素　　粒　　子　　論（皿）

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素  粒  子  論（皿）

自然科学教育研究室 齋  藤  一  之

序

宇宙に幾種類の素粒子があるかと云う問題を研究する人々がある。この問題（これを第 一の問題と云う）は難解であり現状では解く事は不可能である。これに反してelectron，

  ・

獅?浮狽窒撃獅潤C Proton， neutronの発展に於て如何なる粒子が生ずるかと云う問題（これを 第二の問題と云う）がある。第一の問題と第2の問題は全く別の問題である。（これを証 明する事が出来る．）論者が研究するのは第2の問題である．素粒子論（lll）（げの発 展として本了に素粒子論（皿）を次号に素粒子論（IV）を記述する。第2の問題は素粒子 論（M），（IV）により全く解決される事を読者は知るであろう。尚これにより核子の energyを全部有効に使用し得るや否やの問題も理論的解決が与えられるであろう。本紀

（3）  （4）

要に記述した空間時問の構造（1）（亜）の完結篇は空間時間の位相的性質と云う題で他 日発表される。この論文では時空の最終的解決が与えられ，重力遮断に関する記述が発見 されるであろう。

本論文は第一章がreversalの検討を主とし，第2章が変化粒子の記述である。尚次号 には第三章粒子の運動方程式第四章weak interaction，第五章strong interactionが 記述される予定である。

さて第一章の（1，3）式の結果spaceはLorentz spaceを含むより高度のsβace に転化する。従って毎はLorentz spaceを常には意味しない。第一章の重点は（1，

3）式及びcharge conjugationと両立するreversa1の定義のきめ方，及び§13の summaryの式にある。

第2章の重点は§2のtransformation theoryであり，（2，23），（2，24）式で ある。§3，§4で変化粒子， strangeness particleの式を導入した。 electron，

neutrino， proton， neutron及び変化粒子， strangeness particle （これらが互ひに独 立であるか否やは第三章で記述される）より組立てられた粒子の運動方式は数学的準蒲が 多少必要であるので総て後章で論じられる。

第  一  章

7ρ〃θ7sα1

§1 記号及び運動方程式

σ・をpauliのm・t・ixとし・γ・一 i0一乞σゴiσゴ0）γ・一（〕）炉（皇Tl）とする・

suffixづ（orノ）は1，2，3を取り，ギリシャ文字例へばμは1，2，3，4を取る。

Diracの方程式は

（読一朗〃幽・  （LD

又は〔γ・（義一i・A・，・）＋m〕ψ一・ （1・2）

と書かれる。（1，1）式と（1，2）式が同等なる為には

一ゼ4・4μγμ＝一ゴ6r〆μ・4μ十初μ （not summed）

読ツ・一γ・読         （1・3）

勉1＋吻2＋勉ぎ＋吻4＝解 の条件が必要である。

§  2  P701）67 Lo7622 9  7α725∫∂7〃2α≠ノ0η

κノμ＝αμγκン    α44＞1  11αμ、ン「1＝＝ 1      （ 1，  4）

により（1，2）式は次の如く変換されると定義す。

怖／読一朗・のψ（as，yXv）＋卿（偏㊨）一・  （1・5）

さて

。多。一・峨  五1・一・轟  （1・6）

であるから（1，5）式は

怖（義一殉ψ（嚇）＋卿（嚇）一・ （1・7）

となる。今

ψ （anvxv） ＝Aψ （κ）      （ 1 ，  8）

とすれば（1，7）式は

     、

io＿ieAン∈）．Xv）卿・Aψ（κ）棚△ψ④一・

となる。上式にA−1を左より掛ければ

斎 藤：素 粒 子 論（1）       7g

（5itll．−i・A・）a．・A−・γ。Aψ（x）＋卿（κ）一・

となる。今

αρA−1・γμA＝γγ     （1，9）

と置くと上式は

．駒（義一∫殉ψ（x）＋卿（κ）一・

となり『 i1，2）式と同一となる。 （この証明法と（1，3）式との関係は§4を参照の

事）。

さて

        °

ﾈゴ＝COSω・κ1十SZπω．κ2

           ○

ﾈ2のニーSZπω。κ1十605ω・κ2

即ちユ〆＝／Lκ      （1，10）

κ3！＝κ3

 7

       ・

̀一ω・身＋γ・γ・鰐一⑳警一ω （1，11）

である。同様にκ2，κ3平面，κ3，κ1平面の回転κ！＝B考ガ＝Cκに対しても同様の式 が成立する。即ち

       ．

ﾕ（Ax）一ゆ3H3卿（の

       ●

ﾕ（Bx）一⑳zH1卿（κ）

_（1，12）

       ・

ﾕ（Cx）一・鰐2卿（κ）

である。又

  ﾈゴ＝κ1

  昌＝κ2

掬・一輪一・ ）（   v21−   c2）一壱

即ちκ！＝ノ11κ      （1，13）

〆十警）（  v21一タ）一去

に於て・伽一弓（1震戸…一（1跡去

と置けば

A一ω・号聯伽号一⑳｛（￡，ぎσ3）書｝

となる。今・41，B1， C1をズ3κ4；κ1κ4；κ2κ4平面の回転とすれば ψ（鋼鋤｛（編σ3）夢｝ψ（κ）

ψ（B・・）一吻｛（畠、1σ1）号｝ψ（κ） （1，14）

ψ（Ciκ）一ゆ｛儲σ・）8｝ψ（κ）

が成立する。尚（1，10）式の形の変換をPure rotationと云い（1・13）式の形の変       嘲

換をPure Lorentz Transformationと云う事にする。（尚（1・14）式と（1・3）

式とは互いに排他的である。

§  3   P1αηθ zOαz4θ SOIZ6 ゴ0ηS

ツ蔵威）ψ＋卿一・ （1，15）

ψ二π6ゆσPμ毎一6君μxμ）

と（1，2）式を書直すと上式は

となる。さて（1，15）式のimaginary conjugate （例えば（α＋∂のo＝α」∂・但し α，δは各々rea1とする）を取れば

〔一ッ・／譲、＋ゴ。景、）＋ッ・（義＋ね妄，）一ッ・（e＋・°

eκ，、。x，）＋ッ・（』−e   ooκ4 ioX4）＋物〕x

％oθ雀ρ（一つPμκμ一の4μxμ）

（1，17）

次｝・（1，17）式のreal mat・ixツ・，ツ・及び義，読の符号を変え・同時に・Ψ onentialのreal part・4μXμの符号を変えると，（これをreal conlugateと云う。

例えば（a十ib）R・＝一α＋∫の

〔一頭読＋i。k）＋初〕（の・・ゆ

（一つPμ毎＋eA，，Xpa） ＝0      （ 1， 18）

即ち

〔＋臓読）＋〃〕卜γ・＠・） ・｝ θ功（一ip，，x．＋eA。x．）・＝O  （1，19）

今 一γ5（％o）R＝γとすれば（1，19） 式は

〔一ゴγμ （Pi． 一 eA ．） 一← 〆〕 「レ7＝○      （ 1， 20）

となる。

今 〔ツ蔵一議）欄〕卿（一ゴP・細・xの

（1，21）

（2）

を考えて見るに（1，15）式が成立する場合には（1，．21）は同時には成立しない。（1

斎 藤：素 粒 子 論（D       81

，18）式は（1，21）式と物理的には同一であるから物理的には切捨てなければならない。

しかしながら（1，19）式は成立する。量子力学の負のenergyの解は（1，21）式の解 に対応して居る。（1，20）式は（1，21）式の否定であり実は正のenergyに対応して 居る。（この詳細は§11を参照の事）。我々は本節では通常の取扱いをなして（1，20）

