電気的負荷が作用する傾斜機能圧電積層厚板の 垂直き裂先端における特異電気弾性場

1

電気的負荷が作用する傾斜機能圧電積層厚板の

垂直き裂先端における特異電気弾性場

上田整

1)

_{，山端優太}

1)

1)大阪工業大学 大阪府大阪市旭区大宮 5-16-1

Singular electro-elastic fields at the tip of the crack normal to the interface

between a functionally graded piezoelectric material strip and

a homogeneous elastic layer induced by an electric load

Sei Ueda

1)

and Yuta Yamabata

1)

1) Osaka Institute of Technology, 5-16-1 Omiya, Asahi-ku, Osaka-shi, Osaka. 535-8585, Japan,

E-mail: [email protected]

Abstract In this paper, the fracture problem of a functionally graded piezoelectric

material strip (FGPM strip) containing a crack perpendicular to the interface

between the FGPM strip and a homogeneous layer under an electric load is

considered. Material properties are assumed to be exponentially dependent on the

distance from the interface. The superposition technique is used to solve the

governing equations. The stresses induced by the electric load in the un-cracked

laminate are calculated, and the obtained normal stress is used as the crack surface

tractions with opposite sign to formulate the mixed boundary value problem. By

using the Fourier transforms, the electro-mechanical fracture problem is reduced

to a singular integral equation, which is solved numerically. The stress intensity

factors of the internal crack and the edge crack are computed and presented for the

various values of the nonhomogeneous and geometric parameters.

Key words: Functionally graded piezoelectric material, Fracture mechanics, Elasticity, Normal crack, Stress intensity factor, Integral transform, Electric load

1. 緒言

近年，圧電デバイスの信頼性を向上するため，圧 電材料に傾斜機能材料(Functionally Graded Material, FGM)の概念を拡張した傾斜機能圧電材料(FGPM) が注目されている1)_{．このため，FGPM を対象とし} た電気熱弾性破壊力学に関する研究は数多く報告 されている 2),3)_{．一方，圧電複合材料は振動制御や} アクチュエータ等として幅広く応用され，各種圧電 アクチュエータが設計されており，Hall らは圧電セ ラミックスを用いたモノモルフ型アクチュエータ を開発している4)_{．従って，アクチュエータ等の圧} 電材料システムの破壊力学的挙動の解明には，圧電 平板単体に加え，電気的負荷が作用する圧電積層板 を対象とした電気弾性破壊力学的研究が必要とな る． 本 研 究 は ，界 面 に 垂 直 な き 裂 を 有 す る 傾 斜 機 能 圧 電 積 層 厚 板 に 電 気 的 負 荷 が 作 用 す る 場 合 を 考 え ，き 裂 先 端 の 特 異 電 気 弾 性 場 を 理 論 解 析 し た も の で あ る ．先 ず ，電気的負荷が作用するき 裂の無い積層厚板に発生する電気弾性場を求めた． 次に，重ね合わせの原理および Fourier 変換法を用 い，特異電気弾性問題の解を特異積分方程式の解に 帰着した5)_{．また，特異積分方程式の数値解析には，} Gauss-Jacobi または Gauss-Chebyshev の数値積分公 式6)_{を用い，応力拡大係数に及ぼす材料不均質性お} よび幾何学的形状の影響を明らかにした． 2. 問題の設定

Fig. 1 A normal crack in an FGPM strip bounded to a homogeneous elastic layer under an electric

load.

図 1 に示す直角座標系

(

x y z において，厚さ, ,

)

h1

の z軸 方 向 に 傾 斜 組 成 さ れ た 傾 斜 機 能 圧 電 層 Original paper

2

(FGPM 層)および厚さh の均質等方性弾性層から成2 る 傾 斜 機 能 圧 電 積 層 厚 板 を 考 え ，z軸 上 に 長 さ

2c b a

= −

(

0< < ≤a b h1

)

の 垂 直 き 裂 が 存 在 す る も の と す る ．FGPM 層の静 電ポ テ ンシ ャ ル

φ

1

( )

z

を

φ

₁

( )

0

=

0

，

φ

₁

( )

h

₁

=

φ

₀と す る ．以 後 ，下 添 え 字 , , x y zは 座 標 軸 方 向 を 表 し ，i=1, 2は そ れ ぞ れ 1 0≤ ≤z h，− ≤ ≤h₂ z 0の 領 域 を 表 す も の と す る ． 材 料 特 性 が ，z軸 方 向 に 指 数 関 数 的 に 変 化 す る と 仮 定 す る と ， FGPM 層の 弾 性 係 数ckl1

