図形の位相的性質の指導について
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(2) . 第 １６ 巻 第 ２ 号. 北海道学芸大学紀要 （第一部Ｃ）. 昭和４０年１２月. 図形の位相的性質の指導について 佐. 々. 木. 幸. 一. 北海道学芸大学旭川分校数学教室. Ｋ６ ｉ ｃｈｉ ＳＡＳＡＫＩ； ｏｎ ｌｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ＴｏｐｏｌｏｇｉｃａＩ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｆｉｇｕｒｅｓ. ｌ. 位相的教材の位置. 小学校の算数科及び中学校の数学科の教育内容を数学的構造の見地から考えるとき， 代数的構 造と並んで位相的構造， 順序的構造が取り上げられよう。 代数的な構造は数や式の間の演算等と して教育内容の中に最大の部分を占め， 順序については数の大小により線形順序を， また自然数 の間の整除関係や， 四角形についての特殊一般の関係などによって半順序の概念を含む事項を指 導することになる。 ところが位相的構造については， 位相数学の分野を集合論的トポロ ジーと組 合せ論的トポロ ジーとに大別するとき， 前者は連続の概念や極限の概念として高等学校からその. 指導が組織的に始められるが， 後者についてはその様な内容を高等学校以下の段階で指導するこ とが必要であるのかないのか， 必要であるとすれを それにどの様な意義を認めるのか， 時期はい つからが適当か， どんな内容をどの様な教材にのせて展開すればよいか， 等はまだ充分に考えら れていない段階にあると思われる． 従来の数学学習の順序からいえばこの分野は数学学習の最終 の段階で， それも主と して将来数学の研究または教授を職とする学生のみ が学習するのが普通で あった． 事実この分野に属する内容の体系的な展開には高度に抽象的な思考力や， 基礎となる多. くの具体が必要だが， その発生段階に見られる諸例を考察する場合， または現代的な問題でもそ の意味が直観的に把握できるものであったり， 状況に制限を加えて問題を直観的に把握できる場. 面におくことができる時に は， 数学学習の比較的初期の段階にある生徒にもこの概念の 本質をと. らえさせることが可能であると思われる。 以下では専 ら小学校中学校において組合せ論的トポロ ージーの基礎概念を指導することを想定 して論を進める． しかしこれは勿論高等学校・大学にお. いて一般の学生が継続してこの分野の体系的学習をすることを意味するものではない。 ピア ジェの研究によれば幼児はまず図形の位相的な性質を意識 し， 次いで直線， 曲線の区別を 知り， 射影的性質の認識を経た後に計量的な性質の理解に達するという． このことから低学年で は図形の位相的性質の学習を考慮し， 学年が進むに つれて計量的性質の指導を強化するという意 ）その中に中学年以後における 図形の位相的性質の指導についての示唆も見出される． 見があり１. 我が国の第四期国定教科書 （緑表紙） 以後の教科書の中から図形の位相的性質を扱った教材及び 位相的意味を与え得る教材を探 してみると， その量が極めて少ないこと及び殆どすべてが定まっ た指導系統を形 づく らず断片的に孤立していることが認められる。 寧ろこれ等はリクリ ェーショ １ ） 岩波 現代教育数学９ 数学と教育 ｐ，２８４ －１４ ７－.
(3) . 佐 々. 木. 幸. ソ的に取り上げられたという感が強い． これに対 して， 米国の教科書にはかなり積極的にこの内 容を取り上げたもの が見られる． （次節参照） 幼児の図形認識はまず位相的なものから始まり， 次第にュ‐クリ ッ ド的なものにの移るの であ ろうが， 位相的概 念がこの様に図形認識の最初の段階でのみ意義があるとは考えられな い． 図形. の計量的性質の理解が進むにつれてそれに平行 して， あるいはそれと融合して位相的性質の理解 もその芽 が伸びていくことが必要ではないだろうか． このような観点に立ってこの教育内容の意義と取り扱いを 実践的に研究 しようとするのである が， まず我が国の教科書及び米国の実験用教科書について図形の位相的取り扱いの内 容 を 調 査 し， 次いで位相に関連する問題を解決する思考能力の程度を 現時点での小学生・中等生について 調査 した結果を以下に記述する． 口. 我が国の教科書で扱われた位相的教材. 我が国の国定教科書で位相的な概念を含む教材が取り上げられたのは第四期国定教科書 （緑表 紙） が始めである． その三学年上では 「マョヒ道」 と して簡単な迷路が二種示されている外， 略 地図において道路をすべて直線で示 し， 距離を記入したものなどが見 られる． その六学年上には 相似形の導入と して縦または横の一方向だけに図形を伸ばすことが取り上げられているが， 図形 一般には此の期の教科書で位相的教材を扱う積極的な姿勢 は全くな の連続的変形の一種である． ・ 定教科書では いといえる． 第五期国 ， その四 （二学年後期に相当する） でメ ビウスの帯， 即ち ： 「（ほ そ く） 切 っ た 紙 を 一 度 ね じ っ て わ に した ら， お も しろ い 形 に な り ま した． そ の わ の ま ん 中 に は さ み を い れ て 切 っ て い ま す。 どん な 形 に な る で しょ う」. 〉 灘灘霊園欄齢 ◇非〈 ／＼ ＼／. いるところであるが， その扱いは断片的であ って系統はほとんど見 られない． 戦後の第六期国定 教科書ではやはりまよい道二題 （三学年）， 一筆書き （五学年上， 緑表紙と同 じもの） がある． 文 部省著作 「小学生のさんすう」（第四学年用） では， 村のあんないずということで略図が出てくる が， 距離が記入されていないと不便だという立場で， 計量的内容への導入と して扱われている． ） 文部省検定済教科書の中に現われるものと しては， 小学校ではやはり一筆書きが多いｉ ． 特別な. ′十 （頂点の数） － （辺 例として， 線分によって構成された平面上の閉 じた網に ついて， （面の数） ２ ） の 数） ＝ １ を導いたものがある ． もっ とも積極的に位相的意味を強調 したものとしては次頁の ） 例 が あ る３ ．. 大部分の教科書 が位相的教材を扱わないか， または極めて軽く扱っている中でこの二例は特に. 注目される．. 中学校ではオイラーの多面体定理に触れた教科書が多いが， 多くはその公式を紹介する程度で ） ある． 証明を行なっている教科書は調査 した範囲でただ一例認め られた４ ． 多角形をつけ加えな. が ら多面体を構成する方法を用い， 具体例を扱うが普遍性をもった証明である． 其の他四色問題 １ ） ２ ） ３ ） ４ ）. 〔小がくしんさんすう」 ２年 啓林館 昭３５ ， 「小学算数」 ６年 日本書籍ＫＫ 「みんなの算数」 ６年 日本文教ＫＫ 昭３６ 「小学算数」 ６年 日本書籍ＫＫ 「中学校数学」 １ 日本文教 昭４０ 一１４ ８－.
