点支持を有する偏平シェルの線形解析 : 行2辺が面
内変位を拘束した固定支持, 他の平行2辺に点支持
を有する偏平シェルの静的, 及び固有振動数解析
著者
皆川 洋一, 前畑 達実
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
27
ページ
103-117
別言語のタイトル
Linear analyses of shallow translational
shells with point supports : static and
natural frequency analyses of shallow
translational shelld clamped along parallel
two edges and supported with points on the
other edges
点支持を有する偏平シェルの線形解析 : 行2辺が面
内変位を拘束した固定支持, 他の平行2辺に点支持
を有する偏平シェルの静的, 及び固有振動数解析
著者
皆川 洋一, 前畑 達実
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
27
ページ
103-117
別言語のタイトル
Linear analyses of shallow translational
shells with point supports : static and
natural frequency analyses of shallow
translational shelld clamped along parallel
two edges and supported with points on the
other edges
点支持を有する偏平シェルの線形解析
一平行２辺が面内変位を拘束した固定支持，他の平行２辺に点支持を 有する偏平シェルの静的，及び固有振動数解析一皆 川 洋 一 ・ 前 畑 達 実
（受理昭和60年５月31日） ＬＩＮＥＡＲＡＮＡＬＹＳＥＳＯＦＳＨＡＬＬＯＷＴＲＡＮＳＬＡＴＩＯＮＡＬＳＨＥＬＬＳＷＩＴＨＰＯＩＮＴＳＵＰＰＯＲＴＳ −StaticandNaturalFrequencyAnalysesofShallowTranslationalShellsClamped alongParallelTwoEdgesandSupportedwithPointsontheotheｒＥｄｇｅｓ− ＹoｕｉｃｈｉＭＩＮＡＫＡＷＡａｎｄＴａｔｕｍｉＭＡＥＨＡＴＡThispaperadoptstheGalerkin'smethodtoanalyzeshallowtranslationalshellswithpoint
supports，andexaminestheeffectsofGaussiancurvaturesandboundaryconditioｎｓｏｎｄｉｓ‐
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序 一般のシェルは，その形状に応じた座標系を導入し て解析しなければならないが，偏平シェルは偏平理論 を導入すると直交座標で解析することが可能となる。 この理論を導入して得られる偏平シェルを支配する Vlasov式に基づいて，偏平シェルは解析されるのが通例である。Vlasov式に基づくことにより，４隅点
が同一平面上にあり射影面が矩形であるシェルは，辺長比γ，Gauβ曲率比入，スパンライズ比ﾉu，及び
Poisson比,ﾉをパラメータとして，それらパラメー タの変化に伴うシェルの挙動の推移を統一的に調べる ことができる。GeneralizedLevy解を用いて各種の境界条件の
もとで，偏平シェルの静的解析が行なわれている:''2Ｉ
その中で，周辺ローラー支持された完全ＨＰシェルの場合，曲率の効果がなく平板に近い挙動を示し，中央点
の変位においては，周辺ピン支持の場合と比較して約２５倍もの変位を示すことが報告されており?，副周辺で面内