式は負のenergyの解を有する如く取 扱う。さて

岨疏一砥）一±娠PHん）柳  （1，22）

→      →     一一レ        →      →

勲一鋤一±伍（Pｼ茅圖 （1・23）

とA±Σ±を定義する。

（1，22），（1，23）式より各々

〔Σ＋，Σ＿〕＿＝0     （1，24）

〔A＋，A−〕一＝0     （1，25）

が成立する。さて

〔A±Σ±〕一一 S誰ゐ予圏瓦 （1・26）

但し上式では〔A．Σ．〕．，〔A．Σ．〕一では負の符号，〔A．，Σ．〕，〔A−，Σ．〕では正 の符号を取るものとする。さて（1，16），（1，20）の特別な解％，γは

臥   肱 y．（Pi，−P4）＝一γ、⑫．°）R＝一ッ、％．（一餌一ρ、）  7．

P3−6、43     （P1−eA 1）＋∫（．P2一θ・42）

1     0      −E一＋召φ一＋魏！      一五一＋θφ一＋挽！

      P、一θ・4、一ゴ（P2一θ・42）  一（P3一召・43）O   l    ＿E−＋6φ一＋勉・  −E．＋召φ一＋〃3・

table I

 P3一θ．43 P1−6、41＋瓦P2一の42）       −1       0E＋一召φ＋挽    E＋一θφ＋魏

P1−6／11−∫（P2一θノ42） 一（P3一召ノ13）      0      −1   E＋−6φ＋窺     E＋−6φ＋彿

と書ける。今仮に〃z＝〃〆とすると

π＋＊γ＋＝％＋＊y−＝0

繊一 i瓦一，含＋吻ガ（H・＋iH・） （1 27）

となり直交条件を満足しない。しかしながら

〔u＋＊，u＿〕＋＝％＋＊％一＋％一％＋＊＝0

（1，28）

〔u＋＊，v＋〕＋＝〔％＋＊，y−〕＋＝0

は成立する。従って

〔％＋＊，u＋〕 ＋二  〔z6＿＊，％＿〕 ＋＝  〔「7＋＊，『レ7＋〕 ＋＝  〔V7＿＊，『レ7＿〕 ＋＝ 1      （ 1 ， 29）

と規格化する。又

〔u＋＊，％＿〕一一2醜一（E．−1≠栩）・（E・＋翻

麟％・〕一一（E．一講の・E・   ｝ （1・3°）

〔u＋＊，v＋〕＿＝〔π＋＊，γ＿〕＿＝0

が成立する。table Iと（1，28）一（1，30）式全体は同等である。がtable Iと（1，

28），（1，29）式とは同等ではない。（1，28）一（1，30）式を所謂positive frequ一 ency operator A−，  negatiue frequency operator A＋が良いoperatorと考えた 場合にspin oPeratorΣ＋，Σ一は良いoPeratorではない事を示すものと解釈する。又

（1，28），（1，29）式の代りに

      、

ﾌ・一（％＋u＿＊）ξ一一（髪；・）η・一（ε妾二・）η一一（ε妾；・） （1・31）

を考える。但しεは＋1，−1の何れをも取り得るものとする。（1，31）式は8一 componentであり

（ξ＋）＊ξ＿＝（ξ＋）＊η＋＝（ξ＋）＊η＿＝0        （1， 32）

が成立するから上式は（1，28）式と同等である。次に立場を変えてspin operatorΣ＋

Σ一は良いopratorと考えて

ξ・・一（％＋εv＋）ξノー（雌ヤー）η・・一（ε玲．）η一・一μの  （1β3）

を作れば

（ξ＋！）＊ξ＿ノ＝・（ξ＋1）＊η＋！＝（ξ＋！）＊η＿＝0       （1， 34）

となる。これは矢張り（1，28）式と同等である。

§  4  4 3cz6ssゴo％

＿∫θ14μッμ＝＿ゴ召γ〆生μ十魏μ （not summed）    （1，3）

より形式的に

一凪一勉歳（n・t・umm・d）  （1・35）

と置くと（1，3）式は次の如く満足される

彿・

但し〔読・γ・｝−1（n。t，umm。d） （1，36＞

〔〃zμ，γμ〕＿＝0

或は

斎 藤：素 粒 子 論（煙）      83

壕γ・一吻・（      e1−7・e−OfE）一妬γ・辮母一・吻・A・（n・t・umm・b）h

但し続叫一1 （n。t、umm。d）    （1・37）

吻。，γ。〕．＝0

この様に〔吻μ，γμ〕の交換関係には2通りあって何れも可能である。さて少くともpure rotationを含む変換で不変である物理現象を考えるならば次の4通りのみが可能である。

