異質的主体モデルの最適制御 （計算経済学の研究その20）

異質的主体モデルの最適制御

（計算経済学の研究その20）

Heterogeneous Agents and Optimal Control

釜　　国男*

Kunio KAMA

　最適制御理論はさまざまな経済問題に応用されている。マクロ経済学の分野では経済成長論へ の応用が重要である。古くはラムゼイによる動学的な資源配分問題への応用がある。サムエルソ ンとソローは古典的な変分法を用いて最適資本蓄積の理論を展開した。変分法の他にも最大値原 理や動的計画法などが使われている。理論的な研究だけでなくマクロ計量経済モデルにも応用さ れており、一部の国は現実の政策決定に利用している。マクロ経済学ではこれまで同質的主体の モデルが使われてきた。しかし最近、異質的主体モデルを使った研究が増えている。これは経 済格差の問題に対する関心が高まっていることを反映している。また経済成長や安定化政策の 問題でも経済主体の異質性が重要な役割を果たしているからである。初期の研究としてBewley 　(1986)、Huggett (1993)、Aiyagari (1994)、Krusell and Smith (1998)などがあげられる¹⁾。いま では標準的不完備市場モデルが共通の土台として広く受け入れられている。これはケインジアン

のIS =LMモデルに相当する基本的なモデルである。ただし、これまでのところポジティブな分

析に限られ規範的な分析はほとんど手が付けられていない²⁾。これにはいくつかの理由があるが、

理論的な方法が確立されていないことが最大の理由である。最近、Nuno and Moll (2018)は異質 的主体モデルの最適制御法を提案している。本稿の目的はその方法を説明して標準的な不完備市 場モデルに適用することである。

1. 競争均衡

　多くの消費者が区間[0,1]に一様に分布しており、つねに死亡する可能性がある。１期間当た りの死亡率をηとする。死亡すれば新しい消費者が生まれて人口は一定に保たれる。状態変数 X(t)はつぎの伊藤過程に従う。

dX(t) = b(X(t), µ(t, X(t)), Z(t))dt + σ(X(t))dW(t) (1) X(0) = x0

ここで µ ∈ M ⊂ R^mは政策変数で、 Z(t) ∈ R^pは集計量である。b(⋅)とσ(⋅)がつぎの条件を満た

* 創価大学名誉教授

36

すと、上の確率微分方程式には唯一の解がある。

　［条件］すべてのx,x' ∈ Rⁿ, µ,µ' ∈ M, Z, Z' ∈ R^pに対して

|b(x, µ, Z) - b(x', µ', Z)| ≤ K(|x - x'| + |µ - µ'| + |Z - Z'|)

|σ(x) - σ(x')| ≤ K|x - x'|

となるK > 0 が存在する。

　消費者は期待効用の現在価値

J(t,x,)= 



 



^ ^{− + −} =

0

) )(

( u(X(s), (s))ds| X(t) x

e

E ^{  s t} 

を最大化する。u(x, µ)は狭義単調増加関数であり、主観的割引率ρ > 0は一定とする。関数 V(t,x)をつぎのように定義しておく。

) , (t x

V maxJ(t,x,u)

= u ₍₂₎

横断性条件は

lim ⁻ (, )=0



→ e ^tV t x

t

 (3)

である。

　上の最大化問題の解はつぎのHJB方程式を満たす。

u x AV

t

V V + +



= max ( ,)

  ₍₄₎

右辺のAは微分作用素であり

 

= = =

 −

 + 



= ⁿ 

i

n

i n

k i k

k i i

i V

x x x V x x

Z V x b AV

1 1 1

, 2

2 ) )' ( ) ( ) (

, ,

(   

 (5)

となる。新たに生まれた消費者の状態変数の分布をψ(x)とする。またt = 0における既存の消費 者の状態変数の分布をg₀(x)とする。g(t,x)は時間的に変化し、つぎのコルモゴロフ方程式を満 たす。

= +



 A g t

g * ₍₆₎

^g(t,x)dx=1 (7)

A*はAの共役作用素であり

 

 

= = =

 −

 + 



− 

= ⁿ

i

n

i n

k ik

k i i

i

g x t g x x x

x x t g Z x x b g

A

1 1 1 ,

* 2 ( ( ) ( )') (, )