変位を拘束することの重要性が指摘されている。しか しながら，現実のシェルが周辺ピンや周辺ローラーの 境界条件に近い形で利用されることは少なく，すそ梁 や小柱によって端部が支持されるものと考えられる。 一方，シェルを支配するパラメータがシェルの挙動 へ及ぼす影響を的確に把握するためには，一様静水圧 のもとでの静的解析のみでは不十分であり，これらパ ラメータがシェルの剛性行列の固有値及び固有モード へ及ぼす効果を調べる必要がある。固有振動数は重要 な固有値のひとつである。しかし，GeneralizedLevy解を適用して固有振動数を解析する場合，特性
方程式の係数の中に未知の固有振動数が入ってくるた め，振動数方程式を解析するのが困難になることが報告されている4)。
ここでは，静的解析，固有振動数解析の両方に適用 できるGalerkin法を利用して，点支持を有する偏平シェルの挙動を調べる。研究の一環として6)，平行
２辺で面内変位を拘束した固定支持とし，他の平行２ 辺で任意の数の点支持を有する偏平シェルを解析する。 解析手順として，まず，平行２辺が面内変位を拘 束 し た 固 定 支 持 ， 他 の 平 行 ２ 辺 が 自 由 辺 で あ る 偏 平 シェルの解析を行ない，次に点支持を有する偏平シェ ルの解析を行なう。点支持を有する偏平シェルは付帯 条件のある変分問題であり，自由辺を有する偏平シェ ルにおける自由辺上に点支持を付加し，その点におけ る変位拘束条件を新たに追加して解析される。／ 104 グ １．偏平シェルの形状 ここでは中立面の形状が次式で表わされる，射影面 が矩形で，４隅点が同一平面上にある偏平シェルを扱 う。（図１）
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一P+,伽諜)伽加叶什
窯州幾ＭM’筈-Ｗ伽)d叶ノ
獅一蜘 到 Ｎ 抑一一師割恥制
伽一師券刊
一一一一おお
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い=０） ／ 虎 (入>０） いく０） 図 ２ シ ェ ル の 形 状 変 化皆川・前畑：点支持を有する偏平シェルの線形解析
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（５）(4)式から得られるＥｕler方程式と(5)式がVlasov
型偏平シェルの基礎式である。 ｙ自由辺
司 由 必 図 ３ 自 由 辺 を 有 す る シ ェ ル １０５ Ｘ３．自由辺を有する偏平シェルの解析
図１に示すシェルにおいて，Ｚ/＝±b/２が自由辺であり，工＝０，αにおいて面内変位を拘束した固定支
持であるシェルの解析を行う（図３）。また，ここでは，〃＝a/２，ｚ/＝Oに関して対称変形する場合を扱う。
解析手法は，法線方向変位切に関して支持辺では 幾何学的境界条件を満足し，自由辺での境界条件を導 入できるように仮定する。その仮定した変位”を用 いて(5)式の適合条件式より応力関数‘の一般解を厳密に求め，(4)式のＥｕler方程式に代入し，Galerkin
法を適用する。それにより，離散化された運動方程式 が得られる。 この偏平シェルの境界条件は次式となる。 〃＝０，αで〃＝ａ”/ａｃ＝０，ｕ＝Ｕ＝Ｏ （６−ａ，ｂ） zﾉｰ±b/2でMzﾉｰVz/=０，Ｍ/=NJcz/=0 （６−c，。） 法線方向変位は，（６−α）式の境界条件を満足し， Jc＝a/２，ｚ/＝０に関して対称な変形を表わすように仮 定する。さらに，条件Ｍ１/＝Ｖｚ/＝０(z/＝±ｂ/2)が導 入できるように未知パラメータを追加し，それら条件 式をFourier級数に展開した時の定数項の処理の為 の代数関数も追加する。よって,法線方向変位めい， z/）は次式のように仮定する。"
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(7)1０６ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ７ 号 （ 1 9 8 5 ）
