論 文
強磁性体におけるスピン波不純物準位
川部 健＊ 堀 悦男＊＊
（昭和47年9月26日受理）
Spin Wave lmpurity Levels in a Ferromagnet Takeshi KAwABE and Etsuo HoRI
（Received September 26， 1972）
Localized spin waves due to a single substitutional ferromagnetic or antiferromagnetic impurity atom in a ferromagnet are studied by the two−time Green function method． The localized spin wave modes emerge above the spin wave band and do also below it for the antiferromanetic impurity． Their energy levels are expressed as a function of J7J and 〈S 2＞ ／ 〈S2＞ through ari extended Watson integral， where the primes refer to the impurity atom． The temperature−effects of the loca1ized levels are also discussed．
1 緒 書
純粋な結晶の中に1個の不純物原子が含まれている系の 格子振動には，連続なエネルギースペクトルの他に，不連 続なエネルギースペクトルが現われる。不純物原子のまわ りの局所状態を摂勤として，これを最初に理論的に明らか にしたのはLifshitz 1）である。その後これに類似した問題 として，不純物が金属中の伝導電子のエネルギースペクト ルに与える影響や2），磁性体におけるンピン波不純物状態 の問題が明らかにされるようになった。後者については
Wolfram， Calloway3）や， Takeno4）が強磁性体の中にまわ
りの原子スピンと強磁性的に結合する不純物原子を含む系 のスピン波不純物状態を調べている。さらに同様な母体の 中に反強磁性的に結合する不純物原子を含む系については Ishii等5）によって調べられ，；著者くKawabe）もこの場合の詳細な数値解析を行なっている6）。
ここでは強磁性体の中に1個の不純物原子（母体と強磁 性的に結合する場合と，母体と反強磁性的に結合する場合 を含む）を含む系のスピン波不純物状態を，2時間グリー
ン関数の方法を用いて統一的に記述し，従来の絶対零度で の議論を有限温度まで拡張できることを示す。なお強磁性 不純物によるs型局在波についてはHone等が有限温度に
おける研究を行なっている7）。
＊非常勤講師（岡山大学理学部）
＊＊本校一般物理
2グリーン関数と不純物準位
不純物を含む系を考える前に純粋な強磁性体の系のグリ
ーー投ﾖ数を求めておく。純粋な強磁性体のスピン系のハミ ルトニアンを次のように与える。
π・＝一碧ノiisi ・si・ （1）
（1）においてSi， Sゴはそれぞれゴ番目，ブ番目の格子点に ある原子のスピンオペレーーター，ノゴ はそれらの間に作用 するスピン間の交換結合の大きさである。
2時間グリーーン関数の定義を
GOIm（t−tノ）…≡≡〈Sl＋（の；Sm一（ガ）〉 （2）
で与え，Tyablikov decoupling＜S〆Sノ＋；Sガ》→〈5〆＞
x〈Sゴ＋；Sm一〉を用いて，時間からエネルギーωにフーリ エ変換されたグリーン関数を求めると
隙課爵・｝ r）
で与えられる。（3）式においてkについての和は第1ブリ
ルアン領域についてとられる。また，ノ。，κ＝1（0）一ノ（k），
ただし
」（k）一＝Jodeikd． ． （4）
A
・itについての和は最近接格子点に関する和である。
次に原点0にスピンSノをもつ不純物原子が含まれている 系について考える。この系のハミルトニアンは
一 261 一
X＝X，一2Σノ o Sち・Si十2Σ1，iS』 Si， （5）
i i
と書ける。ノ 。i＞0は不純物原子が母体の原子と強磁性的 に結合していることを，ノ oi＜0は反強磁性的に結合して いることを示す。弱い摂動がある時のグリーン関数は次の Dyson方程式に従うことが知られている。
Gl．rGOI．十Z GaliVil・ Gi．． （6）
∫ノ
GOImは既に（3）式に求められた純粋な系のグリーン関数で ある。以後の記述を簡単にするために，GO， Gを＜sz＞／π で割り，Vに＜S2＞／πを掛けて，それらを改めてGe・G． V と定義する。交換相互作用は最近接格子点の問にのみ働く と仮定し，ハミルトニアン（5）式をもとに不純物を含む系 のグリーン関数を求め，（6）式と比較すればγの行列要素 を得ることができる。結果は次のようになる。
