中学校数学科における数学的コミュニケーション能力の育成と授業改善
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(2) . 中 学 校 数 学 科 に お け る 数 学 的 コミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン能 力 の. 育成と授業改善 久. 保. 良. 宏. ’ Ａｂｉ １ｍーｐｒｏｖｅー ばｌｅｎｔ ｏｆ Ｌｅｓｓｏｎｓｉｎ Ｌｏ ｗｅｒ Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌｔｏ Ｆｏｓｔｅｒ Ｓｔｕｄｅｎｔ ｌ ｉ ｔｙ ｓ ｉｃａｌ ｔｏ Ｎ【ａｔｈｅｍＬａｔ ｌｙ Ｃｏ］ｍ ｍ ｕｎｉｃａｔｅ. ＫＵＢＯ Ｙｏｓｈｉｈｉｒｏ. ２００８. 日本数学教育学会誌. 第９ ０巻. 第９ 号 ｛.
(3) . 特. 集. 新教育課程に向けて（ｍ）. 中学校数学科における数学的コミュニケーション能力の育成と授業改善＊ 久. 要. 保. 良. 宏＊＊. 約. 数学教育では数学的コミュ ニケーショ ン能力を育 成する こ とがこれま で 以上 に強調さ れ て いる． 本稿 では中学 校数学科の新学習指導要領に着目 し， 学 習 指導要 領では数学とコミ ュ ニケー ショ ンと の関係 が どのよう にとらえられているのか， また， これを数 学の授 業において実現する に はどのような 点に着目 する必要があるのかを， 表現の言い換え， 考えの焦 点化， 考えの洗練な どの視点か ら考察 し， 発問， 問 題提示， 分類の活動 を例に， 指導の留意す べき 点 について 具体的に示 した， そ して， これを 踏まえた上 で， 今後さらに求 められる数学的コミュ ニケーショ ン能力 とはどのような力を指すのかにっ い て 検討 し， これを数学の授業で具体化する方 法として， 図的表 現の工 夫， 誤った内容の提示， 現実的な事象における 考察の３点に着目して提案した． キーワー ド：学習指導要領， 数学的コミュ ニケー シ ョ ン能力， 授業改善. 強調 されている．. １， はじめに 数 学 教 育 にお い て コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンを 重 視 す. 新学習指導要領が示されたこの機会に， 我が国. ９９０年代から強調さ れて る考え方は， 我が国では１ きたと思われる． 特に， 金本氏らの数学的コミ ュ ニケーショ ン能力の育成にかかわる継続的な研究. の 数 学教育 で 目 指 すコ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンが どの よ. う な ことを指しているのかを確認しておくことが. ） によ っ て数 学教育の理論 と実 践が （金本，１９９８. 本稿では， 中学校数学科の新学習指導要領に. 結 び つ き， 数 学 と コ ミ ュ ニ ケ ‐．シ ョ ンは無 縁 で は. お い て， 数学 と コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン が ど の よ う に. ないことが教育現場においても浸透 しつつあると. と ．らえられているのか， また， これを数学の授業 で実 現するためにはどのような点に着目する必要. 必要 であると思われる，. 考 え る， と こ ろ で， 数 学 と コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン を 関 連 づ. があ るのか， そ して， こう した考え方を基本 にお. け る 研 究 で は， 先に記 した数学的コミ ュ ニケー ショ. いた とき， 今後さらに求められる数学的コミュ ニ. ン能 力 の ほ かに， 数 学 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン， 数 学. ケ ー ショ ン能 力 と は どの よ う な 力 を 指 す の か に つ. 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ. いて 検討し， これを授業において具体化する際の. ン活動 な どの用語が見られるが， これらに共通す. 授業改善の視点を提案する，. ることは， 伝達， 説明， 表現， 解釈， 話し合い， 伝え合い， 相互作用， 共有とい ったことであると. ２． 新学習指導要領解説にみる数学的コミュニケ−. 思われる，. シ ョ ンの と らえ方. 指導要領解説数学科編にお いても， このような用. 中央教育審議会答申の算数・数学科における改 善の基本方針には， 算数的活動・数学的活動を一. 語のいくつかが用いられており， 数学教育におけ. 層充 実させ， 数学的な思 考力・表現力を育てるこ. る コ ミ ュ ニ ケー シ ョ ンの 重 要 性 が こ れま で 以 上 に. と， 数学的思考力・表現力は， 合理的， 論理的に. ０年 （ ２ ０ ０ ８年）７月に示された中学校学習 平成２. 考 え を 進めると と もに， 互 いの知的なコ ミ ュ ニケ−. ．平成２ ０年９月１ ５日決定 ０年９月ｉ日受付， 平成２ “北海道教育大学旭川佼. ６５.
