モーヤル積を用いた弦の場の理論の記述

モーヤル積を用いた

モーヤル積を用いた

弦の場の理論の記述

弦の場の理論の記述

岸本

岸本

功

_功

( (東大理東大理)) 共同研究者：

共同研究者：I.BarsI.Bars, , Y.MatsuoY.Matsuo

Phys.Rev.D67:066002,2003 [hep Phys.Rev.D67:066002,2003 [hep--th/0211131]th/0211131] Phys.Rev.D67:126007,2003 [hep Phys.Rev.D67:126007,2003 [hep--th/0302151]th/0302151] JHEP 0307:027,2003 [hep JHEP 0307:027,2003 [hep--th/0304005]th/0304005]

参考文献

参考文献

• E. Witten,

“Noncommutative Geometry And String Field Theory,’’

Nucl.Phys.B268:253,1986

• D. J. Gross, A.Jevicki,

Nucl.Phys.B283:1,1987; Nucl.Phys.B287:225,1987,…

• I.Bars,

“Map of Witten's * to Moyal's *,''

Phys.Lett.B517:436-444,2001[hep-th/0106157]

• I.Bars, Mastuo,

Phys.Rev.D65:126006,2002[hep-th/0202030]; Phys.Rev.D66:066003,2002[hep-th/0204260]

Introduction

Introduction

•

Wittenの開弦の場の理論(1986)

主に

Senの予想を示すのに復活。(1999)

[Sen-Zwiebach,…]

＋

非可換ブーム

(1999)

[…,Seiberg-Witten,…]

1

1

2

,

B

3

,

S

=

Ψ

Q

Ψ + Ψ Ψ ∗ Ψ

従来、Wittenの弦の場の理論を「記述」する方法として Oscillatorによる定式化[Gross-Jevicki,…] CFTを用いる方法[…,LPP,…] 等がよく使われていたが、、、 非可換空間上の場の理論の拡張・類似で Moyal積を用いて記述できるのでは？

Wittenの＊積 ⇒ モーヤル★積

• Bars流(2001) ～変数のラベルが離散的 . ( ) 0 0 2 2 1 2 exp : !( )! k l k _{k l k l l k l} l k l l k l k l i i x p p x x p p x f g f g fg f g i f g l k l x p p x θ θ θ − − − ∞ − − = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎜ ⎟⎟} = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − _{∂ ∂ ∂ ∂} ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

∑

∑

★ 　　　

ここではBars流のMoyal積による記述を考える。 単なる書き換えだけではなく、

正則化

もする（をめざす）。

↑

• 素朴に計算してるとしばしば微妙な結果に出くわす。 ∞×∞行列、中点の扱い、など、、、。 • 正則化にはDLMZ流よりもBars流のほうが適している。 ⇒

Moyal formulation of String Field Theory

Half string

Half string

から

から

Moyal

Moyal

定式化へ

定式化へ

•

Wittenの＊積

～

無限行列の積

M

IJ A A＊B

_～

（

_A＊B

）

IJ

＝∑

K

A

IK

B

KJ B

• 式で書くと：

と右半分と左半分に分けて

Wittenの＊積を

のように定義する。

（ただし中点の自由度は微妙） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 / 2 2 cos , / 2 0 / 2 ( ) 2 sin , / 2 0 / 2 ( ) 2 cos , / 2 n n b gh n _b n c gh n _c n l X x x n r l b i x n r l c c y n r µ µ µ µ µ σ σ π σ σ π σ π σ π σ σ π σ σ π σ π σ π σ σ π σ σ π σ π σ π ∞ = ∞ = ∞ = ⎧ ≤ ≤ ⎪ = + _{= ⎨} − ≤ ≤ ⎪⎩ ⎧ ≤ ≤ ⎪ = _{= ⎨} − ≤ ≤ ⎪⎩ ⎧ ≤ ≤ ⎪ = + _{= ⎨} − ≤ ≤ ⎪⎩

∑

∑

∑

　　　 　 　　　 　 　 　　　 　 1 2 1 2 [ , , ; , , ] [ , , ; , , ] [ , , ; , , b c b c b c b c b c b c b l l l r r r Dw Dw Dw l l l w w w w w w r r r µ µ µ µ µ µ = −