〔A〕  〔窺μ，・γの一＝O （μ＝〃を含む）

この場合には

鋭、＝coηs ．1 魏2＝ooπs ．

甥：：膿1（1 38）

であり，const．は一般にはzeroではない

〔B〕  〔魏μ，γγ〕＋＝0  （μ＝〃を合む）

この場合は

〃z1＝C1γ5

〃32＝C2γ5

         （1，36）〃z3＝C3γ5

〃z4＝C4ツ5

でC1，C2， C3， C4は常数で一般には2θ70ではない。

〔C〕 〔鵬，竹〕一＝0 （∫，ブ＝1，2，3又づ＝プを含む）

〔〃z4，γ4〕一＝0

擁淵1：溢；：1：1：：l   l

この場合は

辮、＝C、γ、γ，γ3 勉2＝C2ツ、γ2γ3

       （1，40）窺3＝C3ツ、γ2ツ3

窺4＝C4γ4

である。

〔D〕 〔鵬，γカ＋＝0 σ，ブ＝1，2，3，又ぎ＝ブを含む）

〔mi，ツ4〕 ＿＝O      （ゴ＝ 1， 2， 3）

       ｝

ｩごσ一1，2，3）  1

この場合は

〃z1＝C1・γ4  ＼

〃z2＝C2ツ4

       （1，41）〃z3＝C3ツ4

彿4＝C4ツ・γ2γ3

である。

        ●

ｳてpure rotatlon

κ1 ＝一κ1、

      （1，42）κ3ノ＝κ3

κ4！＝κ4

により（1，3）式即ち

一ゴθ・41・γ1＝一つθγ1・41＋初1 一彪4，γ，＝一∫θγ2・42＋〃22

一彪43ツ3＝一∫6γ3且3＋吻3

一∫の44γ4＝一∫θγ4・44＋挽4

は

ゴθ・41γ1＝∫6・γ1・41−〃Z1

∫θ孟2γ2＝ゴθγ2。42−〃z2

一ゴθ・43γ3＝一勿3A3＋〃Z3 （1，43）

一げθ・44γ4＝一∫θγ、ん＋〃z4

となる。従って（1，5）式は

〔一γ・（。要、−i・A・）一ツ・（義一ゴ・且・）＋γ・（義；一朗・）＼

＋γ・（e−ieA4θx4）棚 〕ψ（め一・ （1，44）

勉！＝・一〃z1−〃z2十勉3十〃z4

上式にッ1γ2を掛けると

0κ1

〔（°一朗・）γ・一（禽一翻・）γ・＋γ・（。要，一ゴ・且・）γ・γ・＋ッ・（義一凪）γ・γ・

＋γ・γ・勉・

即ち〔（。i「ieA・）γ・＋（禽一∫・A・）γ・＋γ・（義一朗・）＋ツ・（読一謝・）＋γ・ツ・醐

γ・7・〕ツ・γ・ψ（め一・

上式は

〔γ・（読一凪）欄〃｝・γ・ψα）一・

（1，45）

但し  勉 ＝ッ1ッ2 物ッ1十窺1十吻2

斎 藤：素 粒 子 論（匿）       85 となる。上式の勉 は挽と等しい筈である。

，  〔A〕，〔B〕の場合には〃z ≠勉である。（但し 十〇とする）〔C〕の場合は

〃z ＝・γ1・γ2（−C1−C2＋C3ンγ1・γ2γ3・γ2・γ1十γ1・γ2C4・γ4・γ2・γ1＋（C1十C2）・γ1・γ2γ3

＝C3γ・ツ，γ3＋C4γ、

即ち   〃〆＝C3・γ1γ2・γ3十C4・γ4

これが挽と等しい為にはγ1γ2γ3の固有値は9θ70γ4の固有値は質量〃zを与えなけ ればならない。即ち

ψ（κ）＝φ1（γ）φ2（κ）         （ 1 ， 46）

と置き

γ1ツ2γ3φ1（γ）＝0

（1，47）

ツ4φ1（γ）＝〃z1φ1（γ）

γ峨ψ（x）一γ峨φ・（x）φ・（γ） （1，48）

と考える・（1・48）式は6勤γ・c・mp・n・ntが峨であり従ってφ・（κ）にの み作用すると考える。

〔D〕の場合には      し

@・γ1・γ2γ3φ1（・γ）＝〃Zφ1（γ）

（1，49）

ツ4φ、（7）＝0

が成立しなければならない。

（1，47）式と（1，49）式即ち〔C〕と〔D〕は互いに排他的である。

〔約束〕Dirac particleはProper Lorentz transformationで不変であると約束す

る。

〔定理〕Dirac particleでは窺1，〃z2，〃z3の固有値は詔γoである。

〔定理〕固有値として〃21，勉2，〃23の中少くとも一つが詔70でないならばこの粒子は Dirac perticleではない。

さてDirac particleは〃￠4の固有値は窺であるがこの固有値が詔70になる事があ るであろうか。本節では連続変換（Proper）のみを考えて見る（所謂discrete t渦鵬fo一 rmationに就ては後節で述べる。）このcontinuous transformationで固有値解4＝

0を証明するには（固有値〃31＝〃z2＝窺3＝0を出発点として）結局

鋭4＝a〃21＋b〃z2＋c〃23

と云う式を導く事が出来るか如何と云う事になる。従って

〔定理〕鋭4の固有値彫キ0なるDirac particleはProper Lorentz Transformation

では固有値魏4＝0にする事は出来ない。

さて4次元Euclid spaceでは（1，2）式の形の方程式（但しκ4はreal）はκ1・

κ2，κ3，κ、軸は全部空間軸であるからこの4つの軸に対して（1，35）式を適用する時は

@      」 氓ﾌ定理が証明される。

〔定理〕4次元Euclid spaceで（1，2）式の形の方程式を満足し総てのpure rotation に対して不変なる粒子は 固有値 吻、二物2二〃23＝〃￠4二〇 である。

今この粒子をA粒子と名付ければこれは

ツ・（e要μ一ゴ朗のψ一〇    （1・50）

を満足する。但しこの粒子はEnergyが虚であるから勿論安定ではない。尚第二章で明 らかになる如く上式のεはelectric chargeではなく・4μは電磁potentia1ではなく 正確に云えば上式のθ，・4．は各々electric charge，電磁potentialが転化した何物か

である。

さて一般に辮沖0なる粒子はProper Lorentz Transformationを満足しないがこ の意味を吟味する事にするに

（a）Lorentz spaceは成立するがProper Lorentz Transformationは満足しない・

（b）Lorentz spaceを滴足せず，従って当然の事としてProper Lorentz Transform一 ationは成立しない。

の2通りを考える必要がある。

（a）の立場は結晶学に類似した考えであるが，結晶学は空間があってそれは不変で結晶はそ の不変の空間に対しての異方性（或いは空間的対称性）の問題である。だが空間は不変で

この空間に対して素粒子は異方性を示すのか・或いは素粒子が空間を定めるのであろうか 前者ならば（a）の立場は正 1、であるが後者の立場が真理ならば（b）の立場が正当であろう。一 般相対論は物質と空間の同一性を強調して居る・物質は素粒子の集合であるから素粒子と 空間は同一である。即ちこの立場は（b）を支持する。

さて（1，3）式を空間の変化（γ、の変化）として考えるならば・4μと〃％はその反 映である。この考えは㈲の立場を支持する。さて（1，3）式を・4μの変化として考えれ ば・γ、と〃z．はその反映である。だが本質的な4の変化 （Lorentz spaceの坐標の 違いによる・4、の変化ではなく例えばneutrinoとelectionの・4。の違い）はγμの 違いにもとずくから一般に（b）の立場が正当である。