(4) . ０巻 第９号 （２００８年） 日本数学教育学会誌 第９ ショ ンを図るた め に重要な役割を 果たすものであ. いて筋道立てて説明する必要性を生み出す， そ し. ること， また， 自分の考えを分かりやすく説明 し たり， 互いに自分の考えを表現し伝え合 ったりす. て， 数学的な知識及び技能， 数学的な表現などの. る こ と な どの 指 導 を 充 実 す る こ と， 等々 のコ ミ ュ. る，. ニ ケ ー シ ョ ンに 関 係 す る 記 述 が あ る． こ こ で の 表. メタ認知的側面にも触れながら， 他者と のかか わりから自己を向上させるという記述であり， こ. よさを実感する機会が生まれる。」 と 記さ れてい. 現力とは， 日常の言葉に加え， 数学特有の言葉で ある数， 表， 式， グラフ， 図などを適切 に用いる. れは， 数学教育の人間形成的目的の重要性を表し. 力であり， 新学習指導要領では自分の考えを説明. ているともとらえられる， また， 「数学的に伝え合う活動」 に は， 生 徒 の. する際にこれを使えること， また， こうした活動 が相互間において なされることが強調されている．. 発達段階に照らし， 第１学年では 「数学的な表現 を用いて， 自分なりに説明 し伝え合 う活動」 が， 第２ ， ３学年では 「数学的表現を用い て， 根拠を明. この中の「説明すること」について熊倉氏は， 新 学習指導要領をとらえる特徴の一 つ であり， 「数 学を用いて事象をとらえることに留まらず， とら えたことを説明する活動を重視している」 と指摘. らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動」 が示さ. して いる （熊倉，２００８ ）， さ らにこれが， 学習者 同士においてなされることまでを重視しており，. 断の根拠などを数学的に表現するためには， 数学 的な推論， 例えば， 帰納や類推， 演経の必要性や. 「説明すること」 が， 「伝える」 とか 「解釈する」. はたらきを理解し， これを適切 に用 いることを重. の段階を超えた相互の活動であるとことがわかる． そして， 思考力． ・表現力を育てることは， 知的な. 視する。 」 とあり， 「数学的に伝え合う活動」 にお. れている． 第２学年の記述には， 「思考の過 程 や判. ける数学的 な考え方の重要性が示さ れ ている．. コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンに お い て重 要 で あ る と 述 べ ら. ３， 数学的コミュニケーショ ン能力育成 の視点. れて お り， こ れ は， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン 能. 力が， すべての人々にと っ ての基礎学力 である と の見解であるともとらえることができる．. 新学習指導要領で重視されている数学的コミュ. 中教審答申を受け， 中学校数学科の改善の具体. ニ ケ ー ショ ン能力 の 育 成 に は， 日々 の 授 業 に お い. 的事項も示されたが， ここでは数学的活動の一つ として， 「数学的に伝え合う活動」 が示さ れた．. て コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンに か か わ る 活 動 が 活 発 に な. されることが必要である， 筆者はこれを数 学的コ. また， 学年進行に伴う内容構成の考え方において. ミ ュ ニ ケー シ ョ ン活 動 と 表 現 している が， こ れ は，. は， 中学校数学科の改訂における基本的な考え方 の中に， 数学的推論と並んで 「説明し伝え合うこ. 「数学を使っ て自分の考えを， 友だち が納 得 でき. − 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 −. るように論理的に表現することにより， 自分の考 えをより深 め ていく活動． さ らにこれが生 徒 間 に. と」 が示されている． ここには， 数学的活動の過 程で考えたこ と について自分自身 と向き合い， 自. おいて積極的に行われ， 相手の考えを理解しよう と努めながら友だち同士の連帯意識が高まる中で，. 分自身の言葉で思考を表すことによ って考えを再 認識し， これが自分の考え を見つ め直す反省的思 考を生み出していくとい った事柄が示されている．. 生徒にとっ て新 しい数学がつくられ ていく活動」 （久保，１９９８ ） という ものである，. そして， 「この自己内対話の過程は， 他者とのコ. コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンで は表 現 す る こ と や 解 釈 す. ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン に よ っ て 一 層 促 進 さ れ， 考 え を. 質的に高める可能性を広げてくれる． 説明し伝え. ることも大切であるが， 生徒同士が考えを 伝え合 うといった相互作用 が重要であり， こう した活動. 合う活動における他者とのかかわりは， 一人では 気付かなかっ た新しい視点をもたらし， 理由など. を通して考えが統合， 共有され， さ らに考えがよ り洗練されていくこ とにつ ながり， 生徒 に と って. を問われるこ とは根拠を明らかにし， それに基づ. 新しい数学が見いだされていくことになるとの考. ６６.
