雑誌名 東京都立産業技術高等専門学校研究紀要

球状粒子強化型複合材料の巨視的弾性係数の簡易評 価(FEM解析と等価介在物理論の比較)

著者 稲村 栄次郎

雑誌名 東京都立産業技術高等専門学校研究紀要

巻 12

ページ 20‑25

発行年 2018‑03

URL http://id.nii.ac.jp/1282/00000222/

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球 状 粒 子 強 化 型 複 合 材 料 の 巨 視 的 弾 性 係 数 の 簡 易 評 価

(FEM

解 析 と 等 価 介 在 物 理 論 の 比 較

SimpleEvaluation ofMarosopiElastiModuli of

Spherial Partiles ReinforedComposites

(ComparisonbetweenFEMAnalysisandEquivalent InlusionTheory)

稲 村 栄 次 郎

EijiroInamura

1)

Abstrat:Inthispaper,marosopielastipropertiesofspherialpartilesreinforedompositematerialaresimply

evaluated usingathree-dimensionalanalysisbasedon theniteelement method andomparedwith theoretial

onesbasedontheequivalentinlusiontheory. Inthenumerialanalysis,itisassumedthatpartilesofthesame

sizearearrayedinbody-enteredubi. Thevolumefrationofompositematerialisdetermined bytheradiusof

partile. Aubewithregionsequivalenttotwopartilesistreatedasaunitellandgivenfored-displaementon

itsboundarysurfaes.ThemarosopiYoungmodulusandthemarosopiPoissonratiooftheompositematerial

areobtainedfromreationforesontheboundarysurfaes. Ontheotherhand,themarosopielastiproperties

arealsoalulatedusingtheMori-Tanakatheoryandtheself-onsistent methodwhih arebasedontheEshelby

equivalentinlusiontheory. Asanexample,glasspartile-reinforedepoxy matrixompositesareonsidered. For

elastimoduli, inonsequeneof omparison betweenthe numerialresultsandonesobtained bytheequivalent

inlusiontheory,thenumerialresultsareoinidentwithonesoftheMori-Tanakatheorywhenpartilesareloated

apartfromtheothers. Ontheotherhand,whenpartilesstiktogether,thenumerialresultsapproximatetoones

oftheself-onsistentmethodwithinreasingthevolumetrifrationofpartiles.

K eywords:CompositeMaterial,MaterialDesign,Elastiity,FiniteElementMethod,EquivalentInlusionTheory

１ ．緒 言

  傾 斜 機 能 材 料 は ，異 な る 性 質 の 材 料 の 混 合 比 を 連 続 的 か つ 最 適 に 変 化 さ せ る こ と に よって 設 計 さ れ る 複 合 材 料 で あ り，機 械 の 耐 熱 材 や 医 療 の 素 材 な ど の 広 い 用 途 へ の 適 用 が 期 待 さ れ て い る[1℄．そ の た め ，材 料 設 計 の 際 に は 混 合 比 の 全 範 囲 に わ たって 適 用 で き る 巨 視 的 な 弾 性 係 数 の 簡 便 な 評 価 方 法 が 必 要 で あ る ．そ の 評 価 方 法 に つ い て は 材 料 の 混 合 形 態 に よって 幾 つ か の 混 合 則 が 提 案 さ れ て き た ． 特 に ， 粒 子 状 の 介 在 相 が 母 相 に 分 散 し て い る 粒 子 強 化 型 複 合 材 料 に つ い て は ，そ の 粒 子 形 状 を 考 慮 し た 弾 性 係 数 の 評 価 方 法 が 提 案 さ れ て い る[2–4℄．ま た ，非 均 質 材 料 に お け る 微 視 的 構 造 の 解 析 か ら 巨 視 的 応 答 を 得 る 均 質 化 法 も 研 究 さ れ て い る[5,6℄．さ ら に ，分 子 動 力 学 法 に よ る 解 析 モ デ ル か ら 巨 視 的 な 弾 性 係 数 が 算 出 さ れ て い る[7℄．い ず れ の 方 法 も ，混 合 比 の 使 用 範 囲 が 限 ら れ た り，取 り 扱 い が 複 雑 で あった り す る な ど ，弾 性 係 数 が 容 易 に 得 に く い ．

そ こ で 本 研 究 で は ，球 状 粒 子 を 含 む 粒 子 強 化 型 複 合 材 料 の 三 次 元 解 析 モ デ ル を 作 成 し ，有 限 要 素 法 に よ る 数 値 計 算 を 行って ，混 合 比 の 全 範 囲 に わ た る 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数 を 簡 易 評 価 し た ．粒 子 は 体 心 立 方 格 子 状 に 配 置 し て い る と 仮 定 し ， そ の 一 部 か ら ユ ニット セ ル を 作 成 し た ．

