引 裂 荷 重
が
作 用
す
る
突
合
せ
接 着 継手
の
応
力 解析
一
被 着 体
が異 種 材 料
の場 合
一
仲 野 雄
一
＊AStress
Analysis
ofAdhesive
Joints
Subjected
to
Tear
l
、oadsTne
Case
Where
Adherends
areDissimilar
Materials
Yuichi
NAKANO
Stress
distribution and displacement are examined when an adhesivebutt
joint
in
which two thinplates of dissimilar materials each other are
joined
，
is subjected to tear loads．
In
the analyses ， re−
placing twodifferent
adherends of the same size and an adhesivebond
w 量th 負 nite strips ， respectively ， general representations of the stresses and the displacements onjoints
are given using the two−
dimen−
sional theory of elasticity
．
The
effects of the ratio ofYoung
’s modulus of twodissimilar
adherendsto that of the adhesive and the thickness of the adhesive bond on the stress distributions are clarified
by
numerical ca 且culatiQns．
Itis
seen that the normal stress becomes larger at the interface betweenthe adhesive and the adherend of
larger
Young
’s modulus and the singularity of the stress becomeslarge
at the end of theinterface
with adecrease
of the thickness of the adhesivebond．
Key
Words ： Elasticity， Stress
Analysis，
Young’
sModulus
，
Butt
Adhesive
Joint
，
Tear
Load
1
．
緒 言構 造用接着 剤の急 激な進歩に とも ない
，
接 着継 手 が ね じ締結 や リベ ヅ ト継 手 などの機 械的結 合法に代わ るもの とし て注 目されつ つ ある 。 す なわち，
接着継 手に は，1
）ボル ト穴や リベ ヅ ト穴が ない の で，
応力 集 中 が 生 じに くい，2
）異 種材 料どう しの結合が 比較的 容 易であ る， 3）接着層の存 在に よ り， 振 動吸収 能の向上等，
機 械 的 結 合 法で は得ら れ な い優 れ た 機 能 を 期 待で きるな どの特 徴 を 持っ てい る。 しか し，4
） 接 着 強 度に対 する粗さ や う ね り等接着面 形 状の影 響，
あるい は表 面の 水分，
油 分 等 化 学 的 な 影 響が複 雑である，5
）一
般 的ec継 手 強度のばらつ きが 機械的結合 法に比べ て大 きく，
ま た，
継 手設 計の た め の資料が極め て少ない。 6）接 着状態の有 効 な 検 査 法 （特に非 破 壊検 査法）が少ない な ど の点か ら これ まで接 着 継 手が単独 で機械構造の重要な部 分に使用さ れ た例は ほ とん ど な く，
機 械 的 結 合 法の補 助 的な 役割を担っ てい るに過 ぎ ない 。 その た め 接着継手の強 度 設 計に 関 する基 礎 的 資 料の蓄 積と設 計基準，
検 査法 の早急 な 確立 が望まれて い るユ） 。 これ ま で，
接 着 継 手の 応 力分布に関し て，
い ろいろ な荷重 条 件 の も とで，
実 験2），
有 限 要 素 法に よ る解 析3−
5），
弾 性 論に よ る解 析6’
