石 田 正 弘 *

長崎大学工学部研究報告第18号 昭和57年1月

振動流中における壁面摩擦と局所的熱伝達に 及ぼす圧力勾配の影響

9 

石 田 正 弘 *

Influence of  Pressure Gradient 011 Wall Friction  and Local Heat Transfer in  Oscillatory Flow 

by 

Masahiro ISHIDA 

(Mechanical Engineering) 

In this  paper， the behavior of oscillating  laminar boundary layer  over  a flat  plate  with  an  unheated . starting  length  is  analysed  theoretically， and  the  influence  of  pressure gradient on the frequency characteristics of wall friction and heat transfer  is  clarified  in  the case  of Howarth type main flow. In addition， by applying the theory  obtained  in  the  case  of  unsteady laminar boundary layer to  the viscous sublayer in  an  turbulent  boundary  layer， the  phasic  relation  between  wal1  friction  and  heat  transfer  in  a turbulent flow is  made clear. 

As a result， the following conclusions are obtained; 

(1)  The  influence  of  pressure  gradient  on  frequency  characteristics  of  wall  friction and heat transfer is  significant in  low  and intermediate frequency regions，  but it  is  litt1e in  high frequency region. 

(2)  The inf1uence  of  pressure gradient is  more significant  in a decelerating flow  than in  an accelerating f1ow. 

(3)  The phase lag between wal1 friction and  heat transfer  becomes  zero  as  the  unheated starting length parameter K becomes smaller than 0.02. 

1.  まえがき

流れの中にある物体あるいは流路の壁面に働く摩擦 力を計測したい場合がしばしばある.例えばターボ機 械のケーシング内面に働く流体摩擦の計測は，ターボ 機械における損失や流れの機構を知る上で重要である.

壁面上の流れは一般に三次元的であり，上記のような 流れの場は圧力勾配が存在し，かっ流れの方向および 昭和田年9月4日受理

*機械工学第二学科

大きさが時間的にも変動する.変動する流れ場の壁面 摩擦を計測する方法としては熱フィノレム法が適当と考 えられるので， その応答性について著者ら1)は圧力勾 配がない特別の場合の壁面摩擦および熱伝達の周波数 特性を理論的に調べた.一般の流れは上述のように圧 力勾配がある流れが多いから，圧力勾配が非定常層流 境界層の挙動に及ぼす影響ならびに熱フィノレムの非定

10 振動流申における壁面摩i擦と局所的熱伝達に及ぼす圧力勾配の影響

常熱伝達に及ぼす影響を明らかにすることが必要であ

る．

 本報告では主流の平均速度がHowarth形2）の速度 変化をする場合について，振動流中におかれた平板上 の層流境界層の挙動を解析し，壁面摩擦ならびに非加 熱助走区間がある場合の熱伝達の周波数特性に及ぼす 圧力勾配の影響を理論的に明らかにすると共に，層流 理論を拡張適用して非定常乱流境界層における壁面摩 擦と熱伝達の位相関係を検討している．

2。基礎式

 熱フィルムフ。ローブの装着状態を模型化し，Fig．1 に示すように前縁から距離κoの所に長さ1の伝熱面 を有する平板が二次元非圧縮の振動一中におかれた場 合を考える．ここで流れは層流であり，主流速度σ は正弦的に振動しその平均速度はHowarth形とする．