1)東 京 都 立 産 業 技 術 高 等 専 門 学 校も の づ く り 工 学 科 ，機 械 シ ス テ ム 工 学 コ ー ス

そ の ユ ニット セ ル に 含 ま れ る 粒 子 径 を 変 え る こ と に よって 粒 子 の 占 め る 割 合 を 変 化 さ せ た ．ユ ニット セ ル を 四 面 体 要 素 に メッシュ分 割 し ，周 囲 の 境 界 条 件 と し て 強 制 変 位 を 与 え る こ と に よって 生 じ る 反 力 か ら 縦 弾 性 係 数 と ポ ア ソ ン 比 を 求 め た ．ま た ，Eshelbyの 等 価 介 在 物 理 論[8℄に 基 づ くMori-Tanakaの 平 均 場 理 論[9℄お よ びSelf-onsistent

法[10℄を 用 い て 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数を 求 めた ．計 算 例 と し て 、エ ポ キ シ と ガ ラ ス か ら な る 二 相 複 合 材 料 を 取 り 扱 い ，そ れ ら の 混 合 比 に よって 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数 が ど の よ う に 変 化 す る か を 調 べ た ． 有 限 要 素 法 で 得 ら れ た 結 果 とEshelbyの 等 価 介 在 物 理 論 に 基 づ く 理 論 解 と 比 較 を 行 い ，そ の 差 異 つ い て 検 討 し た ．

２ ．有 限 要 素 法 解 析

  本 研 究 に お い て ，粒 子 強 化 型 複 合 材 料 に 含 ま れ る 球 状 粒

子は同一直径であり，体心立方格子状に配置されていると仮

定する．図1(a)に示すように，複合材料内に直交座標系xyz を 設 け，そ の 一 部 で あ る 立 方 体 に 注 目 す る ．こ の 立 方 体 に 対 し て ，x^{軸 お よ び}z軸 に 垂 直 な 四 つ 面 ，y軸 に 垂 直 な 一 つ

の面の変位を拘束し，y軸に垂直なもう一つの面に強制変位

uyを与える．さらに，問題の対称性から図1(a)の破線で示

(a) ux=0

ux=0

uy=0 uz=0 uz=0 uy

(b) uy/2 uz=0

ux=0

uz=0 ux=0

1 1

1

uy=0 x y z

x y z

図1 有 限 要 素 法 解 析 モ デ ル

す 立 方 体 の8分 の1の 部 分 に モ デ ル を 縮 小 す る こ と が で き る ．こ の モ デ ル を 図1(b)に 示 す 一 辺 の 長 さ が1で あ る ユ ニット セ ル と し て 扱 う．そ し て ，強 制 変 位uy/2^に1×10⁻⁴ を 与 え る ．こ の ユ ニット セ ル に 対 し 有 限 要 素 法 を 適 用 し 弾 性 応 力 解 析 を 行 う．三 次 元 ソ リッド 要 素 と し て 四 節 点 四 面 体 要 素 を 用 い て メッシュ分 割 を 行 い ，そ れ ら 要 素 の 体 積 か ら ユ ニット セ ル に 対 す る 粒 子 の 体 積 分 率f^{を 求 め る ．}

ユ ニット セ ル 内 に 生 じ る 垂 直 応 力 のx^，y^，z^{方 向 成 分 の} 平 均 をσx，σy，σz で 表 す．同 様 に ，ユ ニット セ ル 内 に 生 じ る 垂 直 ひ ず み のx^，y^，z方 向 成 分 の 平 均 をεx，εy，εz

で 表 す．そ し て ，応 力 解 析 に よ り 得 ら れ たy軸 に 垂 直 な 面 に 作 用 す るy軸 方 向 の 反 力 の 総 和 をσyに 等 し い と 考 え る ． σxお よ びσzに つ い て も 同 様 に 扱 う．な お ，問 題 の 対 称 性

か らσxとσzは 等 し い ．ま た ，y軸 に 垂 直 な 一 つ の 面 に 与 え た 強 制 変 位uy/2^をεyに 等 し い と 考 え る ．一 方 ，εxお よ びεzは 拘 束 さ れ て い る た め ，εx=εz= 0^{で あ る ．}

複 合 材 料 全 体 が 等 方 性 で あ る と 仮 定 し ，巨 視 的 な 縦 弾 性 係 数 お よ び ポ ア ソ ン 比 を そ れ ぞ れE¯^{お よ び}¯ν^{で 表 す と ，}

