いわゆる「ウィーナー・ヒンチンの公式」とパワースペクトルについて

　 MEMO ：皿80F 　SHONAN 【N億 暦1詈U 層 隅 OF 　DxeENOT ρ oy 　 　 Vo1

．

26

．

　No

．

1

，

1992 い

わ ゆ

る

「

ウ

ィ

ー

ナ

ー

・ ヒ ン

チ

ン

の

公

式 」

と

パ

_ワ

ー

_{ス ペ}

_ク

_ト

_ル

_に

_つ

_い

_て

杉 　 山

宏

＊

On

　

the

　

So

−

called “

Wiener

−

Khintchine

’s　

for

皿 ula ” and 　

the

　　　　　　

Power

　

Spectrum

Hiroshi

　

SuGIYAMA

　　The

　expression

“

Wiener

．

Khintchine’

s　formula

”

often 　appears 　in　the　literature　of　science 　and 　tech

・

nology

．

　

But

　the　suitability 　of　the　naming 　is　doubtful

．

　 Here

，

　the　related 　treatises　and 　monographs 　are

widely 　surveyed 　and 　the　

following

　resuit 　

is

　obtained

．

　

That

　is

，

　the　content 　of　the

“

formula

”is

　dif

−

ferent

　according 　to　the　authors 　who 　adopt 　the　name

，

　and 　though 　considerably 　many 　_authors 　use 　this

term ，　a　Iot　of　authors 　do　not 　mention 　such 　expression 　at　all　and 　the　name 　has　not 　been　established yeし

　 　 Further　the　author 　carefu 且

1y

　examines 　the　original 　works 　of　

both

　Wiener 　and 　

Khintchine

　and 　out

・

lines

　the　three 　

fundamental

　concepts 　appearing 　in　the “

formula

” together　with 　the　relations 　among

them

_，

　

In

　Wiener

’

s　the　autocorrelation 　function　

by

　time　average 　

fQr

　a　

definite

　

function

　

is

　

introduced

and 　the　power 　spectrum 　

is

　de五ned 　as　the　inverse　

Fourier．

Stieltjes　transform 　of　the　autocorrelation

function

．

　

In

　the　autho ゴ s　opinion

，

　what 　

Wiener

　

did

　was 　nothing 　

but

　the　definition　of　the　power 　spect

・

rum 　and 　the　

physical

　meaning 　of　the　power 　spectrum 　has　not　been　made 　clear 　until 　now

，

　 While

，

in

　

Khintchine，

s　the　notions 　of　the　autocorrelation 　function　

by

　ensemble 　average 　and 　the　spectral 　dis

．

tribution　function　for　a　stationary 　stochastic 　_process 　are 　considered

，

　　After

　all

，

　the　author 　comes 　to　the　conclusion 　that　the　expression

“

Wiener −Khintchine’

s　

formura

”

must 　be　

fabricated

　by　someone 　by　connecting 　the　convenient 　_parts　of　the　works 　of　two 　_great　math

・

ematicians

，

　 Naturally

，

　the　author 　will　not 　support 　this　term

．

L

　 ま え が き 　 1985 年 9 月に

，

_{金 沢}で_開かれ た電 子 情 報 通 信 学 会 情 報理論研 究会の席上

，

表題の 「ウィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の 公式」 が話題 と なっ た。 発 端は数 学 者 本田郁二氏 （慶大 理 工学 部 ）が

，

周期的確 率過程に関する報 告のつ い でに 「ウ n

一

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の定 理とい う表 境が よ く出て く る が

，

その内 容が どう も は っ きり し ない 。 そこ で， こ こ に い らっ しゃ る佐 藤 洋 先 生 （電 気 通信大学 ） の書か れ た 情報 理論の教科書 を見た ら