9）がか な りな さ れて ぎて お り，
引 裂 荷 重が作 用 する継 手に対 して も 沢ら に よ る解 析がある1°） 。 し か し，
そこ では被着体 材 料が同 じ場 合に限 定 して お り，
機 械 的 結 合 法に 比ぺ て接 着 継 手の 持つ 大きな特長で ある異種 材料の 継手に対 する検 討は なされ てい ない。 そこ で， 本研 究で は，実用上重 要と考え られる異種材料の被着体の 突 合せ 接着継 手に 引裂荷 重が作 用 する場 合の継手の応 力 分 布 を 解析し，
接 着 継 手 設計の基 礎 的 資 料 を得るこ とを 目的と し てい る。 理論 的には，
二 つ の異な る材 質を持つ 被着体と接 着 層とを 帯 板にモ デル化し，
二 次元弾性 論を 用い て，
弾 性三体 問 題 ＊ 機 械工学 科 助教 授 昭和 63 年 11 月 17 日受 付相模工 業大 学 紀要 第
23
巻 第2
号 とし て各 被着 体お よび接 着層 境界の応力 及び変 位の境界 条 件 を 満 足するよ う解析を行う。 次に本 解析に もと づ き各 被着体 と接着 剤の縦 弾性 係 数 比お よび接 着 層 厚さ が，
接着界 面の応 力 分 布，
える影 響に つ い て，
数 値的に検 討 する。 引 裂 強 度に与2
．
理論 解 析
図1
に 寸 法 形 状は同一
で，
材 質の異 なる二 つ の被 着 体を突 合せ接着し た継 手に，
各 被 着体の上部お よび 下部の一
端 か ら 幅 e の間に一
定大きさの引裂荷 重P
。 が作用 する場合を示 す。 各 被 着 体 を高さ2Hi
， 幅2L
の有 限 長 帯 板 （1
）， （皿）に置き 換 え， その縦 弾 性 係 数と ボア ソ ン 比 を 各々Et
， Vl お よ びE3，
Vs とする。 同 様に，
接 着 層 を 高 さ2H2，
長 さ2L
の有 限 長 帯 板 （皿 ）に 置 き 換 え，
縦 弾 性 係 数と ボア ソン 比 をEmv2
とする．
すな わ ち， 図1
に示し た接 着 継 手の境界条 件は次式の ように表され る。 有 限 長帯板 （1）に対 して，
（被着体 （1）） σ1＃＝
τ1。y＝
0 （x＝
土 ム） （1−
a ）a・ v
−
｛
8
°二
：
111
二
1
：
簿
Σ
嵩
θ） （・・− H ・〉（1
・
・） τ 卸＝0
（y、・＝H
，） （1・
c） 有 限 長帯板 （ll
）に 対し て，
（接着層 （ll
）） σIix＝ τIlxv ＝＝O
（x ＝ ±L
） （正匿
d
） 有 限 長 帯 板 （皿）に対して，
（被着体 （皿 ）） σu ＝ TIII 。y＝ 0 （x … ±L） （1−
e）aviii
−
｛
∫「o… ・
一
（一
五 く x ＜−
1．
十 の （Y3＝−
H1 0… …
（−
L十θ＜x ＜乙） ）（・
−f
） τIIIxv ；O
（Y3＝
＝− Hl
） （1・
9） 琉y2y3
e．
L
L
，
αAdherend
（
1
｝
響
E1
，ン1 至 王呈
呈
一
尸
Adhesive
（
ID0
｝
−
E2
・ン2 冖 ’
伽
，
．
03
，
エ エ響
Adherend
（
IIIE3
，レ3 X x X Fig。
1 引 裂 荷 重 を 受 け る異 種 材料の 突 合せ 接 着 継 手一
68一
有 限 長帯 板 （1）
，
（ll）の憤 界に お いて，
σly
＝
σlly I II ul；
駕ll ∂vl ∂vl1 ∂x ∂x 有 限 長 帯 板 （皿），
（皿）の境界に お い て，
σylT＝
＝
σ。lll II Iu κ1「；
uII1 ∂vll ∂vllI ∂x ∂x （Yi＝− Hl ，
y2＝ H2） τ＝
v＝ r＝
y （Yl＝−
Hl ，Y2
＝ llE） （ン1＝− H
，，
ツ2＝
島 ） （ツ1＝−
H ，，
ツ2＝H2
） （yE ＝−
H2．
y3＝H1
） τ xv ＝ τ x・
y （y，＝− H2 ，
Y3＝H
、） （Y2＝−
H2 ，y3＝
H1） （Y2＝− H2 ，
夕3＝ H，） （1・h
） （1・i
） （1−
j
） （1・
k） （1・
1） （1・
m ） （1−
n ） （1−
o ） なお，
” は x 方 向 変 位，
