回転子バー断線時における三相誘導電動機の解析
（昭和58年8月31日受理）杉浦修
Analysis of Three Phase Induction Motor with Breaking
of Rotor-Bar
OsamuSUGIURA
A、b8tr8ct This paper describes the diagnosis technique for the rotating machines based on the tensor analysis， which is directed towards the prevention of the serious faults of the three phase induction motor． The characteristics of the current and torque of the induction mOtor occurred multiple rotor．bar faults， were obtained by applying this method and calculated by using results of the analysis． The experiments to determine whether the assumption used in the theory is good or not， were done by the author． The experiment values agree well with the analytical results． Therefore， these results are useful to the basic study in this field． 1． まえがき これからの高度技術社会において，事故を未然に防 ぐことは，ますます重要なこととなってくる。三相か ご形誘導電動機の故障も，軽いうちに検出できれば重 大事故にいたる前に予防することができ，故障診断技 術の発展に貢献することとなる。本文ではプ今まであ まり調べられていない三相かご形誘導電動機の二次回 路が断線した場合1）醐，すなわち，回転子バー断線が 任意の箇所で生じた場合の運転特性をテンソル解析法 を適用して求めた。 解析結果から，電流とトルクの特性を計算できるプ ログラムを作り，供試機について特性計算を行った。 また，実測を行い，両者を比較した結果，ほぼ一致し 解析の正当性が確認された。 2． 電圧方程式 図一1は，三相かご形誘導電動機の巻線モデルで，× 印は断線箇所である。図中において，Rは抵抗， Lは 自己インダクタンス，Mは相互インダクタンスであ る。添字のSは固定子，rは回転子であって，誘導電 ＊電気工学科，Department of Electrical Engineering 動機の定数や記号は，すべて前論文4）に従っている。 この誘導電動機が断線せずに正常な運転をしている と，その電圧方程式は ［：：］一［；：1：；：：］［1：］ （1） である。ここで，回路解析上の容易さのためエンドリ ングのインピーダンスは，回転子バーのインピーダン Cs 図一1 回転子バー断線時の巻線モデル Fig．1Winding model in rotor bar fault．スに較べて低いので，回転子バーのイソピーダンスに換算して解析を行った。（1）式において・ ［Zn〕
ｱ薪㌫；蕊］
（z・2〕ﾋiii蕊竃iilll；）i ii竃蕊llil；iiil工｛i叢1；｝］