，

自 己 相 関々 _数とパ _ワ

ー

ス ベ ク トル の 関 係を表わすも の で あ る と明 記し て あっ た の で

，

そ ん な もの かな と思っ た」 とい う様 なこ と を話され 　＊ 情 報工 _{学科　教 授} 　 　平成

3

年 10 月 9 日受 付 た こ とであ る

。

　そ の報 告の後

，

2

・3

の 人か ら関 連 し た発 言があっ た が

，

その要旨 は

，

　「物理学 者 が 使っ て い るだ けで

，

数学の定理で は ない 」 　「パ _ワ

ー

_ス ペ ク トル _{の定義その もの であ}っ て_，定理 とい うの は当ら ない _」 　「

一

つ の 関 数に 関 する話 し と定常確 率 過程の _話しが混 同さ れ てい て分 り難い」 　「パ ワ

ー

ス ペ ク トル なる もの も

一

体 何 な の か よ く分 ら ない」 とい うよ う なもの で あっ た 。 結 局

，

これは面 自い問 題で はある が長 くな りそ うなの で

，

何 時か 他の機 会にや りま しょ う とい う座長の集 約で終 り と な っ た

。

　ところ で

，

筆 者 以 前か ら

，

信 号の パ _ワ

ー

_ス ペ _{ク トル に}

湘 南工 科 大 学 紀要 第 26 巻 第 1 号 関心が あ り

，

その_意味 がよく分 ら ない の で何か 他の もの で 説 明がつ _{か な}い もの か と考えてみた こ と がある。 当然 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の公 式」とい う名 称に も関 心があ っ たの で

，

こ の機 会に 少し文 献 を 調べ て み た。 　以下で は

，

関 連 する ウ ィ

ー

ナ

ー

とヒ ン チ ン の仕事の _紹 介と

，

自 己 相関々数

，

パ ワ

ー

ス ペ ク トル

，

ス ペ ク ト ル 分 布 関 数の間の関 係 を概説を して

，

「ウ _ィ

ー

ナ

ー・

ヒ ン チ ン の 公 式」 とは何かとい う問題に つい ての筆 者の意見を述 べ _{さ せ} て_{頂 く。} 話 しの性質上純 粋な研 究 論文 とい う わ け では ないが

，

関連分 野の研 究 者に参 考に なる所 も あろ う と思 う。

2

．

文 献 調 査 「ウィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ンチ ン の 公 式 」

　

まず 最初に

，

「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の 公式」 （定理

，

関係と書いて ある もの も含 む ） とい う言 葉を 用い てい る 文 献を列 挙す る と

，

文 末に掲 げた ［1ト ［14］の よ う な も の がある。 こ の 中

，

［

1

ト ［

8

】は年 代の 旧い所 を並べ た も ので あ り

，

［9］

〜

【13亅は 日本 語の代 表的 と も 思 わ れ る もの である （選択はか な り恣 意 的であるこ とを 容赦して欲し い）。 各 文 献の 後の括弧 の中に書い たのは

，

その 中で用い て い る 「公 式」の 表 記法で _ある。 　これ らの 中で

，

［4】と ［6】 だ け は対 象が確 定 的な

一

つ の関数で_ある が

，

他はすべ て定 常 確 率過程 を対 象 として い る。 　これらの文献を眺め て い て考え たの である が

，

厂ウィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ソ チ ン の公 式」 な る用 語を使い 出した 元祖 （？） は

，

Goldman ［

1

］ あた りで は ある まい か とい うこ とで あるっ 　ま た

，

こ の よ うに多 くの 著 者が 「ウィ

ー

ナ

ー。

ヒ ソ チ ン _{の公 式」 と}い う言葉を使 っ てい る反 面

，

同 種の 内容を 扱っ た書 物で あっ て 「ウィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ソ チ ン」の名 前 す ら挙 げてい ない もの も数 多 く存在 する 〔［

10

】

〜

［

23D

。 　さ らに

，

上記の 文 献は いず れ も

，

工学 者 （乃 至 は 物 理 学 者 ）の書い た もの で

，

数学書には 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ソ チ ン の 公式」 な る ものが 載っ て い る ものを 見付け るこ と は で き なか っ た_。 只

一

つ _［14_］に

“

in　commemoration

of　the　_pioneering 　work 　of　Wiener 　and 　

Khintchine”

