素粒子物理学２ 素粒子物理学序論B 2010年度講義第2回

素粒子物理学２

素粒子物理学序論B

今回の目次

高エネルギー物理学を学ぶための道具立て 自然単位 ファインマン・ダイアグラム 素粒子の性質を探る方法 断面積 崩壊 2

単位について

MKS単位系 長さL(m), 質量M(kg), 時間T(sec) 物理量は La_Mb_Tc _{で表される} エネルギー [E] = ML2_T-2 _{= kg⋅m}2_/sec2 _ジュール エネルギーとして電子ボルト(eV) ＝ 電荷１の粒子を １ボルト加速 ⇐ 対象は素粒子 定義により1V = 1J/C. よって[J]=[CV] あるいは [エネルギー] = [LF] = [L(C⋅V/L)] = [CV] 1eV = 1.6 x 10-19 _{CV（クーロン・ボルト）}    = 1.6 x 10-19 _{J（ジュール）}

1KeV = 103 _{eV, 1MeV = 10}6 _{eV, 1GeV = 10}9 _eV,

1TeV = 1012 _{eV, etc...}

3

ところで…

E [エネルギー] = 1.4 x 10-23 _{x T [温度]} 1eVは T = 1.6 x 10-19 _{/ (1.4 x 10}-23₎ 10,000 ℃ (K) LHCで加速される陽子のエネルギー 7TeV = 70,000,000,000,000,000 eV = 7京 ℃ 4

自然単位

 や c を基本単位に選ぶ [L] = [ c] x [E-1_] [T] = [ ] x [E-1_] とおく 長さも時間も [1/E]. 単位は (eV)-1 _になる 速度はcを単位として無次元

質量M [E/c2_{] [E] = eV, MeV, GeV, TeV, ...}

運動量 p [Ev/c2_{]=[E/c] [E]=eV, MeV, GeV, TeV, ..}

5

�

� = c = �c = 1

� = 1.055 × 10

−34

_J

_{· sec = 6.582 × 10}

−22

_{M eV}

_{· sec}

�c = 197.33 × 10

−15

_{M eV}

_{· m}

�

�

自然単位系からの変換

次元を合わせる 例1. 長さ 1/mp, mp = 938 MeV 例2. 時間 1/mp 例3. 断面積σの単位はバーン(b)=10-24_cm2_{が使われる} ➠ 1 (GeV)-2 = 0.389 mb を示せ 6 1 mp = �c(M eV · m) 938MeV = 197 × 10 −15_(m) 938 = 0.2 × 10−13(cm) 1 mp = �(MeV · sec) 938MeV = 6.58 × 10 −22_(sec) 938 = 7.0 × 10−25(sec) ホントは「1/エネルギー」と言うべき

別の例

プランクスケール：重力と静止エネルギー（＝質量）が 同程度になるエネルギースケールあるいは質量のこと 重力の強さが他の3つと同程度 重力の量子化が必要 ブラックホールとの境界 7 G = 6.67 × 10−11m3kg−1s−2 = 6.71 × 10−39_�c(GeV/c2₎₋₂ にすると GM M r = Mc 2 r = � M c ⇒ M = ��c/G ⇒ M = �1/G = 1.22 × 1019_{(GeV )}

シュバルツシルト半径

ブラックホール （古典的には）光速で運動したとしても重力のポテンシャル に勝てない シュバルツシルト半径は ブラックホールになるには大きさ（＝コンプトン波長） がシュバルツシルト半径になればよいので プランクスケールより小さな空間を考えることができない 8 1 2mc2 < G M m r ∴ r < 2GM c2 � M c < 2GM c2 ∴ M > � �c 2G = 1 √ 2mpl

さらに別の例

不安定粒子 ある寿命を持って崩壊 粒子の存在時間に Δt τの不定性 不確定性原理より、ΔEあるいはΔmにも不定性 例として π τ= 2.6 x 10-8 _{sec, m = 140 MeV} Δm/m 2 x 10-16 ρ では Δm/m 0.2 (m = 770 MeV) 質量の測定からΔm( ΔE)がわかるので からτがわかる 9 ∆m = ∆E = � ∆t = 6.58 × 10 −22_{M eV · sec} 2.6 × 10−8_sec = 2.5 × 10−14_{M eV} ∆E · ∆t(= Γ · τ) = � τ = �/∆E = �/Γ = 4.2 × 10−24sec 崩壊幅

素粒子の性質を探る手だて

粒子の散乱 断面積 断面積の角度依存性 不安定粒子の崩壊 崩壊幅＝寿命 崩壊角度分布 などなど 10 実験による観測事実とラグランジアン をどうやって結びつけるのか？