〔指導原理〕我々は今後〔b〕の立場を正当と考え〔a〕の立場を排斥する。

§ 5 C乃αγ9召oo勿％9α ∫oπ

斎 藤：素 粒 子 論（H）      87

ψ＝ψ （ズ、＋ゴX、，κ2＋班2，κ3＋ix3， it＋S）       （ 1 ， 51）

ψc＝ψ （X、−ix、，κ2−ix2，κ3一ゴX3，−it＋S）      （ 1， 52）

とすると，Diracの方程式は

〔7・（読一ieA．）岡幅＋㌫栴鴫論級・糾s）一・

と書く事が出来る。上式のimaginary conjuguteを取ると

〔一γ・（6宴、＋i・A・）＋γ・（義＋i・A2）頭義＋朗・）＋ッ・（諺ゴ・A・）栩〕

ψc＝＝0      （ 1， 53）

上式にγ2を左より掛けると

〔ツ蔵＋凪）＋〃〕儲一・ （1・54）

となる。但し（1，3）式はψCstateに対して

一彪41γ1＝一∫θツ1・41＋吻1

∫6∠∠12rンノ2 ＝＝：    ゴ6つ！2ノ≦12 ＋吻2

一∫θ・43γ3・＝一吻3・43＋〃Z3

（1，3）！

一∫θんツ、一一絢4・4、＋窺4

従って（1，54）式の辮1は

規ノ＝±（M1十M3−M4）     （1，55）

となる。但し上式の±の符号は§4の〔C〕の場合は＋の符号を又，§4の〔D〕の場合は 一の符号を取る必要がある事は明らかである。今

ψ！＝γ2ψc         （ 1， 56）

とすればψノは

〔ッ・（義＋朗の棚・〕ザー・ （1・57）

を満足する事は明らかである。

（1，57）式のplane wave solutionは

％＋！@       πノ         y＋！      yノ ^、

『（P1十eA1）十i（P2十θ且2

 P3十θ・43    （P1十eA 1）十ゴ（P2十6／12）      −1        0−E−−6φ一＋寵    一E−一θφ一＋鋭！

table

@ H

0         1

（P1十eA 1）一ガ（P2＋6・42）一（P3＋6・43）       一

E＋十6φ十〃1    E＋十θφ＋勉！1 一1         0 一（P3＋6・43） 一（P1＋6・41）一ゴ（P2＋θ・42）

      一 d＋＋θφ＋勉！1   E＋＋oφ＋〃￠11

となる。本節のcharge conjugationはparticle→antiparticleとなし，且つspin

      1

}→sPin平とするものであり，通常のcharge conjugationと定義を異にして居る。

且つV＋！，yノはenergyが正であるからhole theoryの必要はない。 Dirac particle では〃zFOであるから次の定理が成立する。

〔定理〕 Dirac particleではparticleとantiparticleの質量は等しい。

さてDirac particleでなく勉2キ0の時はparticleとantiparticleでは質覧が異な る。（但しantiparticleの定義は（1，56）式による。）

§  6   7θ θ7sα1 （1）

§5のcharge conjugationと両立するreversa1を定義するのが本節の目的である。

（a） space reversal

κ1ノ＝一κ1 κ2ノ＝一κ2 κ3ノ＝一塔3 Sノ＝−S

でψは

ψR＝ψ （一X、＋ix、，一κ2＋ix，，一κ3＋ゴX3，露一S）      （ 1， 58）

となる。このreal conjugateψRがψoと両立する為には

〔ッ・（話一朗・）一ッ・（謂一翻・）＋γ・儲綱一γ・（禽＋∫・ん圃ψ・一・

とする事が必要である。すると

ψR二ψo         （ 1 ， 59）

となる。

（b）space time reversal

（1，58）と（1，52）式の変換を同時に行えば

κノμ →一κμ    Xノμ →『・瓦         （ 1， 60）

となり（1，2）式は

〔一γ・（魂＋i・A・）栩〕ψ（一κ・一妬・一嗣X・・一｝X・・↓S）一・

即ち  ψ（一X、−ix、，−X2−ix2， −X3−ix3，−it−S）二ψ（κ1＋づX1，κ2＋ゴX2，κ3十∫X3，

ゴ →−S）      （ 1， 61）

となる。

（C）time reVerSaI

ψはtime reversalでψ→ψcとなると定義する。

以上の（a），（b），（c）はcharge conjugationに関係のある（1，52）式と両立する定義で ある。

〔定理〕（1，52）式と両立するreversa1の定義を定める事が出来る。

斎 藤：素 粒 子 論（肛）      8g

この種のreversalをproper reversalと云う。

§  7   7θηθ7sα1 （亜）

（a）・侮と異なるβμなるpotentialが存在しβ酔に対応するchargeを6、（real）

とし，次の式を考える。

〔ツ・（・？・h−e・Bの槻りψ一・ （1・62）

一θ1Bμγμ＝一θ1γβμ十〃〆μ  （not summed）

（ヱ，63）

〃〆＝〃〆1十〃Z！2十〃〆3十〃7／4

今（1，62）式のimaginary conjugateを考えれば

〔一γ・（。呈「・・B・）＋γ・（5要，一・・B・）一γ・（義一・・B・）一γ・（読一・・B・）棚・〕壷一・

となる。今

ψ〆＝γ2ψc        （1， 64）

とすれば上式は

〔γ続一・・Bの＋m〃〕ザー・ （1・65）

となる。（1，64）式の変換により（1，62）式は（1，65）式となるがこれはparticle

→particleとなし，その際spin＋→spin−， spin−→spin＋となる事は明らかであ る。尚本項のimaginary conjugateと両立するProper reversalは容易に定義する事

が出来る。

（b）〔γ・（読一∫・・γ・五・）＋窺〕ψ一・ （1・66）

を考えて見るにこれのimaginary conjugateは

〔一γ・（。婁、＋i・・7・・A・）＋γ・（禽＋細・）一γ・（孟＋吻・澄・）＋ツ・（認一卵・）

棚〕ψ・一・

上式に物を左より掛けると

〔γ・（義鞠・A・）＋吟・喫一・ （1，67）

となる。今

ψノ＝γ2ψ「c        （1， 68）

と置けばψ！はparticleを表わす。

この場合もirnaginary conjugateと両立するProper reversa1を定義し得る事は明ら

かである。

（・）〔γ・（読一・・ツ・B・）＋窺〕ψ一・ （1・69）

を考えて見るに，これのimaginary conjugateは

〔or・1・（。象＋e・7・B・・）叫・伺  （1・7・）

を満足する。今

ψ！＝γ2ψc     （1，71）

とすればψ はantiparticleである。

この場合もimaginary conjugateと両立するProper reversalを定義する事が出来る

§8 π傭70％

さて

〔γ・γ載一μγ・且・）＋岬一・ （1・72）

式を考えるにこれは（1，2）式のγμの代りにγ5γμを代入し一玖4μの代りに一μγ5・4μ を代入した形である。今γ5・4μをPseudopotentialとすれば（この証児，よ§13にある）

（1，72）式は

〔（読一μγ轟）・−M・一μσ・E＋∫μ・E〕伺  （L73）

と近似的に書き得る。従って（1，72）式はneutronの式と考える事が可能である。

さて（1，72）式のimaginary conjugateは

〔一γ・γ・（。要「μγ・A・）＋ッ・ッ・（禽一一・）一γ・γ・（義一μγ・A・）＋抑賦

＋μγ・A・）＋剛一・ （1・74）

上式に物を左より掛けると

〔γ・蟻＋μγ・A・）＋M）γ・ψ・一・ （1・75）

今   ψ！＝γ2ψc    （1，76）

とすればψ1はantiParticleを示す。今（1，3）式の一彪4μを

一ゴ6／1μ＝〃zμノ1μ＝γ4βμノ1μ     （1，77）

と置けば

μγ5／1μ＝γ5γ4β〆1μ     （1，78）

と置ける。故に

〔γ5 or 4β．A．，γμ〕＋＝γ5〔〃％・4μ，γμ〕一＝・γ5〃％     （1，79）

となる，又

斎 藤：素 粒 子 論（旺）       91

1・一k e硯・γ5γ・〕 （1・79）・

とする。

§g oγ4伽7y 76 θ7sα1に競て

§5のcharge conjugationの定義からProper reversalは自動的に決定される。こ の結果普通のreversalを定義するのに困難性がある。我々はしかしながら普通のspace reversal