∫

＊ Ψ Ψ Ψ Ψ c ]

• 元の非零モード の半分 についてフーリエ変換するとhalf-string の＊積 が (anti-)Moyal★積にmapされる：

(

x_nµ , x_ngh, y_ngh

)

(

_xoµ _{, xe}gh_{, ye}gh

)

Moyal定式化での座標 普通の座標表示 フーリエ変換

(

x_eµ, x_oµ , x_egh, x_ogh, y_egh, y_ogh

)

(

_xeµ _{, pe}µ_{, xo}gh_{, po}gh_{, yo}gh_,qogh

)

=_:ξ

( , , ; ,

l l l r r r

b c b

,

c

)

＊

_Moyal

_Moyal

★

★

積

積

half string定式化での座標

簡単のため2変数の例：

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 : [ , ]exp [ , ] , exp , 2 2 [ , ] [ , ] : , 2 2 2 2 2 i x p ipy p x ipy ipy x p p x A x p A x p y y i y y dy y y A x p dye A A x dy x x e x x e dy d x x x p y − − − ⎡ ⎤ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = Ψ _⎢ + − _{⎥ ⎜} ∂ ∂ − ∂ ∂ _⎟Ψ _⎢ + − _⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = Ψ _⎢ + − ⎥⎦ Ψ + ⎣

∫

∫

∫

　　で場の対応を定 　 義すると ★

(

)

1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , exp , 2 2 2 2 2 , , 2 2 2 2 , 2 , , 2 ipy ipy x x ip y y ipy y y y y x e y y x x e y y y y y y y y dy dy e x x x x y y y y y z x y y dydze x z z x − − − + − ⎡ ₋ ⎤ ⎛ _{∂ − ∂} ⎞_Ψ ⎡ _{+ −} ⎤ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ _{⎝ ⎠} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + − − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = Ψ _⎢ + − _⎥Ψ _⎢ − − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − = + = − ⎡ ⎤ = Ψ _⎢ + _⎥Ψ − ⎣ ⎦

∫

　　　 　と置き換えて 1* 2 2 2 , 2 ipy y y dye− Ψ Ψ ⎡x + x − ⎤ ⎡ _{⎤ =} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦⎥

∫

∫

• 零モードも含めて弦場のmapを具体的に書くと

(

)

0 0 0 2 ( ) 2 2 0 0

,

,

,

,

,

,

ˆ

gh gh gh gh gh e o e o e o e ip x c wy p x q y Nd gh gh o e e gh gh e n n n T S R

x

d

x

dc dx dy e

e

x

wx c x x

y

A

ξ

ξ ξ

− − − + +

×

+

Ψ

∫

∫

∼

　　　　　　　

0 0 0

(

,

,

,

,

) |

e e gh gh n n n _{x x w x}

x

c x

x

y

µ µ µ µ µ = +

Ψ

• ここで無限行列

T,R,S,w,v を導入した：

• 無限行列の積の結合性の破れ

計算をwell-definedにするため、正則化する必要あり。

(

)

(

)

(

)

2 2 0 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 / /

cos( )cos( ), cos , sin( )sin( ),

, , , , . eo e eo o e o e o e o e eo oe eo e o e T d e o w S d e o oi e i ei i T R S w i v o e o o e o e o π π π π π σ σ σ σ σ σ π π π π − + − + − + − − + = = − = = = = = = − − −

∫

　

∫

0

0

1

(

)

v.s.

(

)

, ...