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鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ７ 号 （ 1 9 8 5 ） 1０８
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皆川・前畑：点支持を有する偏平シェルの線形解析
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(18） ( 19） (20） (21） (２２−ａ） (２２−ｂ） (２２−ｃ） (２２−．）皆川・前畑：点支持を有する偏平シェルの線形解析 1１１
M山川)=-,号(州｡+零M緬卿cCs等麺）（22-ｅＩ
ＷＩＭ'２１=-,号い"+靭卿cos等璽）（22-f）
(22)式が恒等的に成立するために次式を満足しなければならない。拠 嗣 0 ＝ ０ （ ２ ３ − ａ ） 拠 加 " ＝ ０ （ 7 2 ＝ 2 , 4 , 6 … ） （ ２ ３ − ｂ ）
ひ " " ＝ 0 （ 、 ＝ 2 , 4 , 6 … ） （ ２ ３ − Ｃ ） ｇ Ｎ , ､ o ＝ 0 （ ２ ３ − ． ）
ｇＮｎ"＝0（、＝2,4,6…）（２３−ｅ）エッＮｍ"＝０（、＝2,4,6…）（２３−ｆ）
ｼ M m o ＝ ０ （ ２ ３ − ９ ） ｇ Ｍ 耐 " ＝ ０ （ 〃 ＝ 2 , 4 , 6 … ） （ ２ ３ − ｈ ）
y V m o ＝ ０ （ ２ ３ − ｉ ） 型 V 耐 " ＝ ０ （ 7 Z ＝ 2 , 4 , 6 … ） （ ２ ３ − ｊ ）
さらに（２２−６)，及び（２２−．）式のＳｉｎｅ展開が閉区間で一様収束するために，端部で次式を満足させなけれ
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2
1
=
-
号
[
零
[
Ⅳ
;
(
１
−
"
(
s
i
M
筈
十
等
c
o
s
h
等
)
等
B
'
{
;
0
+
"
(
s
i
M
筈
十
等
c
o
s
h
等
)
+
古
(
Ｈ
)
'
3
祭
c
o
s
h
筈
十
際
+
,
)
s
i
M
等
￨
]
等
-
K
÷
+
K
‘
÷
+
K
器
(
,
_
剤
=
，
また，面内力Ｗが端部で大きく乱れるのを防ぐために次式を追加した。N
Ⅷ
b
/
２
１
=
器
[
零
I
-
B
W
+
(
1
-
入
祭
s
i
M
等
十
B
，
淵
￨
等
(
,
_
八
)
-
(
川
)
￨
S
i
m
等
-
1
,
-
入
帯
ｃ
ｏ
ｓ
ｈ
等
}
_
(
C
F
c
o
s
h
等
C
,
等
s
i
M
等
)
耐
十
K
‘
￨
器
_
入
(
:
+
淵
￨
+
K
‘
￨
器
(
ナ
+淵-人(た+器+器)'一零"耐祭器'Lcos等
-
"
緬
小
尋
"
W
l
D
W
c
o
s
h
竿
十
Ⅸ
(
2
C
O
S
A
等
十
竿
s
i
M
等
)
｜
×
c
o
s
等
十
K
Ｉ
参
十
K
州
'
3
-
余
￨
+
等
(
,
-
会
十
会
)
]
=
０
(24） 卿 (26）1１２ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ７ 号 （ 1 9 8 5 ）
ｍ＝２，４，６，……，２Ｎ，刀＝２，４，６，……２Ｎとすれば，（23)式より６Ｎ＋４本の条件式が得られ，さらに(24)，
(25)，（26)を加えて６Ｎ＋７本の条件式となる。それら条件式は未定係数Ｂｆ，…BfN，Ｂ;，…Ｂ;N，Ｃｆ，…Ｃ;N，Ｃ;，…，
C;N，Ｄｆ，…DfN，Ｄ;…Ｄ;N，Ｋ,，Ｋ２，Ｋ３，Ｋ４，Ｋ５，Ｋ６，Ｋ７（6Ｎ＋７個）と未定係数”"n(ＮＮ＋Ｎ個）の関係を与え，
C;N，Ⅸ，…，DfN，Ｄ;，…Ｄ;N，Ｋ,，…Ｋ7１ 次式のようにｍａｊγな表示される。{
S
化
}
=
I
F
l
l
d
l
[
S
2
l
l
d
‘
￨
=
[
F
J
l
d
1
｜