(5) . 中学校数学科における数学的コミュ ニケーショ ン能力の育成と授業改善 え に立 っ て い る，. 表１. ところ で， 長崎氏らは， 「算数 ・数学 において 育成する力」 の研究において， 算数・数学におけ. 数学的コミ ュニケーショ ン活動の具体例. 活動Ｐ： 応答の活動 活動Ｑ：他者の表現を言い換えた り， ほかの. る コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ンに 関 係 す る 児 童 ・ 生 徒 の 様. 考えを発表する活動 活動Ｒ：考えの焦点化や吟味， 統合可能かを. 相 につ い て 考 察 し て い る． こ の 研 究 で は， 算 数 ・. 数学で育成する力の中に 「算数・数学で考え合う 力」 が含まれており， 次の３つ の力がその下位項. 活動Ｓ： 考えの洗練， 深化， 発展にかかわる. 目として示されている，. 算数・数学で説明する力 ② 算数・数学で解釈する力. ①. ③. 活動のＰ 「応答」 とは， 教師の問いかけに生徒 が答える ことであり， その答えは生徒の考えによ. 算数・数学で話し合う力. これらは記すまでもなく， 新学習指導要領が目 指す数学的コミュ ニケーショ ン能力と共通するも. るものか教科書の記述などによるもかは様々 であ る， 活動Ｑの 「他者の表現を言い換える」 と は， たとえば発 言した生徒の説明では十分ではないと. の で あ る， さ ら に， こ れ らの 力 に は， 次 の よ う な. ３つの水準が設けられている，. 判断したり， その表現では友だちは納得しない， あるいは自分は納 得できないと考え， より 分かり. ①の 「説明する力」 には， 第１水準と して 「自 分で考えたことを説明 する」 ， 第２水 準 と し て. やすい表現がなされること である． ここで は他者. 「自分で考えたことを数学的な表現を使って説明. が教師であることも考え られる． 活動Ｒの 「焦点. する」， 第３水準と して 「自分 で考えたことを数 学的な表現を使 っ て論理的に説 明する」 ことが，. 化」 とは， 発言が問題の解決 に向か っ てい ないと. 判断して軌道修正がなされる場面である，「吟味」. ②の 「解釈する力」 には， 第１水準として 「友だ ちの考えを 聞く」 ， 第２水準と し て 「友 だちの 説. とは， 考え に対してこれを批判的にと らえたり， その考えが問題の解決 に有効であるかを述べ合う. 明を聞いてそれを読 みとる」 ， 第３ 水 準 と し て. ことなどである，「統合可能か を考え る」 と は，. 「友だちの説明聞いて， ほかの 考えな どとの 関 連 を考える」 とある． そして， ⑧の 「話し合う力」. 多様な考えや問題の解決に有効であると思われる. には， 第１水準として 「話し合いに参加する」， 第２水準と して 「目的をとらえて話し合う」， 第. ない場合は， それを別の考えと して位置 づ けるこ. 考えをまとめ て共有の事項としたり， まとめられ. ３水準として 「より洗練された考えを目指して話. となどを指している． また， 活動Ｓとは， 考 えを 洗練させることによ って無駄のない表現にまとめ，. し合う」 ことが記されている， （長崎， ２００７： 長. これを学習者の共有した新しい数学ととらえて，. 崎， 滝井， ２００７ ） このような力の水準を上げていくためには， 授. さらにこの見いだした数学を別の問題の解決 に活 用することなどを想定している． 筆者は， ５０名の教師の算数・数学の授業を参観. 業においてどのような活動が求め られるのかを考 え てみると， 少 なくとも 「応答の活動」 は不可欠. し， 表１で示 した活動からこれらの授業を分析 し たが， この研究では， 算数の授業ではＱの 「他者. である． さらに， この応答が教師と生徒間 だけ で 行われるの ではなく， 友だちとのかかわりにまで. の表現を言い換える」 活動が多く見られた． ただ しこ こでは， 教師の発問が影響 していることが多. 