(4) . 図形の位相的性質の指導について 下の図のような鉄道があります． Ａ駅を出発し て， Ｅ， Ｆ， Ｇ， Ｈ， Ｊ， Ｌ の６つの駅を必ず通 って， Ａ駅に帰ってきたいのですが， どのように 通ったらよいでしょう． 駅はどのような順に， 何 回通ってもかまいませんが， 同じ線は１回だけ通 ることにします．. この問題を解くのに， 鉄道の長さや線の形が必 要でしょうか． 前の図の余分な線を消 ， 日 十 して， 必要なところだけ . 均. 一 ＼争. ， 石のよっな図ができ. ヰ. Ｕ感 ←ｕ 」. ＼ ＼. ま す．. ｒ. この図で， Ａ点から出発して， すべての点を通 るしかたを考えましょう． 同じ線は， １回だけ通 ることにします． 通らない線は， どれでしょう．. ） ）等が見 られるが何れも散発的な扱いである に関連する地図の塗り分け１ ， メ ビウスの帯２ ｍ. ｓＭＳＧ. 等で扱われている位相的教材. ｉ ｔ こ こ で は， ＳＭＳＧ によ る 教 科 書 と， Ｐａ ｒ ｃｋ ｓｕｐｐｅｓ： Ｓｅｔ ｓ ａｎｄ Ｎｕｍｂｅｒｓ ＩＡ －３Ｂ との両者. について簡単に検討する． まず後者に ついて 二 １年用 では閉じた基本図形 （円， 三角形， 四角 形） の内部と外部とを認識させることが重点である． そのために， 示された点や， 線分や， 三角 形などが他の閉 じた図形の内部にあるか外部にあるかを判断させたり， 閉 じた図形の内部または 外部に， 示された図形を描かせたりする． ２ 年 用 では 折 れ 線 を用 い て ｓ ｉｍｐｌ ｅ ｗａｙ， ｓｉｍｐｌｅ でな い ｗａｙ を扱い． その弁別や， 与えられた条件 （辺 の 数， ｓ ｉｍｐｌ ｅ であ る かそ う でな い か） の も と. でそれ等を描く練習をさせる． 更に ｗａｙ の特別な場合と して多角形を定義 し， ｓ ｉｍｐ ｌ ｅ な多角 ｉｍｐｌ 形， ｓ ｅ でな い 多角形を扱う． ３年用では ｓ ｌ ｉｍｐ ｅ な多角形の概念を曲線にまで拡張 してそ の内部・外部に注目させる． 結局此の教科書では ｓｉｍｐｌｅ と い う 概 念， ｃ ｌ ｏｓｅｄ という概念， 及び. それ等が複合 したものと しての単純閉曲線の概念を捉えさせて， そのもっ とも重要な 性 質 で あ る， 平面を内部と外部に分 けるという事実を明確に認 識させることを重点としていると見られる． 此の点図形が主と して計量との関連において 扱われる我 が国一般の方法との間に相異が認め られ. る． 次 に ＳＭＳＧ の 教 科 書 に つ い て 見 れ ば， ま ず そ の ４ 年， ５ 年， ６年用 （Ｍａｔｈｅｍａ ｉ ｔ ｃｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒａｄｅ４ ～ Ｇｒａｄｅ ６） ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｓｃｈｏｏｌ ，. で扱われる内容は 上記の教科書とほとん ど同じであ る． ただ単純閉曲線などの定義はより明確になり， 且 つ一般な形で導入された後にその特別なも のと して多角形が定 義される． 単純閉曲線が平面を内部と外部及び境界と しての曲線自身の三つ. に分けることが強調 され， 単純閉曲線とその内部とを併せたものを領域といって， 広さを測るの はこの領域に ついてであることが述べられる． （この領域の定義は 後に変更されるので好ま しく な い）. Ｍａｔｈｅｍａ ｔ ｉ ｉ ｌｌでは，まず領域は境界を含まないと して上の定 ｃ ｓｆｏｒｊｕｎ ｏｒｈｉｇｈ ｓｌｃｈｏｏｌ ｖｏ. 義の変更が行なわれ， また単純閉曲線の性質として ①内部の点と外部の点とを曲線 で結ぶと， もとの曲線と交 わる． ②内部の二点， または外部の二点はそれぞれの範囲内で折れ線で結ぶこと が で きる． の 二 つ が 追 加 さ れ る 外 は 新 しい こ と は な い 。 １ ） 「中学生の数学」 ３ 啓林館 昭３２ ２ ） 「中学生の数学」 １ 啓林館 昭３２ 一１４ ９－.
(5) . 佐 々. 木. 幸. ｄａｎ の曲線定理の内容を経験的に， しか し逐次組織化 して把 ここまでの教育内容はす べて Ｊｏ ｒ 握させることを目的と して組み立て られている． このような指向は我が国の教育内容には全く見 られないので今後研究を必要とするのである が， しかしこれ等の教科書でもこの定理の応用面ま で は 考 え られ て い な い の で， こ の よ う な 判 り き っ た こ と を な ぜ 重 要 視 す る の か と い う 生 徒 の 疑 問. は消すこと ができな いであろう． この定理のよさを感得できる応用場面の設定について研究 が必. 要である． ｌ ｉｍｐ １２ に入ると， 位相幾何学的に組織された空間図形の教材構成が見 ら れ る． ０‐ ｓ ｅ １－ ｖｏ. ｉｏｎ と して ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ を ３‐ｓｉｍｐｌｅｘ の用語を用い， それ等の有限個の ｕｎ ｄ ｌ ｈ ｏ 扱 う 取 り ｅ ｒ ｏ ｎ 若干の条件をつけて の範囲に制限を加える 一般に定義した後， ｐ ｙ ， ． その条. ｉｍｐｌｅｘ， ２‐ｓ ｉｍｐｌ ｅ ｓ. ｌ ② そ れ 等 の 単 体 は よ く 交 わ っ て い る （ｎｉ ｃｅ ｙ 一 ｉｎｔｅｒｓｅｃ ｔ） こ と， 即 ち 共 通 部 分 が 双方 の 面， 辺， ま た は 頂 点 とな っ て い る こ と． の つ であ る． 件 は，. ｏｎ で あ る こ と． ① 同 じ次 元 の 単 体 の ｕｎｉ. 次に１次元， ２次元の多面体の特殊な場合についてそれを構成する単体の数の関係を考察した後 ｉｍｐｌｅ ｓｕｒｆａｃｅ を定義し ｓ ， 最後にオイラーの多面体定理を取り扱う． それは四面体， 立方体， に ついて定理の適合を確かめる外， その各面を２次元の単体に分解 した上で定理の適合を確かめる ｉｍｐ ｌ ことも行なう． なお， ｓ ｅ でない表面について定理が成り立たな い例を挙げたり， 定理の拡. 張に言及 したり している点は丁寧である． しかし結局オイラーの定理の演輝的証明はなく， 実験 観察により帰納する立場をと っている． これ等の方法は大へん数学的であり， 論理的厳密さに注 意 して組み立てたことが読み取 られるが， それにも拘わらず記述は一部でなお厳密さを欠いてい. る し， 全体的に相当難解なものになっている． このような教材構成の方法はた しかに新 しいもの ｔ で あ る が， そ の 積 極 的 な 目 的 も 明 らか でな い 上， 此 の シリ ー ズの 教 科 書 「Ｇｅｏｍｅ ｒｙ」 と の 関 連 も. 