篠射レ⑦
ただし，＜SiZ＞＝〈sz＞＝σσ≒0），〈Soε〉＝♂とおいた。
また，JOA＝∫，．1 OA＝ノt． 2は最近接格子点の数である。（7）
に示された以外のVの行列要素は0になる。不純物原子が 強磁性的なときはJ ，σ ＞0であり，反強磁性的なときは
■，dぐ0であることを注意しておく。ここで結晶構造と
して単純立方格子を仮定し，（7）を用いて（6）式を具体的に 表わすと，
・・。一G・・m＋・2・（アー川…脚一壱（・・1，・・＋σ・1一・・
＋GOI ．OIO＋GOi ．e−iO＋GOI，OO1＋GOI，OO−1）｝Go，m −2（σ7Lσ川（GoムOoo−Goム100）GIOo，m＋（Gol，ooo
−GOt ，一ioo） G−ioo，m 一1 （GOi ， ooo−GOi ．oio） Goio，m
＋（GOi，ooo GOI，一io）Go−io，m＋（GOi，ooe−GOi，ooi）
Gooi，m十（GOi，oee−GOi，oo−i）Goon ；m｝． （8）
ここでGOI，IOOにおける100等は格子間隔を単位にとってそ の位置の指数を示した。
GOImをその指数によってGOIx−nx ， ly 一一my ， le−Maと表
わせば結晶の対称性からGenoo ＝ GO−noo＝GOono＝ ・・ ＝：GOoo−n，
GOnn o ＝ GOn−n e ＝＝ GOnon ＝＝ ＝ GOn o−n ，
等の関係が成り立つことは容易に示すことができる。また スピシ波不純物状態を仮定すれば，そのエネルギーωをも つGO（ω）はC（ω）に比べて無視できる。これらのことに注
意して（8）式をGOO。Jm， Gioo，m， G−loo，me Goio，m， Go−iO，m，
GOOi，m， Geo−i，mについて解く。この目的のために（8）式
で1について原点及び6個のその最近接格子点に対応する 7個の方程式を書けばこれから解が得られる。上記のグリ ーン関数が0でない意味のある解をもつ条件として，次の7次元行列式が0でなければならない。
DEi1
ただし
β
βεεεεδ 一 1β βεεεε㎝δ
1 ββεεδ一εε
1 εβεε﹇δεε
1β
βδ εεεε 1 ββ一δεεεε 1 ㍊γγ・γγγ
1
a＝12cr（／ 一」）（GOooo−GOiee），
β綴2（atノ 一σノ）（GOOOO−GO100），
7一・2・（■一・）｛壱（・…＋・・2・・＋・G・・1・）
一GOIoo｝ ，
6＝：： 2 （a7 一aJ） （GOIoomGO200） ， e＝ 2 （a7 一aJ） （GOIoo−GOne） ，
（9）
（10）
を用いた。（9）式は計算は少し面倒であるが，次の形に因
数分解される。
D一 ｛（1−a） （1一一B＋6＋ 48） 一6B7｝ （1−B−8）3
×（1一一B＋6−28）2． （11）
33種類の局在スピン波
原点および6個のそのまわりの格子点におけるグリーン 関数が解をもつ条件として，D＝0でなければならないこ とを前の節で示したが，（11）式の右辺から次のような3種 類の異なった形の解が得られることがわかる。
（1一α）（1一β＋δ＋4ε）一6βγ＝0， （12a）
1−3−S＝＝ O， （12b）
1−B＋S−2e＝O． （12c）
この節ではこれらの解がもつ物理的な意味について調べる が，その前にGOImnについて成り立つ関係式およびexte−
nded Watson integral Ilmn（pa）との関係を求めておく。
結晶の対称性を考慮すれば，（3）式より次の恒等式
GOioo ＝iitliii． ＋（1 iltii｝ir．GOeoo， （13）
GOioo 一 ilfi （GOooo ＋ GO200 ＋ 4GOiio） ＝＝ iit｝．GOioo ， （14）
が成り立つことは容易に示すことができる。一方，単純立
方格子におけるextended Watson integral Ilmn（μ）は次の ように定義される。
あ
Ilmn（・）噛∫∫∫ coslx cosmy cosnx
。吉一9（…x＋・…＋・…）
O＄ pa ：1｛ 1 ．
dxdyd2，
（15）
この積分の数値計算および解析的性質はすでに詳しく調べ
られている8）一一10）。この積分とグリーン関数GOImnの関係
を求めれば次のようになる。強磁性体におけるスピン波不純物準位
臨1｝1匙ω ｝（・6）
μ＝1はスピン波エネルギーバンドの上限に対応し，μが 小さくなるに従ってωは大きくなり，μ＝0はω→D。に対
応する。
（i）s型局在波
まず，（12a）式だけが満たされる場合について，もとの 7個のグリーン関数の方程式を解くと，
