 異質的企業の投資理論（計算経済学の研究その17）

異質的企業の投資理論

（計算経済学の研究その17）

Investment Theory of Heterogeneous Firms

釜　　国男*

Kunio KAMA

1. はじめに

　設備投資は GDP の 14%程度を占めるに過ぎないが、変動が激しく景気循環の最も重要な要因 と見られている。また投資による資本ストックの増加は経済成長の原動力である。投資に関して ケインズの限界効率理論、加速度原理、ストック調整原理、トービンの

q

理論など多くの理論が 提案されているが、まだ決定的な理論はない。一時

q

理論が有力視されたが、実証的パフォー マンスの点で問題がある¹⁾。現在広く受け入れられているのは、調整費用と非可逆性に基づく理 論である。ここでは企業の異質性と調整費用を考慮した投資モデルについて検討したい。上にあ げた理論はいずれも代表的企業を仮定している。しかし現実の企業をみると、多くの点で多様性 がある。例えば大企業と中小企業の間には大きな生産性格差が見られる。一般に生産性の高い企 業は投資に積極的で、生産性の低い企業は投資を抑制する。代表的企業を仮定すればこうした点 を無視することになる。また異質的投資モデルは経済政策の効果を検証するのに役立つ。例えば 景気対策として金利を引き下げても、すべての企業で投資が増えるわけではない。投資を拡大す る企業もあれば、投資しない企業もある。このため金融政策の効果は地域や企業によって異なる。

経済政策の効果を評価するには、こうした点まで考慮する必要がある。最初に標準的な投資理論 について説明する。その後異質的企業の投資行動について論じる。第3節では理論モデルの数値 解法と計算結果を示す。最後に生産性ショックと貯蓄ショックが加わった場合について検討する。

2. 代表的企業の投資

　最初にトービンの

q

理論について説明しておこう。この理論によると、代表的企業は利潤の割 引現在価値

K dt

K I I

K F e

V ⁼

^



^{− t}

^ _ ^{ − − } _ ^{ } _ ^{ } _ ^

0

)

( 



* 創価大学名誉教授

s.t. K

^•

= I ^, K ( 0 ) = K

₀

を最大化する。

K

は資本ストックで

F

(

K

) は生産関数、

I

は投資、

ρ>0

は利潤の割引率である。

資本の調整費用を表す

ψ(

0

)

は

I / K

の凸関数で、

ψ(

0

)

=

ψ

'

(

0

)

= 0 とする。最適条件は





 

 + 

= K

q 1  ' I

である。ラグランジュ乗数を表す

q

はトービンの

q

と呼ばれる。これより

(q )

K I = 

または

K

^•

=  ( q ) K

が成り立つ。

τ'

(

q

) > 0、

τ

(1) = 0 であり、

q

> 1 なら投資はプラスで、

q

< 1 なら投資はマイナス となる。





 



− 

 

 

 + 

−

•

=

K I K

I K K I

F q

q  (' )   '

=  q − F (' K ) +  (  ( q )) −  ( q )  ('  ( q ))

に従って変化する。横断性条件は

 t→

lim e

^−t

q ( t ) K ( t ) = 0

である。図１に示したように、定常状態では唯一の均衡点

(q

*,

K

*

)

が存在する。が存在する。

K

^•

= 0

^{の直線と の} 直線と

q

^•

= 0

となる右下がりの曲線の交点が長期均衡点である。となる右下がりの曲線の交点が長期均衡点である。

q*

=

1

であり

F (' K

^*

) = 

が成り立つ。したがって定常状態では資本の限界生産力は割引率に等しくなる。資本の初期値が

図 1

q

と資本の動き

53

与えられたとき、適当な

q

からスタートすれば安定的アームに沿って定常点へ収束する。投資減 税や利子率の効果を考慮したさまざまなバリエーションがあるが、どれも同質的企業を仮定して いる。次節では本題である異質的企業の投資行動について論じる。