Hookeの 法 則 よ り 次 の 関 係 式 が 成 り 立 つ ． σx= E¯

(1 + ¯ν)(1−2¯ν){(1−ν)ε¯ x+ ¯ν(εy+εy)} ⁽¹⁾ σy= E¯

(1 + ¯ν)(1−2¯ν){(1−ν)ε¯ y+ ¯ν(εz+εx)} ⁽²⁾ σz= E¯

(1 + ¯ν)(1−2¯ν){(1−ν)ε¯ z+ ¯ν(εx+εy)} ⁽³⁾

そ し て ，E¯^{お よ び}ν¯^はεx=εz= 0^{の 条 件 か ら}σx，σy，εy

を 用 い て 次 の よ う に 求 め ら れ る[7℄． E¯=(σy−σx)(2σx+σy)

(σx+σy)εy

(4)

¯ ν= σx

σx+σy

(5)

有 限 要 素 解 析 に お い て ，メッシュ分 割 に 三 次 元 有 限 要 素 メッシュ生 成 ソ フ トgmsh1.56.2[11℄，応 力 解 析 に は 設 計

PSfragreplaements

σ_ij⁰ σ_ij⁰

σ⁰_ij σ_ij⁰

ε⁰_ij σ^m_ij

ε^m_ij

σ^p_ij σ_ij^p

ε^p_ij ε^p_ij

ε^p_ij^∗

(a) (b)

図2 等 価 材 料 モ デ ル

用 大 規 模 計 算 力 学 シ ス テ ムADVENTURE[12℄を 用 い た ． 計 算 条 件 に よって 異 な る が ，節 点 は 約3万 点 ，要 素 は 約16

万 個 で あ る ．

３ ．等 価 介 在 物 理 論

  図2(a)に 示 す よ う な 母 相 の 中 に 球 状 粒 子 が 分 散 し て い る 複 合 材 料 を 考 え る ． 本 節 で は ， 指 標 表 示 を 用 い て 応 力 や ひ ず み の 成 分 を 示 す．母 相 お よ び 粒 子 の 体 積 弾 性 係 数 を κ^m,κ^pで 表 す．同 様 に ，せ ん 断 弾 性 係 数 をµ^m,µ^{p,ポ ア ソ}

ン 比 をν^m,ν^pで 表 す．複 合 材 料 の 境 界 に は 一 様 に 応 力σij⁰

が 生 じ て い る も の と す る ．一 方 ，図2(b)に 示 す よ う に ，図

2(a)の 複 合 材 料 と 同 一 の 形 状 を も ち ，全 体 が 一 様 な あ る 等 方 性 の 等 価 材 料 を 考 え ，そ の 体 積 弾 性 係 数,せ ん 断 弾 性 係 数 お よ び ポ ア ソ ン 比 を そ れ ぞ れκ^0,µ^0,ν^{0で 表 す．図2(a)} の 複 合 材 料 と 同 様 に 境 界 に は 応 力σ⁰ijが 作 用 し て い る も の と す る と ，等 価 材 料 内 の 平 均 応 力 はσij⁰ で あ り，平 均 ひ ず みε⁰ijが 生 ず る と 考 え る ．こ の と き ，応 力 と ひ ず み の 関 係 にHookeの 法 則 が 成 立 す る と ，

σ_ij⁰ =κ⁰δijε⁰_kk+ 2µ⁰ε⁰_ij^{′ (6)}

た だ し ，ε⁰_ij^{′は ひ ず み}ε⁰_ijの 偏 差 成 分 を 表 し ，δijは ク ロ ネッ カ の デ ル タ で あ る ．

粒 子 内 の 平 均 応 力 をσ_ij^p，平 均 ひ ず み をε^p_ij^{と す る ．ま} た ，ε^p_ij^とε⁰ijの 差 異 をε˜^p_ijで 表 す．こ こ で ，Eshelbyの 等 価 介 在 物 理 論[8℄に よ りσ_ij^p は 次 式 の よ う に 表 す こ と が で き る ．

σ_ij^p =κ^pδij(ε⁰kk+ ˜ε^p_kk) + 2µ^p(ε⁰ij^′+ ˜ε^p_ij^′) ⁽⁷⁾

=κ⁰δij(ε⁰kk+ ˜ε^p_kk−ε^p_kk^∗) + 2µ⁰(ε^′ij⁰+ ˜ε^p_ij^′−ε^p_ij^∗′)

(8)