2 )] 1 , ( ) , , (

[     (8)

37

となる。右辺の第１項はドリフトによる変化に対応し、第２項はボラティリティによる変化、第 ３項は死亡による分布の変化を表している。

　つぎのように集計量を定義する。



= f x g t x dx t

Z_k() _k( ,) (, ) , k=1,k = 1,..., p …,p (9)

これらの集計量は市場均衡式に現れる。

　つぎの３つの条件を満たす関数V(t,x), µ(t,x), g(t,x), Z(t)によって市場均衡を定義する。

(1) Z(t)が与えられたとき、V(t,x)はHJB方程式を満たしµ(t,x)は最適解である。

(2) µ(t,x)とZ(t)が与えられたとき、g(t,x)はコルモゴロフ方程式を満たす。

(3) µ(t,x)とg(t,x)が与えられたとき、Z(t)は市場均衡条件を満たす。

　適当な条件のもとで唯一の解が存在するが、解析的な方法は役に立たない。次善の方法として 数値計算を行って近似解を求める。

2. 最適制御

　なんらかの理由で市場が存在しないか、存在しても不完全であれば、競争均衡は非効率的な資 源配分をもたらす。このような場合、最適資源配分を実現する一つの方法は政府による市場介入 である。通常は税制や社会保障制度を通じて所得の再分配を行うが、ここでは消費を直接制御し て社会的厚生

U^opt = _^{ −}



_



0

) , ( ) , ( ) ,

(t x u x g t x dxdt w

e ^t 

を最大化する方法を探る。平等主義の立場からウエイトはw(t,x) = 1とする。要約すると、計画 当局は(6)と(9)の制約のもとで

) ,

max(

)) , 0 (

(g x tx

J _ U^opt(g(0,x)) (10)

を最大化する。通常の動的計画法では資産などの変数が状態変数となるが、この場合は資産と労 働生産性の確率密度関数が状態変数となる。このため無限次元の最大化問題を解かなければなら ない。この問題に関してつぎの命題が成り立つ。

［命題１］

(10)の問題に解がありe^-ρtµ, e^-ρtg ∈ L²([0,∞) × Rⁿ), e^-ρtZ ∈ L²[0, ∞)であれば J(g(0,x))= ^{j(0,x)g(0,x)dx+ }_ ⁻



_



0

) ( ) ,

(t x x dxdt j

e ^t 

 ^ ₍₁₁₎

となる。ここでj(x,t)はHJB方程式

38

j j

 =^t

 



 + − +

+ 

= p

k k t fk x Zk t Aj

x u x t w

1

)]

( ) , ( )[

( )

, ( ) , (

max   

 ₍₁₂₎

lim ⁻ (, )=0



→ e ^tj t x

t

 ₍₁₃₎

の解である。ラグランジュ乗数λk(t)は



= 





= ⁿ 

i k

i i

k g t x dx

Z b x t j

1 (, )

) (

 ₍₁₄₎

で与えられる。

　Nuno and Moll (2018)を参考にしてこの命題を証明しよう。はじめにいくつかの概念について 説明しておく必要がある。関数解析では



− f dx

e ^t | |²

となる関数の集合をL²(Φ)と表し、二つの関数u, gの内積を u g, _ =ugdx

と定義する。L²(Φ)はヒルベルト空間である³⁾。社会的厚生は 

− wt x u x g t x dxdt = e ^t ( , ) ( ,) ( , )



− wu g e ^t ,

と表される。制約条件のついた計画問題のラグランジュ関数を L(g,₁,..,_m,Z₁,..,Z_p)= +



− wu g e ^t ,



− 



 



 + +



− 

 A g

t e g

j, ^{t *}



= 

− −

+ ^p

k t k k

k e f Z g

1

) (

, ^

 ₍₁₅₎

とする。ここでe^-ρtλk ∈ L²[0, ∞)はラグランジュ乗数である。g, µ1,..., µm, Z₁ ,..., Zpに関するガトー 微分をゼロとおけば、最適解の必要条件が得られる⁴⁾。便宜上、(15)の第２項をつぎのように変 形しておく。



− 



 