 u

→→

→

Y    VEL㏄lw BouNDARY

ｵT・黙B・L

RX

㌔＿1卿L

Fig．1 Analyt孟cal model and co−ordinate system

  σ・rσo（1一κ＊）＋εσoε乞・ ，

但し，σo一一定，κ＊一ακ／σo，ε《1

（1）

平板に沿う境界層内の連続の式，κ方向の運動方程式 ならびにエネルギ式は次式で与えられる．

  ∂π／∂κ＋∂り／∂y＝0

      ∂σ       ∂2π       ∂σ

      ∂π       ∂π

  ∂麗  万＋π一転＋・万髄＝一期＋σπ＋・研

∂T   ∂T   ∂T    ∂2丁

読一＋ 『砺＋の函一＝κ一凝

（2）

（3）

（4）

；境界条件は，y＝0で麗＝u＝0， T＝Tω（κo≦κ≦κo十1），

T＝T。。（0≦κ≦κo，κ≧κo十1），ツコ。○では麗＝σ，

T＝T。。である．本解析はε《1の場合を取扱うので，

境界層内の速度や温度も次に示すような形の流れ関数 ザおよび無次元温度θ＝（T−T。。）／（Tω一丁。。）を用 いる．

  Ψ＝》σoレκ  Σ】κ＊ηL｛∫ηL（η）＋εθfω φη↓（ξ， η）｝  （5）

        皿

  θ＝θo（η7）一トεθ②ω θ（ξ7， η7）      （6）

ただし，ηコy》σ0／りん，ξ＝勧κ／σ0，η7＝y＋（Pγ／9κ＋）％，

妊一（ゴωκ＋ρ・／τ。）（細）恥イ晩》師鳩

y＋≡：y》茄／レである．

 式（5），（6）を式（3），（4）に代入し，εの零次および一次 について整理すると海（η），θo（ηのおよびφ涙η，

ξ），θ（ξT，ηのについての方程式が得られる．∫η（η），

θo（η7）は定常の時の解として既に得られており，こ こでは非定常成分φ㎜およびθの解を求める．

5．速度場の解

 流れ関数φ鵠に関する方程式は次のようになる．

2φ猛一2ξφ礁｛（2ノ＋・）厩一r2礁一・

             ＋（2初＋1−2ゴ）∫ブφ肌

       ノ  ノ                一2ξ（プ「ゴφηL＿ブ，ξ一∫ブφ㎜＿∫，ξ）｝

      一．4m      （7｝

ただし，オ。＝一2ξ，』1＝2，．、回忌＝0＠≧2）であり，

記号 はηに関する微分，添字ξはξに関する微分 である．境界条件はη＝0でφ皿一φ乱＝0，η冨・Qで φ6−1，φ義一〇（〃2≧1）である．

 低周波数（ω＊〈1；ω＊＝ωκ／σo）のとき，流れ関数 φ肌を次に示すべき級数に展開する．

  ψ臓（ξ，η）＝Σξηφ呪，η（η）         （8）

式（8）を式（7）に代入すると次式を得る．

・φ麓1。＋毒。〔（2ノ＋・）ノ・鴫一、バ2（綱桝・部

       ノ     ＋｛1＋2（初十η）一2ゴ｝∫ブφ肌一、，。〕一2φ照．、

    ；BηL，π      （9）

ただし，Bo，1＝一2， B1，0＝2，その他のB物η＝0であ る．境界条件はφo，o（。。）一1，その他のφ肌，π（0）一 φ紘％（0）＝φ鉱π（。・）＝0である．

 高周波数（ω＊＞1）のときは，変数ξ，ηをα＝

1／》T，β＝η／αに変換し，φ㎜をαのべき級数に展 開する．

  φ冊（α，β）一Σα四脚（β）  』  （1① ここでHowarth流れの溢血はηの関数でしかも 数値解であるが，壁面近傍の速度分布のみに注目すれ ば，疏＝濫（0）・αβと近似できる．このときの φ肱η（β）の解析解を次に示す．