( )

z ， 圧 電 係 数e_kl1

( )

z ， 誘 電 係 数εkk1

( )

z は 次 式 で 表 さ れ る ．

(

ckl1,ekl1,εkk1

) (

= ckl0,ekl0,εkk0

) ( )

exp βz

(1) こ こ に ，βは 材 料 不 均 質 性 を 表 す 正 ま た は 負 の 定 数 で あ り ，下 添 字

0

は

z

=

0

面 に お け る 各 材 料 特 性 を 示 す ．ま た ，均 質 等 方 性 弾 性 層 の 材 料 特 性 は 弾 性 定 数c_kl2と す る ． な お ， 本 解 析 は き 裂 の 無 い 積 層 厚 板 の 電 気 弾 性 場 を 求 め た 後 ，重 ね 合 わ せ の 原 理 に よ っ て 特 異 電 気 弾 性 場 を 解 析 す る 手 法 を 採 用 す る ． 3. き裂の無い積層厚板の電気弾性場 ひ ず み 成 分 を E

( )

, xxi z ε E

( )

, zzi z ε E

( )

zxi z γ ， 電 界 成 分 を E₁

( )

x E z ， 1

( )

E z E z とすると，応 力 テ ン ソ ル 成 分 E

( )

xxi z σ ， E

( )

zzi z σ ， E

( )

zxi z σ

(

i=1, 2

)

，電 束 密 度 成 分 E₁

( )

x D z ， 1

( )

E z D z は次のように与えられる．

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 111 1 131 1 311 1 1 131 1 331 1 331 1 1 441 1 151 1 1 151 1 111 1 1 311 1 331 1 331 1 E E E E xx xx zz z E E E E zz xx zz z E E E zx zx x E E E x zx x E E E E z xx zz z z c z c z e E z z c z c z e E z z c z e E z D z e z E z D z e z e z E z σ ε ε σ ε ε σ γ γ ε ε ε ε  = + −  = + − _  = −   = − _ = + + 

(

0≤ ≤z h1

)

(2)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 112 2 132 2 2 132 2 332 2 2 442 2 E E E xx xx zz E E E zz xx zz E E zx zx z c z c z z c z c z z c z σ ε ε σ ε ε σ γ  = +  = +   = _

(

− ≤ ≤h2 z 0

)

(3) こ こ で ，上 添 字Eは 電 気 的 負 荷 に 起 因 す る 諸 量 で あ る こ と を 示 す ． 本問題は積層厚板が ,x y 軸 方 向 に 無 限 で あ る こ と を 考 慮 し ，電 気 的 負 荷 が 作 用 し た 場 合 の 境 界条件式は次式で表される． 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) 0 (0 ) ( ) ( ) 0 ( 0) ( ) 0 (0 ) ( ) (0 ) ( ) 0 (0 ) (0) 0 ( ) E E zz zx E E zz zx E x E z E x z z z h z z h z D z z h D z D z h E z z h h σ σ σ σ φ φ φ  = = ≤ ≤  = = − ≤ ≤   = ≤ ≤  = ≤ ≤   = ≤ ≤   = _ = 

(4) こ こ で ，D は 未 知 の 電 束 密 度 成 分 で あ り ， 電₀ 束 密 度 成 分 に 関 す る つ り 合 い 式 を 考 慮 す る と 一 定 値 と な る ．式 (2)，(3)を 式(4)に 代 入 する と， 応 力 成 分 が 次 の よ う に 求 ま る ． 1 1 1 0 0 2 2 2 ( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) E E xx xx E E xx xx z c z z d D z c z σ β ε σ ε  = +   = 

(5) こ こ に ， 130 130 330 310 330 310 130 330 330 310 1 110 2 330 330 330 2 130 330 330 310 132 0 2 2 112 332 330 330 330 ( ) ( ) , c c e e e c e c e c c c e c e c e c d c c c c e ε ε

ε

+ + −  = − _ +      + = ₊ = − (6) 一方，ひずみの適合条件式は次式で与えられる． 2 2 ( ) 0 ( 1, 2) E xxi d z i dz ε _{= =}

(7) 式 (5) , (7)よ り E

( )

xxi z ε ， E

( )

xxi z σ

(

i=1,2

)

は 次 の よ う に 求 ま る ． 1 1 1 1 0 3 1 ( ) ( ) exp( )( ) 2 E E E xx E E E xx E E h z A z B z c z A z B A h E c B e h ε σ β φ  = +  = +          −   + +  _        (8)

