1 関数の極限と連続性

基礎数学 II - ^練習問題 1 2013/01/11,

1 ^{関数の極限と連続性}

問題1.1. 次の極限値を求めよ. (1) lim

x→0

(1 x− 1

x³ )

, (i2) lim

x→∞

x+ 1

2x+ 3, (3) lim

x→∞

√ x x²+ 1. 問題1.2. f(x), g(x)を 区間[0,1]での連続関数とする. 次を証明せよ.

f(0)< g(0)かつf(1)> g(1)なら,ある点 0< c <1 があり,f(c) =g(c)となる 問題1.3. 対数関数 f(x) = logxの値を以下の通りとする.

x 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

logx c3 c2 a1 0.7 a3 a4 1.6 1.8 1.9 a8 a9

(注: この表の値は,対数関数の実際の値とは誤差がある. )

(i) この表から,a1,· · · , a9,c2, c3 の値を小数点以下1 位まで計算せよ. なお計算方法も示すこと. (ii) つぎのb1,· · ·, b5 を計算せよ. なお計算方法も示すこと.

b₁=e^0.7, b₂=e^a3, b₃=e^a9, b₄=e^2.3, b₅=e^2.5.

2 ^微分

問題2.1. (i) 以下の関数をy=f( g(x))

の形にしたい. 適当なf(x)とg(x)を求めよ. (1)y= (x³+x²+ 1)¹⁰, (2)y= log(x²+x+ 1), (3)y=√

1 +x², (4)y= cos(

logx²+x+ 1) .

(ii) 上記の関数(1) – (4)を微分せよ.

問題2.2. (i) f(x), g(x), h(x)を微分可能な関数とする. 次の関数を微分せよ. (1) f(

g( h(x)))

, (2)

(

f(x)·g(x)·h(x) )

.

(ii) 次の関数を微分せよ. (1) sin(

e^sinx)

, (2) e^x sinx(cosx)², (3) (x+ 1)³(x²+ 1)²(x³+ 1).

問題2.3. 次が成立することを示せ: (i) 定数α6= 0にたいし, (

e^{α x})₀

=α e^{α x}. (ii) 定数α6= 0とx6= 0にたいし, (

log|x|^α)₀

= α x. (iii) 定数α6= 0, β >0にたいし, (

β^{α x})₀

=(

αlogβ)

β^{α x}.

3 ^{平均値の定理} , ^{テイラーの定理} , ^応用

問題3.1. 次の不等式が成立することを示せ: √

x+ 1<1 + x

2 forx >0.

問題3.2. f(x)を3階微分可能な関数とする. 次を証明せよ. (i) a < c < xなるcがあり, f(x) =f(a) +f⁰(c)(x−a).

(ii) a < d < c < xなるdがあり, f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(d)(c−a)(x−a).

問題3.3. 次の関数の極値を調べよ.

(1) f(x) =x⁵−10x³+a, aは定数, (2) g(x) =x^4/5( 1−x)

, x≥0.

問題3.4. 次の極限を求めよ. (1) lim

x→0

1−e^x2

x² , (2) lim

x→0

4^x−3^x

x , (3) lim

x→0

x² 1−(1/cosx). 問題3.5. 次の議論で何処が誤りかを述べよ.

(i) lim

x→0

sinx x+ 1 = lim

x→0

(sinx)⁰ (1 +x)⁰ = lim

x→0

cosx 1 = 1.

(ii) lim

x→0

e^−1/x2 x = lim

x→0

(e^−1/x2)⁰ (x)⁰ = lim

x→0

2

x³·e^−1/x2 =不定.

4 複素数とオイラーの等式

問題4.1. 次の複素数を ‘r e^iθ, r >0,θ は実数’の形式で表せ. (1) −i, (2) − 1

√2+i 1

√2, (3) −2 + 2i 問題4.2. 次の方程式を満たす複素数z をすべて求め,複素平面上に図示せよ.

(1) z³= 1, (2) z⁴= 1, (3) z³=−1.