断面積

微分散乱断面積 粒子ビームが単位面積あたり毎秒ni個入射するとき、標的粒 子1個につき(θ,Φ)方向の立体角dΩの中に散乱される粒子の 数をdN個/secとすると 全断面積 12 θ, φ dΩ ni/sec/cm2 dN = n_i dσ dΩ(θ, φ)dΩ σ = � dσ dΩdΩ 単位 1barn(b) 10-24_cm2 1mb, 1μb, 1pb, 1fb, ... ある初期状態から終状態への遷移確率に関係してる 相互作用ラグランジアン（ハミルトニアン）に関係してる

相互作用を摂動として扱う

自由粒子に対するSchrodinger方程式（体積V中に1個） 相互作用ポテンシャルV(x,t)の中で運動する1個の粒子に対 して を解く 13 H0φn = Enφn , � V φ∗_mφnd3x = δmn (H0 + V (x, t))ψ = i ∂ψ ∂t

摂動として扱えない相互作用は計算不能

•

非常に短距離では強い力も弱い（漸近的自由）

•

Lattice QCD という数値計算による手法 電磁気力、弱い力はいいとして、強い力はヤバいのでは？ --- (*) --- (**)

遷移振幅

時刻 t=-T/2 から t=T/2 への遷移を考える 14 ψ = � n an(t)φn(x)e−iEnt daf dt = −i � n a_n(t) � φ∗_fV φ_nd3xei(Ef−En)t da_f dt = −i � d3xφ∗_fV φ_iei(Ef−Ei)t T_{f i ≡ af}(T/2) = −i � T /2 −T/2 dt � d3x[φ_f(x)e−iEft]∗V (x, t)[φ i(x)e−iEit] (**)に入れて、φf*をかけ体積Vで積分。(*)を使う (**)の解は という形に表せるとする ai(−T/2) = 1 an(−T/2) = 0, (n �= i) 相互作用前はH0の固有状態  a_f(t) = −i � t −T /2 dt� � d3xφ∗_fV φ_iei(Ef−Ei)t�

は  と     の間の状態数

フェルミの黄金律

ポテンシャルが時間に依存しない場合を考える 単位時間あたりの遷移確率 15 Vf i ≡ � d3xφ∗_f (x)V (x)φi(x) W = lim T_→∞ |Tf i|2 T T_{f i} = −iV_{f i} � +T /2 −T/2

dtei(Ef−Ei)t

w

_{f i}

= 2π|V

_{f i}

_|

2

ρ

_f

(E

_i

)

w_{f i} = � W dE_f ρ_f (E_f ) = 2π � dEf ρf(Ef )|Vf i|2δ(Ef − Ei) ρ_f ρf(Ef)dEf Ef Ef + dEf 終状態密度 = −2πiVf iδ(Ef − Ei) エネルギー保存 Δt = 2乗しても確率にならない

断面積

A + B → C + D （規格化定数NA,B,C,D ） Wfiは単位体積あたりの遷移率 ただし 終状態の数 入射フラックス 16

断面積 ＝ W

fi

x [終状態の数] / [入射フラックス]

V d3p_C (2π)32E C · V d3p_D (2π)32E D F = _|vA| 2EA V 2EB V W_{f i} = |Tf i| 2 T V = (2π) 4 δ(4)(pc + pD − pA − pB)|M |2 V 4 不変振幅 T_{f i} = −2πiV_{f i}δ(E_{f − Ei}) T_{f i} = −iN_AN_BN_CN_D(2π)4δ(4)(p_D + p_{C − pB − pA})M 2Eは体積V あたりの粒子数

微分断面積

A + B → C + D 微分断面積は 17

断面積 ＝ W

fi

x [終状態の数] / [入射フラックス]

位相空間 知りたいラグランジアンの情報は ここに含まれている dσ = |M | 2 F dLips dσ = V 2 |vA|2EA2EB 1 V 4 |M| 2_(2π)4_δ(4)_(p C + pD − pA − pB) V d3p_C (2π)32E C · V d3p_D (2π)32E D dLips = (2π)4δ(4)(p_C + p_{D − pA − pB}) d 3_p C (2π)32E C · d3p_D (2π)32E D （規格化因子Vはキャンセルしてる）