3. 異質的企業の投資

　企業は資本と労働を用いて財を生産する。労働投入は一定で、生産関数を

z

_t

F(k

_t

)

と表すこと にする。全要素生産性は拡散過程に従って確率的に変化する。

t t t

t

z dt z dW

dz =  ( ) +  ( )

₍₁₎ ただし

z

₁

≤ z ≤ z

₂ 、

z

₁

≥

0、

z

₂

> z

₁とする。資本ストックは

dt k x

dk

_t

= (

_t

− 

_t

)

₍₂₎

に従う。

x

_tは租投資で 0

≤

δ

≤

1 は資本減耗率である。投資を行うと

c (x,k,r )

の調整費用がか かる。投資に伴う組織変更や労働者の訓練費用が生じるからである。調整費用は

x

の凸関数であ り、

c(0,k,r)

= 0、∂

c /∂ k <

0、∂

c /∂ r >

0 とする。利子率が高くなると借入コストの上昇で調整費 用は増加する。利潤

p

_tを



_t

= z

_t

F ( k

_t

) − x

_t

− c ( x

_t

, k

_t

, r

_t

)

と定義する。企業は利潤の現在価値が最大となるように投資を決定する。最大利潤は資本と全要 素生産性の関数であり

t x

t

z

k

V ( , ) = max 

^{ −}

^{− −}

0

0

e ( z F ( k ) x c ( x , k , r )) dt

E

^t _{t t t t t t}

(3) とする。動的計画法を適用すると、ベルマン方程式は

 



 

 



 

 + 

−

−

= max ( ) ( , , ) 1 ( ( , )) )

,

(

_{t t t t t t t t}

t x

t

E dV k z

r dt k x c x k F z z

k V



(4)

と表される。(1)、(2) と伊藤の公式により

dV V

_k

x k z V

_z

( z ) V

_zz

dt ( z ) V

_z

dW 2

) 1 ( )

(   

²

  + 

  − + +

=

となる。期待値をとると

E dV V

_k

x k z V

_z

z V

_zz

  dt

  − + +

= ( )

²

2 ) 1 ( ) ( )

(   

となり、(4) に代入すると

 



 

 + − + +

=

_{t k z zz}

t x

t

z V x k z V z V

k

V ( )

²

2 ) 1 ( ) ( max

) ,

(    



(5)

を得る。x_tを含むのは最初の 2項だけであり、最適投資の条件は

c

_x

( x , k , r ) = V

_k

− 1

(6)

である。

V

_kはトービンの

q

に相当する。投資は資本と生産性と利子率の関数であり、

x

(

k

,

z

,

r

) と表す。

V

_k = 1 であれば投資は 0 となり、

V

_k >1 であればプラス、

V

_k < 1 ならばマイナスとなる。

　数値計算では (1) の確率過程を

dz

_t

=  (  − z

_t

) dt +  dW

_t

(   0 ,   0 )

(7) と特定する。

z

_t >

μ

であれば

dz

_t < 0、

z

_t <

μ

ならば

dz

_t > 0 となり、

z

_tは

μ

へ回帰する性質があ る。長期的に

 

 







  , 2

~ N

²

z

_t

となる。(7) を (5) に代入すると、HJB 方程式は

 



 

 + − + − +

=

_{t k t t z zz}

t x

t

z V x k z V V

k

V

²

2 ) 1 ( ) (

max ) ,

(     



(8)

と表される。zの上限と下限では境界条件

V

_z

( k , z

₁

) = 0

0 ) , ( k z

₂

=

V

_z (9)

を満たす必要がある²⁾。

　数値計算の必要上、

k

₁

≤ k ≤ k

₂ とする。このため資本についても境界条件を設ける。調整費 用は

k k x r r

k x c

2

2 ) ) (

, ,

( 



 



=  

(10)