ここに，｜ｄｌｌＴ＝￨z(）20,”22,…，”2N,2Nl ld21T＝lBf，…BfN，Ｂ;，…Ｂ;N，Ｃｆ，…，CfN，Ｃ;，…，Ｃ;N，Ⅸ，…，DfN，Ｄ;，・・ ld31T＝￨Ｂ:，…，BfN，Ｂ;，…，Ｂ;N，Ｋ５，Ｋ６１ （27)，剛式の'0121,｜d31をldllで表わすと次式となる。￨
d
2
1
=
[
S
r
1
F
1
]
l
d
l
l
d
‘
￨
=
{
帆
Ｍ
(4)式から求まるＥｕler方程式に法線方向変位”，及び‘を代入して次式を得る。器
L
(
"
,
‘
)
=
,
Ｍ
+
_
"
訓
[
尋
I
-
B
W
"
‘
'
r
‘
c
o
s
h
等
，
‐
B
,
Ｗ
(
4
c
o
s
h
等
,
+
等
’
s
i
M
等
,
)
+
Ｍ
"
(
"
璽
師
筈
一
"
)
c
C
s
等
璽
十
K
C
l
(
"
‘
施
筈
-
2
4
州
'
r
筈
十
2
4
『
‘
)
c
C
s
等
”
-
2
4
γ
1
+
"
蝿
・
伽
‘
c
o
s
等
迩
十
尋
"
羅
禰
￨
(
耐
廊
'
+
"
Ｗ
)
c
o
s
等
“
‐
"
W
l
c
o
s
判
l
+
罵
倒
肯
I
H
I
￨
(
１
−
A
竿
,
s
i
n
h
等
，
＋2cosh等,￨等(近-号)sin等叶;入(Ｈ等,Sim等…等エ
ー
ｃ
ｏ
ｓ
ｈ
等
,
１
冊
[
夫
[
4
入
￨
(
2
+
入
等
,
s
i
M
等
,
+
(
,
_
人
亭
ぴ
c
o
s
h
等
，
l
c
o
s
等
叶
'
2
(
5
+
八
)
c
o
s
h
等
洲
H
X
1
1
-
A
等
幽
s
i
n
h
等
’
＋
2
U
-
〃
等
ぴ
ｃ
ｏ
ｓ
ｈ
等
,
￨
等
(
亜
_
号
)
s
i
n
等
洲
,
_
川
l
2
c
o
s
h
等
，
＋
(
Ｈ
等
,
s
i
M
等
,
￨
等
(
重
-
号
)
璽
c
o
s
等
璽
}
_
等
,
s
i
M
等
,
］
‐
"
箪
"
1
C
剛
,
-
入
l
c
o
s
h
等
叶
a
l
2
c
o
s
h
等
’
+
(
,
_
入
等
州
等
,
}
］
×
c
o
s
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垂
-
K
ｲ
川
_
偽
c
o
s
等
迩
十
(
Ｈ
,
c
o
s
等
淵
一
K
‘
{
(
１
−
入
淵
Ｉ
３
ﾉ
H
燐
十
幕
l
c
o
s
等
叶
(
,
_
伽
s
等
迩
）
×
芸
]
+
"
凧
｡
伽
s
等
叶
尋
"
耐
蝿
￨
(
器
等
等
c
o
s
等
璽
_
!
￨
c
､
s
判
十
尋
n
Ｗ
{
叩
一
"
ｃ
ｏ
ｓ
ｈ
¥
(
麺
-
号
)
+
D
,
￨
(
,
-
入
￥
(
苑
-
号
)
s
i
n
¥
(
麺
−
号
）
(27） (28） (２９） (30）皆川・前畑：点支持を有する偏平シェルの線形解析 １１３
-
2
畑
s
伽
¥
(
露
-
号
)
l
1
c
o
s
等
ヅ
-
K
,
6
1
差
(
工
-
号
)
響
-
1
2
-
1
淵
一Ｍ+Ｍ'''-2緋-号)鰯+淵一脈
＋
K
,
川
-
A
'
峠
(
重
-
号
)
‘
-
号
(
工
-
号
)
芳
十
器
｜
＋帯￨卵cosh等州等,siM等叶K等十K‘筈
一血楓小s等顧−１)+零恥(cos等麺−１)cos判-蒜剛
エに,鰹=急
(4)式にGalerkin法を適用する｡Galerkin法は境界条件が変位で与えられる場合に,この条件を満足するような
変位モードを仮定して適用するのが通例である｡ここでは変位仮定において５種類の変位モードを用いているので，
Galerkin法を用いると，次式が得られる。器
;
〃
"
L
I
"
,
,
)
(
c
o
s
半
迩
_
,
)
c
o
s
￥
血
d
，
（32）器念〃鯉L(",‘,(cos等ｊＨ)cosh等’伽㈱
器六〃'驚L(",,)(cos半工_!)半,Sim等‘畑帥
器 〃 奥 L I " 岬 筈 ( C ､ s 半 r _ ! ) 伽 開
器 〃 2 肌 ’ １ 淵 c o s 等 璽 − １ ) 伽 ‘ ‘ ’