． pMr cos 2θ．， ・… 一， pMr cos（m−2）θr， pMγ cos（m−1）θア 〔z22〕＝ Rr十♪」Lr ， PMγ COS er PM．c・・（m−1）θ，， R・＋ρL・ ・PM・c°sθ一’…， PM．c・・（m−2）θ。， PM・ ・g・（m−1）θ・・R・−lrPL・ ・．．・ pM．。6・2θ， ，pM・c・・3θ・ ・pM・c°s 4θ… 1 pM．c・・θ， ，pM・c・・2θ・ ・pM・c°s 3θ・， ・ 〔Z21〕＝〔Z12〕et：転置行列，P：微分演算子 である。図一1において，たとえば1番目の一： 一一が断線 すると，固定子のa相の電圧方程式は， v。、＝（R8＋PLs）i。、＋ρM・‘・・＋ρM・ic8 ＋PM。 C・・θ・i，1＋PM． C・・（θ＋θr）’i・2＋’… 』／……＋PM。 c・・｛θ＋（m−1）θ・｝・i・m となる．ただし，P．Mr…｛θ＋（1−1）θ・｝’i・e噸が 断線のため存在しない。この項のほかは正常運転時の 式と同じになる。以下，同様にして各巻線の電圧方程 式を作り，行列形式に整理する。そうすると，（1）式の インピーダンス行列は，〔Z12〕の1列，〔Z21〕の1行， 〔Z22〕の1行と1列を除去した行列になる。これを行 列形式で，批靱」 （・）
1 と表すことにする。’ （2）式の固定子の電圧と電流を対称座標法を用いて， 対称分に変換する。（2）式の両辺にA−1を左乗すると4）， A“’〔γ・〕＝＝A−1〔Z1・〕AA−’〔・・〕＋A−1〔干・2〕ee−l l 〔V・’〕一〔Z・・’〕〔1・’〕＋〔4，2’〕〔・・’〕 （・） 1 となる。〔V，’〕，〔Z11’〕，〔ls’〕， A，・4−iは，前報告4） の（2）式と同じである。・ 〔1ノ〕＝壬劫一1は，〔lr〕の1行目のi，tが除かれた 行列である。 〔4・2’〕＝・A−1〔‡12〕は，前報告4｝の〔Z12’〕の1列を除 l l“ 去した行列である付1）。 また， −Eva−1 ＝＝ −EZtil− 1 AA・−i〔1・〕＋−Eblti−l l PMr cos（〃1−3）θ，， P1レ1γcos（〃z−2）θr ρノlfr cos（〃z−4）θγ， PMγ cos（〃z−3）θr i エ ’ ミ ： ： i Rγ十PLr ， Pルlr COSθr Pルfr cos（m−1）θr， Rア十PL仁 」 〔V，’〕＝壬玩弓一1〔1、’〕＋〔Z22’〕〔∫／〕 （4） である。（4）式において，協今一↓＝モ耐一IAは，前 報告4｝の〔z21’〕の1行を除去した行列である。 そこで，（3）式と（4）式をまとめると，煕l l （・）
1 となる付1）。（5）式の両辺に整流行列5）Kを左乗すると，4㌫一κ乙1：；劃〔」払、
1 上式を整理し，まとめると，阻l l （・）
1 となる付2）。（6）式において，〔Vs”〕，〔Zll”〕，〔ls”〕 は，前報告4・の（・）式と同じである・〔4，2”〕・ −EzrfLil−l l は，それぞれ前報告4｝の〔Z12”〕の1列，〔Z21”〕の1 行を除去した行列である。 これまでの解析は，1番目の回転子バーの断線のみ について行ってきたが，何本のバーの断線が存在して も⑥式のような形式で表せる。たとえば，」とkと1 のバー番号が断線した場合 元ん1 となる。上式において，〔Vr〕，〔lr〕，〔Z21’／〕は，∫， le，1行が除去されている。〔Z12”〕は，∫，々，1列が 除去され七いる。〔Z22〕は，ノ， k，1の行と列が除去 されている。 ＝ ’ ノ ∫」’ 21， 22 『 ＝ Z11”， ”P2 ∫8” 21 ， 22 γ Z11， 12ノ み” 元力1 21 ， 22 γ1十1 図一2 回転子のirとi，の関係 Fig．2 Relation between ir and ie of rotor current． 3． 固定子および回転子の電流 図一2は，かご形回転子の巻線モデルを示す。1番目 の回転子バーが断線した場合である。ieは隣接する回 転子バー間を循環する仮想電流であって，解析上の必 要のために利用する。 まず，断線のない正常な運転状態のirとieの関係 は次式のようになる。 〔∬r〕＝〔K。e〕〔le〕 ただし， 1’ iei ” 1 −1、 ie2 −1 1 〔le〕「i‘・〔Kre〕＝i −一・．．’・・．．［