5 ^不定積分 , ^定積分

問題5.1. 次の不定積分を計算せよ. (1)

∫

(x+ 3)³dx, (2) ∫

(4x+ 2)⁴dx,

(3)

∫

(4x³+ 3x²) (x⁴+x³+ 4)⁵dx, (4)

∫ x⁵

1 +x⁶dx, (5)

∫ x√

x+ 3dx, (6)

∫ e^x e^x+ 2dx (7)

∫

x e^xdx,(8)

∫

x²e^xdx, (9) ∫ ( logx)2

dx, (10)

∫ logx x dx.

問題5.2. 次の不定積分を計算せよ. (1)

∫ 1

x(x+ 1)dx, (2)

∫ 1

1 +e^xdx [e^x=tとおく], (3)

∫ 1

1 + cosxdx [ tanx/2 =t とおく] 問題5.3. 次の定積分を計算せよ.

(1)

∫ 1 0

(3x+ 1)^3/2dx, (2)

∫ 2 0

x

1 +x²dx, (3)

∫ 3 0

x√

1 +x dx, (4)

∫ e 1

logx

(1 +x)²dx, [ヒント: −( 1

1 +x)⁰ = 1 (1 +x)²], (5)

∫ 3π/2 0

cosx 1 + sin²xdx.

[問題1.1 解答] (1) x→0とするとき, (1

x− 1 x³

)

=x²−1 x³ → −1

0 =−∞. (2) limx→∞ 1

x = 0に注意すると, x+ 1

2x+ 3 =1 + (1/x) 2 + (3/x) → 1

2. (3) やはりlim_x→∞ 1

x² = 0に注意して x

√x²+ 1 = 1

√1 + (1/x²)→ 1

√1 = 1, 2

[問題1.2 解答] h(x)≡f(x)−g(x)とおくと, h(0) =f(0)−g(0)<0かつh(1) =f(1)−g(1)>0で ある. 下の「中間値の定理」をa= 0, b= 1, `= 0として使う:

中間値の定理

区間[a, b]で連続な関数h(x)が,h(a)< h(b)であるとき,h(a)< ` < h(b)である任意の数` にたい し,h(c) =` となるa < c < bが存在する.

[問題1.3 解答] logx+ logy= logx y, logx^a =alogxを使う.

x 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

logx −1.1 −0.7 0 0.7 1.1 1.4 1.6 1.8 1.9 2.1 2.2

(ii) 対数関数は指数関数の逆関数だから x=e^logx, loge^x=x が成立している. ここで0.7 = log 2だ から,b₁=e^{log 2}= 2, b₂=e^a3 =e^{log 3}= 3, b₃=e^a9=e^{log 9}= 9.

つぎに 2.3 = 0.7 + 1.6 = log 2 + log 5 = log 10, 2.5 = 0.7 + 1.8 = log 2 + log 6 = log 12, となる ので, b4=e^{log 10}= 10, b5=e^{log 12} = 12. 2

[問題2.1 解答] 合成関数の微分公式に持ち込むために,f(x), g(x)をどう選ぶかはセンス=勘と練習, (i) (1) f(x) =x¹⁰, g(x) =x³+x²+ 1. (2) f(x) = logx, g(x) =x²+x+ 1.

(3) f(x) =√

x, g(x) = 1 +x². (4) f(x) = cosx, g(x) = log(

x²+x+ 1) . (ii) 合成関数の微分公式 (

f(g(x)))₀

=f⁰(g(x))g⁰(x) をつかう. (1) f⁰(x) = 10x⁹, g⁰(x) = 3x²+ 2x だから,

(

(x³+x²+ 1)¹⁰ )₀

= 10 (x³+x²+ 1)⁹ (3x²+ 2x) = 10x(3x+ 2)(x³+x²+ 1)⁹. (2) f⁰(x) = 1/x, g⁰(x) = 2x+ 1 だから,

(

log(x²+x+ 1) )₀

= 1

(x²+x+ 1) (2x+ 1) = 2x+ 1 x²+x+ 1. (3) f⁰(x) = 1/(2√

x), g⁰(x) = 2x だから, (√

x²+ 1 )₀

= 1

2√

x²+ 1 2x= x

√x²+ 1.

(4) f⁰(x) =−sinx. 前の結果 (2)を使うと, g⁰(x) =

(

log(x²+x+ 1) )₀

= 2x+ 1 x²+x+ 1.