広 げ て いく 必 要 が あ る， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン能 力 は， こ う し た 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活. い． たとえば 「００くんの考えはどういう ことだ ろう」 といっ た発問によっ て友だちの表現が言い. 動を通して育成さ れて いくもの である， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 で は， 次 の よ う. 換えられて いっ た また， 算数の授業 では， 仲間. な具体的な活動が想定できる （表１） ． 本稿では. 分けの活動を通して共通点や相違点を指摘させる. こ れを， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 の 具 体例. 場面も多く見られ， ここにも教師の発問が重要な 役割を果たしていた． 一方， 中学校の数学の 授業. と 呼 ぶ こ と に す る．. ６７.
(6) . 日本数学教育学会誌 第９０巻 第９号 （２００８年） で は， Ｐ の 「応 答 の 活 動」 が 多 く 見 られる， ま た，. Ｑｈ ， ． 、 ， ａａ. − ドゼ ｉ重な斧Ｔ部 落 ・ −. 活動Ｑ， Ｒの授業は多くはないが， 相馬氏の提唱. 二 蝿 ＝鱒 ９ 勝 群 島！ ▼．. する問題解決の授業 縞馬 ）で見られ， 活動 ， 蛾７ ｓは極めて少ないものの， 現実的な事象の問題の. 「， 疑い ！ 稿 料・. 解決において数学 を活用す る授業で見られた，. １｛ Ｌ錯. 雑 ・. もも ＊ 職 務 馴． ．. （久 保，２００７）. 覇者 灘 雌. 「. このような授業分析から， 中学校の数学科の授 業る こぉ ぃ て 数 学 的 コ ミ ュ ニ ヶ ー シ ョ ン活 動 をょ り. 身. 活 発 化 す る た め の 方 策 が見 え てく る の で は な い か. ２０ｍ. 図ー 消防自動車のはしごの長さを求める. と考えられる． この問題では， どのように三平方の定理を用 い るかを説明する活動が重要で あるが， 数学的に説. ４， 数学的コミ ュニケーショ ン活動の活発化に向 けての具体 的な事例. 明するには， 消防自動車のはしごの付け根や屋上 にいる人を理想化して点ととらえ， この図の中の. （ １ ） 発問の吟味 先に示した授業分析から， 数学的コミュ ニケ− ショ ン活動を活発化させるには， 教師の発問が重. 必要な点にＡ， Ｂ， Ｃ， Ｄと い っ た記号 を付 ける. 要な意 味を持つ ことがわかる， 「説明する」 さ ら. 問題の解決に必要ではないものは捨象さ れ， 図１. に 「筋道立てて説明する」 ことに着目すれば， 理 由を問うという教師の発問が必要不可欠であるこ. は点と線によ って抽象化される， 生徒に求め られ る数学的な説明とは， この抽象化された図によ っ. と は い う ま で もないが， 表１の数学 的コミ ュ ニケ−. て な さ れ る こ と に な る，. こと が考 え られ る， こ れ は数 学 化 の 一 つ で あ り，. 中学校の授業では， 抽象化された図を教師が与. ン活動の具体例における活動Ｑ， Ｒ， Ｓ を目指せ ば， 次のよう な発問を教師は常 に用 意しておく必. え て しま っ て い る こ と が多 い よ う に 思 わ れ る が，. 要がある， たとえば， 「共通点， 相違点はなん ですか」「こ. 説明のための理想化や抽象化は， 考えを論理的に. れらの考え方に関連はありますか」 「それはどの. 