ラザフォード散乱

非相対論的取り扱い 18 φ_i = Neipix_{, φ} f = Neipfx N = 1/ √ V H_IS = 1 4π Ze2 r Vf i = � d3xφ∗_f (x)HISφi(x) H_IS = Ze 2 4πV � d3xe i(pi−pf)x r I ≡ � d3xe iqx r = ... = 4π q2 q _{≡ p}i − pf HIS = Ze2 4πV 4π q2 q 2 _{= (p} i − pf)2 = 4p2 sin2(θ/2) ρf = δ(Ei − Ef) V d3p (2π)3 = V (2π)3 dp dE p 2_{dΩ =} V mpdΩ 8π3 入射粒子の速度をv=p/mとすると入射フラックスはv/V (σ=wfi V/v) dσ dΩ = ( Ze2 4π )2 4m2 q4 = Z2α2m2 4p4 sin4(θ/2) α = e2 4π ∼ 1 137

ラザフォード散乱で何がわかるか？

既知：何の粒子を使っているか Z と m 実験で測定する量 微分断面積 入射粒子の運動量依存性 散乱角度 わかること        が正しいかどうか⇐相互作用の(形)理解 結合定数α 19 dσ dΩ = ( Ze2 4π )2 4m2 q4 = Z2α2m2 4p4 sin4(θ/2) HIS = 1 4π Ze2 r

不変振幅

知りたい物理が不変振幅に含まれている 例として、 仮想的に スピンを持たない電子とミューオンの 散乱を考える 20 Tf i = −iNANBNCND(2π)4δ4(pD + pC − pB − pA)M e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ) V = _−ie(∂µAµ + Aµ∂µ) − e2A2 ゲージ対称性に基づくQEDより 無視

不変振幅

知りたい物理が不変振幅に含まれている 例として、 仮想的に スピンを持たない電子とミューオンの 散乱を考える 20 Tf i = −iNANBNCND(2π)4δ4(pD + pC − pB − pA)M e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ) V = _−ie(∂µAµ + Aµ∂µ) − e2A2 ゲージ対称性に基づくQEDより 無視

j_µ(e) = −eN_AN_C(p_C + p_A)µei(pC−pA)x

T_{f i} = −i � φ∗_f (x)V (x)φ_i(x)d4x = i � φ∗_f ie(Aµ∂_µ + ∂_µAµ)φ_id4x = −i � j_µ(e)Aµd4x 電磁場Aμによる電子の散乱

不変振幅（続き）

21 e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ) j_µ(µ) = −eN_BN_D(p_D + p_B)µei(pD−pB)x ミューオンが電磁場Aμを作ると考える A_µ = − 1 q2 j (µ) µ q = pD − pB

不変振幅（続き）

21 e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ)

不変振幅（続き）

21 e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ) T_{f i} = −i � j_µ(e)(x)(− 1 q2 )j (µ) µ (x)d4x = −iNANBNCND(2π)4δ4(pD + pC − pB − pA)M

−iM = (ie(pA + pC)µ)(−i

gµν

q2 )(ie(pB + pD)

不変振幅（続き）

21 e− e− µ− µ− γ p_A p_B p_C p_D j_µ(e) j_µ(µ) T_{f i} = −i � j_µ(e)(x)(− 1 q2 )j (µ) µ (x)d4x = −iNANBNCND(2π)4δ4(pD + pC − pB − pA)M

−iM = (ie(pA + pC)µ)(−i

gµν

q2 )(ie(pB + pD)

ν₎

M

モット(Mott)散乱

クーロンポテンシャルに散乱されるスピン1/2の電子 ラザフォード散乱の相対論版 スピン状態を si, sf とすると ラザフォード散乱に比べて 22 H_int = −ejµA_{µ j}µ = ψγµ_{ψ Aµ} = ( Ze 4πr ; 0, 0, 0) T_{f i} = � d4x_{�f|Hint|i�} = − � d4x_�pf , s_{f |ej}µ(x)|p_i, s_i�Aµ(x) = ... _{ちょっと面倒な計算（スピノール）があって} m _{→ E} 1 → 1 − v2 sin2(θ₂) スピンの効果 dσ dΩ = 4Z2_α2 q4 E 2_{(1 − v}2 _sin2 θ 2)

QED

崩壊幅

生成と崩壊における物理 は同じ フラックスと位相空間は変更が必要 23 A B C A B C A+B→C C→A+B 時間を反転 M Γ = |M|2 F dLips dΓ = 1 2E_C |M|2 d3pA (2π)32E A d3pB (2π)32E B (2π)4_δ4_(p C − pA − pB)

今日のまとめ

自然単位系         に慣れてください 断面積と崩壊幅 導出方法 知りたい物理の情報（＝相互作用ラグランジアン）は 不変振幅に含まれている 実験で測定する断面積から 相互作用の形 結合定数の大きさ 24

� = c = �c = 1