とする。(6) の条件から、

k

=

k

₁において

) (

) 1 ) ( ) (

(

₁ ^{1 1}

r k k k V

x

^k



= −

となる。

k ≥ k

₁より、より、

k

^•

= x ( k

1

) −  k

1

 0

でなければならない。これよりでなければならない。これより

^{1 1} ₁

) (

) 1 ) (

( k

r k k

V

_k



 ^

−

つまり

V

_k

( k

1

)  1 +  ( r )

₍₁₁₎ を満たす必要がある。同様に

k

=

k

₂では、 では、

k

^•

= x ( k

2

) −  k

2

 0

でなければならない。これよりもでなければならない。これ う一つの境界条件は

V

_k

( k

₂

)  1 +  ( r )

(12) である。

　定常状態における資本と生産性の分布

g

(

k,z

) は、つぎのコルモゴロフ方程式を満たす。

] ) , ( 2 [

)] 1 ( ) , ( [ )]

)(

, ( [

0  

²₂

_{g k z} 

²

z z z k z g k x z k

k g 

+ 



− 

 −

− 

=

(13)

さらに正規化の条件

55



^2

⁼

10

1 )

,

z

(

z

dkdz z k

g

(14)

も満たさなければならない。

　企業は投資資金を資本市場で調達する。資本の供給を

S

とすると、資本市場の均衡条件は



^2

⁼

10

) , ( ) , (

z z

S dkdz z k g z k

x

₍₁₅₎

と表される。投資が貯蓄を上回ると利子率は上昇し、下回ると利子率は低下して市場は均衡する。

競争均衡では (5),(6),(13),(15) が成り立つ。一般的な条件のもとで競争均衡が存在する。しかしこ れらの式を満たす

V

(

k,z

),

x

(

k,z

),

g

(

k,z

),

r

を解析的な方法で求めることは難しい。そこで数値的 な方法で近似解を求めることにした。

4. 数値解法

4.1 HJB 方程式

　最初に HJB 方程式の数値解法について説明しよう³⁾。いくつかの解法があるが、ここでは偏微 分方程式の標準的な解法である差分法を用いる。資本を

k

_i,

i

= 1,...,

N

で離散近似し、全要素生 産性を

z

_j,

j

=1,...,

M

で近似する。分点の間隔を

Dk

と

Dz

とし、

V

(

k

_i

,z

_j) の近似値を

V

_i,jで表す。

資本に関する微分はつぎの前進差分と後退差分で近似する。

前進差分 : 前進差分:

k V V

_ij

V

^{i j ij}

kF



= −



_, ^{+1, ,} 後退差分 :

後退差分:

k V V

_ij

V

^{i j i j}

kB



= −



_, ^{, −1,}

資本の変化する方向に基づいて使い分ける。つまり

x > dk

で資本が増加すれば前進差分を用い、

x

<

dk

で資本が減少するときは後退差分とする。この方法を使うと計算速度は格段に速くなる。

全要素生産性については

z V V

_{i j}

V

^{ij ij}

z



= −



_, ^{, +1 ,}

²

1 , , 1 ,

,

( )

2 z

V V

V

_{i j}

V

^{i j i j i j}

zz



+

= −



^{+ −}

で近似した。

　適当な初期値を選んで反復計算を行うが、いくつかの条件を満たすと収束する。この点に関し て Barles=Souganidis(1991) の定理が重要である⁴⁾

。

。

V

⁰

= [ V

_i⁰_,j

] ,

,

i

= 1,...,

N

,

j

= 1,...,M として、収 束するまでつぎの式を繰り返し計算した。

, 1 1 2

, 1 ,

, 1 ,

, 1 ,

,

) 2

(

^{+ +}

+ +

+

 +

 +

−

 +

=

 +

−

_n

j i n zz

j i z j n i

j n i

j i n k

j n i

j i nj n i

j

i

V V V x k V V

V     

⁽¹⁶⁾

ここで

i i nj n i

j i i n j

j

i

k

k r x x

k F z

2 , ,

,

2

) ) (

(  





 



− 

−

= 



)