κ・ノ→一κ・κ21→一κ・κ3！→一κ，κ4ノ→κ、   （1，80）

の代りに

γ1！→一ツ1  γ2ノ→一γ2  与！3！→一つr3  γ4！→ツ4         （1， 81）

を採用し，普通のtime reversal

κ♂→κ盛  」κ41→一κ4         （1， 82）

の代りに

γ♂→ツ②  γ4！→一ツ4         （1 ， 83）

を採用し，普通のspace time reversa1

κμ！→『κμ         （ 1 ， 84）

の代りに

ツμノ→一ツμ         （ 1， 85）

を採用する。さて普通のreversalの定義とこ〜で採用した定義とでは異なるが物理的意 味は同一と考えられる。今（1，81）式の変i換で（1，2）式は

〔一駒（義一殉＋ry4（轟一翻・）柳〕ψ（一γの一・ （1，86）

となる。上式に左よりγ4を掛けると

〔7，・（。象一凪）〕γ・ψ（一γの一・ （1・87）

（1，86）式にγ1γ2γ3を掛けると

〔7・L（読一i・A・）±窺〕（一γ・γ・γ・ψ（一駒））一・ （1，88）

上式で＋吻である為には〃24は§4の〔C〕が適して居る。即ち

〃24＝C4γ4     （1，89）

の場合は（1，81）式の変換でinvariantになし得る。又

〃z4＝C4・γ1・γ2・γ3     （1，90）

の時は（1・81）式の変換でinvariantになし得ない。次に（1，83）式の変換では（1

，2）式は

〔e＞・1（義＋i・A・）一γ・（。要i＋ゴ・且・）一祠ψ（一γ・）一・ （1，91）

ッ4を左より掛けて

〔垢気＋i・A・，・）〕（一γ・ψ（一γ・））一・ （1・92）

ッ1γ2γ3を左より掛けて

〔γ・（。皇。＋i・A・）±痢（γ・γ・γ・ψ（一ψ・））一・ （1・93）

（1，93）式で＋勉4である為には 初4＝C4ツ4   （1，94）

      1 ﾅある事が必要である。

次に（1，85）式の変換で（1，2）式は

〔一γ・（。宴。＋i・A・）一痢ψ（一γ・）一・ （1・95）

となる。左よりγ5を掛けて

γ・（。象＋i・A・）γ・ψ（一γ・）一・ （1・95）

となる。さて（1，81）式の変換で（1，87）と（1，83）式7）2つが出荘たがその物理 的意味を次の如く解訳する。（1，81） 式 よκ ！→一κ なる普重のreversalに相当する

が，（1，87）式のγ4はズ♂→恥→一κ を意床し，（1，83）式のツ1γ2γ3はκ〆→O

→一κ乞を意味すると考える。従って（1，87）式はズ →0→一境→一猛→κ乞なるloOP をえがいて元に戻った時にLorentz invarianceが破れる事を意味して居る。この場合は 例えばκ3→κ3になるには一度ズ3は虚軸G寺．用紬）を通過しなければならない。この結 果時間軸のmetricが変更され（1，87）式となる。（1，88）式はκ乞→0→一κ80

→亀なる100Pを通って元にもとった事を意味し従って（1，88）式はelectronの式 である。今electronの〃z4は（1，89）式であると定める。従ってelectronは普通の

      ・      ・

唐垂≠モ?@reversalでinvariantであるがtime reversal（1，93）式ではlnvarlantで はない。即ちelectronはspac reversalは成立しtlme reversa1は成立しない。本節 のγtransformation（例えば（1，81）式）は本質灼には連読交換（γ→γ6α）に含まれ

る。i換言すればdiscreteなordinaryreversalはcontinuousツtransformationの特 殊な場合にすぎない事が分った。

さて（1，87）式は空間軸のmetricには変更がないと考えられるから

ゴθノ1乞＝：♂κG乞     （1，97）

斎 藤：素 粒 子 論（巫）       93 と場の変更が行われる。 Gfieldは・4 fieldとは質的に異なるものであるがこの質的な 違いは

ゴ召／14→∫κG4         （ 1， 98）

なる量的違いに原因がある。次にneutrinoの式として（1，87）式を採用する。だがこ れはlooPの取り方を指定しなければならないから不便であるので（1，96）式をanti一 neutrinoの式とする場合もある。（1，96）式はpassの取り方に独立である。

〔定理〕 neutrinoはParticleとantiparticleは異なり4−cmPonentである。

   ●獅?浮狽窒撃獅盾ﾌ運動をcontrolする為には如何にしてGfieldを作り出すかが問題なので

ある。

さて本節の最後に一言強調する事がある。electron， neutrinoを4−componentと考 えたがこれはelectronが4−componentである限りはneutrinoも4−component である事は疑問の余地はない。しかしながらelectronが常に4−componentである と考える事には讃成出来ない。法則は常に或る制限された条件に於て正しい。この制限を        、 zえれば法則は変更される。例えば宇宙の出来たその瞬間には非対称でpure rotation

も成立しないと云う可能性は充分にある。従って4−componentのelectronと云う可 能性は小さい。この例は良い例ではないかも知れないけれども2−componentの理論は

       P

S−cornponentの理論と矛盾するものではなく互いに共存が可能な事を注意して居るも のと考てられる。さてこの場合の共存は4−componentのelectronに或る条件が課せ

られその結果2−componentのelectronに転fヒすると云う事に他ならない。

§10第一章の問題点に就て

〈a） （1，3）式に就て

（工，3）式の交換関係は従来の量子力学では説明する事は不可詣である。論者の流動的 解釈によってのみ説明する事が出来る。（1，3）式の走注矧生質は第二章で略述される。

（b） （1，5）式に就て

（1，5）式のψ（α謎，）は普通の教科書ではψ！（αμ、κ。）と書かれて居る。論者の立 場の如く一つの粒子を他の粒子（electron→neutrino）へ変換する事を考えるる以上 上agrangian（Hamiltonian）はこの変換ではinvariantではない。（1，5）式の形は Lagrangianのinvariantを保証して居ないから合理的と考えられる。

（c）Pure rotationに就て

Pure rotationも§9の取扱いで合理杓になし得る事は明らかである。但し（1，45）

式は問題を含む様に思われる。目F検討中である。

（d）其 の 他

table Iの物理的意味は§11で述べられる。又（1，15）式の検討は他日発表される。又 charge，θと質量魏のより本質的性質は目下研究中である。

§11  α∂161の漉SC〃∬のη

さてtable Iによると解は4つあってそれ等を％＋，％．，γ．，γ．と表わした。だが§4 に於けるdiscussionにより（1，19），（1，20）式の〃の固有値は2θ70である。従 って（1，20）式のyはneutrinoと考えられる。（antineutrinoに非ず。）即ちy＋，

γ．はneutrinoのspin＋， spin一を示して居る。今neutrinoの質量のみをelectron の質量に等しくする operatorをrとすれば（1，27）一（1，30）式のy±の代りに

rγ．とすれば万事はとまく行く事が判明する。table皿も同様にすればよい。今

ψ＝（ψ（i），ψ②）     （1，99う

と置けば（ψ（1），ψ（2）は各々4−componentである）    （1，2）式は

〔ツ観一i・A，・）＋m〕（ψ瞬（・））一・

但し  一詑Z1μψ（1）＝一凋1）∠傷（1）ψ（1） ，      1

吻ψ（1）＝刎1）ψ（1） （1，100）

一ゴθんψ（2）＝一ゴ6②・4。（2）ψ（2）

鋭ψ（2）＝窺（2）ψ②＝0

とする事が出来る。ψ（1），ψ（2）は各々electron， neutrinoのwave functionを表わし 6（1）はelectric chargeを示す。同様にantiparticleは