〔㌫． ［ ’”−f’、1
〔K。，〕は，対角要素が1で，（x＋1， （1，m）要素が一1， 1番目の回転子バーが断線している時は， i，1＝0であるから， 〔1，t〕＝〔K。et〕〔1，’〕 となる。ただし， 〔・er〕一広〔↓一 iel ie2 （7） x）要素および， その他が零の行列である。 irl ＝O， 〔κ，，’〕 lem＿1／， 1 1 −1 （8） 1 −1 ’・． ’・． 1 −1 〔1，’〕は，〔le〕からi，tとi，mを除去した行列である。 〔Kre’〕は，対角要素が1で，（x＋1， x）要素が一1， その他が零の（m−1，勿一2）行列である。 i，mを除くのは，キルヒホッフの法則を回転子バー の各循環回路に適用し，電圧方程式を各回路ごとに作 ると，そり方程式群の中に同じ電圧方程式が二つでき てしまい，数値計算できる解析結果が得られなくなる ためである。本文での解析において，エンドリングのイ ンピーダンスは，回転子バーに換算している。エンドリ ングのインピーダンスをバーに換算せず，その状態の ままで考慮に入れると，iemを除くことはできない。 回転子バーの断線数をd個とすると，〔1。’〕は（m −d）行，〔1eノ〕は（m−d−1）行，〔K。et〕は（m−d， m−d−1）行列である。 図一2の巻線モデルについて，隣接する回転子バー間 の各循環回路にキルヒホッフの法則を適用し，電圧方 程式群を作る。すなわち，（6）式の悟｝zの｛x行一（x ＋1）行｝の引き算を行いx行の要素とする。これを 〔V。h〕＝〔Z21ん〕〔1，”〕＋〔Z22h）〔lrt〕 とする。〔Z21h〕および〔Z22h）は，それぞれモ鍋Z， モ桔1の｛x行一（x＋1）行｝の引き算を行い，x行 1 の要素とした行列で，〔Z2、h〕は（m−2，2）行列， 〔Z22h〕は（m−2， m−1）行列である。上式に（8）式の 関係を代入すると， 〔Vrh〕＝〔Z21h〕〔∫s”〕十〔Z22hl〕〔le，〕 （9） となる。ただし，〔Z22hノ〕＝〔Z22h〕〔K。e’〕で〔Z22h〕の ｛x列一（x＋1）列｝の引き算を行い，x列の要素と した（m−2）次の行列である。 〔γ。力のすべての要素は，零であることは明らかで あるから，〔γ。h）は，零の行列である。 ［v・h〕n1］
このことから，（9）式は 〔1，’〕＝一〔Z22。’〕−1〔Z21h〕〔1、”〕＝〔1（，，〕〔∫、”〕0① と変形され，固定子電流と循環電流の関係が得られる。 （6）式から，〔Vs”〕を求め，（8）式とao）式を代入すると， 〔Vs”〕一〔211”〕〔∫、”〕＋〔孝、2”｝〔∬。’〕 1 ＝｛〔Zl、”〕・＋〔P12”〕〔κ。e’〕〔K、，〕｝〔ls”〕ω 1 となる。（11）式を具体的な行列要素を用いて整理する。 〔Zn”〕，〔Zi2”〕は（6）式で，〔Kre’〕は（8）式で与えら ’1 れる。〔Kes］はao）式より， ［ × δ11，δ12，・・…・， δ21，δ22，……， δm＿21，δm＿22，……s” 1一ε一ゴθ・ ， ε一ゴθ・一ε一ゴ29・ ， ＼ε一ゴ（m−2） e・一ε一ゴ（m−1）er，D11 ， D11＊ 〕
D21，D21＊1
＝一 ： ： a2） D肌＿21，Dm＿21＊ となる。上式の＊印は共役値であることを示す。した がって，（11）式のカッコ内のインピーダンス行列は， 〔Zlltt〕一乎仏ピ：：；；：；灘麓轟：：：］
。［1：：：訓会：；三］〈13）
Dm．21， D肌一21＊〕 となる。ただし， z。1一工・（ク＋元ω。）」芸臨（ρ＋∫叫） ×｛D、、（1一！θ・）＋……＋Dm−21（εゴ（肌一2）θ・一♂（勉一1）θ・）｝ Zm・一一?宦{酬D1抱一・・り＋一