v は y 方向 変 位である。 式 （1）で表 さ れる境 界条件の も とで有限長 帯 板 （1） ， （H）お よ び （皿）を解 析する た めにエ ア リー
の応力関数X
を用い る と，
各 応 力と変 位は次式で与 え られるu） 。 ∂2x ∂2x ∂sxσ x
＝
「司
ア
’
σ〃＝ 諞 厂
’
τ XY
＝一
∂x∂ツ・
G
−一
籌
・ 、ジ
耀
’f
；
：
讙
雌
諾
1
接着層境 界の応 力と変 位の条 件を考 慮し て有 限長帯 板 （1
）の応 力 関 数 XI を次の よ うに 置 く．
X
「＝Xol
十XII十X21
XI
・一
苧
・・
・
Yll＝
xlエ十 xI2 十xI3 十κX・ ・
一
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・） （2） （3）相 模工業大学 紀 要 第 23 巻 第 2 号
・
二
漁
押
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，
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匸 ｝（n， s＝1
，2，3
，…
）
tよ
17
種類の未 定係数で， ま た， 有限 長帯板 （∬） と （皿｝につ い て も式 （4）と同 様の応 力 関 数XI
【お よびXI
「「が得ら れ未 定係数は合 計51
種 類 と な る。 な お，
添字1
， ∬ お よび 皿 は各々 有限 長帯板 （1
）， （E
）お よ び （皿）を表 す。 これ ら 三つ の応力 関数を 用い て， 式 （2）， （3）よ り各応力，
変位 を 求め，
さ らに境 界 条 件 式 （1）と等値 することに より次 式で 表 さ れる関 係が得 ら れ る。す な わ ち
，
式 （1）の う ち，
有限 長帯 板 （1） の側 面に お ける応力 σ匸。 と τ 「 xv の関 係 式 （1−
a） か ら，
QO
Aln
＋ ΣBI
、P 、＝0 ，
8＝
工Aln
一
Σ 西【 ，〔？ lns＝
0 ， 5＝
1 の （う【 η＋ Σb
圧 80 ，＝・
0，
8；
1 の δ ＋ ΣDisR
、＝0 ，
Si＝
1 互1 冊一
Σ1
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1δ
・ 。＋隆
δ ・ 、0
＝0
8＝
1δ
＋艶
か 、R
＝0
8謂
1 （5） とな り，
式 （1・
d），
（1−
e）か ら，
帯板 （H
），
（皿）に つ いて も同 様の 関 係が得ら れ る。次に
，
帯 板 （1）に対 する式 （1−
b）の右 辺をフー
リエ 級 数 展 開 し，
さ らに応 力 関数XI
か ら求めた 応 力 σTv と を 等 値する と次の 関 係が得ら れ る。A
・ 1一 鳥愛
一
毒
、A
・ n・・…Bis
・ nZ ， ・…K ・’
…瓦
』一
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…（
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’ ・・）
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、砿
一
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鶉
、An
・・’
謁
一一
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些
、。 c・・（
L
チ
・2s
夛
1 ・）
（6
）一 70 一
帯板 （皿）に対 して も式 （
1・
f
）か ら同 様の関係 が得ら れる。．
また，
帯板 （1
）の上面に おける せ ん断 応力 τ1。y の関係 式 （1・
c）か ら co一
量
1
捻
鵡
1
鵠
∴
｝
…η
＝
1 n＝
1 とな り，
式 （1−
g）か ら帯 板 （皿）につ い て も同 様の関 係が得 られる。 次に，
帯板 （1
）， （∬）の境 界 面の応 力 σ と aiiv の関 係 式 （1−
h） から OQ ◎o oO co一
量
1
：
：
驚
1
雰驫慧 劉鍔：
1
鞦
蟻
霊
ll
叢
゜｝
t n
＝
1 n＝
1 n＝
1 η＝
1 同 じ く，
帯 板 （1
），