ε^p_ij^∗は 粒 子 内 の 固 有 ひ ず み で ， 弾 性 的 な 不 均 質 性 を 考 慮 す

る た め の も の で あ る ．そ こ で ，˜ε^p_ij^はε^p_ij^∗を 用 い て 次 式 で 表 す こ と が で き る ．

˜ ε^p_ij=1

3αδijε^p_kk^∗+βε^p_ij^{∗′ (9)} た だ し,球 状 粒 子 の 場 合 ，α^{お よ び}βは 次 式 で 与 え ら れ る ．

α= 1 +ν⁰)

3(1−ν⁰), β=2(4−5ν⁰)

15(1−ν⁰) ⁽¹⁰⁾

式(9)を 式(8)に 代 入 す る と 次 式 が 得 ら れ る ．

σ^p_ij=κ⁰δij

ε⁰kk+ (α−1)ε^p_kk^∗ + 2µ⁰

ε^′ij⁰+ (β−1)ε^p_ij^{∗′ (11)}

ま た ，式(9)を 式(7)に 代 入 し た 式 と 式(11)か ら ，ε^p_ij^∗は 次 式 と な る ．

ε^p_ij^∗=− κ^p−κ⁰

3{κ⁰+α(κ^p−κ⁰)}δijε⁰kk

− µ^p−µ⁰

µ⁰+β(µ^p−µ⁰)ε⁰_ij^{′ (12)}

粒 子 の 体 積 分 率 をfで 表 し ，複 合 材 料 の 平 均 応 力¯σijお よ び 平 均 ひ ず み¯εijを ，母 相 お よ び 粒 子 の 応 力 お よ び ひ ず み の 線 形 混 合 則 で 表 す．

{¯σij, ε¯ij}= (1−f){σij^m, ε^mij}+f{σ_ij^p, ε^p_ij} ⁽¹³⁾

ま た ，複 合 材 料 の 巨 視 的 体 積 弾 性 係 数 お よ び 巨 視 的 せ ん 断 弾 性 係 数 を そ れ ぞ れκ¯^{お よ び}µ¯^{で 表 す．}

Mori-Tanakaの 平 均 場 理 論[9℄に 基 づ き ，等 価 材 料 の 弾 性 係 数κ^0，µ⁰と し て 複 合 材 料 の 母 相 の 弾 性 係 数κ^m，µ^m， 等 価 材 料 の 平 均 ひ ず みε⁰ijと し て 複 合 材 料 の 母 相 の 平 均 ひ ずみをε^mijをとる，すなわち，κ⁰=κ^m，µ⁰=µ^m，ε⁰ij=ε^mij

と す れ ば ，κ¯^{お よ び}µ¯^{は ，式(7)}∼⁽¹³⁾か ら 次 式 と し て 得 ら れ る ．

¯

κ=κ^mκ^m+{f+ (1−f)α}(κ^p−κ^m)

κ^m+ (1−f)α(κ^p−κ^m) ⁽¹⁴⁾

¯

µ=µ^mµ^m+{f+ (1−f)β}(µ^p−µ^m)

µ^m+ (1−f)β(µ^p−µ^m) ⁽¹⁵⁾

ま た ，Self-onsistent法[10℄を 用 い ，等 価 材 料 の 弾 性 係 数κ^0，µ⁰と し て 複 合 材 料 の 巨 視 的 弾 性 係 数κ¯^，µ¯^{，等 価} 材 料 の 平 均 ひ ず みε⁰ijと し て 複 合 材 料 の 母 相 の 平 均 ひ ず み をε¯ijを と る ，す な わ ち ，κ⁰ = ¯κ^，µ⁰ = ¯µ^，ε⁰ij = ¯εijと す れ ば ，κ¯^{お よ び}µ¯^{は ，式(7)}∼⁽¹³⁾か ら 次 式 と し て 得 ら れ る ．

¯

κ=κ^m−f (κ^m−κ^p)¯κ

¯

κ+α(κ^p−κ)¯ ⁽¹⁶⁾

¯

µ=µ^m−f (µ^m−µ^p)¯µ

¯

µ+β(µ^p−µ)¯ ⁽¹⁷⁾

得 ら れ たκ¯^,µ¯よ り 複 合 材 料 の 巨 視 的 縦 弾 性 係 数E¯^{お よ} び 巨 視 的 ポ ア ソ ン 比¯νは ，均 質 材 料 の 弾 性 係 数 間 の 関 係 よ り 次 式 で 求 め ら れ る ．

E¯=µ(9¯¯ κ−µ)¯

3¯κ+ ¯µ ⁽¹⁸⁾

¯ ν=1

2 3¯κ−2¯µ

3¯κ+ ¯µ ⁽¹⁹⁾

４ ．数 値 解 析 例

  計 算 例 と し て ，エ ポ キ シ と ガ ラ ス か ら な る2相 複 合 材 料 を 取 り 扱った ．そ れ ぞ れ の 縦 弾 性 係 数Eお よ び ポ ア ソ ン 比ν，あ る い は 体 積 弾 性 係 数κお よ び せ ん 断 弾 性 係 数µ

