演習第8回

(1)

幾何学演習問題 VIII 1. a =    cos t sin t 0    , b =    − sin t cos t 0    , c =    0 0 1    について、次の各問いに答えなさい。 (1) ˙a = b , ˙b =−a , ˙c = 0 であることを確かめなさい。 (2) det(a b c) =|a b c| の値を求めなさい。 (3) a× b = c , b × c = a , c × a = b であることを確かめなさい。 2. C(t) = ( et 2 cos t + e−t 2 sin t , et 2 sin t− e−t 2 cos t , sinh t ) について、次の各問いに答えなさい。 I. (1) C(t) を a , b , c を用いて表しなさい。

(2) ˙C(t) , ¨C(t) , ...C (t) を計算し、答えを (a+b+c) , (a−b) , (a+b)

を用いて表しなさい。 II.

(1) 行列式 |a + b + c , a − b , a + b| の値を求めなさい。 (2) 行列式 | ˙C ¨C C...| の値を求めなさい。

(2)

III. (1) (a + b + c)× (a − b) , (a + b + c) × (a + b) , (a − b) × (a + b) を計算し、答えを (a + b + c) , (a_{− b) , (a + b) を用いて} 表しなさい。 (2) ˙C× ¨C および ( ˙C× ¨C)× ˙C を求めなさい。 ( この時点で、 ˙C , ˙C× ¨C , ( ˙C× ¨C)× ˙C が互いに直交する ことを確かめること） IV. (1) 次の内積を計算しなさい。 (i) (a + b + c)· (a + b + c) , (a − b) · (a − b) , (a + b) · (a + b) (ii) (a + b + c)· (a − b) , (a + b + c) · (a + b) , (a − b) · (a + b) (2) || ˙C||2 _, _{|| ˙C × ¨}_C_||2 _, _{||( ˙C × ¨}_C)_{× ˙C||}2 _{をそれぞれ求めなさい。} V. (1) κ(t) = || ˙C × ¨C|| || ˙C||3 および τ (t) = | ˙C ¨C ...C| || ˙C × ¨C||2 をそれぞれ求めなさい。 (2) e = C˙ || ˙C|| , n = ( ˙C× ¨C)× ˙C ||( ˙C × ¨C)× ˙C|| , eb = ˙ C× ¨C || ˙C × ¨C|| をそれぞれ求めなさい。

(3)

次の空間曲線について、問題２と同様の考察をしなさい。 1*. C(t) = ( 2 5 e 3t_{cos t}₋ 1 5 e 3t_{sin t ,} 2 5 e 3t_{sin t +} 1 5 e 3t_{cos t ,} 1 3 e 3t )