とい う 断 り書を つ _け た 上 で

，

定常 過程 の場 合に つ い て

「Wiener

・

Khintchine 　relation 」 とい _{う名 称}を述べ てあ る。 もっ と も

，

序文に よれ ばこ の書 物は確 率過 程の理論 を各分野へ 応 用 し よう とす る読 者を 対象とし た教 科 書で ある か ら

，

必ず しも数 学書とい う わ け に はいかない 。 　 以上 よ り

，

「ウィ

ー

ナ

ー・

ヒン チン の公式 」とい うの は 必ず し も市民権 を持 っ た 確立 した 用 語で は ない とい うこ とが分っ た。

3．

ウ ィ

ー

ナ

ー

と パワ

ー

ス ペ ク トル 　Nobert 　Wiener _（1894

−

1964_）は よく知ら れて い る よ う に， サ イバ ネテ ィ ッ ク ス の 提唱者で あり

，

多方面に わ た る天 才 的 学 者であっ たが

，

数学者として も超

一

流の仕 事 を残 し て い る。 その 中の

一

つ に

一

般 調 和 解 析とい うのが ある24）

−

2e） 。 そこで 彼は 初め て パ ワ

ー

スベ ク ト ル （ウ ィ

ー

ナ

ー

は単に spectrum と呼んでい る）の定 義 を 与 えた の であ るが

，

その辺の ところ を筆 者の理解し得た 限 り で 述べ _るとつ _ぎの よ うにな る

，

， ただし記 弓等は

一

部 変 更し た。

　

実数 軸

，一

。 。_〈t_〈。 。

，

上で定 義 さ れた複 素数 値をとる 可測 関 数

f

（t｝が次の 2条 件を満してい ると 仮 定 する。

　

（i） すべ て の τ に対 して

，

つ ぎの極 隈が存 在する

。

　　　　　　

羝

訓 ン

・t＋・・

f

・t・・’

　

（1） こ こ で

，一

は 共役 複 素 数を 示 すc こ の 極 限は τ の関 数で あるか ら p（τ）と か き

，

f

（t）の 自 己相関々 数 とい う。

　

（ii） q（τ）は

一

。 。_＜τ〈。 。 で r の連 続 関 数とするQ こ の と ぎ

　

　

・・A・

−

SL

、 ・ω ’

r

驀

竺

・・

　

　

　

　

　

＋

_鴨

（

∫

1

・

SIL

）

・

耐

器

・・ （・） で定義され る関 数 σ（λ）（

一

。 。＜i〈 QQ ）を ∫（t）の パ ワ

ー

ス ペ ク トル とい う。 こ こで

，

Li

．

m

．

と書い たのは平 均 自 乗 収 束 を 意 味す る。 　 自 己 相 関関 数とパ ワ

ー

ス ペ _{ク ト}ル の関 係は

，

　　　　　　　

・（・）一

∫

：

．

．

e… 2・

d

・（・）

　

（・〉 と書けるか ら

，

これ か らス ペ ク トル _なる用語を使 うこ と の正 当性が分る。

　

現在では

，

関 係 （

3

）を 出 すには Bochner の定理 （［27】） に よっ て容 易で あるが

，

ウ ィ

ー

ナ

ー

の時代に は Bochne の定 理は広 く知られ てい な か っ た ので

，

苦 労し たの だ と 思わ れ る

。

　 自己相 関関 数 が 連 続にな ら ない 例と し て

，

　　　　　　　　　

f

（t）

＝

sin  



_（

4

） とい う関 数が ある。 こ の 自 己 相 関 関 数は，

一

₂₆

一

い わ ゆ る 「ウ a

一

ナ

ー ・

ヒ ンチ ン の 公 式」 とパ ワ

ー

スペ _{ク ト}ル にっ い て （杉 山宏 ）

　

　

　

　

　

　

　

　

吽

罎

：

il

：

… と な る か ら

，

（3）の よ うなス ペ _{ク ト}ル _{表 現}は で きない D 　とこ ろで

，

以上は数学的 定義で あっ て

，

これだけで は パ _ワ

ー

_スベ _{ク トル なる もの の意 味が よ く分ら ない の で 例} を挙げる。

f

（t_）

＝

_Σ　c

_π

　e2πia_・t _（6_） とい う関 数を考え よ う。 項の 数は 高々 ロ∫算 個 とし

，

Cn は 複 素 数

，

2。 は相 異 なる実数 とする

。

また

，

取 り扱い 易い よ うに 　 　 　 Σ

ICnl

＜QQ _（

7

_） 　 　 　 n を 仮 定 する。 こ の ような関数は概周 期 関数の

一

部であ り 周 期 関数を含ん でい る。その 自己相 関 関 数を計 算 する と

，

　　　　　　　　

〜ρ（τ）

＝

Σ

ICn

　

12

　e2πt2nτ

　　　　

（8） とな る か ら

，

　 　 　 　 　o（2_）

＝

_Σコ

ICn

_［2

，

　

一

〇_{Q 〈}A＜ oo （9） 　 　 　 An ≧A とお くと

，

　　　　　　

・（・）

−

S

：

．

．

e…i2・　d・（・）

　