 + +



− 

 A g

t e g

j, ^{t * =}^{ − }_^−_ ^{+ + }_^

0

) *

,

( A g dxdt

t x g t j

e ^t 

⁼⁻ ^{−  +}^{ − }_^_^{ − }_^

0

0 (, )

) , ( ) ,

( j t x gdxdt

t e j dx x t g x t j

e ^{t t} 

⁺ ^{ − + − }

0

, )

, ( ) ,

(t x t x dxdt e Aj g j

e ^t  ^t



39



→

−

=

limT ^{e−Tj(T,x)g(T,x)dx+} ^{j(0,x)g(0,x)dx}





−

 − ^{+ }_^_^{ − + }_^

+

0

, )

, ( ) ,

( j Aj g

t e j dxdt x t x t j

e ^t  ^t 

 ^{ }

ただし ただし j,A^*g = Aj,g である。^である。

　Lのgに関するh方向のガトー微分は

 

 ^{ } 

+ 

 +



 =

−

,g h 0

wu

e ^t , =₀



−  +



 



 − +





 j Aj g h 

t e ^t j



− →

Tlim _^_^{e−T j(T,x)(g(T,x)+h(T,x))dx=0}

=  =

− − +

 +  ^p

k e t k fk Zk g h

1 ^ ,( )(  ) _ 0



= e^−twu,h _ +



− 



 



 − +



 j Aj h t

e ^t j  ,



− →

Tlim  

= 

−

− + ^p −

k t k k k

Tj T x hT x dx e f Z h

e

1

) (

, )

, ( ) ,

( ^



となる。ここでg(0,x)は無視してもかまわない。これは任意のh(t,x)に対してゼロとなるので



=

+

− +

 +

=  ^p

k k fk Zk Aj

t wu j j

1

) (



 ₍₁₆₎

lim ⁻ ( , )=0



→ e ^T j T x

T

 ₍₁₇₎

が成り立つ。(16)は計画当局のHJB方程式である。

　µ_jについては

⁻ ( , ₁,.., + ,.., ), _{ =0}





     

 ^{e twu x j h m g}

_{( )} , =₀

 +

− 



 



 − +







+  ^  _{  }

 t ^{j A j g}

e t j h

j

( ( ) ) ₀

1 , , 1,.., ,.., _{ =}

=

 − ^{+ −}



+  ^     _



p

k e t k fk x j h m Zk g ⁽¹⁸⁾ (18)

となる。ここで

40



= = =

+ −



 + 

 + 

= ⁿ

i n

k i k

k i i

m j

n

i i

h j

x x x j x x

Z j h

x b j A _j

1 1

, 2

1 1

)

( 2

) )' ( ) ( ) (

, ,.., ,..,

,

(   







 



である。(18)をゼロとおいてµを求めると





 +  +

= 

= p

k k fk x A j

x wu

1

~

~

~ ( , ) ( , ) ~

max

arg  







 (19)

となる。

　集計量に関するガトー微分は − , ₍^* + ₎  =₀







 

 ^{e t j AZk h g}  ^{− ,( −( + ))  =0}

+  ^  _

 ^{e t k fk Zk h g (20)(20)}

となる。ただし

_  

=

+ +



− 

= ⁿ

i i k p

i h

Z b x Z Z h Z g

g x A _k

1 1

* )

( _ ( ,, ,..,  ,.., )

_  

= =

 −

 + ⁿ 

i n

k ik

k i

g g x x x

1 1 x ,

2 ( ( ) ( )')

2

1   

である。(20)はつぎのように書ける。

 



= =

−







 − +

 



 +



− 





0

1 [ ( , , 1,.., ,.., ) (, )] ()( ) (, ) 0

) ,

( 

    

 b x Z Z h Z g t x t Z h gt x dxdt

x x t j

e ⁿ _{k k}

i i k p

i t

αで微分して極限値を計算すると

   



= =

−











  +



























 + 







 + 





− 

0 1 1

2

2 (, ) (, ) ()

) , ( )

( dx t dt

x g Z x b t x g Z

x b t x g Z x b

t j t h

e ⁿ _k

i

m

j k i

i i

j j k

i i

k

t i  





となる。これは任意のh(t)についてゼロとなるので

  





