見 られない． 我我 が 中学校での位相教材の取り 扱いを考えるときにはこの ｖｏ１２ の内容はあまり. 参考とな らないように 思われる．. Ｎ. 位相的内容に関する能力の実態. 既に述べたように， 現在位相についての教育内容は殆 どの教科書で取り上げられて いない． こ の時点で， 小学生・中学生の 位相教材に関する解決能力の程度， 傾向を知り， 現状により密着 し た研究計画を立てる資料を得るためこの調査を行なった． 従 って此の調査は殆ど予備備知識のな い段階で行なっ たもので， その結果生徒の能力と甚だ しくずれた問題を与えたことが判明 した部 分もある． 殆ど全員 が正解であったり， 反対に殆ど全員 ができなかっ たりしたものがそれであっ. て， これ らは更に研究を進 めるときに新たな出発点を定める要因となるであろう． ０年７月中旬－下旬） 以下に示すような問題による調査を小学校と中学校にお願い した．（昭和４ 対象学級は， 北海道学芸大学付属旭川小学校２年， ４年， ６年， 付属旭川中学校１年， ２年， ３ 年の各１学級，．旭川市立Ａ小学校２年， ５年， 同じくＢ中学校１年， Ｃ中学校３年の各１学級， 合計１０学級である． 小学校は５， ６年を共通問題とした外は異なる問題を用いた が， 比較をする. ために２～４年， ４～５，６年の間にはそれぞれ一部共通な問題を設定 した． 中学校は全学年に 亘って共通な問題を用いた． テス トの開始に先 立つ説明は， 生徒 が問題の意味を把握するに充分. な程度と し， また実施の時間については生徒が時間不足のためできなかったということがないよ うに配慮し， 何れも時間を一定と はせずにテスト実施者 に一任した． 調 査 の ね らい は 主 と して 次 の よ う な 点 に つ い て の 情 報 を 得 る こ と に あ る． 即 ち ：. ① 位相的内. 容が殆ど扱われていない現状 において， わずかの示唆で生徒がどの程度の問題解決力を示すか． －１５ ０－.
(6) . 図形の位相的性質の指導について. ②この様な能力は知能指数等と如何に関連するか． ③また通常の学力テスト等の成績と如何に関. 連するか， ④ ②と⑧の関連の度は等 しいか異なるか。 ⑥これ等の能力は学年により差があるか， つまり特別な指導をしなくてもある程度は伸びていくものか。 ⑥この種の教材に生徒はどの程度. の興味を示すものか． 等である。 これ等のねらいは達せられたものもあり， そうでないものもあ るが， ある程度の展望が得られたように思う。 調. 査. 問. 題. 以下の問題で例えば中－１は中学校に課した問題の１番， 小４－２は小学校４年に課した問題の２番 を意味する． 同じ内容の問題は再度記さないが， 問題の表現は学年相応の程度に変更してある． 中－ Ｉ. Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ， Ｅ， Ｆ の ６人を招待 しようと思います． ６人のうち知り合いであるの は， Ａ と Ｃ， Ａ ‐と Ｄ， Ａ と Ｅ， Ｂ と Ｆ， Ｃ と Ｄ， Ｃ と Ｂ， Ｃ と Ｆ で す。 こ の こ と を わ か り. やすく図で書き表わしなさい。. 知 り 合 い で な い 人 た ち を紹 介 した い と 思 い ま す．. 同じ図に別の色で書き入れなさい。 中－２. どの 人 と どの 人 を 紹 介 した らよ い か，. 川 に つ の 橋 が か か っ て い ま す。 島 や 岸 に 図 の よ う に Ａ，Ｂ，Ｃ，. Ａ. Ｄ の 記 号 を つ け， 橋 を 線 で 表 わ. Ａ. 図 と 考 え て よ い の で すｏ. Ｂ. 署 潔癖墓 参 の Ａ. 仲. ｂ （ ）. （ｃ）－（ｉ）の中で橋の略図と考えてよいのは どれでしょう。 それに地図とちょう ど合うよ う に Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ の 記 号 を つ け な さ い。. 中－３. Ｂ. ） （ ｃ. 也）. ｅ ） （. （“. （ ） ９. （の. ＠）. ◆ （お. こ れ は ４ つ の 部 屋 を も つ 家 の 図 で す． 通 路 の 略図 を 書 き な さ い。 どの. ドアもただ１回だけ通ることができますか。 もしできるな らその順序. を 記 号 で 書 きな さ い。 Ｅ. （順序）. （略図）. ⑭. －１５１－. Ｏ.
(7) . . . 佐. 中－４. 々 木. 幸. 右の図のうちで， 左の図と線のつながり方が同 じであるものに○印をつけなさい．. ＼ （２）. 点. ３ （ ）. 中一５. 検. 線 の つ な が り ぐあい が 同 じで あ る も の を み つ け な さ い．. △① （＆）. ｛も）. （ｃ）. （れ）. ｛“. （ゴ）. ⑳▽ ◎ （の. （多）. （テ）. 【９）. （れ）. （多）. （燭）. ｛れ）. 答 （のど仏）侮り と （） （） と （｝ （）. （ｏ）. （Ｐ）. （の. 次の図を， となり合う部分が同 じ色にな らないように， なるべく少い色でぬり分けなさ い． 色は何色い りますか． （例のように色を使わず記号で表わしてもよい）. 中－６. も ） （. 鰹｝ ・. （３色） ・. （の ‐ ，. （ 色）. 中－７. （幻. ｛ 色） ， ，. ‐１. （ 色）. 次の曲線の内部を鉛筆でぬりなさい． －１５ ２－. （ 色）.
(8) . . 図形の位相的性質の指導について も （ ）. （の. 点Ａは閉 じた折れ線の内部に ありますか， 外部にあり. 中－８. 答１. ますか．. 部１. Ａ. Ａ Ｃ は 折 れ 線 と 何 回 交 わ っ て い ま す か。 同 じよ う な 線 を. ほかに２ 本 （かどを通 らないように） ひいて， 交わる回 数をかぞえなさい． Ａ. Ｃ 回１. 回１. 回. 点 Ｂ に つ い て も 同 じこ と を 考 えな さ い．. １ 中一９. 部１. Ｂ. Ｄ 回１. 回. 回ｉ. 閉 じた曲線の一部がかくされています． 点Ａ， Ｂはそれぞれ内部， 外部の どち らにある の で しょ う． も （ ）. （の. Ａ. 部. Ａ. 部. Ｂ. 部. Ｂ. 部. 中一１０ 点Ａが内部に， 点Ｂが外部にあるように， それぞれ線をつないで閉 じた曲線を作りなさ （の. （α ）. ③. ③ －１５ ３－.