（1・_） と書くこ と が でぎて

，

σ_（λ_）が関数　

f

_（t_）の パ ワ

ー

ス ペ ク ト ル になる こ と が分る。 σ（2）は A

＝

A。 の ところで

Ic

。

12

だ けジ ャ ン プする階段 関 数であ り

，

そこに大きさ

ic

。「 2 の 線スペ _{ク ト}ル _を持つ _{と解 釈 さ れ 直 観 と}

一

_{致 する。} 　ところ が

，

パ _ワ

ー

_ス ペ _{ク トル に こ の よ うな 物 理 的} 意味 づ _{け が対 応 する}の は

，

  の よ う な特別な関 数の_{場 合}だ け であっ て

，

その他

一

般の場 合に 明快 な 物 理 的 解 釈 がで きる か どうか 不 明で ある　（少な く と も筆 者に は）

。

ま た

，

（6）の形の関 数は今 述べ た よ うに線スベ _{ク トル し か持た} ない わけ だ が

，一

体 全 体 連 続ス ペ ク トル _を持つ よ う な 関 数があ るの だ ろ うか とい _{う素 朴}な疑 問 を呈する 人に_遭っ たこ と も ある。 もっ と も

，

こ の 点に関し て は ウ ィ

ー

ナ

ー

自身が25 〕_{で 二つ の 例 を あげて連続 ス ペ ク ト}ル _（1つ は絶 対 連 続

，

他は特 異スベ ク トル _）の存 在 を 明 らかに し てい るのであるが。 　 ウ ィ

ー

ナ

ー

は大 論 文25）の は じめ に

，Shuster

の ペ リt ド グラム とい う概念を取り上げて

，

それか らヒ ソ トを得 て パ ワ

ー

ス ペ _ク ト ル _{を考 え 出}した と読め る よ う なこ と を 書い てい る。 ペ リ オ ド グラ ム とい うの は

，

関数 ∫（t）の有 界 区 間

，

［

−

T

，

T］にお け る 切 片の フ

ー

リエ 変 換か ら

，

　

　　

　

　

　

古

l

_！

ン

・脚 ・

t12

　

（… の ように定 義さ れ

．

る 量 で あるが

，

これの T→ QO の時の 極限 で もっ て パ ワ

ー

スペ ク ト ル の定義と し よ うとい う試 み が ある　（例 えば

，

Carson2B） ）。 残 念な が らこ の極 限 は

一

_{般には存 在 しない の で修正を必要 とする} 。 その ため に は，

　

　　

　

aT…

−

si

_．

． 、

劉

1

ン

ω趣 ・

tl2du

　 　 　 （12） とお く と

，

自己相 関 関 数 ep（τ_{） が}連 続で ある とい う条件 の 下で

，

　 　 　 　旦irn　aT（λ）

＝

σω 　 　 　 　 （13） 　 　 　 T

−．

co が σ（A）の すべ て の連 続 点で 成 立するこ とが証 明で きる。 した が っ て

，

式 （12）（累 積ペ リ オ ド グ ラム 〉の 極 限でも っ て パ ワ

ー

ス ペ ク トル の 定義とする こ と もで きる。 し か しながら

，

これ らの 二 つ の定 義は数学的に全 く同 値であ るこ と は今述べ _{た通 り で あ} る し

，

ま たベ _{リオ ド}グラム （11） ない し （13）の_物理的 意 味 もそれ程 明ら かなわけで はないD 　 ところで

，

確 定 関数の場 合に 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ンチ ソ の公 式 」 とい われるもの は

，

式 （3） ま た は その変 形に他 な らない が

，

式 （

3

）はパ ワ

ー

ス ペ ク トル の定 義式なの で あっ て敢て 「公 式 」 と呼ぶ ほ どの もの で は ない と思 うの である。

　

近 来

，

コ ン ビ

ュ

　

’

一

タ

ー

の驚 異 的発 達と数 値的に フ

ー

リ エ 変 換を算 出 する能 率の良い プロ グラ ム の発見に よ っ て ベ _{リ オ} ド グラ ム _（

11

_{） を 直 接 求}め るのが 容 易 とな り， そ れを以てパ ワ

ー

ス ベ ク トル と考 える場合 が多 くなっ た よ うで ある。 これに よっ て事態は多 少 変っ た よ うに も見え る

。

つ _ま り

，

こ こ で 計算し た量は

T

→ 。。 _{の極 限で は}パ ワ

ー

ス ベ _{ク トル に近づき ますよ}

，

_それを保証 す _るの が 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の 公 式」なの です よ と考え る立 で _ある