R Tv

= ⋅ =

R

　　

　

RT v

= ⋅ =

v

v

Regularization

Regularization

• 無限行列の正則化：有限行列へ をe→κe,o→κoとしN×N行列の関係式へ： 逆にこれを定義だと思うと (N,κe,κo)からT,R,S,w,vがあらわに定まる。 2 2 1 , , , , oe eo oe eo o e o eo e e oe o e o eo eo R o T e R T v w v T w w R v T e S o − − = = + = = =

∑

∑

2 2 1

,

,

,

,

.

o e e o

R

T

R

T

vw

v

Tw

w

Rv

T

S

κ

−

κ

−

=

= +

=

=

=

　

　

　

κ

κ

• 解いた結果は 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 ' ' 2 ' 1 ' 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 ' ' ' ' , , , / 1 1 / , . / 1 1 / e o o e o e e o e o eo oe eo e o e o e o e o o e e o o e e o e e o o e e o o w v w v w v T R S w i v i κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ − − ≠ ≠ = = = − − − − − = = − −

∏

∏

∏

∏

　 　 　

(

)

(

)

2 2 2 2 ( ) o o e e z f z z κ κ − = − ∏ ∏ 実際、 _と置くと 2 2 (0) 2 2 ( ) , ( ) (0) Res _Res o _e o e z _z o e f f z v w f z f κ _κ κ = κ ₌ = 　　 = _{などとして計算できる。} （符号はN=∞とconsistentに決める。）

これらの有限行列は次の関係式を満たす

(

)

(

)

1, 1, 1 , 1 , 1, 1 , , , 1 1 1 1 , 1 1 . ww w ww TT Tv vv w TR RT RR w ww ww Rw ww TT v v ww RR v S S w S v S v w = = = − = = + + + = = + = − = = + = + + 2 2 1 e e o o ww κ κ + =

∏

∏

※特に はもとの無限行列に戻る極限で∞

MSFT

MSFT

[BM2,BKM3][BM2,BKM3]

• セットアップ

（

N,κ

e,

κ

o

）

,

e=2,4,…,2N, o=1,3,…,2N－1

2N個のfrequencies

→ 正則化された行列T,R,S,w,vが決まる。

•

Moyal Field

d+1個（zeromode）＋(2Nd+4N)個の変数 非可換座標

ˆ ( , , )

₀

A x

ξ

ξ

• 作用

(WittenのSFTのゲージ固定した作用の正則化) Siegelゲージをとっている 1 2 2 1 0 0 2 2 4 2 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 2 1 1 2 4 1 2 4 2 1 1 1 2 2 3 / / det det exp , Tr= , ( ) ) Tr ( , . gh gh d gh gh gh gh gh gh gh gh Nd dN N gh Nd N n d n d M M S d x A L A A A A d d d p D M D M L _{ξ ξ} ξ ξ ξ ξ σ ξ ξ ξ ξ σ ξ _{ξ ξ} π ξ ξ Σ Σ κ κ κ κ κ ★ 　 　　 ★ 　 ★ ★ − − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − _⎜ − + _⎟ ⎝ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ = − + ⎠ − + −

∫

∑

∫

(

)

(

)

ˆ _{, , ,} A x ξ ξ = ξ A x ξ

Consistency check

Consistency check

• MSFTでの「ノイマン係数」を

で読み取るとGross-Jevickiの関係式と一致。 （open string limitでは数値的にも一致。）

⇒ 相互作用項が正しく翻訳されている。

• 1-loop vacuum amplitudeのあらわな計算

正しいスペクトラムを再現する。 ⇒ 運動項も正しい。

(

)

( ) ( ) ( ) , exp _{0 00 0 0} 1 2 3 0 0 0 3 1 2 3 1 2 3 3 1 1 2 2 Tr rs s r r s s r r r rs s r r s d a V a a V p V p p c X b c X b d x d d d V p A A A V ξ ξ ξ − − − − − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ Ψ Ψ Ψ

∫

∫

∼ r† † † † † † ★ ★

( )

(

)

(

)

0 ( 2) ( 2) 2 2 0 0 2 1 1 Tr e o d d _{d d} L d e o d p e−τ π τ − e−τκ − − e−τκ − − > > =

∏

−

∏

−

∫

　　

応用

応用

• 摂動論

[BKM1]

非可換空間上の場の理論の類似

バーテックスに位相因子～Moyal積 プロパゲータがやや複雑 しかし基本的にGaussian積分だけ。

• 非摂動真空

[BKM2]

を解けという問題に帰着

。

一般にはやはり難しいが… 0

(

L

−

1)

A

+

A

★

A

=

0

splitting limit splitting limit：：κκee==κκoo では厳密に解けるでは厳密に解ける。。

閉弦との結合

閉弦との結合

(

)