能 力 の 一 つ と してと ら え られ る， そ し て， こ の よ. ような場合でもいえますか」「具体例を挙げなさ. うな能力の育成には， 理想化や抽象化が生徒間の. い」「ほかに どのような場合が考え られま すか」. 数 学 的 コ ミ ュ ニケ ー シ ョ ン活 動 に よ っ て な さ れ な. と い っ た もの で あ る．. ければならな いと考える， 数学化の過程は生徒個々. 表現 す る と い う点 か ら 数 学 的 コ ミュ ニ ケ ー ショ ン. ２ （ ） 説明する力を培うための問題提示. の考えを進めるためだけに行われるの ではなく，. 数学の学習における説明する力には， 日常の言 葉だけではなく， 数学特有の表現を説明の中で適. 「説明する」 ためにも必要 であるこ とを生 徒に 実. 切に用いることが含まれる． このような説 明する 力を培うた めには， たとえば， 空間図形にかかわ. さらに， 図１を抽象化した図だけでは友だち は 理解できないのではないかと考える生徒は， 既習. る問題であれば， 必要に応じて図に記号をつけた り， 見取図を工夫するといっ た活動などに着目す. 事項である直方体の対角線を求めた学習に立ち返. 感させることが大切 である．. り， はし ごが 対角線になるように見取図に直方体 を書き加えて説明する者もいるであろう． これは，. ることが大切であり， これが生徒自身によ ってな. 活動Ｐの 「表現を言い換える活動」 である， また， す でに数学化された図形を生徒に与える. さ れ る こ と が 重 要 で あ る， こ こ で は， 問 題 を ど の. ように提示するかが重要な意 味を持つ．. 際， 多角形であれば頂点には問題提示の段階から. たとえば， 三平方の定理を空間図形に利用する 問題には， 図１のような問題場面がある． 消防自 ） 動車のは しごの長さを求める問題である．１. 記号が付されていることが多いが， 「説明 する」 ことに着目すれば， 説明の必要感から， 生徒自ら. が記号を付すことを期待した問題提示を心がける. ６８.
(7) . 中学校数学科における数学的コミュ ニケーショ ン能力の育成と授業改善. 必要があると思われる．. 決に向かっ て考えを交流する姿が理想であ る， こ. （ ３ ） 分類する活動 小学校算数科の授業では， 先に述べたように仲. のように考えると， 表１で示 した数学的コ ミ ュ ー ケー ショ ン活動の具体例 で示 した活動Ｑ， Ｒ， Ｓ. 間分けの活動が随所に見られた， 中学校でも分類 する活動が行われることがあるが， これは活動Ｒ. では， 教師の働きかけの有無にも着目する必要が ある． 先に記した長崎氏らの数学の力の水 準 を参. の 「考えの焦点化や統合化」 の素地になる活動と. 考に， 教師の働きかけを 「段階」 とすれば， 段階 目ま 「教師の指示でなされる」， 段階２ は 「学習. も考えられる． たとえば， 式の値につ いて学習する場面で， 次. 者自らが行う」， 段階３は 「学習者自らが問題の. のような問題 を提示する，. 解決の目的に向かって行う」 となるであろう． さ らな る 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン 能力 の 育 成. 次のァ∼オの式を分類してみよう ァ． ２ａ. イ， 一ａ. エ． −ａ２. オ． （一ａ）２. を 目指せ ば， 段階２や段階３の状況が見られる数. ウ． ａ２. 学 的 コ ミ ュ ニ ケー ショ ン活動 に つ い て 検 討 す る 必. 要がある． 教師の発問がなく ても， 生徒が 自 ら考 えを交流する場面を日常の授業 において目指すこ. このような問題 では， 符号や指数， 括弧の有無 などのいろいろ点に着目して， 生徒は自由 に， そ. と に なる． そしてこれは， 活動 ＲやＳの実現 に も. して意欲的に分類する活動に取り組む． 