp { i kπ

2 } , k = 0, 1, 2, 3.

!

"

!

_#

!

_$

!

%

33

(iii) k = 0, 1, 2, · · ·

にたいし

, − 1 = exp { i π + i 2k π }

だから

z

³

= exp { i π + i 2 k π } ⇒ z

k

= exp { i (2 k + 1)π

3 } , k = 0, 1, 2.

!

"

!

#

!

_$

!