よって (

cos(

log(x²+x+ 1)))⁰

=−sin(

log(x²+x+ 1))

· 2x+ 1 x²+x+ 1. 2. [問題 2.2 解答] (i) (1) G(x)≡g(

h(x))

とおく. 合成関数の微分公式から d

dxG(x) =g⁰( h(x))

·h⁰(x).

これと,再び合成関数の微分公式から d

dxf( g(

h(x)))

= d dxf(

G(x))

=f⁰( G(x))

·G⁰(x) =f⁰( g(

h(x)))

·g⁰( h(x))

·h⁰(x).

(2) G(x)≡g(x)·h(x)とおく. 関数の積の微分公式から d

dxG(x) =g⁰(x)·h(x) +g(x)·h⁰(x).

再び,関数の積の微分公式から d

dx (

f(x)·g(x)·h(x) )

= d dx

(

f(x)·G(x) )

=f⁰(x)·G(x) +f(x)·G⁰(x)

=f⁰(x)·g(x)·h(x) +f(x)·g⁰(x)·h(x) +f(x)·g(x)·h⁰(x).

(ii) 前問の結果を使う: (1) f(x) = sinx,g(x) =e^x,h(x) = sinxとおくと, f(

g(h(x)))

= sin( e^sinx)

. (i)-(2)より, d

dx (

sin( e^sinx))

= cos( e^sinx)

·e^sinx·cosx= cos( e^sinx)

e^sinx cosx.

(2) まず d

dxe^x=e^x, d

dxsinx= cosx, d

dx(cosx)²=−2 cosx·sinxだから, (i)-(2)より, d

dx (

e^xsinx·(cosx)² )

=e^xsinx·(cosx)²+e^x cosx·(cosx)²−e^x sinx·2 cosxsinx

=e^x·cosx{

sinx·cosx+ (cosx)²−2(sinx)²}

= 1

2 e^x·cosx(−1 + sin 2x+ 3 cos 2x).

(3) まず合成関数の微分公式より d

dx(x+ 1)³= 3(x+ 1)²·1 = 3(x+ 1)², d

dx(x²+ 1)²= 2(x²+ 1)·2x= 4x(x²+ 1), d

dx(x³+ 1) = 3x². 次に(i)-(2)より

d dx

(

(x+ 1)³(x²+ 1)²(x³+ 1) )

= 3(x+ 1)² (x²+ 1)² (x³+ 1) + (x+ 1)³4x(x²+ 1) (x³+ 1) + (x+ 1)³(x²+ 1)²3x²

= (x+ 1)³(x²+ 1){

3 +x+ 9x²−3x³+ 10x⁴} . 2

[問題2.3 解答] (i)は合成関数の微分公式から証明できる.

(ii)だが, 対数関数の計算規則 よりlog|x|^α=αlog|x|^{となるので}, log|x|の微分を計算すればよい. x6= 0なら (

|x|)₀

=

{ 1 x >0,

−1 x <0 だから,合成関数の微分公式より(

log|x|)₀

= 1/xとなり, (ii)が証明できる. (iii)だが,対数関数の定義 よりβ= exp{logβ}^{となるので}, β^{α x}=(

exp{(logβ)})α x

= exp{(αlogβ)x} と変形できるから, 上式の右辺に(i)を適用すれば(iii)が得られる. 2

[問題3.1 解答] 方針=次の定理を使う: 関数の増減の判定

(a, b)を区間,関数f(x)は微分可能とする.

(i) x∈(a, b)でf⁰(x)>0 ⇒ ^区間(a, b)でf(x)は単調増加. (ii) x∈(a, b)でf⁰(x) = 0 ⇒ ^区間(a, b)でf(x)は定数.

(iii) x∈(a, b)でf⁰(x)<0 ⇒ ^区間(a, b)でf(x)は単調減少.

f(x)≡1 +x 2 −√

x+ 1 とおく.

f⁰(x) = 1 2−1

2· 1

√x+ 1 =

√x+ 1−1 2√

x+ 1 >0 forx >0.

f(x)は単調増加で,f(0) = 0だから, 1 +x 2 −√

x+ 1 =f(x)>0. 2

[問題3.2 解答] (i)

[平均値の定理] : a < c < xなるc があり, f(x)−f(a)

x−a =f⁰(c) この両辺にx−aをかけ,整理すると

(5.1) f(x) =f(a) +f⁰(c)(x−a).