表1 ガ ラ ス と エ ポ キ シ の 材 料 特 性 E^GPa ν κ^GPa µ^GPa

Glass 72.4 0.20 40.2 30.2

Epoxy 2.76 0.35 3.07 1.02

Glass/Epoxy 26.2 0.57 13.1 29.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

r

f

FEM

π

PSfragreplaements

   図3 粒 子 の 半 径r^{と 体 積 分 率}f^{の 関 係}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30

PSfragreplaements

f

¯E/E

m

FEM

Self-onsistent[10℄

Mori-Tanaka[9℄

図4 複 合 材 料 の 巨 視 的 縦 弾 性 係 数E¯^{と 粒 子 の 体} 積 分 率f^{の 関 係}

は 表1に 示 す 通 り で あ る[10℄．ま た ，表 中 に は エ ポ キ シ に 対 す る ガ ラ ス の 比 を 示 し た ．こ こ で は ，エ ポ キ シ を 母 相 ， ガ ラ ス を 粒 子 と し て 扱った ．

球 状 粒 子 の 半 径r^{と 体 積 分 率}f^{の 関 係 を 図3に 示 す．白}

抜きの丸印はメッシュ分割した後，粒子に相当する要素の体

積 を 総 和 し た 値 で あ る ．実 線 は 球 の4分 の1の 体 積πr²/3 を 示 す 線 で あ る ． 粒 子 は 破 線 で 示 し たr =√

3/2 = 0.866

の と き に 隣 り の 粒 子 と お 互 い に 接 触 し 合 う．こ の と き の 体 積 分 率 はf=√

3π/8 = 0.680^{で あ る ．}r >0.866⁽√ 3/2^)で

は 球 の 重 なった 部 分 を 削 除 し 粒 子 が 結 合 し た も の と し て 扱 う．そ し てr=√

5/2 = 1.12^{(一 点 鎖 線)}の と き 完 全 に 粒 子

の み 状 態 と な る ．0≤r≤0.866⁽√

3/2⁾で は ，要 素 の 体 積

か ら 求 め た 値 と 破 線 は よ く 一 致 し て お り， 十 分 に メッシュ 分 割 さ れ て い る ．

有 限 要 素 解 析 お よ び 等 価 介 在 物 理 論 よ り 得 ら れ た 粒 子 の 体 積 分 率fに 対 す る 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 縦 弾 性 係 数 ，ポ ア ソ ン 比 ，体 積 弾 性 係 数 ，せ ん 断 弾 性 係 数 を そ れ ぞ れ 図4，

5，6，7に 示 す．縦 軸 は そ れ ぞ れ エ ポ キ シ の 値 で 除 し た も の で あ る ．白 抜 き の 丸 印 は 有 限 要 素 法 解 析 か ら 得 ら れ た 結 果 で あ る ．破 線 お よ び 実 線 は そ れ ぞ れMori-Tanakaの

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfragreplaements

f

¯ν/ν

m

FEM

Self-onsistent[10℄

Mori-Tanaka[9℄

図5 複 合 材 料 の 巨 視 的 ポ ア ソ ン 比¯ν^{と 粒 子 の 体} 積 分 率f^{の 関 係}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15

PSfragreplaements

f

¯κ/κ

m

FEM

Self-onsistent[10℄

Mori-Tanaka[9℄

図6 複 合 材 料 の 巨 視 的 体 積 弾 性 係 数¯κ^{と 粒 子 の} 体 積 分 率f^{の 関 係}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30

PSfragreplaements

f

¯µ/µ

m

FEM

Self-onsistent[10℄

Mori-Tanaka[9℄

図7 複 合 材 料 の 巨 視 的 せ ん 断 弾 性 係 数µ¯^{と 粒 子} の 体 積 分 率f^{の 関 係}

理 論 お よ びSelf-onsistent法 に よ る 結 果 で あ る ．先 に 述 べ た よ う に 破 線 で 示 し たf= 0.680⁽√

3π/8⁾は 粒 子 が 接 触

す る 場 合 の 粒 子 の 体 積 分 率 で あ る ．

有 限 要 素 法 解 析 お よ びMori-Tanakaの 理 論 に よ る 結 果 は ，粒 子 が 接 触 す る ま で 体 積 分 率 の 増 加 に 伴 い 緩 や か に 増 加 し て お り，両 者 と も 値 が ほ ぼ 一 致 す る ．Self-onsistent