(

)

2 2 2 ( ) ( ) E E E xx E E E xx z A z B z c A z B ε σ  = + _  = + _

(9) こ こ に ，AE,

B

Eは未知定数であり，定 数c ，e お₃ よ び E は 次 の よ う に 表 さ れ る ． _h

(

)

1 1 2 130 330 330 310 3 ₂ 330 330 330 330 130 330 330 310 330 1 exp( )

(

)

,

,

h h E h

c e

c e

c

c

c

e

c e

c e

e

c

β β

ε

         = − −  

−

=

+

+

=

．

(10) 積 層 厚 板 が 完 全 無 拘 束 で あ る 条 件 式 は ， 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 h _{E E} xx _h xx h E E xx _h xx z dz z dz z zdz z zdz σ σ σ σ − −  + = _   + = _









(11) 式 (8)，(9)を 式(11)に代 入 する と ， _{A ，}E E

B

が 次 の よ う に 求 め ら れ る ．

3

0 0 1 1 1 1 1 1 , E E D D e e A A B B c h h c h

φ

φ

= =

(12) こ こ に ， 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , 2 2 . 2 B B h D B A B A A A h D A B A B D D E A D D D D D D E B D D D D −  = _ −   −  = _ − 

(13) 上 式 中 ， 定 数D ，_jA DjB

(

j=1, 2

)

は 次 の よ う に 与 え る ． 3 2 2 3 2 1 2 0 1 1 0 1 1 1 1 3 2 3 3 2 2 2 3 0 2 2 0 1 1 1 1 , , 2 2 , 4 3 2 2 A h B h A h B h c c c c D E E h D E E h c c c c c c c c D E E h D E E h c c c c  = − − = − + _   = − + = − −  ． (14) ここに，

{

}

(

)

{

(

)

}

(

)

{

(

)

}

1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 ₃ 1 1 1 1 1 e x p ( ) 1 , 1 e x p ( ) 1 1 , 1 e x p ( ) 2 2 2 E h h E h h h E h h h h β β β β β β β β β  = −    = − +       = _ − + − _{ }． 従 っ て ， 応 力 成 分 E

( )

xxi z σ

₍

i=1, 2

₎

は 次 の よ う に 求 ま る ．

{

}

1 1 3 0 1 1 2 0 2 1 1 1 ( ) e x p ( ) 1 1 2 ( ) E x x D D D D h E x x D D z z z A B h c A B E e c h c z z A B e c h h σ β φ φ σ     =_  +     _     −  + + _     _    _ =  +     また，未知の電束密度成分D ， 電 界₀ 1

( )

E z E z お よ び 静 電 ポ テ ン シ ャ ル

φ

₁

( )

z

は 次 の よ う に 得 ら れ る ．

( )

2 3 0 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 1 1 0 0 1 3 0 1 1 2 ( ) 2 e x p( ) 2 ( ) 4 ex p ( ) 1 2 D h D D E z z D D h D z D z z D D h D A c e D E B c c h A z E z E B h A c E B z c h A z z E d E B h z A c z E B z c h φ φ β φ ξ ξ β _φ β    = − _ + + _     = _ +       −  + +  − _     _   _ = − = − _ +   − −   _ −  + + _    



　 ここに， 0 2 33 0 2 1 330 330 3 30 z E

c

e

c

c

ε

e

=

₋

(18) 4. 特異電気弾性場解析 重 ね 合 わ せ の 原 理 を 用 い る と ，境 界 条 件 式 は 次 式 と な る ． 1 0 1 1 (0 ) ( ) ( ) (0 ) 0 (0 ) E xx x z z a z b u z z a b z h σ , = −σ < <   , = ≤ ≤ , ≤ ≤  (19) 1 1 1 (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0 zx x z z h D z σ , =  ≤ ≤  , = 

(20)

2 2 2 (0 ) 0 ( 0) (0 ) 0 zx x z h z u z σ _{, =}  − ≤ ≤  , = 

(21) 1 1 1 1 1 1 ( ) 0 ( ) 0 (0 ) ( ) 0 zx zz z x h x h x D x h σ σ , =   , =  ≤ < ∞  , = 