 + 







 + 





− 

=

= =

x dx g Z x b t x g Z

x b t x g Z x b

t j

t ⁿ

i

m

j k i

i i

k j k

i i

k k i

1 1

2

2 (, ) (, )

) , ( )

( 

 

部分積分により



= 





= ⁿ 

i k

i i

k g t x dx

Z b x t j

1

) , ( )

(

 ₍₂₁₎

を得る。

　つぎに(16)の両辺にe^-ρt g(t,x)を掛けて積分すると

  

 

=

−

− 



 



 + + − +



= 

0 0 1

)

(f Z Aj gdxdt t wu

e j jgdxdt

e ^p

k k k k

t

t 

 ^{ }

41 ここで

^t dt e ^t

t g j

e ^{ −}

 − =



 

0 ^{ −}^ _^{ −}

0

0 (

| ) , ( ) ,

( e ^t

j t x

t j x t

g ^ g)dt

^{=− +}^{ − −} ^{− }_

0 0

) , 0 ( ) , 0

( dt

t j g e jgdt e

x j x

g ^t ^t

となる。市場均衡条件と、A*はAの共役作用素であることから

 ⁼^{ − +}^{ − }_^−_ ^{+ }_^

0 0

) *

, 0 ( ) , 0

( A g dxdt

t j g e wugdxdt e

dx x j x

g ^{t t}

となる。また(6)から

^{ − }_^−_ ^{+ }_^{ =−} ^

0 0

*g dxdt j(t,x) (x)dxdt

t A j g

e ^t  

以上の結果、社会的厚生は



= − 0

) , ( ) , ( ) , ( ))

, 0 (

(g x e wt x u t x g t x dxdt

J ^t

⁼ ⁺ ^{ −}

0

) , ( ) , ( )

, 0 ( ) , 0

( x g x dx e j t x t x dxdt

j  ^t 

と表される。

　(4)と(12)を比較するとわかるように



=

 =







n

i k

i i

dx x t Z g

b x V

1

0 ) , (

であれば競争均衡は社会的な最適資源配分をもたらす。したがって競争均衡を求めてラグラン ジュ乗数を計算すれば最適状態であるかどうか判定できる。

3. 不完備市場モデルへの応用

3.1 モデル

　命題１は一般的に成り立つ命題であり、一例としてアイヤガリモデルに適用してみよう。消費 者は予算制約のもとで

₀ ^{( )}

0

( ( ))

U E e= ^ ^{− + }tu c t dt ⁽²²⁾

42

を最大化する。ただし効用関数は





= −⁻ ) 1 (c c¹

u ( 1) ₍₂₃₎ とする。予算制約は

dt c r z w a s dt c a r z w

dat =[ t t +(t +) t − t] = ( t, t, t, t, t) (24) である。atは資産でw_tは実質賃金、ztは効率労働、rtは実質利子率である。借入制約

a_t − (0) (25) も満たさなければならない。

　労働供給はつぎの確率過程に従う。

dz_t =(z −z_t)dt+dW_t ^{, (}z₁ z_t z₂) (26) θ > 0 でE[zt] = 1とする。

　代表的企業は資本と労働を用いて財・サービスを生産する。生産関数はY = AK^αL^1-αとする。

完全競争を仮定すると実質賃金と利子率は



 



 



− 

= L

w_t (1 ) K

1

t K

r L



^{  −} 

=    − (27)

となる。

　資産と労働供給の分布はつぎのコルモゴロフ方程式を満たす。

₂ ² ₀

2 ( )

2 ) 1 ) ( ( ) ) , , , , (

(   − +

 + 

 −

− 



− 

 =

 g g

g z z z z

g c r z w a a s t

g ₍₂₈₎

右辺の-ηgは死亡による人口の減少で、は死亡による人口の減少で、₀ =(a)(z−z)は新たに生まれた消費者では新たに生まれた消費者である。

δ(⋅)はディラックのデルタ関数を表す。規格化の条件

 ^{2 =}

1

1 )

, ,

z (

z

dzda z a t g

も満たさなければならない。

　資本市場の均衡条件は

⁼ ²

1

) , , (

z

z

t ag t a z dzda

K (29)

である。