ここに，771＝２，４，６…，２Ｎ，両＝２，４，６，…，２Ｎ(32)∼(30)式を次式のようにｍａｍＪｃ表示する。
,¥I器淵￨差￨+隠監１１差￨=￨芸’帥
ここで，（29)，（30)式の関係を用いて(37)式を未定係数がldll，Ｉｄｌだけの式で表わせ，次式を得る。
帯 I M l l ‘ , ￨ + { K } ￨ d 1 l = ￨ P } ‘ ，
こ
こ
に
，
［
Ｍ
]
＝
[
Ｍ
１
,
]
＋
[
M
l
2
1
S
r
1
F
1
]
＋
[
S
百
1
Ｆ
2
]
[
Ｍ
２
,
］
＋[Ｓ５ｌＦ２]T[Ｍ２２ＩＳＴｌＦ,］［
K
]
＝
[
Ｋ
,
,
]
＋
[
Ｋ
ｌ
２
]
[
Ｓ
ｒ
Ｉ
Ｆ
,
]
＋
[
Ｓ
５
ｌ
Ｆ
２
]
T
[
K
2
,
]
＋
[
S
訂
ｌ
Ｆ
２
]
T
[
K
2
2
]
[
Ｓ
７
ｌ
Ｆ
Ｊ
ｌＰｌ＝￨P,}＋[S可ｌＦ２]￨P２１（38)式に基づいて静的，及び固有振動数解析を行なう。ここで用いた解法は，自然境界条件をすべて満足するよう
な解法なので[K]は実対称であり，固有振動数は標準的な固有値問題の解法を利用して求められる。
４．点支持を有する偏平シェルの解析
点支持を有する偏平シェルの解析は，これまで束縛条件として境界条件だけであったのに対し，新たに束縛条件
が課せられた変分問題となる。すなわち，点支持した点の変位拘束条件を付帯条件とした変分問題である。
ここで扱う解析モデルは図４に示すように｡c＝０，αは従来通り面内変位を拘束した固定支持辺であり，
"＝±６/２においては任意の点に固定点支持を有する偏平シェルである。支持点では変位ｕ，ひ，”，及びZ/方向
の
傾
き
器
を
拘
束
す
る
。
１１４ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ７ 号 （ 1 9 8 5 ） 支持点 Ｘ Ｘ ｙ 1 点 支 持 ３ 点 支 持 ５ 点 支 持ｙ ｙ 図４点支持を有するシ土ﾉレ Ｘ
これらの付帯条件とLagrange乗数の積を累加することにより，
(4)式を導くのに用いた汎関数汀に，これらの付帯条件とLagral
関数万＊を次式のように定義する。〃
*
＝
'
r
＋
ﾉ
W
･
〃
(
j
r
‘
’
６
/
2
)
＋
入
:
ひ
(
J
c
i
，
±
６
/
2
)
＋
ﾉ
W
'
u
ﾉ
(
Ｚ
‘
，
±
６
/
2
）
＋
腺
易
州
±
6
'
2
）
ここに，ノW，ノW，入？，入:：Lagrange乗数
ｊｃ‘：支持点のJr座標 （洲式の第１変分をとると次式となる。’施薙=-〃(D両'"一志N鍾一古W-P+岬"仙
十／(N伽十N柳-M等十V伽)吻
一
U
N
錘
伽
叶
￨
N
小
‘
,
±
b
′
州
￨
伽
‘
,
±
6
/
2
l
l
-
U
N
’
仙
十
￨
N
州
士
b
/
２
１
+
入
;
￨
州
±
b
/
２
１
１
−
U
V
伽
叶
￨
W
(
"
‘
,
±
b
／
州
￨
伽
,
士
6
/
2
)
］
＋
{
ん
'
等
｡
叶
l
M
州
土
6
'
州
烏
眺
,
土
6
'
2
)
）
＋ヴルｕ(工i，±６/2)＋６ﾉV･ひ(工‘，±６/2)＋6,蝦．u）(jr‘，±６/2）
＋
が
入
笥
州
土
b
'
２
１
ＭＯＩ式より，点支持を有する辺における応力境界条件は次式となる。
ＭＺ/(工，±６/2)＝０ただしＭＺ/い，±６/2)＝一ﾉＶ
Ｗ(Jc，±６/2)＝ＯただしＶｚ/い，±６/2)＝−ノリＵ ＮＺ/(工，±６/2)＝０ただしＮＺ/(Ｊｃｉ，±６/2)＝−ﾉWNJcy(gr，±６/2)＝０ただしNJcZ/(Jc‘，±６/2)＝一入：
また，変位境界条件として次式を得る。 ｕい，±ｂ/2)＝0，ひ伽，±６/2)＝０州
±
6
'
2
1
=
0
,
易
州
±
b
'
2
1
=
，
（41)式の境界条件を満足させるために，点支持したところだけでイ
Fourier級数展開すると次式を得る。
点支持したところだけで値を表現できるデルタ関数を用いる。
新たな汎 (洲 (40） (41） 伽 こ れ を皆川・前畑：点支持を有する偏平シェルの線形解析 １１５