(

_j

j

=   − z



) (

) 1

(

_,

,

r

k x

_iⁿ_j ^k

V

^{inj i}



−

= 

である。(16) の右辺は 右辺は

V

_i,ⁿ_j⁺¹を含んでおりリカーシブな構造になっていない。風上差分を適 を含んでおりリカーシブな構造になっていない。風上差分を適用す ると

− +

− + + +

+ + +

+

 + −

 + −

=

 +

−

^, _, ¹ _, ^{1,1 , 1}

(

_{, ,}

)

^{, 1 1,1}

(

_{, ,}

)

, 1 n

B j i n j n i

j n i

F j i nj n i

j n i

j n i

j i nj n i

j

i

s

k V s V

k V V V

V

V  

₂

11 1 ,

1 , 1 2 , , 1

11 ,

) ( 2

2 z

V V V

z V

V

_iⁿ_{j i}ⁿ_{j i}ⁿ_j

j nj n i

j i

 + + −

 + −

+− +

++ +

++

 

(17)

と書き表される。ただし



_iⁿ_{jF i}



njF

i

x k

s

_{, ,}

)

⁺

= max 0 ,

_{, ,}

−  (

( s

_iⁿ_,j,B

)

⁻

= min  0 , x

_iⁿ_,j,B

−  k

_i



である。資本に関する境界条件を考慮して



_kB

V

_1,j

= 

_k,F

V

_N,j

= 1 +  ( r )

₍₁₈₎ とする。(17) は は

V

_i,ⁿ_j⁺¹ に関する連立1次方程式である。 ^{に関する連立} 。

V

_i−ⁿ₁⁺_,¹_j、 ^、、

V

_i,ⁿ_j⁺¹、 ^、、

V

_i+ⁿ₁⁺_,¹_j、 ^、、

V

_i,ⁿ_j⁺₋¹₁、 ^、、

V

_i,ⁿ_j⁺₊¹₁ につ^に いて整理すると

n j j n i

j i j n i

j i j j n i

j i j n i

j n i

j n i

j i nj n i

j

i

V V V a V b c V d V e V f

V

₁

1 1 ,

1 , 1 ,

, 1 1 ,

, 1 ,

, 1 1 ,

, 1 ,

, ⁺ ₋^{+ +}

( )

₊^{+ +}₋ ⁺₊

+

+ +

+ + +

+

=

 +

−  

⁽¹⁹⁾

k a s

njB i j

i

= − 

)

−

(

_{, ,}

,

k s k

b s

njB n i

F j i j

i

+ 

− 

=

−

+

( )

)

(

_{, , , ,}

,

₂

2

) ( z c

_j

z

^j

− 

− 

=  

k d

_ij

s

^injF

= 

)

+

(

_,,

,

₂

2

) (

2 z

e =  

₂

2

) (

2 z

f

_j

z

^j

+ 

=   

57

となる。(9) の境界条件に対応して

11 1 , 0

,+

=

_iⁿ+

in

V

V

V

_i,ⁿ_M⁺¹₊₁

= V

_i,ⁿ_M⁺¹

とする。このため

z

=

z

₁,

z

₂では

^,1 _,1¹ _{,1 1,}¹_{1 ,1 ,1}¹ _{,1 1 1,}¹_{1 ,1 1,2}¹ ₁

11

,

V V V a V ( b c e ) V d V f

V

_n

n i i n i

i n i

n i n i i in

in + +

+ +

+

− +

+

+ +

+ + +

+

=

 +

−  

e V d V f c b V a V V V

V

_n

M i M n i

M i M M M n i

M i M n i

M n i

M n i

M i nM n i

M

i 1

1 , 1 ,

, 1 1 ,

, 1 ,

, 1 1 ,

, 1 ,

,

( )

+ ⁺−

+ +

−+ +

+

+ +

+ + +

+

=

 +

−  

が成り立つ。

が成り立つ。

V

ⁿ

= [ V

_1,ⁿ₁

,..., V

_Nⁿ_,1

,..., V

_1,ⁿ_M

,..., V

_Nⁿ_,M

]