〔ツ・（。妥。＋凪）棚〕（ψ1（・留（・））一・

（1，101）

と書く事が出来る。

さて今φ＝（ψ（1＞，ψノ（1），ψ〈2），ψ！（2））    （1，102）

と置きφの満足する方程式を

〔ツ続一飢）＋εm〕φ一・

一ゴε6毒ψ（1）＝一∫θ（1）・4μ（1）ψ（1）

一ゴεθ・4μψ （1）二∫ε（1）・4μ（1）ψ！（i）

一ゴε6・4。ψ（2）＝一∫θ（2）五。（21ψ（2）         （ 1 ， 103）

一∫θノ1。ψ （2＞＝∫6②・4。（2）ψノ（2＞

ε〃酬1）＝〃zψ（1）

ε窺ψノ（1）＝辮ψ！（1）

斎 藤：素 粒 子 論（匿）      95

とし上式の解はspinがψ（1），ψ1（1），ψ（2），ψ！（2）に対して各々＋，一，＋，一であるとす

〔7・（読一戯）＋ε吻〕㈱ψ（・）湘ψ（・〉）一・ （1・1・4）

を満足し，ψノ（2＞，ψ（2）ψ！（1），ψ（1）のspinは一，＋，一，＋でありparticleφとantipa一

尚本節では

ザ（・）一砂（・）一（整一3の）γ・壷（・）一（㌘2σ，）壷（1，一怖）

ザ（・）一幽）一（zσ圃2 00 −zσ2）儲（・）一（誓・2σ，）壷（2，一怖）

購州一酔』碗）壷（1，−7．）      （1，105）

ザ（・）一（z8㌧要σ，）壷（2酢）

とcharge conjugationの定義を変更する。

さて（1，103）式は明らかにLorentz invariantではない。この原因はparticleが sPin＋， antiparticleがspin一と制限されて居る事にある。又式の構造からはεが Particleとantiparticleの両方の状態に関係したoperatorである。普通の座標は一つ のParticleを定めるparameterであるがεはparticleの転化に関係して居る。（1，

102）式のwave functionを満足するspaceは本質的にLorentz spaceではなくそれ とは異なる或るspaceでありこのspaceからLorentz spaceに転化するには如何なる 法則に従うかと云う事が大切な問題である。我々は第二章でこの問題を解明する事にする

さて（1，19）式のγ5ψ（一辮）はelectronψのcharge（一）をcharge（0）とし質 量を減少させたparticleを示す。即ち

〔定理〕 ψ一〉γ5ψ（−1のなる変換はcharge（＋）を一箇増し，質量を減少きせる事を 示す。

さてneutronの式（（1，τ2）式の4の代りにBμと書く）

〔蝋読一μ両＋即一・

に於て§3の如く（ψσ）Rを作れば

師（読一μγ・B・）岡鰹一・

となる。然るに（ψσ）Rは内部宇宙では存在とは認められないから

〔7・7，・（読一μ協）＋躍〕（一γ・（喫）ら一・

96       茨城大羊教育学部紀要 第八号

としなければならない。上式は定理よ．りcharge（＋）であるからprotonの運動方程式 である。即ち

ψ＝（ψ（3），ψ（4））

（1，106）

但しψ（3＞，ψ（4）は各々4−componentである とすれば

      噛

一μγ5B。ψ（3）＝一μ（3）γ、B。（3＞ψ（3）

一μγ、B。擁）一一μ侵）γ、B。催）ψ㈲      （1・107）

ル∫ψ（3）二M（3）ψ（3）

ル∫ψ（4＞＝1し4（4）ψ（4）

が成立する。但しψ（3），ψ㈲は各々neutron， protonのwave functionである。尚

ψ臼L）＝一γ5（ψ（3）o）R      （ 1 ， 108）

である。

§12F6槻∫粒子の分類

先ず本節ではsPln去のParticleに就て検討するがtensor couplingの吟味は第二章

で行う。

（・）〔γ峨＋朔ψ一・ （1・1・9）

但し上式のφはscalar potentialである。 scalar potentialとの結合では質量を生 ずる事はない。上式から（ψo）Rを作れば

〔ツ峨一ifO＋m〕（一γ・（ψ゜）り一〇  （1・110）

となる。ψをneutrinoと考えれば一ヒ式はelectronの式であり既にelectronとneu一 trinoの。Aμfieldの違いはscalar potentialの違いによる事を説明したが（1，109），

（1，110）式はこの事と一致する。

（b）

上式に於て甥はφなるpotentialの附加による質量の増加である。一ヒ式より

〔減濟・φ／一γ・（岬〕一・ （1・112）

が成．立する。ψをneutronの式とすれば上式はprotonの式である。

以上より次の結論が出る。

斎 藤：素 粒 子 論（甑）       97

〔結論〕所謂Dirac partideはneutron， proton， electron， neu櫨noの4種類のみ である。（1，109），（1，111）式は各々neutrino， neutronのDirac方程式を別の 形に書き表わしたものにすぎないσ

さて例えば所謂scalar potentialのvector coupling

〔峨（1＋綱ψ一・ （1・113）

は存在するのであろうか。先ず上式より

〔γ巌（1＋畷一7・（州一・ （1・114）

となる。さてψをneutrinoとすれば（1，114）と（1，110）式とではφの符号が 逆になる。（1，113）式と（1，114）式のφの符号が等しくてはparticleが別のparticle へ移動する事は出来ない。然るに（1，1！3）式→（1，114）式ではparticleが変動して 居る。故に

〔定理〕 scalar potential（P−S）のvector coupling（P−y）は存在しない。

§13第一章のむすび

本章に於て残された問題は何であろうか。それは

（a） （1，45）式       ，

（b） （1，15）式

（c） （1，46）一（1，47）式

の三つに大別される。就中（1，47）式のφ1（7）なる固有函数のexplicitな形を出す 事が出来ないのは問題が重大である。

さて以上の三つが関係して居る根本的なものは何であろうか。それはwaue functionψ の位相的性質である。これはッoperatorとズ坐標の相関に於ける空間の位相的性質で ある。これは従来の単なる時空の位相的性質ではなく，それは拡張された幾何学的位相の 性質である。この新しい位相の研究は時空の構造を最終的に決定するであろう。この研究 は現在重点的に進行中であり近く発表の予定である。

Summary．

さて次に第一章の種々の式を系統的にまとめる事とする。

〔A〕 ordinary reversalを§9の（1，81），（1，83），（1，85）式で定義する。

〔B〕 例へばpure rotatiion κ1！→一絢 κ3！→一κ3を

γ1！→一γ1 γ3！→『ツ3    （1，115）

で定義する。

〔C〕 charge conjugationを§5の如く定める。

〔D〕 ParticleとantiParticleは異なる粒子である。

（1） electronに就て 今electronの式を

〔7・（読一7・B，・A・）＋λゆ・（γ巌）φ・（W・凧）一・ （1，116）

λ＝1

と置くとspace reversa1， time reversal， space time reversalで（．1，88），（1，

94），（1，96）式が得られる。又charge conjugationに於けるψcは

ψc＝φ1（γ乞c，一・γ4；毎）φ2（γ盛σ一γ4；一・γ4βμ1μ）     （1，117）

となり合理的である。

（D neutrinoに就て

（1，18）式は

〔臓一γ・鉱）＋痢φ・（ツ・読）φ・（W・鉱）一・ （1，118）

λ＝−1 と置ける。（1，18）→（1，19）式は

∠44→・4ノ  （∠44十∠4ノ）

（1，119）

ん→！1乞

とPure Lorentz transformationを破る事を意味して居る。事実neutrinoは光速度 で運動して居り，静止坐標系を光速度にするPμre Lorentz transformationは存在し ない。従ってneutrinoでは〃2F O，勉4＝0と置く事が出来る。さて（1，3）式の交 換関係の〃〜μが恒等的にzθ70ならばLorentz transformationを満足し従って（1，