(22) 2 2 2 2 ( ) 0 (0 ) ( ) 0 zx zz x h x x h σ σ  ,− =  ≤ < ∞  ,− = 

(23) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) (0 ) ( 0) 0 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) zx zx zz zz z x x z z x x x x x D x u x u x u x u x σ σ σ σ  , = ,  , = ,   ≤ < ∞ , =   , = , _  , = ,  (24) こ こ で ，式 (19)に お け る 第 一 式 は 3 章 で 求 め た 電 気 的 負 荷 に 起 因 す る き 裂 の 無 い 積 層 厚 板 中 の 応 力 成 分 ₀E( ) E₁( ) xx z z σ ≡σ を き 裂 面 に 負 荷 さ せ る 条 件 式 で あ る ．式 (19)の 第 二 式 お よ び 式 (20)-(21) は x=0面 に お け る 問 題 の 対 称 性 を 表 す 条 件 式 ，式 (22)-(23)は 自 由 表 面 に お け る 応 力 お よ び 電 束 密 度 ベ ク ト ル が 零 の 条 件 式 ，式 (24)は 界 面 で の 応 力 お よ び 変 位 の 連 続 条 件 式 で あ る ．ま た ，uxi

( )

x z ，, uzi

( )

x z は 変 位 成 分 ，, σxxi

( )

x z, ，σzzi

( )

x z ，, σzxi

( )

x z,

(

i=1, 2

)

は 応 力 成 分 ，Dx1

( )

x z ，,

( )

1 , z D x z は 電 界 成 分 で あ る ．特 異 電 気 弾 性 場 解 析 は 前 報 2)_{と同様であり，ここでは省略する．厳 密} な 電 気 的 境 界 条 件 式 は

φ

₁

( )

0

=

0

，

φ

₁

( )

h

₁

=

0

と す る 必 要 が あ る が ，特 異 電 気 弾 性 場 解 析 は 複 雑 で あ る た め ，き 裂 の 変 形 に よ り 誘 起 さ れ る 静 電 ポ テ ン シ ャ ル の 変 化 は 微 小 で あ る と 仮 定 し て 前 報 2)_{の解析結果を用いた．} (16) (17) (15)

4

境界条件式(20)～(24)を考慮し，混合境界条件式 (19)の第一式より，未知関数G( )ξ に関する次の特異 積分方程式が得られる． 4 1 1 1 ( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) [ ] b i a i E xx G M z d z z z a z b Z ξ ξ ξ ξ π β σ = ∞   + ,  ₋    = − < < ℜ





上式中，

Z

∞および積分核Mi

( ) (

ξ,z i=1, 2,3, 4

)

はそ れぞれ既知定数および既知の積分核であり，前報2) に示されている．また，混合境界条件式(19)の第 2 式 より，次の補足の条件式が得られる． ( ) 0 b aG

ξ ξ

d =



(26) 内部き裂

(

0< < <a b h₁

)

の場合は特異積分方程式 (25)および補足の条件式(26)を Gauss-Jacobi の数値 積分公式を用い，縁き裂

(

0< < =a b h₁

)

の場合は特 異積分方程式(25)を Gauss-Chebyshev の数値積分公 式を用いて数値解析する．このため，解の特異性を 考慮し，未知関数 ( )Gξ をなめらかな関数 ( )Φξ を用 いて次のように置く． 1 2 1 1 2 1 ( ) [( )( )] (0 : Internal Crack) ( ) ( ) (0 : Edge Crack) c a b a b h G b a a b h ξ ξ ξ ξ ξ _ξ ξ / /   Φ  _{− −}     _{< < <}    =   ₋   _Φ     _{ − }    < < =     従って，き裂先端z=a b, での応力拡大係数K_IA， IB K が次のように得られる． 1 2 1 IA _{1 2} 1 exp( )( ) ( ) (0 : Internal Crack) exp( )(2 ) ( ) (0 : Edge Crack) Z a c a a b h K Z a c a a b h β π β π ∞ / ∞ / − Φ    < < <   =  − Φ    _{< < =}    1 2 1 IB 1 exp( )( ) ( ) (0 : Internal Crack) 0 (0 : Edge Crack) Z b c b a b h K a b h β π ∞ /  _Φ    < < <   =     _{< < =}    　 5. 数値結果および考察 数 値 計 算 に お い て ，FGPM の 物 性 値 は 次 に 示 す 圧 電 セ ラ ミ ッ ク ス PZT-6B の 材 料 定 数 を 用 い た7)_． 10 2 10 2 110 130 10 2 10 2 330 440 2 2 310 330 2 150 11 11 110 330 16.8 10 [N/m], 6.00 10 [N/m], 16.3 10 [N/m], 2.71 10 [N/m], 0.90[C/m], 7.10[C/m], 4.60[C/m], 3.60 10 [C/Vm], 3.40 10 [C/Vm] c c c c e e e ε − ε −  = × = ×  = × = ×   = − =   = _  = × = × _ (30) ま た ， 均 質 等 方 性 弾 性 体 に は 次 に 示 す チ タ ン (Ti) の 材 料 定 数 を 用 い た ． 9 2 42.6 10 [N/m ] , v 0.28. µ= × 　 =