(9) . 佐 々 木 中 －１１. 幸. よく の び る ゴ ム で 作 られ た 立 方 体 の 一 つ の 面 を 除 い て ひ ろ げる と 左 の 図 の よ う に な り ま. す。 同 じよ う に して 右 の ２つの立体をひろげた図を書きなさ い ． Ｅ. Ｈ. Ａ. Ｄ. Ｄ. Ｂ. （尻）. ‐. （あ）. Ｅ. Ｂ. ｃ. 小 ６・一 １. い. 川 に ７ つ の 橋 が か か っ て い ま す． 島 や 岸 に 図 の よう. に. い， ろ， は， に の記号をつけ， 橋を線で表わ して（ １ ）のような略図を書きま した． 図も点のつなが. ‘に. ぼ. り ぐあい は同 じだから， やはり橋の略図と考えてよ. いのです。 園， 雑，（ ５ ｝ ６ ｝のうちで橋の略図はどれ ，（ で しょ う． そ れ に 地 図 と ち ょ う ど合 う よ う に， い， ろ’ は’ に の 記 号 を っ け な さ い．. ろ. は. く ー. （り. 小 ６－ ２. に. Ｉ. . （２）. ・ ろ （ ） ．. （４ ）. （Ｓ ）. 右 の 図 の う ち で， 左 の 図 と 線 の つ な が り 方 が 同 じで あ る も の に ○ じる しを つ け な さ い. （ －. ＼. （２）. （３）. 小６－３ １ （ ）. （６）. 次の線の内側を鉛筆でぬりなさい。 燃） 中 １ － ７． （ａ） と 同 じ．. 圏. 中１ー７。 （ｂ） と同じ．. －１５４－.
(10) . 図形の位相的性質の指導について 小６－ ４. 右 の 線 を 見な さ い。. き れ て い ま す か。 （き れ て い る． き れ て い な い） よ こ ぎ っ て い る と こ ろ が あ り ま す か。 （あ る， な い） 点 「あ」 は こ の 線 の 内 側 に あ り ま す か， 外 側 に あ り ま す か。. （. ぁ. 側）. 点 「お」 は どう で しょ う。 点 「あ」 と 点 「い」. あ. を直 線でつないでみ. （ い １あ 回１. 側）. う１あ. え 回. 回１. ます。 直線 「あい」 はもとの線を何回よこぎるでしょう。 直線「あう」 ，「あ. お. え」， 「おか」， 「おき」，「おく」 はどうですか。 表に書 き入れなさい。. 小 ６．一 ５. か１お 回ｉ. 中 一 ９ と 同 じ。. 小 ６・一 ６ （ １ ） 中－６。（ｂ） と同じ。. ） 中 － ６。 （ｃ） と 同 じ． ２ （. 引 中一６。（ａ） と同じ。 ｔ. 小４－１. 右， 左を反対にして書きなさい。 ） （ １. ） （ ２. ） （ ５. ワ） （. ｇ （ ）. ） （ ４. お〆 瞥舟 ◎ ＠ ＠ 蒙◎ ＠）. （ ５ ）. 小 ４ー ２. し かく の 中 の 形 と 同 じも の に ○ を つ けな さ い．. １ ） ｛１. ｒ２ う. （る ）. 小 ４・一３. き ．. ふ. 影彫““彫 脚脚脚脚脚 泰孫学豪豪. つ ぎの 図 は 池 の 略 図 で す． 水 の あ る と こ ろ を 鉛 筆 で ぬ り な さ い． １ （ ）. ） ２ （. （勘. －１５ ５－. 中 一 ７． （ｂ） と 同 じ．. き１お 回１. く 回.
(11) . 佐 々 木 小 ４ー ４. 小 ６ ー ４ と 同 じ．. 小 ４ー５. 小 ６ － ５ と 同 じ。. 小４ー６. 小 ６ ー ６ と 同 じ．. 小 ２・一 １. 幸. 小 ４ － １ と 同 じ図 を用 い， 左 右 を 反 対 と しな い．. 小２ー ２. 小 ４ー ２ と 同 じ．. 小 ２ー ３. い け の 水 の と こ ろ に 青 い い ろ を ぬ り な さ い．. （ る）. 小 ２－ ４. ●. （ ４）. い け の 中 に い る か え る に ○ を つ け な さ い． 土 の 上 に い る か え る に △ を つ け な さ い．. 各問題のねらいと解答の傾向 ね. 中－. １. 中. ら. い. 関係を合理的でわかり易い図に表わすこと ができるか． それを後段の問題解決にうま く利用することができるか． 特 に 人 を 点 で， 関係を線で抽象的に表わすことに注目 する．. 解. 答. の. 向. 傾. ー. ‘ 、 ￥ ＾ Ｃ′ Ｅ篭 Ｆ ′ Ｄ コず ｖ １ 、 丁 ／多 ヱ ノ ＼ ー ノ. も／ ′. ′. 学 正答（ｆ）の発見は他に較べて困難である． 記号を 識別できるか． （なお橋の図から略図（ａ） つける位置が適確でないものがある． を得ることの説明は， 次の問題を解決する. 中 － ２ 点と線の連絡の関係に着目してその異同を. た め のヒ ントと な っ て い る）. 校 中 －３. 前間と同じ方法により問題を点と線の連結 を表わす図で表現できるか． 問題後半の解 －１５６－. 略図を書くのはかなり困難である． 部屋を点で， ドアを線で表わすことができない生徒が多い． 後.