法 に よ る 結 果 は ，f= 0.2程 度 ま で は 他 の 結 果 と 近 い 値 を 示 す が ，fが 増 加 す る に し た がって 差 異 が 徐々に 大 き く な り，f = 0.4を 超 え る と 急 に 大 き く な る ．Self-onsistent

法 は 他 の 方 法 と 比 べ て 粒 子 の 影 響 を 過 大 に 評 価 す る ． 粒子が接合している場合f≧0.680⁽√

3π/8^{)，体積分率の}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1 2 3 4 5

PSfragreplaements

f

Differenefor¯κ/κ

m

FEM

Self-onsistent[10℄

FEM

図8 複 合 材 料 の 巨 視 的 体 積 弾 性 係 数κ¯^{に 関 す る}

Mori-Tanakaの 理 論 と の 差 異

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15

PSfragreplaements

f

Differenefor¯µ/µ

m

FEM

Self-onsistent[10℄

FEM

図9 複 合 材 料 の 巨 視 的 せ ん 断 弾 性 係 数µ¯^{に 関 す} るMori-Tanakaの 理 論 と の 差 異

増 加 に 伴 い ，有 限 要 素 法 解 析 に よ る 結 果 は ，Mori-Tanaka

の 理 論 に よ る 結 果 か ら 一 度 離 れ ，Self-onsistent法 に よ る 結 果 に 漸 近 す る ．こ の と き ，巨 視 的 な ポ ア ソ ン 比¯ν^{は ，ガ} ラ ス の ポ ア ソ ン 比 よ り 小 さ い 値 を と る 場 合 が あ る ．

Mori-Tanakaの 理 論 と の 差 異 を 明 確 に す る た め ，複 合 材 料 の 巨 視 的 体 積 弾 性 係 数¯κお よ び 巨 視 的 せ ん 断 弾 性 係 数

¯

µに関して，有限要素法解析とMori-Tanakaの理論による

結 果 の 差 異 ，Self-onsistent法 とMori-Tanakaの 理 論 に よ る 結 果 の 差 異 を 図8，9に 示 す． 複 合 材 料 の 巨 視 的 体 積 弾 性 係 数¯κに 関 し て ，有 限 要 素 法 解 析 の 差 異 が 明 ら か な 場 合 はf >0.58で あ り，粒 子 が 接 触 す る 体 積 分 率f= 0.680

(

√3π/8⁾よ り や や 小 さ い 値 か ら で あ る ．そ の 最 大 差 異 は

Self-onsistent法 の60%で あ る ．そ れ に 対 し ，複 合 材 料 の 巨 視 的 せ ん 断 弾 性 係 数µ¯に 関 し て 有 限 要 素 法 解 析 の 差 異 が 明 ら か な 場 合 はf >0.62^{で あ り，}κ¯の 場 合 よ り も や や 大 き い 値 か ら で あ る ．そ の 最 大 差 異 はSelf-onsistent法 の 約80%で あ る ．

結 局 ，粒 子 が 接 合 し た 状 態 で は ，そ の 影 響 が 考 慮 さ れ て い な い 等 価 介 在 物 法 の 結 果 と 有 限 要 素 法 解 析 の 結 果 の 差 異 は 無 視 で き な い が ，粒 子 が 接 合 せ ず に 非 常 に 接 近 し た 状 態 ま で は ，Mori-Tanakaの 理 論 で 十 分 近 似 で き る と 考 え ら れ る ．

図10か ら 図13に は ，相 当 応 力 の 分 布 を コ ン タ ー 図 で 示 し た も の で あ る ．左 端 の モ デ ル 図 に は 視 点 を 矢 印 で 表

図10 r= 0.40^,f= 0.069の 場 合 の 相 当 応 力 分 布

し て お り，図Aは ，x^{軸 に 垂 直 で}x軸 の 正 を 向 い た 面 の コ ン タ ー 図 で あ る ．図Bは ，y^{軸 に 垂 直 で}y軸 の 正 を 向 い た 面 の コ ン タ ー 図 で あ る ．図Cは ，z^{軸 お よ び}y^{軸 に 対 し て} 傾 斜 し た 面 の コ ン タ ー 図 で あ る ．各 コ ン タ ー 図 の 下 に は ， コ ン タ ー バ ー を 示 し て お り 数 値 の 単 位 はMPaで 相 当 応 力 の 最 小 値 か ら 最 小 値 ま で を 範 囲 と す る ． 要 素 内 の 相 当 応 力 は 一 定 値 で 示 し て い る ．