……＋Dm−2、＊（εゴ （M−2）θr一ε」｛M−1｝e「）｝ である。（13）式を用いて⑪式の固定子電流を求めると， ［ll：：；e］一［㌃：：：lll］じ：：：；；e］ a4 となる。ただし， Zml＊ Yml＝ ZmlZml＊−Z．2Z．2＊ −Zm2＊ Ym2＝ ZmlZml＊−Zm2Zm2＊ である。 固定子巻線に印加する電圧を，醗liiii勤
とする。これを対称座標変換し6｝，（14式に代入する。 っぎに，推移定理7）を適用してilS， i2Sを求める。零 相電流は流れないから，固定子a相の電流i、aは，対 称座標法の定義よりi・・一吉（il・＋i2s）である・ 上式に，（14式より求めたils， i2sを代入すると， ゴ、α＝㎡百11。、IC・S（ωt＋α＋9、i） ＋・／’2’li。，lc・s｛（2s−1）ω’＋α一2β＋9，2｝as となる。ただし， 1。・＝・γγm1〕P．ゴs。，1。2 ＝＝ Vγm2〕P−」StU， 9、・＝∠1。・，9、2・・＝∠1。2 Z・1］… ds・一畑砥＋・（XmSr砺）2｛d・1（・一・ゴリ ＋……＋dm−2i（εゴ（m−2）θ・一εゴ（m−1｝er）｝P一ゴ，ω Z・・＊）… 」s・−Rs＋元（2・一帆＋・（2・一・）（慌）2 ×｛dll＊（1一ε一」θ・）十…… ……＋dm−2、＊（ε一ゴ（m−2｝θ・一ε一」（肌一1）θ・）｝P−d，ω z・2〕…ds・一・（．Xmsr而）2（d・・＊（・一・・er）＋…… ……＋dm−2、＊（ε」（m−2，θ・一♂頑｝θ・）｝ρ＝＝J，。 Zm・＊〕・−」s・一・（2・−1）（需）2｛dn（・−e−…） ＋……＋dm＿2、（ε一ゴ（m−2｝e・一ε一ゴ伽一1｝θう｝P−」、。 d1、〕ρ。ゴ、。＝δ1、（1一ε一ゴθ・）＋δ12（ε一ゴθ・一ε一」2er）＋…… ……＋δ、肌一2（ビゴ（m−2｝θ・一ε一ゴ｛仇一1｝θ・）〕，．釦 dm−2、〕P．ゴ，。＝δm＿21（1一ε一ゴθ・）＋δm＿22（ε一de・一ε一ゴ2θ・） ＋……＋δr，m−2（ε一ゴ（m−2）θ・一ε一」Cm−1）θ・）〕，。」、ω dll＊〕ρ。」、。＝δ11（1一ε」θ・）＋δ12（εゴθ・一εゴ2θ・）＋…… ……＋δ1m−2（εゴ（m−2）θ・一εゴ（m−1｝θ・）〕ヵ．」s。 dm−2、＊〕P．ゴ、。＝δm−21（1一εゴer）＋δm＿22（εゴθ一ε∫2θ・） ＋……＋δm−2 m−2（εゴ〔m−2）θ・一εゴ（m−1）e・）〕P一ゴ、。 である。（15）式より，回転子バー断線時に流れる電機子 電流is、は，電源周波成分と，（2s−1）ω周波成分の 二種類の周波数の電流である。（2s−1）ω成分が回転 子バー断線時に流れる特徴ある周波数の電流である。 この電流の実効値11。21は，図一1の定数を用いて，任意 の箇所で任意の数の断線でも計算することができる。 回転子バー電流〔1rt〕は，（8）式とao）式を用いて， 〔Jrt〕＝〔Kret〕〔Kes〕〔IS”〕 L）11 ， Z）1i＊ −D1、＋D2、 ，−D1、＊＋D2、＊ 一一・堰@ i ン豆γ
一Dm＿31＋Dm＿21，−1）m＿31＊＋Dm＿21＊LDm−21 ，−D＿21＊ 、
・［γ仙Ym2＊γ励2，Ym1＊］［：lll：1：1，］ 1．i，、IC・・（S・・t＋α一β＋9。1） ＝＝ v−2−Pir・1・9・（Stut＋・一β＋9r・） 。⑤ … L Vrm1 coS（Stot＋α一β＋90rm）ノ のように得られる。ただし， i・1−VgV（．sXmsrフ㎡万）｛−411γ…d・・＊y・・｝〕・−」s・ir・−vev（元ueKsア）｛（d1・−d21）r・・ ＋（d、、＊−d21＊）Ym2｝〕ρ輌 ・・m−・ 一・V’”R−V（．sXmsr／vm）｛（d・−31−dm−21）Y・1 ＋（dm−3、＊−dm−21＊）γm2｝〕ρ。ゴ、。 ・一一v3v（．