数学的コ. つ な が っ て いく．. ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活動 を 活 発 化 さ せ る に は， 正 誤. しか しながら， これは中学校の教師が最 も苦労. や問題の解決の方向性に関係なく， まず自分の考 えを持たせることが大切 である． 相 馬氏の主張す. するところであろう． 小学校で は積極的な 発 言 が 見られるが， 中学校段階にな ると生徒からの発言. る 「予想させる」 ことも同様な活動である （相馬，. は極めて少なくなる． 中学校の数学の授 業で は，. １９９５）．. 数 学 的 コ ミ ュ ニケ ー シ ョ ン活 動 の 具 体 例 に お け る. 式を分類するという先の問題 では， 教師の期待. Ｐの 「応答の活動」 が大半を占める理由 はここに. 通 り， 生徒はいろいろな観点から式を分類 してい. く． 教師は分類した生徒とは別の生徒を指名して. あると思われる， 最近の研究には， このような状況を改善するた. 分類の観点を 問うが， このような 「応答の活動」. めの視点と して教室文化に着目 しているもの があ. の中から， 生徒は考えの視点に共通するものを見. る， たとえ ば， ＴＴの活用に着 目 して， 生 徒 の発 言が少ない授業においてＴ１ ， Ｔ２が意 図的に討論. い だ して いく，. Ｐの 「応答の 活動」 が， Ｒの 「統合可能かを考 える活動」 とな り， さらに 「考えの焦点化」 へと. を行 うことにより， 学習者がＴ１とＴ２の立 場に 分かれ， 教 師間の討論が学習者 間へと移 っ ていく というもの である （磯田他， １９９７ ） ， 生徒 が 異な. つ な が っ て い く．. その後， 生徒 はこれらの式の中で必ず正ににな るものと負になるものに分け， それを検証するた. る考え方に立つということにより， 数学的コミュ. め に， 文字にいろいろな数を代入していく． 式の 値では， 文字に数を代入する問題が与えられるが，. 一方， 教育現場の中からは， こうした授業は生 徒を混乱さ せることにつ ながり， 数学の知識や技. 文字を代入する必要性を生徒に感得させる上でも， ２ ） このような分類する活動は意 味があると考える，. 能の習得に至らないという声も聞かれる， しかし， 実際はそうではない， 先に示 した相馬氏の 問 題解. ニケ ー ショ ン活動 が活発化さ れる ことが期待 で きる．. 決の授業における予想や比較の活動は， こう した ５． さ ら な る 数 学 的コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン能 力 の 育. 指摘を解消するものとして多く の数学の授業 に導. 成を目指 して. 入 さ れ て い る， さ らに， 冒 頭 で も述 べ た よ う に，. 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 の 活 発 化 にお い. 数学的コミ ュ ニケーショ ン能力を数学の基礎学力. ては， 教師の意 図的な発問などが重要であるが， 教師の働きか けがなくても， 生徒自らが問題の解. と して とらえれば， 生徒を混乱させることがあ っ て も， 数 学 的 コミ ュ ニケ ー シ ョ ン活 動 の 活 発 化 に. ６９.