Gioo＝＝G−ioo＝＝Goio＝＝Go−io＝Gooi＝Goo−i， （17）
が得られる。この平なスピン波励起はs型局在波と呼ばれ る。（12a）をもとの記号で書き改めれば，
1＋（ξη一1）ωGoi⑪o＋12σノ（1一η）（Goooo−Goloo）＝O，（18）
ただし，ξ＝σノ／σ，η＝ノγノとおき，恒等式（14）を用い た。さらに，（13），（16）式を用いれば，
…（・）一、一1銘導錦上1呈1男〉。， （・9）
が得られる。この関係式からs型局在波のエネルギ・一一・t・は μを通してσt／σ，∫ ／ノの関数として求めることができる。
ここで注目すべきことは，反強磁性的な不純物を含む場合 にはω〈0の短域（物理的にはω＞0はスピンの回転が ω♪0の場合に比べて一向きになっており，エネルギーと
してはその絶対値をとると理解すればよい）にもs型局在 波が現われるということである。ω≦0のときはμ≦一1
であり，（15）式からIooo（一μ）＝一1000（μ）の関係があるの で（（15）式は形式的には0≦1μ1≦1で定義できる），（19）
式でμを一μとおくことにより，
1・・（・）一、一ll三1砦奪赤1警；）。、 （・・）
が得られる。この場合にξ，η〈0であることに注意してお こう。（20）式に従ってωぐ0の領域に現われる局在スピン 波を特にsO局在波と呼び，スピン波バンドの上に現われ る局在スピン波をs1局在波として，これと区別する。
（ii）．P型局在波
つぎに，（12b）式が成り立つ場合に．は，7個の方程式か
ら解として，
Gooo＝O，Gioo＝一G−ieo，Goio＝一Go−io，Gooi＝＝一Coo−i （21）
が得られる。これは，
Geoo ＝＝ O， Gioo ＝＝ HG−ioo，Goio ＝＝ Go−io＝Gooi ＝＝ Goo−i＝O （22）
および同様な2種類のスピン波励起の重ね合わせで作られ，
P型局在波と呼ばれる。この状態は3重に縮退している。
（12b）式を書き改めると，
i 一一il一 （gn−i） （iooo （pa） 一i200 （ib））一 o． （23）
この式からp型局在波のエネルギースペクトルを♂／σ，
ノ ／ノの関数として求めることができる。
（iii） d型局在波
最後に，（12c）式が成り立つ時，
Gooo＝e， Gioo ＝＝G−ieo， Goie＝＝Go−io， Geoi＝Goo−i，
Gieo十Goio十Gooi＝＝O （24）
が解として得られるが，これは
Gooo＝＝：O，Gioo G−ioo＝一Goio ＝一Go−ie，Gooi ＝Goo−i （25）
および（25）と同様な解の重ね合わせとして求められる。
（25）はd型局在波と呼ばれ，2重に縮退している。（12c）式
は
1 一e（gn−1）（leoo（lt）＋1200（pa）一21no（p））＝o （26）
と書き改められ，この式からd型局在波のエネルギースペ クトルを求めることができる。
反強磁性不純物を含む系では（i）で調べたようにスピン 波バンドの下にs型局在波が現われるが，（23），（26）式か
らこの領域にp型，d型局在波が現われることはない。μ
〜1における近似式11）
3ゾ5
11mn （sh） ＝＝ llmn（1） 一
Vfi． 十〇（1−pa） （27）
ゾ2π
を用いれば，スピン波バンドのすぐ上ではs型，s1型， p 型，d型局在波のエネルギーは
憂＝：＝：；二；：；： ｝（28）
で表わされる。ただし，E篇ω／12」σ（従ってE・＝2はスピ ン波バンドの上限）であり，η。，ξaはそれぞれの局在波が
バンドの上端に現われる時のノ ／ノおよびσ ／σの値である。
また，スピン波バンドのすぐ下では，sO型局在波のエネル ギーはξに無関係に
E＝in
で表わされる。（19），）（20），（23），（26）式から数値解析に
より得られた結果をFig．1〜Fig．4に示しておく。．E
4
3
彗＃7 ξ・5
ξニユ 〜二1
S：O．2
2 0 ！ 2 3 を る
Fig．1 Reduced energies of spin wave i皿purity levels for s一 like mode （ferromagnetic impurity）．
一 263 一
6E
4
2 o
一2
一4
一6
g一一一一7
葦＝一5
SP1鯉 WハレE BAハ∫D
2 牟 6 8・ σ一塁
e＝一〇2 ξ畠『1
g＝一7
｝＝一5
Fig．2 Reduced energies of spin wave impurity levels for sl一 and sO一1ike modes （antiferromagnetic impurity），． The former appears above the spin wave band and the latter below it． Absolute values of E should be taken for the energies．