、



ⁿ

= [ 

₁ⁿ_,1

,..., 

_Nⁿ_,1

,..., 

₁ⁿ_,M

,..., 

_Nⁿ_,M

]

とす とすると、(19) は

1 1

1

)

1 (

+

− +

+

= +

+



n n n n n

n

V V P V

V  

(20)

と表される。移項すると

S

ⁿ

V

ⁿ⁺¹

= q

ⁿ

n n

n

V

q =  +  1

S

ⁿ

 I − P

ⁿ



 

  +

=  ¹ 

(21)

P

ⁿ

= Q

ⁿ

+ R

となる。

Q

ⁿと

R

はつぎの (

N

×

M

) × (

N

×

M

) のスパース行列である。

b1,1 d_1,1 a2,1 b2,1 d2,1

0 ・ 0

0

0 ・ 0 0 a_N,1b_N,1

0 ・ 0

Qⁿ = ^{0 ・ 0}

0 b1,Md1,M

0

^{a2,Mb2,M d2,M}

0 ・ 0 0 ・ 0

0 aN,M bN,M

これまで説明したのは陰解法と呼ばれる方法である。この他に反復計算を必要としない陽解法が あるが、計算速度は極端に遅い。このため陰解法を用いることにした。

　利子率が与えられたとき、つぎのようにして

V

_i,jを求めた。

[ ステップ 1]　

r

=

r

⁰として









_{i i}

j i

i

F k k r k

V

_,⁰

( ) − − 0 . 5

^{0 2}

=

とする。

[ ステップ 2]　

2] x

_i⁰_,j

=  k

_iとする。

^とする

[ ステップ 3]　(20) から から

V

_i¹_,jを求める。^{を求める。}

[ ステップ 4]　

4] V

¹

 V

⁰であれば終了し、そうでなければ

であれば終了し、そうでなければ n

= 1 としてステップ 2 へ戻る。

4.2 コルモゴロフ方程式

　(13) のコルモゴロフ方程式をつぎのように差分近似する。

( )" 0

)' 2 (

)'

(

_{, ,}

−

_,

+

² _,

=

− g

_{i j}

s

_ij

g

_{i j}



_j

 g

_{i j}

(22) これは

g

_i,jに関する連立1次方程式であり反復計算する必要はない。風上差分を用いて

k s g s

g k

s g s

s g

g

_{i j i j} ^{i j i jF i j i jF i j i jB i j i jB}

 + −



= −

−

− + + +

−

−

+

( ) ( ) ( )

) )' (

(

_{, ,} ^{, ,, 1, 1, , 1, 1, , , , ,}

とする。(22) の二番目の項は

z g g

_{i j j}

g

^{i j j i j j}



=

⁺



⁺

− 



^{, 1 1 ,}

,

)'

(

三番目の項は

_, ^{, 1 ,}₂ ^{, 1}

) ( )" 2

( z

g g

g

_{i j}

g

^{ij i j i j}

 +

=

⁺

−

⁻

で近似する。これらを代入して整理すると、(22) は

c1+e 0 ・ ・ f1

0 c1+e 0 ・ ・ f1

・ 0 ・ 0 ・ ・ ・

0

・ ・ 0 ・ 0 ・ ・ ・

e ・ ・ 0 _c1+e 0 ・ ・ f1

R = ・ ・ ・ 0 _・ 0 _{・ ・ ・}

・ ・ ・ 0 ・ 0 ・ ・ ・

　e ・ ・ 0 cM+fM 0 ・ ・ 　fM 　e ・ ・ 0 cM+fM 0 ・ ・

0

^{・ ・ ・ 0 ・ 0 ・}

・ ・ ・ 0 ・ 0

　e ・ ・ 0 _cM+fM

59

0 ' g =

P

₍₂₃₎ と表される。ここで

g

= [

g

₁₁,...,

g

_N,1,...,

g

_1M,...,

g

_N,M] である。

P'