(ii) f⁰(c)に平均値の定理を使う: a < d < cなるdがあり f⁰(c)−f⁰(a)

c−a =f⁰⁰(d)⇒f⁰(c) =f⁰(a) +f⁰⁰(d) (c−a) これを(5.1)に代入して,

f(x) =f(a) + (

f⁰(a) +f⁰⁰(d) (c−a) )

(x−a) =f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(d)(c−a)(x−a). 2 [問題3.3 解答] (1) f を微分して,

0 =f⁰(x) = 5x⁴−30x²= 5x²(x²−6) = 5x²(x−√

6)(x+√

6) ⇒ x=−√ 6,0,√

6.

増減表を作ると

x −√

6 0 √

6

f⁰(x) + 0 − 0 − 0 +

f(x) % f(−√

6) & ^f(0) & ^f(√6) % これよりx=−√

6で極大値f(−√

6) = 24√

6 +a, x=√

6で極小値f(√

6) =−24√ 6 +a.

注: x= 0は,f⁰(0) = 0 だが 極大/ 極小 のどちらでもない. 増減表でこうした点を見分けること. (2) x≥0 に注意して,g を微分.

0 =g⁰(x) =4

5x^−1/5(1−x)−x^4/5= 4−9x

5x^1/5 ⇒ x=4 9. 増減表を作ると

x 0 4/9

g⁰(x) +∞ + 0 − g(x) 0 % g(4/9) &

これよりx=4

9 ^{で 極大値}g(4 9) = 10

27 (2

3)^3/5. 2 [問題3.4 解答]

方針=この種の極限には「ロピタルの定理」. (1) まず 合成関数の微分より d

dxe^x2 = 2x e^x2.これに注意して,ロピタルの定理を使う.

xlim→0

1−e^x2 x² = lim

x→0

(1−e^x2)₀ (x²)₀ = lim

x→0

−2x e^x2 2x = lim

x→0

−e^x2 1 =−1.

(2) まず,a=e^loga と合成関数の微分から

(4^x)⁰= (e^{xlog 4})⁰=e^{xlog 4}·log 4 = 4^x·log 4, (3^x)⁰= (e^{xlog 3})⁰=e^{xlog 3}·log 3 = 3^x·log 3.

これに注意して ロピタルの定理を使う. lim

x→0

4^x−3^x x = lim

x→0

(4^x−3^x)₀ (x)⁰ = lim

x→0

4^x·log 4−3^x·log 3

1 = log 4−log 3.

(3) 分母分子にcosxを掛け,ロピタルを2度使う.

xlim→0

x²

1−(1/cosx) = lim

x→0

x²·cosx cosx−1 = lim

x→0

(x²·cosx)₀ (cosx−1)₀ = lim

x→0

2x·cosx−x²·sinx

−sinx

= lim

x→0

(2x·cosx−x²·sinx)₀ (−sinx)₀ = lim

x→0

2 cosx−4x·sinx−x²·cosx

−cosx = 2

−1 =−2. 2 [問題3.5 解答] (i) lim_x→0分母= 1なのでロピタルの定理が使えない. lim

x→0

sinx x+ 1 =0

1 = 0.

(ii) 変形してロピタルの定理をつかう. lim

x→0

e^−1/x2 x = lim

x→0

1/x e^1/x2 = lim

x→0

(1/x)₀ (e^1/x2)₀ = lim

x→0

−1/x²

−(2/x³)·e^1/x2 = lim

x→0

−x

−2·e^1/x2 = 0

∞= 0. 2 [問題4.1 解答]

オイラーの等式: r e^{i θ}=rcosθ+i r sinθ: r >0, iは単位虚数,θは実数 (1) sin3π

2 =−1だから,−i=e^i3π/2. (2) cos3π

4 =− 1

√2, sin3π 4 = 1

√2 ^だから − 1

√2 +i 1

√2 =e^i3π/4. (3) (2)より−2 + 2i= 2√

2 (− 1

√2 +i 1

√2 )

= 2√

2e^i3π/4. 2

[問題4.2 解答] 「オイラーの等式」の応用=n次方程式の解. 美しい結果. (1) k= 0,1,2,· · · ^にたいし, exp{i2k π}= 1だから

z³= exp{i2k π} ⇒ zk= exp{i2kπ

3 }, k= 0,1,2.