sXmsrノ㎡万）｛dm−・・Y・・ ＋dm−21＊γm2｝〕，。ゴ、ω である。閾式より分かるように，回転子バーに流れる 電流は，それぞれのパーによって実効値も異なってい るし，電流の位相grも正常運転時のような規則性は ない4）。また，回転子パー断線時の健全な回転子バー のすべてについて，電流およびその位相を計算するこ とができる。そのため，故障時の状況を事前に検討す ることが可能となる。 4． 断線時の瞬時トルク 図一1のように，1番目の回転子バーが断線している 場合の瞬時入力Piは， 1s Vs Pi＝ rt ア 1 である。⑰式に（2）式を代入すると， P、一〔Is〕t〔Zlt〕〔18〕＋〔・S〕・〔4・2〕−El，il−l l ＋’｛fif］−i−liZdi−1〔1、〕＋〔lr〕tf4eEdi−ffn−i l aη のように変形される。固定子の電圧と電流を対称座標 に変換すると， Pi＝｛AA−1〔∫8〕｝‘〔Z11〕A／1−1〔1．〕 ＋｛AA−1〔1・〕碑12〕街一1 1 ＋−El ］−i−CZifiilt l AA−i〔1・〕＋−Cf；］・；fpti）−El ：）−l l
−1・ノZ1・’”・・2’”1・’ ag
rt2、，22 。l
l と鮪付・）．ただし〔Zl・’”〕，〔‡・2’”〕・・tzwe−1は・ 1 それぞれ前報告4）の〔Zll”’〕と同じ，〔Z12”’〕の1列 を除去した行列，〔z21’”〕の1行を除去した行列であ る。 瞬時トルクの一般形は， ・・一噤k｝〕・｛dl；〕｝〔・〕 ⑲
であるから5），⑬式のインピーダソス行列中のリアク タンス分をθについて微分し，ag＞式に代入する。また，（・）式中の乱を・賦の〔・〕に代入するとば
目の回転子バー断線時の瞬時トルクτiが得られる。 すなわち，〈18）式のただし書きから明らかなように， d〔L、、・〃〕／dθ一d中」／dθ・…d〔↓12”’〕／dθは・ l l d〔L12”’〕／dθの1列を除去した行列， dモぜ｝−1／dβ は，d〔L21”’〕／dθの1行を除去した行列である。 したがって，一叫㌢〕）−EI・iS−1
＋愉1（dモiE tfLZil−l dθ）〔・・’〕｝ ＝」争彪｛＠部…一一 i1S・一・・）蕗1＋（i2s・”εゴち 一ゴ、，ε→θεづθ・）i，2＋…｝・・＋（i・・εゴθε’‘m”1’e・ 1 −ilsε一ゴθε一ゴCm−1）er）irm｝ 佗（）） として表せる。これより，1番目の回転子バーが断線 した場合の瞬時トルクは，正常時のトルク式4）中のi，1 ＝0とした式となることが分かる。 断線箇所を，2，3，……，xと増加させ，その都度， 瞬時入力Piから同じ過程で解析を行っていくと，常 に⑳式の形になる。ただ，断線の箇所の回転子バー電 流i．を零として，その項のトルク分は除去する必要 がある。 つぎに，⑳式のng x項を，1。、，1。2，∫。xを用いて 整理すると， ・ix一 怐iXmSr砺）Real｛一∫・・ε一・・−11er ＋了a2 sゴ c・nt！｝ e・｝（元1。x＊） ＋芸（Xmsr疏）卜…ε一・・一叫・a2・酬 ×（∫∫。。）lc・s｛2（sω’＋α一β）＋9P。｝ ⑳ となる付4）。したがって，誘導電動機の瞬時トルクτzo は m τ￠。＝Στ1。＝τ仇。＋τP・ x＝1 である。ただし，断線している回転子バーの番号につ いては除いて計算する。 ⑳式から分かるように，瞬時トルクτiOは，平均ト ルクτmOと2sωの周波数成分の振動トルクτp。との 和である。回転子バーが断線すると，正常時には生じ ない2sωの振動トルクが生じ，誘導電動機の運転に 支障をきたすことになる。START
γ。（V），∫（Hz）の読み込み すべりSの読み込み 〔Z司，〔Z幻，〔Z‘1〕，〔Z22〕，〔K。．〕の読み込み ［申6］ジ〔箭1晦費〔κ：，］を作る」 ε Yes 断線箇戸 @ No 〔Z21U，〔Z22ん〕，〔Z2フん〕，〔Z2：力〕−1の計算 〔κ勾，［κ。。〕の計算 Zm 1，Zm2， ym l，γ呪2，∬α1，1α2の計算 i。α，」。の計算 τの計算 Yes 0＜S〈1@ No