図10はr= 0.40^,f= 0.069の 場 合 で ，粒 子 同 士 が 離 れ て い る 状 態 で あ る ．粒 子 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ

0.412MPaお よ び0.483MPaで あ る ．ま た 母 相 内 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ0.0533MPaお よ び0.440MPa

で あ る ．粒 子 内 で 応 力 が 最 も 高 く，ほ ぼ 一 様 に 分 布 し て い る こ と が わ か る ．母 相 内 で は 図Aに お い て 粒 子 下 部 の 部 分 の 相 当 応 力 が 大 き い ．ま た ，粒 子 左 側 の 隣 接 し て い る 部 分 の 相 当 応 力 が 小 さ い ．y軸 に 垂 直 な 断 面 を 考 え る と ，そ の 断 面 に 粒 子 が 存 在 す る 場 合 は ， 縦 弾 性 係 数 が 大 き い 粒 子 の 相 当 応 力 が 大 き い ．一 方 ，粒 子 が 存 在 し な い 場 合 は ， y軸 方 向 に 粒 子 が 位 置 す る 母 相 で 相 当 応 力 が 大 き い ．

図11はr= 0.866^,f = 0.680の 場 合 で ，粒 子 同 士 が 接 触 し た 状 態 で あ る ．粒 子 内 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ0.893MPaお よ び24.2MPaで あ る ．ま た 母 相 内 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ0.0430MPaお よ び18.8MPa

で あ る ．図Cに お い て ，粒 子 同 士 が 接 触 し た 付 近 の 相 当 応 力 が 局 所 的 に 著 し く 大 き く な る ．そ の た め ，他 の 粒 子 お よ び 母 相 の 部 分 の 相 当 応 力 が 低 く 表 示 さ れ ，図Aお よ び

Bに お い て は ，見 か け 上 相 当 応 力 の 変 化 は 小 さ い ．若 干 ， 図Bの 中 央 の 粒 子 の 部 分 の 相 当 応 力 が 大 き い ．

図12はr= 0.98^,f= 0.913の 場 合 で ，ポ ア ソ ン 比 が 最 も 小 さ い 場 合 で あ る ． 粒 子 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ1.33MPaお よ び19.5MPaで あ る ．ま た 母 相 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ0.0986MPaお よ び3.50MPa

図11 r= 0.866^,f= 0.680^{の場合の相当応力分布}

図12 r= 0.98^,f= 0.913の 場 合 の 相 当 応 力 分 布

で あ る ．図Cに お い て ，粒 子 同 士 が 接 続 し ，粒 子 が く び れ た 部 分 か らy軸 方 向 の 部 分 の 相 当 応 力 が 局 所 的 に 著 し く 大 き く な る ．ま た 粒 子 内 に お い て も 相 当 応 力 の 変 化 が み ら れ ，粒 子 が く び れ た 部 分 に 比 較 的 大 き な 相 当 応 力 が 生 じ る ．図Bで は ，面 中 心 に あ る 粒 子 と 母 相 の 境 界 付 近 で ， 粒 子 内 の 相 当 応 力 が 大 き い ．一 方 ，母 相 に 生 じ る 相 当 応 力 は 小 さ い が ，そ の 最 小 値0.0986MPaは ，図10お よ び11

に 示 し た 最 小 値0.0533MPa,0.0430MPaよ り 大 き い ． 最 後 に ，図13はr = 1.00^,f = 0.943の 場 合 で ，粒 子 の 半 径 と ユ ニット セ ル の 辺 の 長 さ が 一 致 す る 場 合 で あ る ． 粒 子 の 最 小 値 お よ び 最 大 値 は そ れ ぞ れ1.07MPaお よ び

18.4MPaである．また母相の最小値および最大値はそれぞ れ0.118MPaお よ び8.44MPaで あ る ．図12のr= 0.98^,

xz y C

図13 r= 1.00^,f= 0.943の 場 合 の 相 当 応 力 分 布

f= 0.913の 場 合 と 同 様 に ，粒 子 同 士 が 接 続 し ，粒 子 が く

び れ た 部 分 か らy軸 方 向 の 部 分 の 相 当 応 力 が 局 所 的 に 大 き い ．図Bに お い て も ，面 中 心 の 粒 子 と 母 相 の 境 界 付 近 で 相 当 応 力 が 大 き い ．加 え て ，y軸 に 垂 直 な 境 界 面 と 接 し て い る 部 分 で あ る 図Aの 右 下 付 近 ，図Cの 左 上 お よ び 右 下 付 近 の 相 当 応 力 が 大 き い ．母 相 内 に 生 じ る 相 当 応 力 は 小 さ く，最 小 値0.118MPaは 示 し た 図 の 中 で 最 も 大 き い ．