(

)

( )

1 1 ( 1) 2 0 1 : / 2 / 2 . : 0 1 n n n n n n c b I O I V I O I e c c p A

dx f

x

α α π π − − − − ≥ ⎛ ⎞ − − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ΦΨ = Ψ Ψ ∑ = =

∫

∫

∼ [Hashimoto-Itzhaki] 作用にソース項を次の形で入れてみる： ここで はidentitiy strin ～ 　 　　　　　　　　 g field(にccをかけたもの） 。 これはMSFTの言葉ではMoyal積の単位元： より、ＭＳＦＴではソース項は

　

_TrA

_Ψ

( )

_x

_,

ξ

_.

課題

課題

•

「ゲージ不変」な作用を書きたい。

有限個の変数での「ＢＲＳＴ operator」は、 素朴に作ると ベキ零性 が壊れる。

•

super化をする。

テクニカルには

•

Veneziano amplitudeをあらわに再現する。

•

非摂動真空解を解析的に求める。

Appendix

Appendix

2 4 tanh ( ) ( ) ( ) ( ) e _{e e e e} i x p p x d i x p p x θ πκ κ κ κ κ κ ⎛ _{⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞}⎞ − ⎜ _{⎜⎜ ⎟⎟}⎟ ⎜ _{⎝ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ _{⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞}⎞ − ⎜ _{⎜⎜ ⎟⎟}⎟ ⎜ _{⎝ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠}⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

★=exp ★=exp Wittenの＊積をMoyal★積であらわす方法： Bars流 DLMZ流 bcゴース G 　 ト部分も rass で それぞれあら mann od わされる [ dな変数のMo Erler,B y l 。 a 積 KM3]

非零モードの運動量表示で書くと

(

)

(

1

)

2 4 1 1 1 2 2 exp _{i j i}gh gh_j Nd _n N gh _ngh i j i j η η η η η ση δ η η δ < < Σ + + ⎛ ⎞ − − + + ⎜ ⎟ ⎝

∑

∑

⎠ MSFTでバーテックスは

(

)

( )2 4 2 0( ) ' ' 2 ( : ) ( ) (...) exp( , ' 2 ) , ', , Nd gh gh gh gh N Nd gh i L p i d d e e e p ξ ξη ξ η e τ e ξη ξ η π ξ η η

η η τ

− − − = =

∫

∆ プロパゲ ～　　調和振 ータ 動子 の の 次式 は 　　 多変数版

(

_{0 0}

)

0 0 0 0 0 ' ' 1 2 2 4

(

1)

,

(

)

,

,

(

)

1

oscillators

> > − − > − − −

−

=

+

+

=

+

+

−

=

+

∑

∑

∑

∼

e o e o b c c b e e e e e e e e e e ee d

L

A

A

A

A

w w

ww

− κ κ

γ

κ β

β

β

β

β

β

ν

ν

γ

γ

L

L

L

★

★

と分解できてsplitting limitでは 項が消え

⇒　このと

★

★

★

る

き厳密解

₂

₀

_,

,

.

= −

=

=

P

A

P

P

P

P P

P

L

L

L

★

★

★

★

( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 1 , 2 1 ( )( ) : : 2 M m M M n M B m n m n k k m n k m n k m n k M n n m k M m matter matter m n m n m M n M M m n n m k m n k n m k m n m n k Q c c n k c c m k c c L L m n k m n c c c b α α − α α − − − − − − + = = = − + = = = − + − − ≤ ≤ < + − − − + + + + + = − + − + ⎡ ⎤ + _{⎣ ⎦} + − − −

∑∑

∑

∑∑

∑

∑

素朴に正則化する（M=2Nでモード 　　 を 　 切る 　 ）と 　 　　　 { , } 3 0 1 2 24 1 26 2 6 6 or or M M m n k M m n k M m n k M m m m d a d c c m m ≤ < + − < − + < − − − = − − − ⎛ ⎞ + _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

　 　 　 　 となって零にならない。 →　素朴にMSFTに翻訳したのでは作用はゲージ不変にな 　　　　 らない。