12）及び（1，14）式（Pure rotation及びPure Lorentz transformation）で運動 方程式はinvariantでありtable Iを普通の．量子力学の説明で理解する事が出来る。今

（1，3）式の〃％の少くとも一つが9θ70ではない場合には（1，12）式は成立するが

（1，14）式は成立しない。従つて（1，3）式の条件が有ればLorentz invarianceは 成立しない。Lorentz坐標を含む（〃％＝0）より高次の坐標（〃％十〇）により始めて electron， neutrinoを統一的に記述できるのである。さて（1，119）式は五〇rentz invarianceを破りcoPPIing constantをも変更する事を意味して居るが，今その代り

に或る坐標系Sを考えその坐標系で（1，3）式が成立するとする。（1，116）式の表 示を用いればneutrinoの方程式は

〔ツ・（読一W・β・A・）〕φ・（ツ・読）φ・（W・鋤一・ （1・12・）

斎 藤：素 粒 子 論（匪）      99・

と書く事が出来る。φ1，φ2は（1，116）及び（1，120）で同一であり布，・4μも矢 張り同一である。

（1，116），（1，120）式に共通の性質は

0  但しμ＝1，2，3

〔一・γ4βμノ1μ，・γμ〕φ2＝      （1，121）

鋭4φ2

〔 e   ，γμeXs，〕φ・一・ （1・122）

であり上式より（1，116），（1，120）式は

（読一γ・β・A・）ツ・φ・φ・一・ （1・116）・

〔義γ・＋ツ・β・孟・W・〕φ・φ・一・ （1・12・）

と等値である・（1・116）式の左からγ・を掛け同時にφ・→φ・・φ・＠読）→φ・（γ・γ・

読）とすれば・1ect・・n→n・ut・in・になる・即ちこの変換は

り！μ→ツ5ツμ

φ・（   oγμ  exμa）→φ・（ッ・γ巌）

φ2→φ2

（皿）  neutron

      ・

i1，72）式は今節の記号で

〔ツ・γ・（読＋7・γ・β・A，・）＋司φ・（γ・読）φ・・（W・β・4・）一・ （1，123）

と書ける。

1・φ・一〔 o   ，γ5γμeκμ〕φ・一嚇  （1・124）

であり，φ1は（1，116）式と同一である。（1，124）式は毎坐標が明らかにLorentz spaceでない事を示して居る。従ってelectron→neutronにするには毎spaceを変化

させる必要がある。

（W）  Proton

〔ツ・γ続＋ッ・β両＋M・〕φ・（γ・義）φ・！ （1・125）

はprotonの式である。

さて毎，4は各々space， time reversa1で＋であるから 9砺＝ημ   （1，126）

ノ1μ＝ημ！

と置くとφ1は

φ、（γμημ）

（1，127）

φ、（7s7μηpa）

の2通りありφ2は

φ2（・γ〆γ4βμημ！）

（1，128）

φ2（γμγ5・γ4βμημノ）

の2通りある。（1，127），（1，128）式の組合せとして

φ、（7μM）φ2

はelectronとneutrinoを記述し

φ1（7s 7μημ）φ2

はprotonとneutronを記述する。他の組合せで新しいことは起らないから〔定理〕η がφ1にのみ含まれη！がφ2にのみ含まれる時はelectron， neutrino， proton，

neutron及びそのantiparticleのみが存在する。

さてelectronはspace reversalで（（1，88）式）electronになるがtime reversal でpositron（（1，93）式）となる。次にneutrinoは4成分であるからelectronの場 合と同様にspace−reversalでparticleとなりtime reversalでanti・particleとなる 事は当然である。（（1，120）式による。）

最後に（1，72）式の代りに

〔・γμf鳶一＋ツs74β．A．）＋M〕φ・（ツ・γ・読）φ・（−W・ツ・β・A・）一・ （1・129）

即ち @（。妥μ

〔・γμ 託一＋ツsツ4β．ノ1μ）＋M〕ψ一・ （1・13・）

とneutronの式を書き得る事に注意する。

さてこの場合は

〔 o翫・7・〕φ・一砥φ・ （1・131）

である。

・4ρρθ％4露1

今electronの式

〔γ・（距・β・且・）棚・「φ・．（    e7■ex）φ・（W・β・A・）一・ （Al）

に於て

 o

@ →A！μoκμ

@         e一γ4β〆1。→         oημ

（A2）

斎 藤：素 粒子 論（旺）      101 と置くと（A1）式は

〔ツ・（。募。礁）圖φ・（怖五・・）φ・（一γ・る銑） （A3）

となる。又neutrinoの式

〔γ・（読一ツ・γ・鯛〕φ・φ・一・ （A4）

は（A2）の変換で

〔γ・（γ・毒周〕φ・（ツ・五・・）φ・（一暢）一・ （A5）

となる。 （A3），（A 5）        ＼

相等するが（AI）との比較でP一ゴP2， P1＋ゴP2共にelectronのchargeに対応し 裾ると考一られる・同様に（A5）式のγ・毒に対応するm・m・ntumをM・M・M・

。M4とするとspin＋はM3にspin一は一M3に対応すると考える。この様にすれば

（A3），（A5）式を合してelectron， neutrinoを示す事が判明する。

さて量子力学に於けるelegtron，と電磁場のinteragtionは

∬一

辜ﾕ・γ・（γ．γ4β．A，，）ψ4・κ一一∫ψ・γ・β・4轍  （A6）

       ・       O      o

ﾅあり，neutrlnoとそれの場とのlnteractlonは

H〃一

今（A5）の表示を変えて

〔7・（6；冨＋A  ．）〕φ・φ・（γ・ツ・毒）一・ （A8）

とすると（A3），（A 8）を考えてelectron， neutrinoは

ψ・一φ・φ・（    oL7pa   eημ）

（A9）

ψ・一φ・φ・（     07s 7μ    oημ）

但しづ・＝1はspin＋でelectronに，∫＝2はspin一でelectronにブ＝3はspin＋で neutrinoにブ＝4はsPin一でneutrinoに対応するとする。さてelectron→neutrino のinteraCtiOnは

ψ・＊ッ。ψ・A 。一ψ，＊ψ・7ッ。TA 。一（ψ、ψ3c）7γ認 。

しかるにψ・，ψ3は互いに直交して居るから上式は9270である。従ってelectron→

eleGtron， neutrino→neutrinoに関係のあるinteractionを考えればよい。さてelec一 tron→electronを（A8）式で考えるに