(12) . 図形の位相的性質の指導について ．決にこの図を利用するかどうか ，. 半は比較的正解が多いが， それは殆どが家の平面 図から直接に考えたものである．. 中－ ４. 中－２と同じ. 題意の把握及び解決力は， 比較的良好といえる． この程度の問題が現時点で生徒の能力に適合する といえるかもしれない．. 中－５. 中－４と同じ． 程度が高くなっている。. かなり困難である． 特に（ｄ）と（ｈ） ，（ｅ）と（ｐ） ， １）の発見がむずかしい． しかし前題と同 （ｉ）と（ １ 系の問題であるので， 若干の指導により比較的容 易にこのような見方ができるようになると思われ. 中. る．. 中 － ６ 四色問題である． 問題の意味を捉えて （色 （ｂ）と（ｃ）とは殆んどが正解．（ａ）は２色と３色 数は一応別として） 正しいぬり方ができる か， また最小の色数を求めることができる. が概ね半数ずつであるが塗り分けは正しい． （ｄ） は４色と５色が半数ずつで， ４色の方は塗り分け に多く失敗している． 複雑なものは全体を見通し ながら色を決定することが困難なようである．. 中 － ７ 単純閉曲線の内部， 外部の概念を持ってい. 殆ど全員正解で， この概念は無意識のうちに確立. 中 － ８. 前間と同じねらいの外， 点が内部， 外部の 何れにあるかを判断するのに， その点と， 明らかに外部にあることが判る点とを線分 で結んで単純閉曲線と交わる回数を数える 方法のヒントを与える． その規則を発見で きるか．. 殆ど正解であるが， 左の規則には気がつかないよ うに見える．. 中－ ９. 内部， 外部の判断ができるか． その解答は 外側から順次外部， 内部を判定しつつその 点に到る方法をとるか， または前間より規 則を発見してそれを利用するか．. 数人が後者の方法に依った外はすべて前者に依っ. 力） ．. 学. 校. る か．. の意味は充分に把握されている． 誤答の多くは多 重連結の領域を作ったもの．. 中 － １１ 空間図形を連続的変形によって平面上に展 開することの意味が理解できるか．. 題意の把握が非常に困難であったよう ，である． 調 査問題の中で最も明瞭に学年差を示したのである が， このことは空間的な洞察力に関連するのであ ろう． 高学年に適する題材である． なお， （ａ）の 方が（ｂ）よりはるかにむずかしかった．. 小６－１. 中－２と同じ．. 正解（４）は殆ど全員が発見しているが， 記号まで 正しくつけた数は少ない． （６）は発見がやや困難 のようである．. 小６－－２. 中－４と同じ．. １ （ ｝はよいが，｛ ２ ３ ）はそれぞれ各答数 が 接 近 し ） ，（ て， 判別能力があるとは認め難い．. 小６－－３. 中－７と同じ．. 殆ど全員正解．. 中－８と同じ， （小４と共通の問題）. 点が内部， 外部の何れにあるかを判断することは 概ね可能とみられる．. 小. 校. ている． 両法に難易の差が少ない上， 前者の方法 を既に持っているので， 新しい方法を求める必要 がなかったのであろう．. 中 － １０ 単純閉曲線の内部， 外部についての応用問 （ａ）が（ｂ）に較べてはるかに困難であった． 問題 題．. 学. し てい ると い え る．. 年 小６－４. －１５７－.
(13) . 佐 々 木. 小学 小６－５. 一. 幸. 中－９と同じ． （小４と共通の問題）. 中－９におけると同様のことがいえる． （ｂ）の正 答数が（ａ）のそれよりもかなり少ないが， これは 中学校の結果からも認められることである．. 小６－－６. 中－６と同じ． （小４と共通の問題）. （ ３ ）が比較的困難で色数も多岐にわたるようである. 小４－１. 連結の状態が正しく捉えられ て い る か． （形状の歪みは無視する）. 校６. 年. ）の離れてし・る部分に注意を欠いた生徒がかなり 姓 ある外は， 各間共接近した正答数である． 次の問 題の結果と併せ考えて， 子どもはこのような連結. 関係を捉える能力を相当程度持っていると考えら れる．. 小４－２. （ ３ ）に正答が２つあることに気付いたものは皆無で あるが， その外は殆んど全員が正しく判断してい. 中－２と同じ， （小２と共通の問題）. る．. 小４－－３. 中－７と同じ．. 全員正解．. －－４． 小４ ５，６. 小 ６－－４ ．５．６ と同じ．. 小６と同様である．. 小２－１. 小４ー１と同じ．. ２ 小４－１と同様鍵での不注意がみられる．（ ）が比 較的よくないが， 直角などの計量的要素が含まれ ているので注意力が分散させられたた め で あ ろ う．（印，（ ６ ）のような曲線図形の方が連結の状態を よく捉えることができるようである．. 小２－－２. 小４－２と同じ．. 小４－－２と同様であるが正答数はやや減っている. 小２－－３. 中－７と同じ． （次の問題の準備となる）. 小２－４. やや複雑な場面 で， 外部， 内部の識別がで きるか．. 結 １．. 全. 般. の. 状. 果. の. ） （ ３ ， ④において若干の誤りがみられる 。此の学年 では内部， 外部の概念はまだ確立しているとはい えないようである． 全部の蛙について， 誤った判断の数が正しい判断 の数を上回る． 状況の把握が正しく行なわれてい ないためと思われる． 出題の技術にも反省を加え なければならない．. 考. 察. 況. 此の調査の結果と比較考察をするために， 知能指数 （またはその偏差値） 及び学力テストの結 果を利用 したが， これ等は各校各クラスによって形式内容が一定 していない． 特に小２及び中１ の一部では 知能検査が未実施である． 得 られた限りの資料について， 平均， 標準偏差， 相関係数. を求めたのが次頁の表 である． （表中 又 は此の調査， Ｙは知能検査， Ｚは学力テストの結果を示 Ｘ γ す． また例えば， 又 ， Ｓあ デヱｒはそれぞれ 又 の平均， 又 の標準偏差， と との相関係数を意味 す る） た だ し 又 の 配 点 は 小 ２， 小 ５， 小 ６ で は８０点， ・４， 中 は １００ 点 を 以 て 満 点 と して い る．. ２ ． 問題 別の得点の状況. ま問題番号 次頁の各囲ま問題毎に 轟寧嚢 × … を計算して作ったものである・ 横軸の目 熱 々 を示す． －１５ ８－.
(14) . 図形の位相的性質の指導について 小２年 付小４年 付小６年 Ａ小２年 Ａ小５年 付中１年 付中２年 付中３年 Ｂ中１年 Ｃ中３年. ‐０，０８１ － ０，３０９ ０．３５３. ー ー 、樹 林 ２年. ０，４０１. ０，３７１. ０，５８. ０，５９５. ′ ′ ′. ／ ノ. １ ４ ′ ・. ・Ａ ｌ 、２ 、 ｉ 、 、 ・柿１ ２ ・. 、 ・ ！ ・Ｇ 、 －〆ザメイ寸｝ 》. Ａ′ １ 、ｇ. ４. ・ ４. 公 立 中 勘 校 －年，５年. 村 居 中 勘 校 ー年，２年，３年. . ＼. . ０．３６４. ！ ＼蛍 杖 ５年，６年 ′. ー ・樹林 ４年 ノ. ＼ダ. ０．６２２. ＼＼ . 村中３. ＼ 一寸ね. ． ハク ミク 、 ＼＃ ＼. 中１ ，. ′. . . 、 、 、 、 １ ・ ． ． ▲ 、 、 、 ー 、 、 、 ▲ 、 、 、 、 、 . 、 ＼ｃ中ろ Ｂキー. ３ ． 平均の差について 本調査の平均について学年による差を検討するのであるが， 諸条件の均整を要するので付属学 校についてこれを行なった。 方法は比較する二箇学年の分散の差を Ｆ検定により検定し， 次いで. Ｚ 検定により平均の差を検定する．. －１ ５９－.