(8) . ０巻 第９号 （２００８ 年） 日本数学教育学会誌 第９ よって考え を収束させ， 数学の概念形成に結 びつ. 下の図は， 直方体のよう かんを斜 め に切 っ た図です．. ける授業展開を目指す必要 がある， また， こう し. た力を育成することを新学習指導要領でも求めて. Ａ. い る と 考 え る．. Ｂ. そ こ で， コ ミ ュ ニケ ー シ ョ ンの 活 発 化 に よ っ て. ｃｍ. 考えが収束の方向に向かう事例， 生徒の考えが異. Ｃ. ・Ｅ. ６ｃｍ Ｆ. ，. − − Ｈ − − ‐ −−−− ノ青に こ 琶洲 〕 ， −７ｃｍ −÷′／. Ｇ. な る こ と に よ っ て数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動. が活発化される授業展開などに つ いて， 「図的表. 上記の内容を提示するとすぐに生徒から 「問題. 現の工夫」「誤った内容の提示」「現実の事象から. がかかれて いない」 との指摘がなされる． しば ら. の考察」 という視点から検討したい．. く時間を置くと， 生徒の中から 「この図 は正しい のだろうか」 といっ たつ ぶやきが聞こえはじめる．. ｛ １ 〉 図的表現の工夫 たとえば， 先に示した消防自動車のはしごの長 さを求める問題に振り返 ってみる と， 次の図２の. 教師が生徒に与える問題には不備がないという意. 有効性を見いだすことができる，. れるまでに時間を要すが， 批判的にもの を見ると いっ た教室文化が育 っ ているクラスでは， 図を疑. 識 が 強 いク ラス で は， こう し たつ ぶ や き が 発 せ ら. 問視する考えは比較的容易に出されるであろう． 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 は， こ の 図 が 正. しいのかという生徒自らが見つ けた課題 によっ て はじまり解決の活動が活発化される． 正 しいとす る生徒は， “ようかん” の切り方を動 作 を加えな がら説明しようとし， この図が誤りだと主張する 生徒は， 友だちを納得させるために様々 な説 明の 方法を考え出す． そして， この図を上か ら見た図. 角である箇所が容易に判断できる が， 図２では図. や正面から見た図を描き， ＥＦ と ＨＧ， ま た， ＦＧ とＥＨ が平行 にならないことを示しな が ら， 空 間 ４ ） における平面の決定に振り返り説明がなされる， 数学的コミ ュニケーショ ン活動の活発化 は， 投影 的な見方のよさを生徒自身が見いだすこ とにもつ. の向きが異な っていること， 直角の場所が示され. な が っ て い く，. ていないことなどから生徒は混乱を生 じる， 生徒. このような授業では， 教師は多くの発問を用意 して おく必要があるが， 実際には教師は授業の支. 図２ 図的表現の工夫 この問題では， 三平方の定理を使うために直角 三角形を見つけることが重要である， 図１では直. からは， 「どこが直角なのか？」 と い っ た質問が 出されるが， 教師の指示がなされなくても生徒は 意見を述べ合い， 道路の形状という身のまわりの. 援者や調整者といった立場 （古藤，１９９５ ） である， この授業では， 生徒間の考え方を伝え合うだけ. 場面にも照らして直角の場所を話し合いを通して. でなく， 活動Ｒの 「考えの焦点化や吟味」 や活動. 共有していく． このような図的表現の解釈 に関係 する問題提示は， 数学的コミ ュ ニケーショ ン活動. Ｓの 「考えの洗練， 深化， 発展 にかかわる活動」 が見られた．. の 活 発 化 に つ な がる こと が多 い，３）. ３ ） 現実の事象からの考察 （. （ ２ ） 誤っ た内容の提示. 数 学 的 コ ミ ュ ニケ ー シ ョ ン能 力 は， 身 の ま わ り. 教師が意図的に誤った内容を生徒に提示するこ. の現実の現象を数学的に表現したり， 数学的に表. とも有効 である．. 現されたものから現実の事象に照らしてその意味. 次の図では， 生徒の考えは大きく分かれる， 第 １学年の空間図形の授業場面である，. を読み取 っ たり伝える力な どにも関係 し ている （長崎，２００１ ） ， 身のまわりの事象では， 生徒の日々. ７０.