(31) こ こ に ，µは 横 弾 性 定 数 ， v は ポ ア ソ ン 比 で あ る ．ま た ，弾 性 定 数c_kl2と 式 (31)の 材 料 定 数 の 関 係 は 次 式 で 表 さ れ る ． 112 332 132 442 2(1 ) 2 , , . 1 2 1 2 c c ν µ c ν µ c µ ν ν − = = = = − − 5.1 き裂の無い積層厚板の電気弾性場 最 初 に ，電 気 的 負 荷 に よ っ て 誘 起 さ れ る 電 気 弾 性 場 に 及 ぼ す 不 均 質 パ ラ メ ー タβh₁, 板 厚 比 2 1 h h の 影 響 に つ い て 検 討 す る ． 図 2(a) は ， 2 1 1.0 h h = ，βh₁=0.0,1.0, 1.0− と し た 場 合 の 無 次 元 化 さ れ た 応 力 成 分 E₁

( )

₀ xx z σ σ

(

0≤ ≤z h1

)

, 2 E xx σ

( )

z σ0

(

− ≤ ≤h2 z 0

)

の 板 厚 方 向 の 分 布 を 示 し た も の で ，σ₀=eφ₀ h₁で あ る ． E₂

( )

₀ xx z σ σ に 及 ぼ す 1 h β の 影 響 は 比 較 的 小 で あ る が ， E₁

( )

₀ xx z σ σ は 1 h β の 増 大 に 伴 い 変 動 が 大 き く な る ． 特 に,自 由 表 面 付 近

(

z h₁=1.0

)

お よ び 境 界 面

(

z h₁=

)

0.0 に お け る 1

( )

0 E xx z σ σ の 絶 対 値 はβh₁=1.0 で 非 常 に 大 き く な る ．図 2(b)は 静 電 ポ テ ン シ ャ ルφ₁

( )

z お よ び 電 界 E₁

( )

z

E

z

の 分 布 に 及 ぼ す 不 均 質 パ ラ メ ー タβh₁の 影 響 を 示 し た も の で あ る

．

1 0.0 h β = の と き

φ

₁

( )

z

は zに 比 例 し ，

E

_zE₁

( )

z

は 一 定 値 を と る ．

Fig.2(a). The effect of the nonhomogeneous parameter βh1on the stress distributions 1

( )

E xx z σ

(

0 z

≤ ≤

h

1

)

and 2

( )

E xx

z

σ

(

− ≤ ≤

h

2

z

0

)

for 2 1 1.0 h h =

.

-1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 [ σ Ε xx1 (z ), σ Ε xx2 (z )] / σ0 h2/h1=1.0 βh1=-1.0 βh1=0.0 βh1=1.0 z/h1 βh1=1.0 βh1=0.0 βh1=-1.0 (25) (27) (28) (29) (32)

5

Fig.2(b). The effect of the nonhomogeneous parameter βh1on the electric potential

distribution

φ

1

( )

z

and the electric field distribution 1

( )

E z

E

z

(

0 z

≤ ≤

h

1

)

for h h2 1=1.0

.

図 3 は ，βh₁=1.0と し た 場 合 の E₁

( )

₀ xx z σ σ

(

0

)

1 z h ≤ ≤ に 及 ぼ すh₂ h の 影 響 を 示 し た も の で₁ あ る ．h₂ h の 減 少 に 伴 い₁ 1

( )

0 E xx z σ σ の 絶 対 値 は 減 少 す る 傾 向 を 示 す ． ま た ，0.0≤ <h₁ 0.6 の 領 域 の 応 力 は 圧 縮 で あ り ， 0.7< ≤h₁ 1.0 の 領 域 の 応 力 は 引 張 り と な っ て い る が ， 静 電 ポ テ ン シ ャ ルφ₀の 正 負 に よ り ， 圧 縮 ･引 張 り は 逆 転 す る ． 一 方 ， βh₁=0の 場 合 の E₁

( )

₀ xx z σ σ は ， 2 1 0 h h → と し た と き ，破 線 で 示 す よ う に 零 と な る ．

Fig.3. The effect of the thickness ratio h h on 2 1

the stress distribution 1

( )

E xx z σ

(

0 z

≤ ≤

h

1

)

for 1 1.0 h β =

.