最後に，これらの局在波がスピン波バンドの上または下 に現われる境界条件を求めておく。（19）式より，強磁性不 純物を含む系のs型局在波および反強磁性不純物を含む系 のs1型局在波に対してそれぞれ
3，937
rp｝一ll−
≠撃煤Gg6gTl 968，
・≦，鷺8，
（g， op＞o）
（g， n〈o）
（30亜目
（30b）
が得られる。sO型局在波は回が十分大きい領域を除 いてスピン波バンドの上限付近で常に存在する。p型局在 波，d型局在波の場合には，（23），（26）式より不純物の種 類の如何にかかわらず，その境界条件がそれぞれ次式で与
えられる。
g q ；；1 5，765，
gnk6．398．
（31）
（32）
Fig・5は上の結果を示したものであり，各々の曲線の上 側がそれらの局在波が存在する領域である。
E
3
2 Q5 1
p
d1引昌7
p
d
邸言5
1gl＝2 iP
d
2 3 4叩
Fig．3 Reduced energies of spin wave impurity levels for p−and d−like modes． They are the same for both cases of a ferromagnetic and an antiferro−
rnagnetic impurities．
ーマ ー
6
5
4
3
2
1 s
p d
4 E
lgl 一3
P d
z
．E
S1
3 so
s
st
狽煤@3 − 51nf 60
Fig．4 Reduced energies of spin wave impurity levels fdr all modes appearing for a ferromagnetic and an antiferromagnetic ・impurities．
OM． e6 3 g s 6 11
Fig．5 Boundary curves for s一， p一， d一 and sl−like modes appearing outside of the spin wave band．
Each localized mode appears above its bounda−
ry curve．
4 有限温度における振舞
σ，σ は絶対零度ではそれぞれS，S という値をもつ が，温度の上昇とともに減少していく関数である，Jtが小 さいとき不純物の磁化あるいはσ が分子場近似で実験結果
（FeMn：Mn 1．5％含有）を非常によく説明できることを Jaccarino等が報告している12）。そこで前節までのスピン 波不純物準位をσt／σを通して温度の関数として調べてみ
る。
σはグリーン関数（3）について不ベクトル定理を用いれ ば，T5／2の項までスピン波近似と一致する結果が次のよう
強磁性体におけるスピン波不純物準位
に得られる。
a＝s一 g（g） t3／2一一gZ f g （g） ts／2．
（33）
ただし，t＝kBT／8πS1。また，♂については分子場近似に
より，
σ ＝S Bsノ（12ノノσSノ／kBT）
（34）
で与えられる。Bs はBrillouin関数である。（33），（34）式
よりσ ／σが温度の関数として求められ，従ってこれらを3節で得られた結果に用いれば，s型， P型， d型スピン 局在波エネルギーが温度の関数として計算できる。
5 結 言
ここで取り扱った系のスピン波不純物準位は既に研究さ れている3）〜5）が，ここでは不純物が強磁性原子，反強磁性 原子の場合を統一的に，しかもスピンオペレーターのまま 取り扱った。さらにスピン局在波についてグリーン関数に 最初からs型，p型， d型局在波としての条件を与えるこ とをせず，忠実にグリーン関数に関する7次元行列式を解 き，その解からこれらの局在波を導いた。結果は既に得ら れているものと変わらないが，その数値解析は，詳細に調 べられているextended Watson integralを用いているので 正確である。また，スピン波バンドのすぐ上における局在
波エネルギーのE−2・・c（η一ηo）2，E−2・〉⊂（ξ一ξO）2等の依
存性は，この積分の解析的性質から導かれる。スピン波バンドのすぐ下におけるsO型局在波のエネルギーがξに関係 せずE29ηであることは，ηすなわちノγノが十分小さく ても常に局在波が現われるということであり，注目すべき ことである。局在波の温度依存性についてその定式化を行 なうにとどまったが，数値計算による結果は今後の論文と
して発表したい。
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一 265 一