∫螂A・躍η一μ一∫ψ・（一γ．β，，A．）轍

より一螂錨一多為・渦卿  （A1・）

・従って（A7），（A 6）の比較より（A8）式の表示のPotentialはelectronに就ては

乃r ＝Cアψ1＊γμ14！μψ1     （A11）

neutrlnoに就ては

11 ＝C7ψ3＊γ5rドμノ4！μψ3    （Al2）

       ． ﾅある。

助ρ伽4露皿

こ・では（1，47），（1，49）式のdiscussionを行い，§13の定理が正しい事を示す。

さてelectronの式

〔ツ蔵一γ・齢）＋M4〕φ・φ・（X）一・ （B1）

但し  〃z4＝C4筆

（B2）

甥4φ2α）＝魏φ2α）

さて  初μ→・75勉μ

（B3）

φ2（x）→φ2（γ5x）

とすればγ5〃％φ2（ッ5X）＝物φ2（γ5X）

であるから

φ・→φ・

φ2α）→φ2（7sx）       （B4）

〃zμ→ツ5 zμ

・4。→一γ54

で（B1）は変らないから§4の（C），（D）は同値である。従って§13の定理は正し い。即ちこの定理は各々の粒子が独立して相互のinteractionをneglectする限り成立 する。換言すれば各粒子の相互転化を無視する限り正しく成立すると結論する事が出来る 尚（B4）はpure rotationでinvariantであると云う仮定を含む

・4ρρ召π4弦皿

こ㌧では§13のneutrinoに関する（1，119）式と（1，120）式の関係を説明するの が主眼である。こ〜の説明のより一般的且つ数学的説明は第三章で行われるが，こ〜では 単に説得的方法で行われる。さて（B1）のelectronの式に於て・4μfieldはLorentz condition

斎 藤：素 粒 子 論（匿）       103       、

減（ツ4β．A．）一・ （C1）

を満足するがこ》でκ盗は虚軸である。さてelectronでは 吻ゆ2＝0

（C2）

勉4φ2＝初φ2

槻φ2＝0

（C3）

窺4φ2＝0

であるからneutrinoの式

〔ツ蔵巾凧）〕ッ・ψ一・ （C4）

のκ4軸は実軸（これを で表わす）である。従ってneutrinoの式（C 4）では才1κ2 鞠 は全部spaceの坐標である。ψはκ1κ2ズ3κ4坐標で存在するから（C 4）をκ1κ2 鞠 坐標でψは存在しない（否定）と解釈する。さてκ1κ2κ3 坐標ではreversalは space reversalのみ存在するこれを

γ →一γμ     （C5）

と書けばこの変換ではγ4βμ．4μ，γ5γ4βμ！鑑は区別できない。何故なら（C5）で ツ5→ツ5

であるからである。即ち

〔定理〕 4−Euclid spaceではvector（・4のとP−s vector（γ54）は区別できな い。今4−Euclid spaceでvector→P−s vectorとすれば，即ち

且μ→γ5／1μ      （C6）

とすれば（C4）は

〔γ・（読一7・7・β・A・〕ツ・ψ一・ （c7）

となり矢張りEhclid spaceではψは存在しない。今κ4，／14を虚軸とすれば（1，

120）式となりこの式はLorentz invariantである。換言すればelectron→neutrino は§4の（C）→（B）に相当しneutrinoに就ては

〃zμφ2＝γδφ2＝0      （C 8）

である。

第二章 変 化 粒 子

§1 neutronの運動方程式のdiscussion

〔ツ・（読一μ暢）岡ψ一・ （1・78）

を満足するγ5Bμの作る場は

O E3 −E2 一沼1 一E3 0  E1 一沼2

FBρ＝ E2−E、 0 一ゴ1i13 （2，1）

耀1田2ゴ正13  0

であり

〔畷一凪）欄〕ψ一・ （1・2）

を満足する・4μの作る場は

O H3−112一ゴ．E、

一E3 0 H、一旭2

Fρ＝

1…r2−1…r、 0 一旭3

ゴE1∫E2ゴE3  0

である。今・4μ，γ5Bμが同一のLorentz sPaceに共存して居るとすると E→17 （2，3）

11→E

なる変換式が存在しなければならない。しかしながらこの変換はLorentz transformat一 ionで作る事はできない。

〔定理〕・4Bが同時的共存であるとすればこのspaceは純粋にはLorentz spaceとは

云えない。

さてこの定理の意味を吟味すると

（1＞ （1，78）式（neutron）のみ単独に存在するときはLorentz invarianceは成立す

る。

（2） （1，2）式（electron）のみ単独に存在する時はLorent∠invarianceは成立する。

（3）／1μ，Bμが互いに関係をもつ時（例えば →ρ＋6−＋〃）はLorentz spaceの枠内で は説明出来ない。

と云う事になる。

本章の目的は（3）の性質を追求してisotopic spin πmeson， strangenessの本質を調 ぺ且つ変化粒子の概念を導入するにある。

§2 〃α麗Sノ∂7〃Zα ゴ0η地θ0γツ

一ゴ召・4。＝〃％ ^ooγμ

（2，4）

一μγ5βμ＝〃〆μ

e

oγμγ5

、

斎藤：素 粒子 論（E）      105 より｛71727374｝の組に対応して一ゴ6・4μがあり又，｛7、γ5γ2γ5ッ3γ5ッ4γ、｝の組に 対応して一μjBμを導入する。上述の二組は互いに独立であるから

〔ノ1．，75 Bッ〕＿＝0      （2，  5）

と考へる。又

γμγ．＋γ．γμ＝0

（2，6）

ツ5ツμ＋γμγ5＝0

はγμを制限する条件と考える。今electronを考えるに擁θ／1μγμ＝一ゴθγμ・4μ＋勉μの 左辺のγμはnon｛orentz sPaceのmatrixであり，右辺のγμは正orentz space のmatrixである。（2，6）式の初めの式はnon−Lorentz space→Lorentz spaceの 変換に対してinvariantである事を意味して居る。 B．、の場合にも同様にして（2，6）

式は矢張りinvariantである。故にこの様な時空は一般相対論の時空とは全く異なって 居る。electronをneutronにするoperatorをAとすれば

Aψ（1）＝ψ（3）        （2， 7）

Aは粒子間の移動を表わすからisotopic operatorと云．う。electronの運動方程式

〔ッ・（読＋殊孟棚・〕ψ｛・）一・

は（2，7）式より

A〔ッ・（        む死＋ 2・eγμ）骸〕A−・Aψ（・）一・

（2，8）

となる。 （2，8）式は

〔γ蔵艦読γ，）棚のψ（・）一・ _（2，9）

と等しい筈である。故に AツμA＝γμ

1蕪∵弱 （2 1°）

が成立する。又

〔γμ，7，・γs〕＋＝0  （not summed）

（2，11）

〔・γ陶・γゾγ5〕＿＝0  （μ→・y）      ・

に於てツμ（μ＝1，2，3，4） γμγ5（μ＝1，2，3，4）を坐標と考え，これに対応する

momentumとして

〔㌫・。γ皇ッ、｝一・（n・t・umm・d）

〔孟・…蒲、〕一一〇 （μ＋v） （2，12）