5.2 内部き裂の応力拡大係数 次 に ， 板 厚 比h h_{2 1}=1.0 と し た 場 合 の 応 力 拡 大 係 数K_IA,K に 及 ぼ す 材 料 不 均 質 パ ラ メ ー タ_IB 1 h β ， き 裂 位 置 パ ラ メ ー タ

(

a+b

)

2h₁ お よ び き 裂 長 さ パ ラ メ ー タ c h の 影 響 に つ い て 検 討 す₁ る ． 図 4 はc h1=0.1，βh1=0.0,1.0, 1.0− と し た 場 合 の 無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数

(

K_IA,K_IB

)

σ₀

( )

1 2 c π に 及 ぼ す

(

a+b

)

2h₁の 影 響 を 示 し た も の で あ る ．

(

) ( )

1 2 IA, IB 0 K K σ πc の 絶 対 値 はβh₁=1.0 で 非 常 に 大 き く な り ，βh₁= −1.0で 小 さ く な る 傾 向 を 示 す ． ま た ，

(

K_IA,K_IB

)

σ π0

( )

c1 2が 負 と な っ た 場 合 は 物 理 的 意 味 が 無 く な る が ，静 電 ポ テ ン シ ャ ルφ₀の 正 負 に よ り ，

(

) ( )

1 2 IA, IB 0 K K σ πc の 正 負 が 逆 転 す る た め 絶 対 値 に 注 目 す る 必 要 が あ る

．

Fig.4. The effects of the crack location parameter

(

a+b

)

2h1and the nonhomogeneous parameter ℎ on the stress intensity factor K_IAand K_IBfor

2 1 1.0

h h = and c h₁=0.1 (internal crack). 図 5 は

(

a+b

)

2h1=0.5と し た 場 合 の

(

KIA,KIB

)

( )

1 2 0 c σ π に 及 ぼ すc h の 影 響 を 示 し た も の で₁ あ る ．βh₁=0.0,1.0で はc h の 増 大 に 伴 い ，₁ K_IA

( )

1/ 2 0 c σ π の 絶 対 値 は 増 大 し ，

( )

1/ 2 0 IB K σ πc の 絶 対 値 は 減 少 す る 傾 向 を 示 す ． ま た ，c h₁→ 0.0 の 場 合K_IAと K_IBは 等 し く な る ．

Fig.5. The effects of the crack length parameter

1

c h and the nonhomogeneous parameter βh₁on

the stress intensity factor K_IAand K_IBfor

2 1 1.0

h h= and

(

a b

+

)

2

h

1

=

0.5

(internal crack). 次 に ，βh₁=1.0，h h_{2 1}=0.1,0.2,1.0と し た 場 合 に つ い て ， 応 力 拡 大 係 数 K_IA ,K_IBに 及 ぼ す

(

a+

)

21 b h お よ びc h の 影 響 に つ い て 検 討 す る ． 図1 6 はc h1=0.1と し た 場 合 に つ い て

(

KIA,KIB

)

σ0

( )

1 2 c π に 及 ぼ す

(

a+b

)

2h₁の影響を示したもので 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 h2/h1=1.0 φ1 ( z) / φ0 z/h1 βh1=1.0 βh1=0.0 βh1=-1.0 : ΕΕz1(z) : φ1(z) βh1=1.0 βh1=0.0 βh1=-1.0 Ε Ε (zz1 )/ ( φ0 / h1 ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.5 0 0.5 1 z/h1 σ Ε xx1 (z )/ σ0 h2/h1=1.0 h2/h1=0.2 h2/h1=0.1 :βh1=1.0 : βh1=0.0 h2/h1=0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 -0.5 0 0.5 1 : KIB : KIA [ ΚIA , ΚIB ]/ σ0 (π c ) 1 /2 (a+b)/2h1 βh1=1.0 βh1=0.0 βh1=-1.0 h2/h1=1.0 c/h1=0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.6 -0.4 -0.2 0 βh1=-1.0 βh1=0.0 βh1=1.0 h2/h1=1.0 (a+b)/2h1=0.5 : KIA : KIB c/h1 [ ΚIA , ΚIB ]/ σ0 (π c ) 1 /2

6

あり，h h の 減 少 に 伴 い_{2 1}

(

a+b

)

2h1の 影 響 は 小 さ く な る 傾 向 を 示 し ，

(

)

( )

1 2 IA, IB 0 K K σ πc の 絶 対 値 は 減 少 す る ． こ れ は ， 図 3 に 示 すh h の2 1 減 少 に よ り E₁

( )

₀ xx z σ σ の 絶 対 値 が 減 少 す る こ と が 理 由 と 考 え ら れ る ．

Fig.6. The effects of the crack location parameter

(

a b+

)

2h1and the thickness ratio h h on the 2 1

stress intensity factorK_IAand K_IBfor c h₁=0.1 and βh1=1.0 (internal crack).