φo，o一β＋ε一β一1

の1，2＝1一β一θ一β

φηL，3瓢一（2〃τ一1）∫ん（0）／16｛4β2

  十θ一β（13十13β十5β2十2β3／5）一13｝

その他のφ窩，π＝0（η＝0，1，2，3）

｝㎝

 これらの解より速度場が求まるので壁面摩擦力τ＝

τo＋εθ幅τ1は次式で与えられる．

石』@田  正  弘 ^ユ1

・。一ρσ。2》・／σ。κΣκ＊皿∫（0）

      鵬 ^{働 τ1}

｛α一Lακ＊一（5α2／16）Σ（2吻一1）∫観（0）κ＊肌十…｝

         m

ただ し，∫6 （0）＝0．33206，∫1 （0）＝一2．0471，塚（0）

＝一P．1172， ∫ぎ1（0）＝一7．2620， ！！（0）＝一38．758，

∫♂（0）＝一226．10， ノ♂（0）ニー1416．4．

τ1 τ0

「ΣΣκ＊隅ξπφ （0）

      ηL，η？π π

    Σκ＊吋（0）

   鵬肌

（ω＊＜1） α＄

 τ0      ．   〃

      Σ廊＊・ザ（0）

       糀       鵬

      （ω＊＞1）｛1の 式㈱のφ孟，η（0）の値はTable 1に示す．ここで求め たτ1／τoは後述の温度場の解析に必要な関数であり，

Fig．2に壁面摩擦の変動振幅【τi／τ。1および位相arg

（τ1／τo）を示す．横軸は無次元周波数ω＊であり，パ ラメータは無次元圧力勾配κ＊である．これらの計算

Table l Values ofφ ㎜，π（0）at low frequency

爬0

1 2 3 4 5 6

0

049811

0．84910

「0．47929 0．37709 一〇27855

018448

一〇11000 1

一〇．10281×101 0．17768×101 一〇．31102×10三

0．39254×101 一〇．38691×101 0．31645×101 一〇．22338×101

2 0，11278×102 0．54695×10曹1 一〇．14172×102

0．29147×102 一〇．16150×102 0．24124×102 一〇．23175×102

3 0．55680×102 一〇．39438×102 0．11814×103 0．23288×102 一〇．12654×103 0．20277×103 一〇．22123×103

4 0．35689×103 一〇．37045＞く103

0．70130×103 一〇．23081×102 一〇．87090×103 0．16452×104 一〇．19974×104

5 0．25277×104 一〇，31309×104 0．47712×104 一〇．71050×103 一〇．60805×104 0．13165×105 一〇．17458×105・