。

しか しな が ら

，

こ の よ うに考えた とこ ろ で

，

パ ワ

ー

ス ベ ク ト ル の本 性が明ら か に な る わけで は ない。

4．

ヒ ンチン と弱 定 常 過 程の スペ _{ク トル}

　　　　　　　

分 布 関

数

　ア レ クサ ン ドル

・

ヤ コ ヴレ ヴィ チ

・

ヒ ン チ ン （

1894−

1959）は ロ シ ア の数学者で あっ て

．

実 関 数 論

，

数 論

，

確 率 論等で

一

級の仕事をし てい る が

，

応 用に も関 心があ り 統 計 力 学

，

情報 理 論

，

ト ラ フ _{ィ ッ} ク理論に お げ る業 績は

湘 南工科 大 学 紀 要　第 26 巻 　第

1

号

有 名であ る。 彼の姓は ラ テ ン綴 り で は

，

Khinchin

，

　

Hin ・

こ

in，

　

Chintschin，

　

Khintchine

と様々 に 書かれ る がすべ

て 同

一

人物であるQ 　確 率 論に おい て

，

ヒ ン チ ンは重複 対数の法 則を確立 し たが有 名で ある が

，

本 稿に関 係 する （弱 ） 定 常確率 過 程 の 概 念を導入 しその ス ペ _{ク ト}ル _{分 解を}与_{え て}い る29） 。 　確率空 間 ｛

9 ，

f ，

P

｝上の 複素数 値を とる 確 率過 程

X

（t

，

　w）が 次の条 件を み たす とする。 　 　　 　 　E 【

PX

（ちの

12

］＜。。

， 一

。 。_くt_〈。。

，

　 （

14

） こ こ で _， E _{［ 】}は数 学 的 期 待 値で_あ り， （14）を み たす確 率 過 程は通 常 2次過程 と呼 ば れる

。

　さて

，

次の 二 つ の _{条件 を満す} 2 次過程を ヒ ン チ ン は （弱 ） 定 常 過 程で _あると定義し た。 　 　

E

［

X

（t

，

ω）］＝ m （m は t に無関 係 な 定 数 ）　 〔

15

） 　 　E［X（t十 T

，

　W _）X_（t_，　W_）］＝R_（r_）（τ のみの _関数_） 　 定 常 過 程

X

（tlω）がさらに条 件 　 　　 　 　 lim　E_［

PX

_（t十hsω_）

− X

（t_，ω_）

12

_］＝ O 　　 （16） 　 　 　 h→o を み た す とする と

，

（15）の下の式 R （r_）（これ も 自己相関 関 数とい う） は τ の連 続 関 数 と なることが証 明 され る。

Bochner

の定理に よ り

，

　　

　　　

　

R （・〉

一

∫

2

．． e・… r _・

F

_（・）

　

（

17

・ と な る ような有 界 単 調 増 加 関 数 F（R）が存 在 する こ と が いえ る。 こ の

F

（λ〉の こ と を 定 常 過 程 X（t

，

ω〉の ス ペ ク トル 分 布 関 数 と 呼び

，

式 （17） を ヒ ン チ ソ の 定 理 とい う

。

　 式 （17）を前節の式 （3）と比較 する と， 両者は全 く同 じ 形 をし て い るが

，

そ れ ぞ れ の両辺に現 れ る量は異な る もの である。 すな わち

，

同じ自 己 相 関 関 数とい う名 前 を もっ て いる が

，

（

17

）の左 辺の

R

（τ）は （

15

）に見る ように 数学 的 期 待 値 （い わゆるア ン サ ン ブル_{平 均 ）}であ り

，

（

3

） の 左辺 の g（r）は _時間軸上 の平均 値で_ある。 ま た

，

右辺 に現わ れ る量 も （

3

）の a（λ）はパ ワ

ー

ス ペ ク トル と呼 ば れ， （17）の F （λ）はス ペ ク トル 分布 関数である

。

　 前節に述べ _{た よ う}

VC，

パ _ワ

ー

ス ペ ク トル _とい う量は筆 者に は_何なの か その_{意 味}が よく分ら ない の であるが

，

定 常 過 程のス ペ ク トル_分布_関数の方はわ りとは

っ

き りし た 意味をもっ てい る。 すな わ ち

，

式 （17）は自己相関 関数 の ス ペ _{ク トル 表現で あるが}

，

_{実は確 率過程}

X

_（t

，

_ω）その もの も

　　