（∬）の境 界 面の 応 力 τ：。
y と τ11。
v の 関 係 式 （1−i
）か ら一
圭
簿
：
：
：
1
黛
島
：
lll
：
：
71
：
1
：
：
ll
：
：
：
：
1
：
1
：
輩
；
1
：
：
：
ll
：
：
：
1
：
｝
帯 板 （1
）， （1
）の境 界 面の変 位 ul と ull の関 係式 （1・
j
）か ら oo oo co caΣ 互 び 、＋ Σ
Blmlrm
、Wlm
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氾
＝
1 伽＝
1氾
sl
彿嵩
1 同じく，
帯 板 （1
）， （ll
＞の境 界 面の 変 位 ∂vl！∂x と ∂ II ！∂x の 関 係 式 （1−
k） か ら co一
Σ ∂lnHlns−
Blsfls
＋ Σ δ「 nHI’
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1 7醇ロ
1 餌＝
且 物＝
1 （8） （9
） （10） （11） 帯 板 （∬），
（皿）の境 界に つ い て も境 界 条 件 （1・
1）〜
（1−
o）か ら各々 式 （8
）〜
（11） と 同様の関 係が得ら れ るQ こ こ で，
上 式 中の変 数は，
各 帯 板 （1）， （ll
） お よび （皿 ）に対して同 様の形で次の よ う に表さ れ る。 Pn・一螽 誘
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23
巻 第2
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｛
鴇
・h ・・’・H ・・hα …一
副
瓦
噛
・h
・・・・・…Fm
一
歯
｛
鴇
・h ・・・… ch ・…H ・… H｝
・’ ・
盍
・即 測・
・… 一 、El
、6
：
｛
i
．i
｝
・h…U
・・h
・・・
…一
…｝
帰
弩
1
潟 帯
・
う懈 一鑑
…
芸
髴
）・伽 一
鎌
罪
罪
i
・4
・ ・一籌
黒
欝
i
応 力 関 数
Xi
， XII お よ びXIII
に含ま れ る未定係 数の うち，
Alo，
All
。お よ び AIIloに つ い て は 式 （6）の第
一
式か ら 求め る。 と，1でき滞 板 （・）， （m
お よび （皿）O・対 す 戯 り48
個の未定 係細
， 互1 ・… ・
DIII
・ ・か 1 ・＠・
・一一
72一
1
，
2，
3，…
）につ いて は，
帯 板 （1
）に対 して得 られる式 （5｝〜
（11
） お よ び有 限 長 帯 板 （H
）， （皿）に対 し て得ら れる同様の式の無 限 連立一
次 方程式を 解 くこ とに よっ て決 定 され る。 さらに，
これ らの各 係数を 用い ること に よ り式 （2
）〜
（3
）か ら帯 板 内の任 意の位置に おける各応 力と変 位が得られる。3．
結 果 と考 察数値 計 算に当たっ て は
，
式 （5
）〜
（11
） 中の無 限 級数 を有限 個 （N ）で打ち切る 必要 が あり，
今回 の計 算では い つれの場 合に お い て も項数．
N ＝ 50 と して行っ た。 な お，
項数 を50
程 度にす れ ば，
ほぼな め ら か な応力 分 布 が得ら れ た。3
・
1被 着 体と接 着 層の縦弾性 係数 比が応力 分 布 に 与 え る 影 響
図
2
に 各 被着 体と接 着 層の縦弾 性 係 数 比が， 各々の接 着 界 面の 応力 分布に及ぼす 影 響を 示 す。
図 （a ）は垂 直 応 力 ev ， （b
）は せ ん断 応力 τXY の x 方 向 分布で ある。 なお，
縦 軸の 各 応 力は，
y 方 向の 平 均 垂 直 応 力 σymと の比 を と り， 無次 元化し て表して い る。
各 被着体と接 着 層の縦弾 性 係数 比は図 中に示 す よ う に E，；E，；E3
＝
100二1：5 とし，
実 線は被 着 体 （1
＞ と接 着 層 （U
） との 界 面，
破 線は被 着体 （皿 ）と接 着 層 （ll
）との界 面の応 力 分 布 を 示 す。 こ れか ら，
垂直応 力 ay につ いて は， いずれ の界 面に おい て も引裂荷 重の作 用 して い る側 （−
1．
0くX 〈− 0．8