(2)同様に

z⁴= exp{i2k π} ⇒ zk= exp{i2kπ

4 }= exp{ikπ

2 }, k= 0,1,2,3.

(iii) k= 0,1,2,· · · ^にたいし,−1 = exp{i π+i2k π}^だから

z³= exp{i π+i2k π} ⇒ z_k = exp{i(2k+ 1)π

3 }, k= 0,1,2. 2 [問題5.1 解答] (1) t≡x+ 3 とおいて変数変換, dx/dt= 1だから

∫

(x+ 3)³dx=

∫ t³ dx

dt dt=

∫

t³ dt= t⁴

4 +C= (x+ 3)⁴ 4 +C.

(2) t≡4x+ 2とおいて変数変換, dt/dx= 4だから

∫

(4x+ 2)⁴dx=

∫ t⁴ dx

dt dt=

∫

t⁴ 1

(dt/dx)dt=

∫ t⁴ 1

4 dt= t⁵

20 +C= (4x+ 2)⁵ 20 +C.

(3) t≡x⁴+x³+ 4 とおいて変数変換, dt/dx= 4x³+ 3x² だから

∫

(4x³+ 3x²) (x⁴+x³+ 4)⁵dx=

∫

t⁵ (4x³+ 3x²)dx dt dt=

∫

t⁵ (4x³+ 3x²) 1 (dt/dx)dt

=

∫

t⁵ (4x³+ 3x²) 1

(4x³+ 3x²) dt=

∫

t⁵dt=t⁶

6 +C= (x⁴+x³+ 4)⁶

6 +C.

(4) t≡x⁶+ 1とおいて変数変換, dt/dx= 6x⁵だから

∫ x⁵

1 +x⁶dx=

∫ x⁵ t

dx dt dt=

∫ x⁵ t

1 (dt/dx)dt

=

∫ x⁵ t

1

6x⁵ dt= 1 6

∫ 1

t dt=log|t|

6 +C=log(x⁶+ 1)

6 +C.

(5) t≡√

x+ 3とおいて変数変換. まずt²=x+ 3⇒dx/dt= 2t

∫ x√

x+ 3dx=

∫

(t²−3)tdx dt dt=

∫

(t²−3)t2t dt=

∫

(2t⁴−6t²)dt=2t⁵

5 −2t³+C

= 2t³(t² 5 −1)

+C== 2

5(x+ 3)^3/2 (x−2) +C.

(6) t≡e^x+ 2とおいて変数変換. dt/dx=e^xだから

∫ e^x e^x+ 2dx=

∫ e^x t

dx dt dt=

∫ e^x t

1

(dt/dx)dt=

∫ e^x t

1 e^x dt=

∫ 1

tdt= log|t|+C= log(e^x+ 2) +C.

(7) 部分積分を使う:

∫

x e^xdx=

∫ x(

e^x)₀

dx=x e^x−

∫

(x)⁰e^xdx=x e^x−

∫

e^xdx=x e^x−e^x+C.

(8) 部分積分を使う:

∫

x²e^xdx=

∫ x²(

e^x)₀

dx=x²e^x−

∫

(x²)⁰e^xdx=x²e^x−2

∫

x e^xdx

=x²e^x−2 (

x e^x−e^x)

+C=e^x(

x²−2x+ 2) +C.

ここで,最後から2番目の等式には(iii)を使った. (9) x=e^t とおいて変数変換. dx/dt=e^tだから

∫ (logx)2

dx=∫ (

loge^t)2 dx dt dt=

∫

t² e^tdt

=e^t(

t²−2t+ 2)

+C=x(

(log|x|)²−2 log|x|+ 2) +C.