　　　

　

・_（・・）

一

∫

：

．． e… t ・_・（・2

_・

・_）

　

（・8_） とい う形に ス ペ _{ク トル 表 現 され るこ とが} ， これ もロ シ ア 人の コ ル モ ゴP フ に よっ て示 されて い る。 こ こ で

，

Y（A， ω_）は直交増分 を もつ ス ペ ク トル 測 度である。 　 y （dλ_，ω_）は_{確 率}パ ラ メ タ

ー

ω を含ん で い る か らラ ン ダム な測 度で_あり

，

スペ _{ク ト ル表 現 （}18_{）の意味 する と} こ ろは

，

定常過 程 X （t

，

ω）は 周波数 λ におい て ラソ ダム な振幅と位 相 を もつ 正弦 振 動

y

（

d

λ

，

ω）e2＝int _{を合 成 し} て得 られるとい うことである。 これ とスペ ク トル 分 布関 数との関 係は

　　　　　　　E

［

1Y

（

d

λ

，

ω）

12

】

＝

F（

d

λ｝

　　　　　　　

（19） であっ て

，

周 波 数 λ を もつ ラ ン ダム正弦波の平 均の強 さ を表わ して い るのがス ペ ク トル_{分 布 関 数}である とい う こ とに な る

。

こ の よ うに し て

，

ス ペ ク トル 分 布 関 数の方 に は

一

応の物理的 意 味 がつ くの である。

5．

エ ル ゴ

ー

ド理 論 　スペ _{ク ト ル 分 布 関 数}は， 確 率 過 程 とい う関 数の 集ま り （つ ま り

，

見 本 過程 の全体 ）に対し て定義された量であ り

一

_方

_，

ウ ィ

ー

ナ

ー

の

一

般 調 和 解 析ec現 れるパ ワ

ー

ス ペ ク トルは

，

単 独の時 間 関 数に対し て与え ら れ る 量であっ た。 本 節で は両 者の関係に つ い て考える。

　

定 常 過 程

X

（t

，

ω）に おい て確 率パ ラメ タ

ー

ω _を固 定 して_考える と

，

t の 関 数

，

す な わ ち見 本 過 程が得ら れ る わ けだ が

，

こ の 関 数に ウ ィ

ー

ナ

ー

の理論を適用 する こ と ができるQ 時 間 平 均に よ る自 己 相 関関数を作ると

，

　　

臨

古

∫

ン

（t・… ）x… ）・t

一

_ψ・

・

ω・

・

　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 （20） で あるが， これは

一

_{般に は ω の 関 数になる} 。 パ ワ

ー

ス ペ ク トル は，

　　　

　　　

ψ〔r

・

・）

−

r

_。

趣 （・… ）

　

（21） で定 義さ れる量 S_（λ

，

ω）で あ るか ら

，

これ も

一

般に は ω の関 数に なる。 つ ま り

，

どの見本 をと る か に よっ て パ _ワ

ー

ス ペ _{ク ト}ル は変 化 する の で ある。 　 式 （

20

）

，

（

21

）の両 辺の数 学 的 期 待 値 を とる と，

　　　　　　　　

E ［ψ（τ

，

ω_）】

＝R

（τ_）

　 　 　 　

（22） 　 　 　　 　 　 　　

E

［s_（λ

_，

ω｝］

＝

F

（λ）　 　　 　 　 　 （

23

） である か ら

，

個々の見本過 程のパ ワ

ー

スペ ク トル _{を 確 率} 過 程全体に わ た っ て平 均し たものがス ペ ク トル 分布関数 で _ある とい _うこ とに なる

。

　本 節の 表 題｝こ掲 げたエ ル ゴ

ー

ド理 論は

，

確 率過程の よ うに ， 時 間 と確 率の両 方に関 係 する量の時 間 的お よび確

一

₂₈

一

い わゆる 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ンチ ン の 公 式」と パ ワ

ー

ス ペ ク トル につ い て （杉山

　

宏 ） 率 的 （ア ン サ ン ブル _{） 平 均の 間の関 係}を 扱 う もの で あっ て

，

これ を わ れ わ れ の 対 象と して い る弱 定 常 過 程の場 合 に適 用 すると以

一

ドの よ うで ある3°）。 　弱 定常過程

X

｛t

，

ω） がつ _{ぎの 条 件を満 すと す}る

。

　