）で応 力 が急 激に大 ぎ く な り，X ，
iLt− 1．
0 の 点で は応 力の特 異 性が現れ るこ と が分か る。 ま た，
両 界 面 の応 力 分 布を比較する と，
XfL ＝− 1．
0
点の 近 傍で は ， 被 着 体の縦弾性 係 数が大 きい方の界 面 （），
＝ ＝ ＋H2
）で，
よ り急 激な応力の上 昇を示 すようで ある。 ま た，
同 図か ら， せ ん断 応 力 τ ty につ い て も同 様に，
y ＝ ＋H2 の界 面 （実 線）の 方が よ り大 きい応力値となるこ と が分か る。 次に，
図3
に各 被 着体同士の 縦弾性 係 数 比 が一
定 （El：E3＝
2：1）で，
接 着 層との縦弾性係数比 （E，：島 ある い はE3
：E2＞が異 なる場合の y＝ ＝＋鎚 界 面で の応 力 分 布 を示 す。
実 線は 被着体 と 接着 層の 比が 小 さい 場 合 （
E
、：島＝
4
：1），
破 線は大 きい 場 合 （El
：E
，＝
20：1＞を示 す。 この 計 算 条 件で は，
図 （a ）か ら 垂直 応力 av の 最 大 僵につ い て は，
いつれの場 合 もほ ぼ 同じ であるが，X
！L ＝−
1．
0 点 近 傍での応力の上 昇 率は縦
弾 性 係 数 比が大きい方の界 面 （破 線 ）で大 き くな るこ と が分か る。 ま た，
図 （b
）か ら せ ん断 応力 τ衂 につ い て も 同 様の傾 向に な るこ とが 分か る。隻
b
ぎ
∈莫
xp6
．
0
4
・
o
2
．
0
0
一
2
．
0
−
1
・
0
−
0
・
5
1
．
0
O
．
5
o
一
〇・
5
一
1
．
0
一
1
．
5
図2Ox
／
L
（a ）0
．
5
1
．
0
一1・
0
−
O
・
5
0
0
・
5
1
・
O
X
／
し 図 2 （b
）Fig ，2
（a），（b
）．
接 着 継手 縦弾 性係数比が 接 着 界面 の応 力 分 布 に及ぼ す影響 （H，tL
＝
O．
5，
H，1H
， ＝ 2，
v ユfv2
＝ 1）（−
1〈X
／L
〈− 0．
8
）でPe
＝一
定相 模工業 大 学 紀要 第
23
巻 第2
号6
・
O
E
4
・
0
ぎ
2
・
O
ε葺
・ 尸0
一
2
．
O
，
1
．
〇−
0
．
5
0
．
5
o
一
〇・
5
一
1
．
0
一
1
．
5
0
x
／
L
図 3 （a）0
．
5
1
．
0
1
。
0
0
・
5
0
05
1
・
O
x
／
L
図3 （b）Fig ．3
（a），
（b
）．
縦 弾 性 係 数 比 が 接 着 界 面の 応 力 分 布に及 ぼ す 影響 （被 着 体同 士の 縦 弾 性 係数比 が 同一
で ， 接 着 層 との縦 弾 性 係 数比 が異な る 場 合 ）（H，／L＝ 0．
5，
H，ノH2
＝ 2，
Vtfv2＝：
1，
y1＝
地 ） （−
1〈XIL く一
〇．
8）で P。＝一
定3 ・2
接 僧 層 厚 さが 応 力 分 布 に 与 え る 影 響図
4
に縦弾 性 係数比は一
定 （E
エ：E2
：E3
＝25
：1
：10
）で，
接 着 層厚さ （2鎚 ） が 異な る場合の y＝ ＋島 界面で の 応 力 分 布 を 示 す。 εぎ
∈糞
芦
6
．
O
4 ．
0
2．
O
o
一
2
．
0
一
1
・
O
−
0
・
5
0
x
／L
図4
（a ）0
．
5
0
一
〇．
5
一
1
．
O
0
．
5
1
．
0
一
1
．
5
−
1
・
O
−・
O
・
5
0
0
・
5
1
・
O
XIL 図 4 （b）
Fig 。4
（a），（b
）．
接 着 層 厚さが 接 着界 面の 応 力 分 布に 及 ぼ す影 響 （
H
，ノL ＝O．
5
，E
，fE2
＝2S
，EsfE2
＝
10，
Vl／VE＝1
） （− 1
＜X
！L
＜− O．
8
） でP
。＝一
定，
y2＝H2
実 線は接着層 厚さが 相対的 に厚い場合 （HIIH ，・
＝
3），
破 線は薄い場 合 （H、ノH2 ＝ 15）で ある。 こ の場 合，
垂 直 応 力 av は ， 図 （a ）か らXIL＝−
1．
0 点 近 傍で ， 実 線，
破 線 と も増 大 して い るが，
接 着 層が薄い 場 合 （破 線 ）の 方 が， よ り大きい 値に な る。 ま た，