４ ．結   言

  本 研 究 で は ，球 状 粒 子 を 含 む 粒 子 強 化 型 複 合 材 料 の 三 次 元 解 析 モ デ ル を 作 成 し ，有 限 要 素 法 に よ る 数 値 計 算 を 行っ て ，混 合 比 の 全 範 囲 に わ た る 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数 を 簡 易 評 価 し た ．粒 子 は 体 心 立 方 格 子 状 に 配 置 し た ユ ニッ ト セ ル を 作 成 し ，そ の 周 囲 境 界 条 件 に 強 制 変 位 を 与 え た と き に 生 じ る 反 力 か ら 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 縦 弾 性 係 数 お よ び ポ ア ソ ン 比 を 求 め た ．ま た ，Eshelbyの 等 価 介 在 物 理 論 基 づ くMori-Tanakaの 平 均 場 混 合 則 お よ びSelf-onsistent

法 に よ る 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数 の 理 論 式 を 示 し た ． 計 算 例 と し て 、エ ポ キ シ と ガ ラ ス か ら な る 二 相 複 合 材 料 を 取 り 扱 い ，そ れ ら の 混 合 比 を 全 範 囲 に わ たって 変 化 さ せ た 場 合 に つ い て 複 合 材 料 の 巨 視 的 な 弾 性 係 数 が ど の よ う に 変 化 す る か を 調 べ ，有 限 要 素 法 に よ る 結 果 とMori- Tanakaの 平 均 場 混 合 則 お よ びSelf-onsistent法 に よ る 結 果 を 比 較 し た ． そ の 結 果 ，粒 子 が あ る 程 度 接 近 す る ま で は ，有 限 要 素 法 とMori-Tanakaの 理 論 の 結 果 が ほ ぼ 一 致 す る ．ま た ，粒 子 内 の 相 当 応 力 が ほ ぼ 一 定 で あ る ．一 方 ，粒 子 が 非 常 に 接 近 し た 状 態 お よ び 接 合 し た 状 態 で は ， 有 限 要 素 法 解 析 に よ る 結 果 はMori-Tanakaの 平 均 場 混 合 則 とSelf-onsistent法 の 中 間 の 値 を と り，特 に ，縦 弾 性 係 数 と せ ん 断 弾 性 係 数 は 粒 子 の 体 積 分 率 の 増 加 に 伴って

Self-onsistent法 の 結 果 に 漸 近 す る ．た だ し ，ポ ア ソ ン 比

は 粒 子 あ る い は 母 相 よ り 小 さ く な る 場 合 が あ る ．ま た ，粒 子 内 の 相 当 応 力 が 一 定 で な い ．

参 考 文 献

[1℄ 未 踏 科 技 術 協 会 ・傾 斜 機 能 材 料 研 究 会:傾 斜 機 能 材 料,工 業 調 査 会,1993

[2℄ T.Mura:MiromehanisofDefetsinSolids,Se-

ond,revisededition,MartinusNijhoff,1987

[3℄ 呉 亜 東,中 垣 通 彦:微 視 的 特 性 を 考 慮 し た 粒 子 分 散 型 複 合 材 の 弾 塑 性 構 成 則 モ デ ル,日 本 機 械 学 会 論 文 集

(A編),64–620,pp.1035–1042,1998

[4℄ 稲 村 栄 次 郎:等 価 介 在 物 法 に 基 づ く 粒 子 分 散 型 複 合 材 料 の 弾 性 係 数 の 評 価,都 立 工 業 高 等 専 門 学 校 研 究 報 告,39,pp.7–12,2003

[5℄ D.CioranesuandP.Donato: AnIntrodutionto

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matisandItsAppliations,17,OxfordUniversity

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[6℄ 寺 田 賢 二 郎 ，菊 池 昇:日 本 機 械 学 会 編:均 質 化 法 入 門,丸 善,2003

[7℄ 牧 野 正 樹 ，辻 知 章 ，野 田 直 剛:原 子 レ ベ ル の 傾 斜 機 能 材 料 の 分 子 動 力 学 シ ミュレ ー ション（ 材 料 組 成 を 銅 か ら ニッケ ル へ 線 形 に 変 化 さ せ た 傾 斜 機 能 材 料 ）,日 本 機 械 学 会 論 文 集(A編),65–631,pp.567–574，1999 [8℄ J.D.Eshebly: TheDetermination ofthe Elasti

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[9℄ T.MuraandP.C.ChengThe:ElastiFieldOutside

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[12℄ S.Yoshimura,R.Shioyab,H.Noguhietal.:Ad-

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pp.279–296,2002