S，‘。α，ゴ。，τm。，τ。・ ﾌ印刷@ STOP
図一3 eig． § ご ご3
↑ 10 フロー・チャー ト Flow chart． 1，0 0．8 0．6 0．4 0．2 →すべりS 図一41s。，1。1，1。2−s曲線 Fig，4 1sa， Iai，∫a2−s Curves． 5．数値計算と実験結果 0 今までに解析した結果を用いて，巻線形誘導電動機 を供試機として運転特性の計算および実験を行った。 供試機の定格は，3．0（kW），220（V），−13．0（A）， 50（Hz），4極である。巻線定数は，前報告4）に述べた 方法にて求めた。その値は，R，＝＝・O．・879（Ω）， X，＝ ∂ 〈 ↑ ？ 宅 5 ↑ 一2 ・−S 一6 1，0 0．8 0．6 0．4 0．2→すべりS
図一5 1。−s曲線 Fig．5 1r−s Curve． 0 8 6 ？ ζ 4 5↑・
0 図一6 τm。−s曲線 Fig．6τm。−s Curve． 1．0 0．8 O．6 0．4→すべりS
図一7τprs曲線 Fig．7 τpo−s Curve． 0．2 0 57．9（Ω），Rr＝5．40（Ω）， Xノ＝221（Ω）， Xmsr＝132 （Ω）であった。実験条件は，回転子の1相が断線で，印加電圧V。b＝90（V），50（Hz）にて行った。 運転特性の計算値は，解析された式，すなわち，電 機子電流は（IS式，回転子電流は（16）式，瞬時トルクは⑳ 式のプログラムを作り，定数をそれに代入し，コンピ ュータを使って求めた。 図一4∼図一7は，上記の運転条件時でのすべり特性の データであって，実線が計算値を×印のプロットが実 測値を示す。いずれ曲線も，計算と実測値はほぼ一致 しており，解析の正当性を証明している。電流一すべ り特性曲線はすべりが0．5付近で谷を形成している。 これは回転子回路の断線によって生じるゲルゲス現象 である。トルクについても同一の現象のため，0．5付 近でマイナスのトルクとなる。そのため始動不能とな る。2sωの周波成分の振動トルクは計算値のみを示し ている。この振動トルクの存在は運転に悪影響を与え る。図一7において，τp。の値は振動トルクの最大振幅 である。 6． む す び 今まで述べたことをまとめると， 1．誘導電動機の回転子バーが断線した場合に，固 定子電流に生じる特徴ある周波数の電流は（2s−1）ω 成分である。また，その場合のトルクは2sω成分の 振動トルクを含んでいる。 2．供試機について解析結果のプログラムを作り， 付 数値計算した運転特性と実測した運転特性を比較し， 両者がほぼ一致することを確認した。 今後は，かご形誘導電動機の計算値と実測値の比較 する必要がある。また，エンドリングのインピーダン スを考慮した巻線モデルによって，さらに一般的な解 析について研究を進める必要がある。 最後に，この研究を行うに当たり，有益な助言をく だされた，山梨大学の数野教授，東京電機大学の磯部 教授に感謝の意を表します。
参考文献
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x庄ilヨ［iiiil：lll）i iiiiiii三1ま）；1］ll iii臓lllilll＞｝］
1 上式は， 〔4・2’P〕亭弗i惑幽ll
1：：二蕊］
， 1 となる．すなわち，〔Z・2’〕は〔Z・・’〕の1列を除去した行列である・ualも洞様の演鄭よって醐され 1 る。付2
Z11”， 21 ， 12〃 1 22 1 ε一jθ εゴθ 1 ＼ Zn，， 12’ 22 εゴθ 1／ 21， 1 ε一」θ 1 1ll−”：2、、｜〔Zl1りl