6 0．18728×105 一〇．25873×105 0．37090×105 一〇．10561×105 一〇．42096×105 0．・10448×106

一〇．14955×106

1

1     ノ@！

一        ，

X＊＝G．10 1

 o少 ！

P／ノ！

0．05

O _！

覗0唱・05

50

  一Bi多≡ ^r謬凸冒_O

X＊＝0。05

@0

 7@ゐ7！

C7

〆7      − 0．05

O−9．05−0．10

  @ 

黶Z．05

￨0．10

．05  ．1 ．5      1       α） 』 5       10

F五9．2 Amplitude and phase angle of wall     friction、flu〜⊇tuation

では〃ドη＝6まで考慮している．図から分るように 圧力勾配κ＊の影響が顕著に表われており，減速流の 方が振幅比iτ1／τolが大きく，また位相進みも大きい．

4．温度場の解

 Fig．1に示したように非加熱助走区間があるため，

また伝熱面長さが短いため温度境界層厚さは速度境界 層厚さに比べ十分薄：く，したがって温度境界層内の速 度分布は直線で近似できる．すなわち，

  π＝（τ。／ρり）y＋εθ蝦τ、／ρレ）y  、   ㈲ と近似し，式（4）から誘導される非定常温度θに関す る方程式の独立変数をκ＋，y＋に変換すると，

  架とθ＋・・｛誤＋㈲・・纂r毒轟α⑤

となる．低周波数（ω＊＜1）および中間周波数（1＜ω＊

＜1／1（）のとき，変数κ＋，ッ＋をξ7，η7に，また 高周波数（ω＊＞1／K）のときにはα7国1／》『ξF，β7

＝η7／α7に変換し，式（1⑤を整理すると次式を得る．

θ ＋3η72θ！一9ξ7θ一6ξ7η7θξ7＋3η72（τ1／τo）θ6、

 ＝0（Kω＊〈1）        （1の

θ 一9θ＋3β。・α。4θ。・＋3伽・4（・、／・。）θ。。・

 竃0（Kω＊＞1）      ⑬

12 振動流中における壁面摩擦と局所的熱伝達に及ぼす圧力勾配の：影響

境界条件は・㌍一〇（β・．一〇）で．θ一〇・卯

コ。。（β7＝・。）でθ＝0である1ここでん＝ξ7／ξ であり，次式で与えられる．

  K＝｛1「（・・／・）％｝％P・％｛（4／9）／霧・＊吋肌（0）｝％⑲

1ζはん。／κおよびκ＊の関数であるから一般には歯 の関数であるが∴相似解を得るためにはKを一定と し，θを前報ωと同様にξあるいはαのべき級数に

展開する．

  θ＝Σξπθπ（η7）    （ω＊＜1）．

    ％

  θ一Σξη／2−1θ％（η7）  （1＜ω＊＜1／K）  ⑳     翰

  θ＝Σαηθ。（βの   ^{（ω＊＞1／K）}

 温度場の解析結果かち熱伝達係数を求めると，局所 ヌセルト数十＝N㏄o＋εθ顔N岨は次式のとおりであ

る．

  騙。＝（1／0．8930）｛PγΣκ＊喘（0）／12｝％

    ・》瓦」／｛1｝（κo／κ）％｝％

      ノム砺／ム残。＝一〇．8930Σξπθ．（0） （ω＊＜1）

         7L    π

       ノ．〈砺1／1覧。〒一〇，8930Σξη／2−1θ（0）（1＜ω＊＜1／K） （21｝

         η        7z

      ノ

ム砲1／ム砲・一一〇・8930》πΣα筏一1θ。（0）（ω＊＞1／κ）

 Fig．3はP。＝o．72のときのKの値を示す．図

の横軸はκo／κ，パラメータは無次元圧力勾配κ＊で，

κ＊＜0のとき加速流，またκ＊＞0のとき減速流であ る．Fig．．4および5は非加熱助走区間パラメータの

K

2

ユ．

Q  o

F五9．3

■

 ＊w．ニ0，10

・

F 一〇．05

￨0．10

0．05

O

      ．5  Xo／X   l

Variation of K」value duεtoρreS3ure gradient

＼

1

Xo／X＝0

、

一華一

、

X＊＝0、05

0 ^、

，5

 一

黶Z 、  一〇．、10．

一〇．10 一〇．05』

0、

，0ユ0

、 0

、0。

（

X＊＝0

睾 山0

．」0。05

@ −0．10

）窪 0．10 く

一〇．10

「50。 一

・・ll・

O．1き ＼

、＼＼＼ ＼＼＼こミミ巡     レ

、1    、5 1   ^{cbX 5  10}

Figl 4 Amplitude and phase angie of heat     transfer fluctuation （κo／κ＝0）

1．5

斐

1．0

0，5

0

 0

塁 く

一50

0。05  1い  8  σ1

^．／ 9     8μ

敵

Xo！X冒0．8

1．

         l         I

嘯w㌔OlO5

@ 0

、、ミ惑 一〇．10

￨0．05

@0

@0．05／ 0．10

一〇 ^∂

一〇，10

1

、

、 、、

『     x㌔00．05

@     −0・ユ1一

o，

@   1

    一〇．05 ，    噛   、       虚 一 一 F

̲越・．o．1δ 亀一〇．05   u

堰E．・1一＼

1  ^{r一冊一@      、}@     、 ＼        へ      随

@      錠

、     一〇．工0

@   一1 05

F鐙＝．

0．1  0．51．  510 ひ）嵐50100

Fig．5．． Amplitude and・phase l angle of heat     transfer fluctuation （κo／詫＝0．8）

石  田  正  呼

値がκo／κ一〇および0．8の場合について，式21）から計 算される熱伝達の無次元振幅i2＞：㍑1／N鋤01および位相 arg（1＞：窃1／ム砲。）が無次元周波数ω＊および無次元圧 力勾配κ＊によって変化する様子を示す．Fig．5から 分るように非加熱助走区間がある場合，丁丁開始点近 傍の熱伝達は低周波数範囲ではω＊とともに位相進み が増加し，圧力勾配がないとき最大位相進みを示す．