B

，

．

（τ） 　 　≡ E _［

x

_（t＋h＋τ

，

ω）x（t＋τ

，

ω）x （t＋h

，

　tU）x（ちω）」 　 　 　 （24） は t に 無 関 係で あ り

，

さ ら に

　

　

　

　

　

臨

古

！

l

。瓦 ω ・・

−

1

… ）

1

・ ・25・ が成 立 する とするa こ の条 件の下で は

，

時間 平 均に よ る 自己相 関 関 数 ψ（τ

，

ω｝（（21）式 ）は確率 1で ω に 無 関 係 と な るt

、

す な わ ち

，

これ と （22） を あ わせ る と

，

　

　

　

　

夢

ユ

、

レ

1

二

TX ・ ’_畑

師

_）・t 　 　　 　 　 　＝ 」

E

［

X

（t十τ

，

ω）

X

（t

，

ω）

1

　　　　　　　 （26） 　条 件 （24）

，

（25）が満 さ れるよ う な 弱 定 常 過 程 （仮 りに 2次 エ ル ゴ

ー

ド_的で _ある と呼ぶ こ とに しよ う）X（ちω） に対 して は

，

どの 見 本をとっ て来て も， その 時間 ’

F

_均に よ る 自己相 関 関 数は い つ _もア ン サ ン _ブル _{平 均}に よ る自己 相 関 関 数に等 し い こ とに な る

。

これ よ り

，

本 来は見本 に 依存する筈の パ _ワ

ー

_{ス ペ ク トル も見 本に無 関 係に同 じも} の と な り

，

結 局はス ペ ク トル 分 布 関 数に等 しい とい うこ とに なる。 　 こ れだけの 仮 定をおい た上 で成 立 する

　　

　

E

・・（・＋… ）・・・… ユ

ー

∫

r

．。 e・

’

・・r _・ ・（・） （27・ とい _う式 （右_辺の σ（λ）が見本に よらない 同

一

の パ ワ

ー

ス ペ ク トル で ある）が

，

2節で紹 介し た文 献の多 くでい う 「ウ イ ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の 公式」である。 　中に は さらに限 定 し て

，

パ ワ

ー

ス ペ ク トル σ（λ_{〉 が 絶} 対連続で あっ て密度 ♂（2）を持つ 場 合に成立する

　　

　　　　

　

a・ （2）一

レ

・）e

“

… コ

・

　

Cl

・

　

（

28

・ を 「ウィ

ー

ナ

ー・

ヒ ン チ ン の 公 式」 と称えて い る文 献 も ・多い 。

6．

む 　 す 　び

　

以 上の 説 明か ら明 らか に な っ たこ と は

，

「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン _{の公式」なる名 称}は 人に よ っ て 内容が ち が うこ と

，

ま た

，

多くの文 献で は ウィ

ー

ナ

ー

の定 義とヒ ンチ ン の理 論 をつ なぎ 合わせ

，

2次J

・

ル ゴ

ー

ド的な弱 定 常過 程 に 対し て成 立 するとこ ろの

，

ア ン サ ン ブル _{平 均に よ る自} 己相 関 関 数と

，

見 本に よ ら ない パ ワ

ー

ス ペ ク トル の間の 関 係 を 指してい るこ と が分っ た。 　これで， 世に い う 「ウィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ンの 公 式 」の 正 体 （？） は 大 体 明 らか に な っ た と思 う。 つ ぎは

，

その用 語の正当 性とい うこ とに なる が

，

通 常の 公式 と は

一

寸 性 格が異な るの で

，

各人の 好み に まか せ る の がまあ 妥 当 な ところ で は ないか と思 う。 ちなみ に

，

筆 者 自身はこ の名 称を用い る気に はな れ ない 。 ま た

，

2 節で述べ たよ うに こ の名称は か な り広 く使われて は い る が

，

使わ ない 著 者 も 多 く

，

完 全に市 民 権 を得てい る と は言い難い のが現 状 であろ う。

　