は正則行列となるので、このまま では

g

= 0 となる。そこで意味のある解を得るために、

g

=

U

^－1

q

とした。

q

= [0,1,0,...,0]' であり、

U

は

P'

の第1列を 1,0,...,0 で置き換えた行列である。

P

はすでに求めて おり改めて計算する必要はない。このように HJB 方程式の計算結果を利用できるのが連続時間 モデルを用いる一つの理由である。

5. 計算結果

　数値計算ではモデルのパラメータをρ= 0.05、δ= 0.03、θ= 26、μ(z) = 0.4(1－z)、σ= 0.3 とした⁵⁾。資本と全要素生産性は 0.5

≤ z ≤

1.5、10

≤ k ≤

60 の区間にとり⁶⁾、区間の分割数は

I

= 100、

J

= 50 とする。生産関数は

z

(

Ak

^a) であり、

A

= 1、a

α

= 0.5 とした。利子率は調整費用を通 じて投資に影響する。図２は投資と利子率の関係を示している。利子率が高くなると調整費用は 増加して投資は減少する。このため投資は右下がりの曲線となる。パラメータが変化すれば曲線 はシフトする。とくにθが大きくなると左下にシフトして投資は減少する。

総貯蓄は一定で、

S

= 1.13 とする。２分法で均衡利子率を求めると、

r

* = 3.55% となる。

V

(

k,z

) は資本と生産性の増加関数であり、

V

_kk < 0,

V

_zz < 0 となる。技術進歩と資本蓄積によって利潤 は増加するからである。図3 は企業の投資関数を示している。理論的に予想される通り資本が増 えると投資は減少し、生産性が高くなると投資は増加する。しかし右側の領域では資本の拡大で 投資は僅かながら増加する。また左下の領域では投資は負となる。図４は資本と全要素生産性の 分布である。生産性は一定で資本が増えると純投資はマイナスとなる。このため資本の分布は狭 い領域に集中する。平均資本は 37.7 であり、同質的企業を仮定した場合よりも低くなる。した がって生産性の格差は経済全体の資本蓄積を妨げる効果がある。

6. 生産性ショック

　これまでモデルの定常状態について検討した。定常状態にある経済にショックが加わると、調 整過程を経て元の状態へ戻る。調整過程を調べるために、(8) と (13) 式をつぎのように書き換える。

  

 

 + − − − + +

=

_{k z zz t}

x

V x k z V V V

t z k

V

²

2 ) 1 ( ) ( max

) , ,

(     



₍₂₄₎

] ) , , ( 2 [

)] 1 ( ) , , ( [ )]

)(

, , ( ) [

, ,

(

2

2

2





 _{g k z t}

z z t z k z g k x t z k k g t

t z k g

 + 



− 

 −

− 

 =

 (25)

(25)

資本市場の均衡条件は



^2

⁼

10

) , , ( ) , ,

z

(

z

S

dkdz

t

z

k

g

t

z

k

x

図 2 投資曲線

利子率

投資

図 3 投資関数

資本

生産性

図 4 資本と全要素生産性の分布

資本 生産性

61

となる。様々なタイプの ショックが考えられるが、ここでは２種類のショックについて検討する。

最初の実験では

A

= 1 で定常状態にあるとき、全要素生産性が

t

= 0 で

A

(0) = 0.95 に低下した とする。その後

dA

_t

=  ( A

^*

− A

_t

) dt

(26) に従って元の水準へ戻る。前節で求めた

r

* と

V

(

k,z

)、

g

(

k,z

) を初期値として、(24) と (25) から生 産性ショックに対する反応パターンを求めた (

l

=0.2)。図５は全要素生産性と利子率、利潤、お よび投資の動きを示している。予想外のショックで投資曲線は左へシフトして、利子率は一時的 に低下する。利潤は生産量の低下で減少したあと、元の水準へ戻る。投資はしばらく低下して元 の水準を回復する。このようにすべての集計量が変化するのは、グローバルショックを想定して いるからである。一部の企業に限定されたショックであれば集計量は変化しない。貯蓄の変化も マクロ変数に影響する。図６は貯蓄が 10%増加したときの利子率と利潤と総生産の反応を示して いる。貯蓄の増加で利子率は低下して投資を刺激し、利潤は一時的に減少する。資本ストックも 増加して総生産は一時的に増加する。利子率の変化は資本の分布も変化させる。λの値を変えて も調整期間が長くなるか短くなるだけで反応パターンは変わらない。