せ ん断応力 r。y に つ い て も， 図 （b
） か ら，
接 着 層が薄くな るほ どX
！L ＝− 1．
0
一 74 一
点近 傍で急 激な上昇を 示すことが分か る。
4
． 結1
本 研 究で は異種材 料同士の突 合わ せ接 着継手に引裂荷 重が作用 し た場 合の応 力 分 布 と 変 位 分 布を二 次 元 弾性論 を 用い て解析し，
数値計算を行い，
各 被着体 と接 着 剤の 縦弾性 係 数比の大 きさ お よび接 着 層の厚 さが接 着継 手の 応力 分布に与え る影響を検 討し た。 得 られた結 果は次の とう りで ある。 （1） 異種 材料の突 合せ 接着継 手に お い て，
各 被 着 体 及 び接着層を有 限 長 帯 板で モ デル化 し， 弾 性三体問 題と して扱い
，
接 着 継 手 内部の応 力 分 布，
変 位 分 布を二 次 元 弾 性 論に基づいて 解析する方 法を示 した。 （2） （1）の方法に よD ，
各 被着体 と接 着 層の縦 弾性 ） ） ） ） ） ） ） 12345678
｝9
） 10）11
） 係 数 比お よ び接 着 層の厚さが 接 着継手内部の応 力 分 布に及ぼす 影響を数値 解 析に より明 らかに し た。 文 献 池上， 機論， 50・
457，
A （昭54
），1557．
辻， 島田， 機論，
30・
218 （昭39
），1192．
杉 林．
池 上， 機 論，50・
439
，A
（昭59
），17．
鈴木， 機論，50・
449
，A
（昭 59）， 67，
尾 田， 名雪， 機論， 50−
450，
A （昭 59），240．
斎 藤，
機 論，19・
83，
（昭 28），
1，F
．
ErdoganiM ．
Ratwani
，J
．
CompOsite Ma−
terials， 5 （1971）
，378，
沢 ， 岩田， 石 川
，
機 論，52・
476，A
（昭61
），
919．
Wah
，T ．
，Int．
J
．
Mech．
Sci．
， 18 （1976）．
沢 他 3名， 機 論， 53
−
487， A （昭 62），
523．
中原， 応 用 弾 性 学，
（昭52
），216，
実 教出版．
討
［質 問亅
竹
崎
1
郎 （相 模工業大 学工学部）
複 雑な異種材料の接 着問題を 弾 性 論に基 づい て厳 密に 明ら かに さ れ たこ とに敬 意を表わす。
（
1
）本 問 題は引裂荷重で あ り非 対 称 問題であるが， 弾性 論では対称 荷重と非 対称 荷重を重 ね 合 わせ て本 問題 の引 裂 荷 重の条件にする と考えて い る。 本 論文で は
，
境 界 条 件に分 布 荷 重P
。 を 与 えてい るが そ れだけで条 件 が 応力 関 数の性 質 と も併せて満足 させ られ る の か。 （2
） 異 な る 材 料 間で箋 界 条 件と して完 全 接 着の条 件 が使用 さ れて い る が，
本 問 題の よ う な非 対称荷 重 問題で は，
は さま れ た材 料とはさんで い る材料の座 標 系に くい ちがい を生 ずる剛 体 変 位の問題が起きると考える が， 問旦
2
y
↑
，1
●旦
2
論
題を解 く過 程｝こおい て剛 体 変 位は どの よ うに考慮さ れた のか， それ と も剛体変 位の問 題は起 きない の か。［回答 】
（
1
）引 裂 荷 重の ような非 対称問 題で は
，一
般に応 力 関数は 重 ね合わせ を利 用してその境界 条 件を表 す 必 要 が あ る。 今 回の解 析で は付図1
に示す重ね合わ せ を用い た。 すな わ ち引裂荷 重Po
は，
図 （A ）の よう に，y
軸に対称に帯板の両端か ら一
定 幅e に一
様な引張 り荷重 PD12 が 作 用 する場 合と同 図 （B）の ように，
y 軸 に反 対称に引 張 り，
圧 縮 荷 重 （大きさは いず れもPo
！2
） が作用 する場 合の重ね合わ せ として表 さ れる もの と し た。 な お本 文 中の X、 が 図 （A ）に，
Xtが 図 （B
）に対 応 する各応 力関数である。旦
2
e
（
A
）
e
y
▲ 丁 鹽・
■ 91卩
2
付 図1
e
、1
●1
e
相 模工業 大 学 紀要 第 23 巻 第 2 号 （2） 御指摘の よ うに応 力 関 数を用い て変 位 成 分 u