図 7 は

(

a b+

)

2h1=0.5と し た 場 合 のc h の 影1 響 に つ い て 示 し た も の で あ る ．c h の 増 大 に₁ 伴 い

( )

1/ 2 0 IA K σ πc の 絶 対 値 は 増 大 す る が

，

K_IB

( )

1/ 2 0 c σ π の 絶 対 値 は 減 少 す る 傾 向 を 示 し

，

h₂ 1 h の 減 少 に 伴 い

(

K_IA,K_IB

)

σ π₀

( )

c1 2の 絶 対 値 は 減 少 す る ．

Fig.7. The effects of the crack length parameter

1

c h and the thickness ratio h h on the stress _{2 1}

intensity factor K_IAand K_IBfor βh1=1.0and

(

a+b

)

2h1=0.5 (internal crack). 5.3 縁き裂の応力拡大係数 次 にb h₁=1.0(縁 き 裂 )の 場 合 に つ い て 検 討 す る ． 図 8 はh₂ h₁=1.0と し た 場 合 の 応 力 拡 大 係 数

( )

1/ 2 0 IA 2 K σ πc に 及 ぼ すβh1の 影 響 に つ い て 示 し た も の で ，

( )

1/ 2 0 IA 2 K σ πc の 絶 対 値 はβh1 1.0 = で 最 も 大 き く な り ，βh₁=0.0, 1.0− で 非 常 に 小 さ く な る 傾 向 を 示 す ．

Fig.8. The effects of the crack length parameter

1

a h and the nonhomogeneous parameter βh₁on

the stress intensity factor K_IAfor h h2 1=1.0

(edge crack). 最 後 に a h₁=0.9,0.7,0.5 ,βh₁=0.0,1.0, 1.0− と し た 場 合 の

( )

1/ 2 0 IA 2 K σ πc に 及 ぼ す h₂ h の 影 響₁ に つ い て 検 討 す る ． 図 9(a)は βh1=0.0,1.0， 図 9(b)はβh1= −1.0に つ い て 示 し た も の で あ る ．

(

)

1/ 2 0 IA 2 K σ πc は βh₁=1.0 ,a h₁=0.9の 場 合 を 除 きh h の 減 少 に 伴 い 最 大 値 に 達 し た 後 ， 減 少_{2 1} す る 傾 向 を 示 す ．0.4≤ ≤h₁ 1.0付 近 でh h の 減_{2 1} 少 に よ る

(

)

1/ 2 0 IA 2 K σ πc の 増 大 は 積 層 厚 板 の 剛 性 低 下 し て い る こ と が 考 え ら れ る ． ま た , 0.0 1 0.4 h ≤ ≤ 付 近 で h₂ h の 減 少 に 伴 い₁ KIA σ0

(

)

1/ 2 2 cπ が 減 少 す る 傾 向 を 示 す の は 図 3 に 示 す

( )

1 0 E xx z σ σ の 低 下 が 要 因 で あ る ． 一 方 ，βh₁= 1 1.0 ,a h=0.9 の 場 合 で h h の 減 少 に 伴 い_{2 1} K_IA

(

)

1/ 2 0 2 c σ π が 単 調 に 減 少 す る の は 図 3 に 示 す

( )

1 0 E xx z σ σ の 低 下 が 積 層 厚 板 の 剛 性 の 低 下 に よ る 影 響 よ り 大 き い た め で あ る ． ま た, βh1= 0.0 ,−1.0 の 場 合

(

)

1/ 2 0 IA 2 K σ πc に 及 ぼ すa h₁ の 影 響 は 非 常 に 小 さ く ，βh₁=0，h h_{2 1}→0の と き ， 図 3 に 示 す 1

( )

0 0.0 E xx z σ σ = の た め K_IA

(

)