(9) . 中学校数学科における数学的コミュニケーショ ン能力の育成と授業改善. の生活そのものが話 し合いの対象になることから，. さを数学の指導を通 して生徒に感得させることが. 数学への興味や関心に関係なく積極的なコミュ ニ. 大切 であると考える．. ケ ー シ ョ ン活 動 が 見 ら れ る．. 注. た と え ば， ジ ェ ッ トコ ー ス タ ー の 動 き に 着 目 し. １ ） この問題は， 大日本図書現行版教科書の第３. て， 数値をま っ たく 与えずに横軸に時間， 縦軸に. 学 年 のｐ． １７１に 掲 載 さ れ て い る．. 走行距離をとり， これらの関係から放物線を感覚. ２ ）３ ）４ ）５ ） 本稿で事例として挙げた授業は筆者. 的に見いだす授業 では， 第２学年の生徒でも曲線. の実践例 であり， ２ ）３ ） については久永靖史，. のグラフを納得することができた． 課題学習と し. 小川淳との共同研究で検討された，. て 設 定 した こ の 授 業 で は， ジェ ッ トコ ー ス タ ー が. 急な傾斜を降りてくる際のグラフの形状が問題に. 参考文献. なった． 多くの生徒は右上がりの直線にな ると予 想 した が， 「直 線 で はス ピー ドは 上 が っ て い な い. 磯田正美， 野村剛， 柳橋輝広， 岸本忠之 （ １ ９ ９ ７ ） 「教師間の対決型討論が教室文化に及ぼす影. のではないか」 という指摘がなされた． 生徒 は友. 響 に 関す る研 究 − テ ィ ー ム テ ィ ー チ ン グを 通. だちの考えを聞きながら試行錯誤を繰り返 してい. して数学の授業で討論する生徒を育てる実践. たが， 「線分をつ な ぎ合わせた グラ フでは どうだ ろう」 という考えを 聞いて単なる直線のグラフに. 記録−」 日本数学教育学会誌第７ ９巻第１号． ｐｐ．２‐１２ ，. は な らな い こ と を 納 得 した． しかし， ジェッ トコー. 金本良通 （ １ ９９８ ）『数学的コミ ュ ニケー ショ ン能. スターに乗った経験や見 た経験が話される中 で，. 力の育成』 明治図書， 古藤怜 （１９９５ ）「コミ ュニケー ショ ンを 重視 した 算数教育」 新しい算数研究Ｎ ２９７ ｏ ． ， 東洋館出. 「これではだんだん速くな っ ていく と いう感 じで はない」 という意見が出された． 生徒は次々 に考 えを説明したが， なかなか表現の言い換え にはな. 版 社．. らなかっ た． しかし， 同様な説明を聞く中で 「線. 久保良宏 （ １ ９ ９ ８ ）「中学校数学科における数学的. 分をさらに細かく して いっ たら」 という意見が出. コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 に関する 実 践的研 卯Ｊ. され， 最終的には 「もっと細 かく していっ た ら曲 線になるのではないか」 との考えに至 った． 感覚 ５） 的に極限の考え方を獲得したことになる． この授業では， 教師は調整者ではなく， 学習者. ０巻第９号．ｐｐ 日本数学教育学会誌第８ ２ ９ ‐ ， ．. 久保良宏 （ ２ ０ ０７ ）「算数・数学の授業タイ プと数 学 的 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン活 動 と の 関 係」 第４０. 回数学教育論文発表会論文集．ｐｐ． ５６５ ５７０ ‐ ，. の一員として授業に加わ っ た場面もあ った． 生徒. 熊倉啓之 （ ２ ０ ８ ０ ）「新学習指導要領の特 徴とそれ を生かす指導」 日本数学教育学会誌第９ ０巻第. の中には， 発言という形で自分の考えを表現 でき なかっ た者もいたが， 他者とのかかわりによって. ７ 号．ｐｐ １８ ２６ ‐ ， ，. 考えが変容する姿が見られた． これは数学的コミュ. 長崎栄三 （ ２ ００１）『算数・数学と社会 ・ 文 化の つ なが り』 明治図書．. ニ ケ ー シ ョ ン活 動 が 活 発 化 さ れ， 数 学 的 コ ミ ュ ニ ケーショ ン能力 が向上 したとと らえることができる．. 長崎栄三 （ ２ ００７）『算数・数学におい て育 成する. 諸能力とその系列に関する研究』 科研特定領 ６， お わ り に. 域研究. 本稿では， 新学習指導要領における数学的コミュ. 研究報告書．. 長崎栄三， 滝井章 （ ２ ０ ０ ７ ）『算数の力を育 てる③. ニ ケ ー シ ョ ン能 力 の 育 成 につ い て， 数 学 的 コ ミ ュ. 算数の力. ニ ケ ー シ ョ ン活 動 か ら検 討 した．. 洋館出版社．. 数学の学習は個人の力と集団の力によっ てなさ. 数学的な考え方を乗り越え て』 東. 相馬一彦 （ １ ９ ９ ５ ）『 「予想」 を取り入れた数学授業. れるが， 前者に重点を置く考え方もある， しかし ，. の改善』 明治図書，. 相馬一彦 （ １ ９ ９ ７ ）『数学科 「問題解決の授業」 』明. コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン と い う 集 団 で の 思 考 場 面 は，. 人間が生きていく上 で必要不可欠であり， そのよ. 治図書．. ７１.
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