実用 的 な 見 地か らは， 限 定 し た 場 合 に 成 立 す る公式 （27） また は （28）が広 く使われ てい るの で

，

これに 対 し て ウィ

ー

ナ

ー

と ヒ ン チ ン の 貢献 を 記 念 し て 「ウ ィ

ー

ナ

ー ・

ヒ ン チ ン の 公式 」と呼び度い とい うの で あれば

，

そ れで宜 しい では ない か とも 思 うの で あ るが

，

彼 等の 偉 業 はその よ うな ゴマ ス リ （？）を越えて永 遠に輝 き続け るで あろ う か ら無 駄な事だと も思え る のである

。

） 1 ） 2 ）

3

）

4

）

5

） 6 ） 7 ） 8 ） ） Q

_」

0

　 1 11）

12

） 文 献

Go 且dman ：

Information

　theory

，

　

Prentice．

Hall

（

1953

）（Wiener

，

s　theorem ）

．

V ．D ．

　

Ziel

_：Neise

，　

Prentice−HaH

（1954）（Wie

．

ner

．

Khintchine

’

s　theorem _）

．

Tsien

： Engineering 　 cybernetics _，　 McGraw

−

Hill

（

1954

）（

Wiener

　

Khintchine

　relations ）

．

Brillouin：

Science

　and 　information 　 theory

，

Academic 　

Press

_（

1956

_{） （}the　Wiener

．

Khint ．

chine 　

formula

_）

．

Bendat ：

Principles

　and 　applications 　of　ran

．

dom 　 noise _，　

Wiley

_（1958_）（Wiener

．

Khinchin

relation ）

．

Lee

：

Statistical

　theory 　of　communication ，

Wiley

（1960）（Wiener 　theory 　for　autocorrela

．

tion）

．

Bell

：Electrical　noise

，

　

Van

　

Nostrand

（

1960

）

（Wiener

−Khintchine ’

s　theorem ）

．

Middleton

：

An

　

introduction

　 to　statistical

communication 　theory

，

　

McGraw ．

Hill _（1960）

（

Wiener ．

Khintchine

　theorem ）

．

関： 雑 音

，

岩 波 全 書 （

1954

）（

Wiener

の 定 理）

．

理 化 学辞 典 （第 3版 ）， 岩 波 （1971）（ウィ

ー

ナ

ー。

ヒ ン チ ン の 定 理 ）

．

佐 藤 ： _{情 報理 論} ， 裳華 房 （

1973

） （

Wiener ・

Khint

．

chine の公 式）

．

目 野 ： ス ペ ク トル解 析

，

朝倉　（1977） （Wiener

．

Khintchine の公 式）

。

vats=pt

±

\tept

es

26

#

ee

1

g

13)

_{tsm.ppee.Jcat:}

_{ReptE!ogerLJtsm,}

_HM

(1967)

(Vi-t-

. u yf tzoftat).

14) Parzen: Stochastic _processes,

_Holden-Day

(1962},

15}

Rice:

Mathematicai

analysis of random

noise,

BSTJ,

23, 24

(1944,

45),

16)

Bennett:

Methods of solving noise

_problems,

Proc.

IRE, 44

(1956).

17) Laning-Battin:

Random

_processes in

matic control, McGraw-Hili

_(1956).

18) Blackman-Turkey:

The

rneasurement of

power spectra from _{the point} of view of

communication engineering,

BSTJ,

37

(1958).

19) Dayenport-Root:

An

introduction to the ory of random signals and noise,

Hill

(1958),

20}

Schwartz:

Information

transmission,

lation,and noise, McGraw-Hill

(1959)

21) Wezencraft-Jacobs: Principle of

tion engineering, Wiley

(1965).

22)

_ee:

_eragede,

_t-A3E

_(1969).

23)

eefF:

reXptptor,

ppte

(lg74).

24) Wiener: The spectrum of an arbitrary func' tion, Proc.

London

Math.

Soc.

(2),

27

(1928).

25)

Wiener:

Generalized

harmonic analysis,

Acta

Math. 55

(1930).

26)

Wiener:

The

Fourier

integral

and certain

of itsapplications,

Cambridge

UP

(1933).

27) Bochner: Vorlesungen Uber Fouriersche

tegrale,

Akademische

Verlagsgesellschaft

M.B.H.

(1932),

28)

Carson:

The

statistical energy-frequency

spectrum of random _{disturbances, BSTJ, 10}

(1931).

29)

Khintchine:

Korrelationstheorie

der

ilren stochastischen Prozesse,

Math,

Ann.

109

(1934).

30)

Yaglom:

An

introduction to the theory of

stationary random

functions,

Prentice-Hall

{1962),