図 5 生産性ショックに対するインパルス反応

利子率生産性利潤 投資

時間

7. 結語

　1970 年代の合理的期待仮説から始まった新しいアプローチは多くの経済学者に受け入れられ、

方法論の上でミクロ経済学とマクロ経済学を区別することは意味をもたなくなっている。新しい アプローチのポイントは家計や企業の最適化行動をモデル化したことである。DSGE モデルは多 くの問題に適用されているが、その限界も明らかになりつつある。そのひとつは社会的な関心の 高い格差問題に適用できないことである。従来の代表的主体のモデルで格差問題を論じることは 難しい。所得や資産の格差を論じるには異質的主体を仮定する必要がある。1990 年代に入って Aiyagari (1994)、Huggett (1993)、Krusell =Smith (1998) 等による不完備市場経済のモデルが現 れた。しかし保険市場が欠落した場合の市場メカニズムがメインテーマであり、格差問題を論じ たわけではない。また煩雑な計算が必要な離散時間のモデルを用いている。連続時間のモデルに すると Lasry=Lions の平均場ゲーム理論を利用できる⁷⁾。異質的主体のモデルは投資以外の問題 にも適用可能である。ここで検討したモデルは企業間の直接的な相互作用を無視している点で改 善の余地がある。市場を通じた相互作用の他に知識の拡散のように直接情報が伝わる場合もある。

このようなモデルにも平均場ゲーム理論が適用できるであろう。

図 6 貯蓄ショックに対するインパルス反応

貯蓄

時間

利子率

利潤 総生産

63

注

1) 浅子他 (2013) を参照せよ。

2) Dixit (1993) の p.27 を参照せよ。

3) モデルの数値解法について Achdou 他 (2017) を参考にした。

4) Barles, G. and P. E. Souganidis (1991) を参照。

5) (10) 式の θ(

r

) を θ(

r

) = θ

r

としている。

6) 第2節のモデルによると









⁻

 

 





= +

¹

1

K

*

　となる。この値を中心に資本の範囲を決めた。

7) Lasry, J. M. and P. L. Lions (2007) を参照せよ。

参考文献

浅子和美、外木好美、中村純一 (2013)「設備投資研究の展開と Multiple q」

Discussion Paper Series 584, Institute of Economic Research, Hitotsubashi University.

Achdou, Yves, Jiequn Han, Jean-Michel Lasry, Pierre-Louis Lions, and Benjamin Moll. (2017)“Income and Wealth Distribution in Macroeconomics:A Continuous-Time Approach”, NBER Working Papers 2373.

Aiyagari, S. Rao. (1994) “Uninsured Idiosyncratic Risk, and Aggregate Saving”, Quarterly Journal of Economics, Vol.109, pp.659-684.

Barles, G. and P. E. Souganidis. (1991) “Convergence of Approximation Schemes for Fully Nonlinear Second Order Equations”, Asymptotic.Analysis, Vol.4, pp.271-283.

Dixit, Avinash. (1993) The Art of Smooth Pasting. Fundamentals of Pure and Applied Economics 55, The Routledge.

Huggett, M. (1993) “The Risk-free Rate in Heterogenous-Agent Incomplete-Insurance Economies”, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol.17, pp.953-969.

Krusell, P. and A. A. Smith. (1998) “Income and Wealth Heterogeneity in the Macroeconomy”, Journal of Political Economy, Vol.106, pp.867-896.

Lasry, J. M. and P. L. Lions (2007) “Mean Field Game”, Japanese Journal of Mathematics.