(15) . 々 木. 佐. （ａ） 小２－小４. 年. ４. 年. 数. 坪，＝３９. Ｎ２＝３６. 均. 之ヒ ーニ１３，９５. ヱ２＝１５．９２. 標準偏差. Ｓ ，＝ ２．９５. Ｓ ２＝ １，８６. 査. 平. び ．』. 一. 問題が異なるので共通問題に ついて検討する．. ２. 調. 幸. ２ 即．Ｓ， －８，９３. ～，－，. （ｉ） 分散 Ｓ２の差の検定，. 帰無仮説 酬。： 母集団の分散が等しい．. びデー 措 き￥ －３ ．５６ ～. １ －２ Ｆ‐ ｇ１ ．鰯 鰯，凋 ，５１＞Ｒｏ. よって有意水準５％で分散に差があるといえる． ｉ） 平均ｘの差の検定 （ｉ 帰無仮説 鷲。： 母集団の平均が等 しい．. ２ （ ６ ５ ） － ． ｚ７ 券 善 一 〆 「 繋辞 港≧ ド ．－ －ｏ ， ～１. ～２. よって有意水準５％で平均に差があるといえる． （ｂ） 小４ー小６ やはり共通問題に ついての考察である． ２の差の検定 （ｉ） 分散 Ｓ ４. 年. ６. 年. 数. 坪， ＝ ３６. 均. 乏ヒ ーニ２２．８６. に ２＝２８．７５. 標準偏差. Ｓ ． ＝ ６．１４. Ｓ２ ＝ ５，５７. 調 平. 査. ２＝３１ ８２ び２＝３８ ７８ び２ ． ． Ｆ＝１．２２＜Ｆ １ｏ ２ ６（３５， ３８）. 入る ＝ ４０. よって 有意水準 ５. ％で分散に差があるとはいえない． ｉ） 平均 又 の差の検定 （ｉ. 醍触（～ ） 一４ 瀞 ３ ２ １“‐ 『 農 云妾＆〆 ，２＞』〆① ～１十 ～２ よって有意水準５％で平均に差があるといえる． （ｃ） 中１－中２ ２の検定 （ｉ） 分散 Ｓ ２＝２１１ ロ．. ２＝１２８ び２. Ｆ ＝１．６５＜ 居 ｏ ６（４２， ３６） ２. よって有意水準５％で分散に差があるとはいえない． ｉ） 平均又の差の検定 （ｉ Ｚ＝ －３．７６. ３．７６＞ も。 ５ （７８） ２. よって平均に有意差がある． （有意水準５％） （ｄ） 中２一中３ ２の差の検定 （ｉ） 分散 Ｓ ２＝１２８ び，. ２＝３５４ 口２. Ｆ＝２．７７＞ 〃ｏ ｏ ２ ６ （３８， ３６） ，. よ って分散に有意差がある． （有意水準５％） ｉ） 平均又の差の検定 （ｉ Ｚ＝ －１．６０. ヂニ６２．６０. も。 ６ （６２， ６０） 〉 １．６０ ２. よって平均に有意差があるとはいえない． （有意水準５％）. 結果として， 小学校の２年と４年， ４年と６年， 中学校の１年と２年の間には平均に差がある －１６ ０－.
(16) . 図形の位相的性質の指導について. が， 中学校の２年と３年の間には平均に差があるとはいえないことが結論される， ４. 相 関 に つ い て. 無相関の検定 此の調査の結果が知能や現時点での学力と関連をもつか否かを検定する。 ガラテヨー γ 万：ｉ が自由度 Ｎ－ ２ の Ｚ分布をすることを利用 し， 母集団の相関係数が０であるという帰無仮設をお き， 有意水準は何れも５％と して検定する。 芥－Ｚ ヱ－Ｙ ズーＺ ズーγ ヱ－Ｙ 又－Ｚ ヱーＺ ズーＺ 〃 付中３ 非－Ｙ 斉－Ｚ 〃 Ｂ中１ ズーＹ 又－Ｚ 〃 Ｃ中３ ズーア ズーＺ 〃. 付小２ 付小４ 〃 付小６ Ａ小５ ″ 付中１ . 云－ －１，４４＞ ーね ） ｏ ５（３７ ， ず＝ ３，３２＞ ね。 ６（３１） 宏＝ ２，７１＞ Ｚｏ １） ５（３. 云＝ ２．２４＞ 云＝ ５，６４＞ 云＝ ９・９０＞. ねｏ ６（３６）. ねｏ ６（３６） ねｏ ６（３８）. 云＝ ３，４５＞ ゐ， ｏ ６（３８） 云＝ ３，８３＞ Ｚ ｏ ５（４１） ｏ ， オニ ー０，４８＞ ーもｏ ） ｏ（３５ オニ ーー，９２＞ ーた ） ６（３５ ｏ ， 云 ３，９９＞ 云 ６（３７） ｏ ｏ ， ず＝ １，３９＜ わｏ ６（３７） オニ ４．６２＞ れｏ ５（４２） 云＝ ７，０３＞ れｏ ５（４２）. 云＝ ４・５５＞ オニ ３，５５＞. 仮設を棄却できない 仮設を棄却できる. 仮設を棄却できない 仮設を棄却できる 仮設を棄却 できない 仮設を棄却できる. れｏ ５（４２） もｏ ５（４２）. があることが認め られる の 間を 上 表 に 示 す 結 果 に よ り， ズ と Ｚ Ｘ と Ｚの間には一般に相関関係. （２） ｘー Ｚ ズーＺ 間の相関係数の差の検定. に（侮－γ那 ￥ 翼ｉザメ 挙 書 勝 鍋もが 〆郊 ）. うことを利用 して Ｚ検定を行なう. が自由度～－３のｚ分布に従. 帰無仮説 ； 「母集団の相関係数 ｐｚｒ と ｐ・ｚ が 等 しい」 を お. き， 有意水準を５％とする． 付 付. 小. Ａ. 小 、 ′. ５. 付 付 Ｂ. 中 中 中. ２. 中. ３. 小. ３. １. Ｌ＝ ○ ４１＜ 宏 Ｚ ｏ ｏ ６（３０） ， ． 云ニ ー，２７く ず ６（３５） ｏ ｏ ， Ｚ＝ ４，５５＞ れｏ ６（３７） Ｚニ ー，２５く ず ６（３４） ｏ ｏ ， オニ ー，８５く れｏ ６（３６）. 仮設を棄却できない 仮設を棄却できる 仮設を棄却できない. オニ ーー・７２＞ ーねｏ １） ６（４ オニ ー，７０＜ －なｏ １） ５（４. 従 って一般に両相関係数に差があるとはいえない。. （３） 学年間の相関 係数の差の検定. （ａ） 付小２， 付小４についての共通問題 ｘ′ と Ｚ との相関係数の差. ２つのデー. に. 増β 亮 ；萱葺. により変換して 為 ２ ２ を得たとき， －１ ６１－.