1/ 2 0 2 c σ π も 零 と な る ．

Fig.9(a). The effects of the thickness ratioh h2 1

and the crack length parameter a h on the stress 1

intensity factor K_IAforβh1=0.0,1.0

(edge crack). 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 -0.5 0 0.5 1 (a+b)/2h1 [ ΚIA , ΚIB ]/ σ0 (π c ) 1 /2 : KIA : KIB c/h1=0.1 βh1=1.0 h2/h1=0.1 h2/h1=1.0 h2/h1=0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.6 -0.4 -0.2 0 [ ΚIA , ΚIB ]/ σ0 (π c ) 1 /2 c/h1 : KIA : KIB βh1=1.0 (a+b)/2h₁=0.5 h2/h1=0.1 0.2 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 βh1=-1.0 βh1=0.0 βh1=1.0 h2/h1=1.0 a/h1 ΚIA / σ0 (2 π c ) 1 /2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 ΚIA / σ0 (2 π c ) 1 /2 h2/h1 : βh1=1.0 : βh1=0.0 a/h1=0.5 0.7 0.9 a/h1=0.9 a/h1=0.5 a/h1=0.7

7

Fig.9(b). The effects of the thickness ratioh h2 1

and the crack length parametera h on the stress 1

intensity factorK_IAforβh1= −1.0 (edge crack).

6. 結言 本 研 究 で は ,電 気 的 負 荷 が 作 用 す る 傾 斜 機 能 圧 電 積 層 厚 板 を 対 象 と し た 電 気 弾 性 破 壊 力 学 問 題 を 理 論 解 析 し た も の で あ る ．弾 性 層 の 厚 さ ， 材 料 の 不 均 質 性 ，き 裂 の 位 置 と 長 さ が 電 気 弾 性 場 と 破 壊 挙 動 に 及 ぼ す 影 響 に つ い て 検 討 し た ． 数 値 解 析 の 結 果 か ら 以 下 の こ と が 明 ら か に な っ た ． (1) 電 気 弾 性 場 は 材 料 不 均 質 パ ラ メ ー タβh₁ と 板 厚 比 h₂ h に 依 存 す る ． 特 に₁ βh1 と 2 1 h h の 変 動 に よ り 応 力 成 分 1

( )

E xx z σ の 分 布 は 大 き く 変 化 す る ． (2) ア ク チ ュ エ ー タ の 動 作 中 は 電 気 的 負 荷 の 方 向 が 周 期 的 で あ る た め ， 応 力 拡 大 係 数 の 絶 対 値 に 注 目 す る 必 要 が あ る ． (3) 内 部 き 裂 の 無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数

(

)

( )

1 2 IA, IB 0 K K σ πc の 挙 動 は ， 応 力 分 布

( )

1 0 E xx z σ σ に 依 存 す る ．一 般 的 に ，βh₁の 減 少 は 内 部 き 裂 と 縁 き 裂 の 絶 対 値 の 減 少 に 有 効 で あ る ． (4) h2 h の 減 少 は 内 部 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数1

(

)

( )

1 2 IA, IB 0 K K σ πc の 減 少 に 有 効 で あ る ． た だ し ，縁 き 裂 の 場 合 は h₂ h の 減 少 よ り₁ 積 層 厚 板 の 剛 性 が 低 下 す る た め K_IA

(

)

1/ 2 0 2 c σ π が 増 大 す る 場 合 が あ り ， 注 意 が 必 要 で あ る ． 参考文献

1) J. Qiu, The Japan Society Applied Electromagnetics and Mechanics, 12, 3, (2004), 175-180

2) 上田整，岡田真幸，仲上佳寿，傾斜機能材料論文 集，31，(2017)，14-23

3) 上田整，馬渕由行，傾斜機能材料論文集，34， (2020)，1-9

4) A. Hall, M. Allahverdi, E. K. Akdogan, A. Safari, Jounal of the European Ceramic Society, 25, (2005), 2991-2997

5) I. N. Sneddon, and M. Lowengrub, Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity (1969), John Wiley & Sons, Inc., New York

6) F. Erdogan, G. D. Gupta and T. S. Cook, Methods of Analysis and Solution of Crack Problems (1972), G. C. Sih (ed), Noordhoff, Leyden

7) F. Han, E. Pan, A. K. Roy and Z.Q. Yue, Computer Modeling in Engineering & Sciences, 14, 1, (2006), 15-29

(Received December 21, 2020; Accepted April 13, 2021) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.1 -0.05 0 0.05 βh1=-1.0 a/h1=0.5 a/h1=0.7 a/h1=0.9 h2/h1 ΚIA / σ0 (2 π c ) 1 /2