ここで 最後から2番目の等式には(8)を使った. (10) x=e^tとおいて変数変換. dx/dt=e^t だから

∫ logx x dx=

∫ loge^t e^t

dx dt dt=

∫ t

e^t e^tdt=

∫

t dt= t²

2 +C. 2 [問題5.2 解答] (1) 次の部分分数分解を使う: 1

x(x+ 1) = 1 x− 1

x+ 1. これより

∫ 1

x(x+ 1)dx=∫ (1 x− 1

x+ 1 )dx=

∫ 1 xdx−

∫ 1

x+ 1dx

= log|x| −log|x+ 1|+C= log x

x+ 1+C.

(2) e^x=t とおいて変数変換. dt/dx=e^x=t と(1)の結果に注意して

∫ 1

1 +e^xdx=

∫ 1 1 +t

dx dt dt=

∫ 1 1 +t

1 dt/dxdt

=

∫ 1 1 +t

1 e^xdt=

∫ 1 1 +t

1

t dt= log t

t+ 1+C= log e^x e^x+ 1 +C.

(3) tanx

2 =tとおくと, cosx= 2 cos²x

2 −1 = 2

1 + tan²x/2−1 = 2

1 +t² −1, dt

dx = 1

2 cos²x/2 = 1 +t² 2 だから

∫ 1

1 + cosxdx=

∫ 1

2/(1 +t²) 1 dt/dxdt=

∫ 1 +t² 2

2 1 +t²dt=

∫ 1dt

=t+C= tanx 2 +C.

[問題5.3 解答] (1) 変数変換t= 3x+ 1とすると, dt/dx= 3となり,x= 0⇒t= 1, x= 1⇒t= 4:

∫ 1 0

(3x+ 1)^3/2dx=

∫ 4 1

t^3/2 1

dt/dxdx=

∫ 4 1

t^3/21 3dt=

[2 5t^5/21

3 ]4

1= 2 15

(32−1) = 62 15. (2) 変数変換t= 1 +x² とすると, dt/dx= 2xとなり,x= 0⇒t= 1, x= 2⇒t= 5:

∫ 2 0

x

1 +x²dx=

∫ 5 1

x t

1

dt/dxdx=

∫ 5 1

x t

1 2xdt=

∫ 5 1

1 2

1 tdt=1

2 [

logt ]5

1

= log√ 5.

(3) 変数変換t=√

1 +xとすると, t²= 1 +x⇒2t dt/dx= 1 となり,x= 0⇒t= 1, x= 3⇒t= 2:

Z 3 0

x√

1 +x dx= Z 2

1

(t²−1)t 1 dt/dxdx=

Z 2 1

(t³−t) 2t dt= 2 Z 2

1

(t⁴−t²)dt=h2t⁵ 5 −2t³

3 i2

1

=116 15. (4) −( 1

1 +x)⁰= 1

(1 +x)^{2 を使った部分積分}:

∫ e 1

logx (1 +x)²dx=

∫ e 1

(− 1 1 +x

)₀

logx dx=−[ 1

1 +x logx ]e

1

+

∫ e 1

1 1 +x

1 xdx

=− 1 1 +e+

∫ e 1

(1 x− 1

1 +x )

dx=− 1 1 +e +

[

logx−log(1 +x) ]e

1

= e

1 +e+ log 2−log(1 +e).

(5) [難問] 変数変換sinx=t とすると, dt/dx= cosx. x= 0⇒t= 0, x= 3π/2⇒t=−1だから

∫ 3π/2 0

cosx

1 + sin²xdx= ( ∫ ^π/2

0

+

∫ 3π/2 pi/2

) cosx

1 + sin²xdx= ( ∫ ¹

0

+

∫ ₋1 1

)cosx 1 +t²

1 dt/dxdt

= ( ∫ ¹

0

+

∫ ₋1 1

)cosx 1 +t²

1 cosxdt=

( ∫ ¹

0

+

∫ ₋1 1

) 1 1 +t²dt.

ここで,さらに t= tanuと変数変換,

1 +t²= 1 + tan²u= 1

cos²u, dt du = 1

cos²u だから

( ∫ ¹

0

+

∫ ₋1 1

) 1 1 +t²dt=

( ∫ ^π/4

0

+

∫ ₋π/4 π/4

)

cos²u dt dudu=

( ∫ ^π/4

0

+

∫ ₋π/4 π/4

) 1du

=π 4 −π

4 −π 4 =−π

4. 2