(17) . 佐 々 木. た ／＊＋＊ ２Ｉ一２２. 幸. 一. が近似的にｏのまわりで標準偏差１の正規分布をすることを利用す. る． こ の 場 合， ２ ・＝ －０．０６７. ご＝ －１，５８７. ２ ２＝０．３２５. Ｐγ｛ＩＺＩ＞１，５８１｝＝０．１０３. よ っ て ５％の有意水準で， 母相関係数が等しいという帰無 仮設を棄却できない．. （ｂ） 付小４， 付小６についての共通問題 ズ′ と γ との相関係数の差 ２１＝○，２８２. ガニ ー○．５７８. ２ ＝○ ．４２６. ＰバＩＺＩ＞○．５７８｝＝○．５６３. よっ て （ａ ） と同様の結論を得る． （ｃ） 付小４， 付小６についての ズ′ と Ｚ との相関係数の差 ２，＝０，２５０. Ｚ＝ －０．９６４. ２ ２＝０．４９０. Ｐγ｛ ｝＝０．３３０ ＩＺＩ＞０．９６４. よっ て （ａ） と同様の結論を得る． 従 って上記 （ａ） ） の各場合には， 有意水準５％で母相関係数に差 があるとはいえない ，（ｃ ，（ｂ） ことが結論される． （ｄ） 中学校における ｘ と γ との相関係数の差 （ａ） と同様の 付中２. ｚ. 変換を行ない下の値を得る．. 付中３. ２Ｆ ‐０．１１２ ２ ２＝ ０．６２５. Ｂ 中１. ２Ｆ. Ｃ中３. ２ ４＝. ≠ 鄭 一 ３）２ ， ， 一 ２＝ 乞デ 呂 （鳩 － ３）. Ｏ．６６３ ０．６５５. ， ズ２＝ ； （賊 ‐ ３）（＆－ｚ）２ 『. . と す る と き ｚ２ は近似的に自由度４－１＝３の だ 分布に従うこと. を利用 し， 母相関係数はすべて一致するという帰無仮設をおいて有意水準５％で検定する． この とき 名＝○．４７８. ０．０５＝ Ｐイズ２＞７，８１５｝＞Ｆγ鰯２＞１５．２９９｝. だ ＝１５．２９９. よって仮設が棄却され母相関係数の間に有意差が認め られる． 付中２だけが負の相関を示 し特異 なので試みにこれを除いてみれば ２＝０・６４９. か ＝○，０３０. となり有意差がなくなる．. ＞γα２＞５・９９１｝く くＰγ採２＞０．○３０｝ ０・０５ニヱ. る. （ｅ） 中学校における 又 と Ｚ との相関係数の差 付中１ 冊 ｛リ Ｔム. 付中 ３ 一」． . Ｃ中３. 、. ０．５７０１ ｌｎ グ ー ぬ ２－ 【ハ Ｕ，つ Ｊ即 ２ ３＝ ０．２２６ ８ ・＝. ケ ー . ２ ５＝. （ ＾（（ . ノ ０，５２３ノ. ２＝３２ ３００ ０ ０５＝ Ｐバズ２＞９４９｝〉 Ｐγ燃２＞３２ ３００｝ ２＝０．４１８ Ｘ ‐ ， ． ，. 解き 音Ｊた准 に 僻目 朝順 緒バ 護 ト れ＋声 、事 ー砧 いム ふっヴ Ｌ風 が一 旬Ｌ 仁ト ノ胆 舟Ｌ 禾 丹個 肉 脈数 献十 テヱ 川餌 措１メー 又際 偏屈、小 牛 り似 却 さ れ る． 試 みに 付中 ２を 除けば ８１５１＞ Ｐγα２＞９．９３３｝ 名；○．５７０ Ｘ２＝９，９３３ ０．０５＝ Ａ｛だ ＞７ ．. でやはり仮設を棄却でき母相関係数の間に有意差が認め られる．. 従って （ｄ） ） の場合 ズーア の相関は学年で差が認め られず， Ｘ－Ｚ の相関には差が認め ら ，（ｅ. れ る と い え よ う．. －１ ６２－.
(18) . 図形の位相的性質の指導について. ５ ． 生徒の興味の傾向 中学校の調査で は， 各小間毎に生徒に興味の程度を自ら判断させ， ５段階の どれに相当するか を決定させた。 （１が興味最低） その各間毎の度数表と付中についてのグラフとを示す． グラフ の横軸の目盛りは興味の段階， 縦軸のそれは度数である。 中－１ １. 年. 付中 Ｂ中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 付中２年. ３. 年. 付中 Ｃ中. ３. ３. ４. ９. ２. ２１. １. １１. ７. ５. ９. ３３. １０. １４. １７. １３. ２１. ７５. １６. ７. ８. １２. ８. ５１. １２. ６. ５. ４. ６. ３３. ４２. ４１. ４１. ４３. ４６. ２１３. ０ ，. ２. ． ． ３. ． ４. ５. 中－２ １. 年. 付中 Ｂ中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 付中２年. ３. 年. 付中 Ｃ中. １. ５. ６. １５. ２. ２９. ５. ６. ２. ３. ３. １９. １１. １８. １１. １０. ９. ５９. ６. １０. １１. ７. １５. ４９. １９. ２. １１. ８. １６. ５６. ４２. ４１. ４１. ４３. ４５. ２１２. . . ′ ′ ／. ｏ ｉ. １. ／. ２. ろ. ４. ５. ２. る. ４. ５. 中－３ 興味の １ 段 Ｂ 付中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 年 Ｂ中. 付中２年. ３. 年 ２０. 付中 Ｃ中. １. ２. Ｏ. １１. ２. １６. Ｏ. ９. ２. ５. ５. ２１. ５. １３. ５. ６. ２１. ５０. ４. ７. １６. ７. ９. ４３. ３２. １０. １８. １２. ８. ８０. ４２. ４１. ４１. ４１. ４５. ２１０. －１ ６３－. ！ ５ １０. ・ ぶ １.