中間および高周波数では位相が遅れ，減速流ほど位相 遅れが大きいが，非常に高い周波数では圧力勾配の影 響はほとんどなく90。の位相遅れとなる，

5．壁面摩擦と熱伝達の位相関係

 Fig．2，4および5は主流の速度変動と壁面摩擦あ るいは熱伝達の位相関係を示したが，壁面摩擦計測三 熱フィルムプローブの場合，壁面摩擦と熱伝達との位 相関係が重要である．このため，式（1のおよび（18｝におい てτ1／τo−1と置き，θを次に示すべき級数に展開し て前述の方法と同様にしてヌセルト数を求めた．

議：：∴ll：二■囲

 このときの熱伝達変動の振幅11㌦1／ハb副および位 相arg（1＞：祝1／N。o）のκω＊による変化をFig．6に 示す。図から分るように壁面摩擦の変動に対する熱伝 達の位相は遅れるのみでKω＊とともに遅れが増加し，

非常に高い周波数では1350の位相遅れとなる．κω＊＝0 のとき両者の位相差はないから，非加熱助走区間パラ メータκo／κが1に近い状態すなわち伝熱奴始点近傍 ではKの値が非常に小さく，変動周波数がある程度 大きくなっても壁面摩擦と熱伝達の位相遅れは小さい．

．4

，2

0  0

Fig．6

、、

、

〜 ^ARG（惣 →

、＼ ＼  ＼

一糊 ^＼ ＼、

、、   、

2 Kω＊ 4

一160。

一80。

0。

Amplitude and phase angle of heat

transfer fluctuation （τ1／τo＝＝1）

13

 熱フィルムプローブの三熱面長さは極めて短いから

（0．1〜0．2mm），熱フィルムが形成する温度境界層 厚さは乱流境界層においても粘性底層の厚さを越える ことは少ない．したがって式（16）〜（1鋤はそのまま粘性底 層にも適用でき，Fig．6の関係は乱流の場合にも適用 できる．乱流の場合，定常壁面摩擦力の式働が異なり，

例えば圧力勾配が無視できる乱流境界層についてはブ ラジウスの式

  τo＝0．0296ρσ02（σoκ／レ）一％

が適用できるから，これからκを求めると，

  K＝｛1一（κo／κ）0・9｝％Pγ％（1／9）（10／0．0296）％

  （σoκ／り）一％

となる，このときのKの値をFig．7に示す．

（23）

（2の

      図か ら分るように乱流の場合のKの値は層流の場合より も小さく，しかもレイノルズ数の増加とともに小さく なるから壁面摩擦と熱伝達の位相差もさらに小さくな

る．

K

1

，5

0  0

Fig，7

＼

＼

＼

＼↓AMINAR

＼

＼

＼

＼

＼

URBULENT＼

@     ＼ RE＝104 ^＼ ＼

＼

＼

＼

105 ^＼ ＼

＼

1〔ρ ＼

＼

107 ^へ 、

       、5   Xo／X    l

K−value in the case of turbulent flow

6．むすび

 熱フィルムの非定常特性に及ぼす圧力勾配の影響を 調べ次の事が判明した，

1） 圧力勾配の影響は低周波数，中間周波数において  顕著であり，高周波数では小さい．

2）減速流の方が加速流の場合より圧力勾配の影響が  著るしい．

3）非加熱助走区間パラメータKの値が十分小さい  とき，壁面摩擦と熱伝達の位相遅れはほとんどなく，

 層流より乱流の方が位相遅れが小さくなる．

14        振動流中における壁面摩擦と局所的熱伝達に及ぼす圧力勾配の影響

        参考 文献

1）Ishida， M， and Yamaαa， T．， Bulletin of the  JSME， Vol 23， No．183， Sept．，1980， P．1467−1474

2） Schlichting， H．， Boundary Layer Theory  McGraw Hi11，1968， p．163