(19) . 佐 々 木. 幸. 一. 中－４ １. 年. 付中１ Ｂ中 １. 付中２年. ３. 年. 付中. Ｃ中. ４. １. ６. １４. ４. ２９. ５ ，，. ７. ６. ７. ４. ２９. １５. １７. １８. ９. ２２. ８１. １０. １１. ８. ７. １２. ４８. ８. ６. ３. ５. ３. ２５. ４２. ４２. ４１. ４２. ４５. ２１２. 興味の １ 段 Ｂ 付中. Ｂ中. ２ ３ ４ ５ 計. 中－５. １ ２ ３ ４ ５ 計. 年. 付中２年. ３. 年. 付中 Ｃ中. ４. ５. ４. １３. ６. ３２. ３. ８. ２. ７. ５. ２５. １３. １４. １０. ９. １５. ６１. １１. ８. １４. ２. １６. ５１. １１. ６. １１. ８. ４. ４０. ４２. ４１. ４１. ３９. ４６. ２０９. ２. ！. も ｔ４. ５. 中－６. １ ２ ３ ４ ５ 計. ３. 年. １. 年. 付中. Ｂ中. ３. Ｏ. １. ８. ３. １５. Ｏ. １. Ｏ. ４. ２. ７. Ｏ. ５. ８. １１. １６. ４０. ８. ６. ７. ５. １１. ３７. 付中２年. 付中 Ｃ中. ３１. ２９. ２５. １５. ９. １０９. ４２. ４１. ４１. ４３. ４１. ２０８. －１６ ４－－. . . ′ ′. . . ●. ′／. ｍ ５. ○ －. ・. . る／ ２. る. ４. ５.
(20) . 図形の位相的性質の指導について. 中－７ １. 年. 付中 Ｂ中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 付中２年. ３. 年. 付中 Ｃ中. ５. １. ２. ８. ３. １９. ２. ３. ２. ７. ６. ２０. ２. ４. １１. ５. １７. ３９. ７. １５. ６. ８. ８. ４４. ２６. ２０. ２０. １４. ８. ８８. ４２. ４３. ４１. ４２. ４２. ２１０. －. ２. ３. ４ ‐. ５. －. 之. る. ４. ５. ２. う. ４. ５. 中－８ 興味の １ 段 Ｂ 付中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 年 Ｂ中. 付中２年. ３. 年. 付中 Ｃ中. ３. ３. ２. ９. ７. ２４. ３. １１. ５. ７. ６. ３２. ４. ９. １８. １１. １６. ５８. ９. １５. ９. ４. １１. ４８. ２３. ５. ７. １０. ５. ５０. ４２. ４３. ４１. ４１. ４５. ２１２. 中－９ １. 年. 付中 Ｂ中 １ ２ ３ ４ ５ 計. 付中２年. ３. 年. 付中. Ｃ中. ２０. ｉｏ. １. ４. ８. Ｏ. ２３. Ｏ. １. ６. ３. ６. １６. ５. ２ １ ‐. ８. ９. ２１. ５５. ７. ２２. １３. ６. ７. ５５. ２０. ７. １０. １１. ７. ５５. ４２. ４３. ４１. ３７. ４１. ２０４. －１ － ６５－. Ｏ … １. ー.
(21) . . 佐 々 木. 幸. １. 年. 付中. Ｂ中. ８. ４. ７. ７. ５. ３１. ５. ８. ７. ５. ８. ３３. ６. １５. １５. １３. １９. ６８. ９. １２. ６. ２. ６. ３５. １４. ２. ５. １４. １. ３６. ４２. ４１. ４０. ４１. ３９. ２０３. １ ２ ３ ４ ５ 計. 付中２年. 一. 年. ３. 付中 Ｃ中. ′＼ ′ ＼ ′ 、 ′ ＼ ＼. んへ. ー. ２. ３. ４. ５. 中－１１. １. 年 Ｂ中. １６. １０. １０. １０. １５. ６１. ４. １４. ４. １０. １１. ４３. ５. ８. ９. ８. ８. ３８. １１. １０. １０. ６. ２. ３９. ６. １. ７. ７. ２. ２３. ４２. ４３. ４０. ４１. ３８. ２０４. ２ ３ ４ ５ 計. 年. １. 付中. 付中２年. ３. 付中 Ｃ中 八 、 ′′ ′ ′ 、 . －. ２. る. ４. ５. 一般に高学年となるに従って興味が低下するのが見 られる が， 学年による興味の差の有無を付. 年 ，声．き ← ？ ” へ べ Ｖ Ａ Ｔ に Ｕ. 計. １. ２. ３. Ｆ， ． Ｆ２ ，. 野１ ２ Ｆ２ ２. Ｆ， ３ Ｆ２ ３. 召３ ・ ゼ４ ，. Ｆ３ ２ Ｆ４ ２. Ｆ３ ３ 野４ ３. ５ １. Ｆ５ ２. ６ ３. 丁．・. ｒ．２. Ｔ．３. 問題番号. 中の度数によ って 次のように検定 した． 即ち左. 計. 表について計 算 した．. １ ７ ， ． ｒ２ ，. ２ ｚ ） －Ｎ（秦 ラＦ身－・. で３ ． ｒ４ ，. が自由度 （５－１） × （３ー１） ＝８ の だ 分布をす. Ｎ. ズ２ ５（８）＝１５．５０７３ で あ る こ と を用 い て 検 定 し ｏ ｏ ． ′ た 結 果 は 次 表 の よ う に な る．. ることを利用する． 有意水準を５％と し，. ｒ６ ．. 際. 有意差. 問題番号. ２ １８．０６＞ ズ ｛ ） ８ ５ ｏ ｏ ． ４５．５４. ２ ｚ. 有意差. ２４，３５. ２９．７１ ２４，１７. ５７．４５ ５７．２０. １０. ５５．１１. １１. ５０ ．８５. ４１．０２ ８．７７. 従っ て１１を除いては， 学年によって興味の示 し方が異なることが結論される． －１６６－.
(22) . 図形の位相的性質の指導について Ｖ. 結. び. 以上を以て， 組合せ論的トポロジーの基礎概念について， その数学教育における位置， 歴史， 現状を考察 し， 若干の調査の結果を述べた． この調査は， 調査内容と調査対 象である小学生， 中 学生の能力との関連の程度について知識が乏 しかったために， 結果的にかなりの無駄が認 め られ る． また結果は集計により得 られた数字による判定を主と して述べ主観的な議論をあまりしてい. ない。 それはこの調査が一定の結論を得る程には充分な 情報を含んでおらず， むしろ予備調査の ような性格を持 つと思うからである。 従っ て今後より綿密な計画のもとに調査を進める必要があ る こ と は 勿 論 で あ る。. 位相的教材を数学的構造の面から考えたとき， その意義はかなり明 らかといえよう し， またそ れについての子どもの能力もある程度捉え られたように思われるが， これ等の内容が多くの子 ど. もの現在の生活及び将来の生活の上にどの様な意義をもつかを こついては あまり解明されていない ようである。 子どもがそれを理解できるということは直ちにそれが指導すべき内容であることを. 意味しないのであり， その教材の数学教育上に おける存在理由を考えると共に， 他の指導内容と の関連や比較の上での軽重等を考慮 して， 積極的に導入すべきものであるか否かを検討 しなけれ. ばな らない。 位相的教材に ついて此の点の研究を進めることが必要であると同時に， 小学校， 中 学校でこれ等の内容を扱うとすれば どの様な指導系統を立てるべきであるかを考えるのも基礎的 研究として重要なことであ ると思う． 研究のこの 一 つの面が互いに深く関連 し合って適切な 結論 を導くと考え られるからである。. －１６７－.
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