Painlev ´e 系とその τ 函数の正準量子化

(1)

Painlev ´e 系とその τ ^{函数の正準量子化}

黒木玄

(Gen Kuroki)

東北大学数学教室

日本数学会2015年度秋季総合分科会京都産業大学2015年9月13日(日)〜16日(水)

2015/09/14 Version 1.2

http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20150914QuantumPainleveTau.pdf

講演日

2015

年

9

月

14

日

(月)

黒木玄(Gen Kuroki) (東北大学数学教室日本数学会Painlev ´e2015年度秋季総合分科会京都産業大学系とそのτ函数の正準量子化 2015講演日年20159月年139日月(日)〜1614日(月)日(水) 2015/09/14 Version 1.21 / 47 http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20150914QuantumPainleveTau.pdf)

(2)

真のタイトル

だれでもできる

Painlev ´e 系とその “ τ ⁱ ^” ^{の正準量子化}

量子化によって

古典の場合には曖昧にすませていたことをまじめに考え直さざるを得なくなる.

(3)

正準量子化とは

Classical mechanics −→ Quantum mechanics Poisson brackets −→ non-commutativities

{ p , x } = 1 −→ [ p , x] = px − x p = 1 ( p = ∂/∂ x ,

微分)

{τ, x } = τ −→ τ x τ

⁻¹

= x + 1 ( τ = e

^∂/∂^x

,

差分

)

{τ, a } = τ a −→ τ a τ

⁻¹

= qa ( a = q

^x

, q

差分)

古典系の様々な良い性質を保ちながら量子化したい.

(4)

例 : 微分版 Painlev ´e P _IV ^の量子化

A

⁽¹⁾

2 型の場合

.

従属変数

f

_i₊₃

= f

_i

,

パラメーター変数

α

^∨_i₊₃

= α

^∨_i

, [ f

_i

, f

_i₊₁

] = 1, [ α

^∨_i

, α

^∨_j

] = 0, [ α

^∨_i

, f

_j

] = 0.

P

_IV

: ∂ f

_i

∂ t = f

_i

f

_i₊₁

− f

_i₋₁

f

_i

+ α

^∨_i 対称性

(Weyl

群作用

):

s

i

( f

i

) = f

i

, s

i

( f

i±1

) = f

i±1

± α

^∨_i

f

_i

, s

_i

( α

^∨_i

) = −α

^∨_i

, s

_i

( α

^∨_i_±₁

) = α

^∨_i

+ α

^∨_i_±₁

.

非可換性以外は古典の場合と同じ.

(5)

例 : 量子 P _IV ^への τ ^{変数の導入}

量子化された

τ

変数

τ

i

= exp( ∂/∂α

^∨_i

) (

差分作用素

):

τ

i

α

^∨_j

τ

⁻¹_i

= α

^∨_j

+ δ

i j

, τ

i

τ

j

= τ

j

τ

i

, τ

i

f

_j

= f

_j

τ

i

.

対称性

(Weyl

群作用

):

s

_i

( τ

i

) = f

_i

τ

i−1

τ

i+1

τ

i

, s

_i

( τ

j

) = τ

j

( j . i (mod 3)).

対称性を用いて従属変数

f

iを

τ

変数で表示できる

: f

_i

= s

_i

( τ

i

) τ

i

τ

i−1

τ

i+1

.

非可換性以外は古典の場合と同じ

.

しかし

, τ

変数の非可換性の入れ方は新しい

.

q

差分版では「古典の場合と同じ」とは言い難くなる

(後述).

τ

変数は任意の対称化可能

GCM

に付随する場合に導入可能

.

(6)

まず Weyl 群双有理作用の部分を量子化したい

古典

Painlev ´e

系の対称性の典型的形は

s

_i

( f

_j

) = f

_j

± α

^∨_i

f

_i

, s

_i

( τ

i

) = f

_i

τ

i−1

τ

i+1

τ

i

, ^etc.

f

_i ^{は従属変数}

,

α

^∨_i ^{はパラメーター変数}

^(← simple coroot

に対応),

τ

i は

τ

^変数

^(← exp( fundamental weight )

に対応).

これらを

(正準)

量子化したい.

τ

変数も適切に非可換化する

(New!)

(7)

Weyl 群作用を作るための基本アイデア

Serre

関係式

[ f

₁

, [ f

₁

, f

₂

]] = 0 (

例

f

₁

= ∂/∂ x, f

₂

= x − 1)

や

f

²

1

f

₂

− (q + q

⁻¹

) f

₁

f

₂

f

₁

+ f

₂

f

²

1

= 0 (

量子展開環

)

のとき

, Verma

関係式

f

^k

1

f

^k⁺^l

2

f

^l

1

= f

^l

2

f

^k⁺^l

1

f

^k

2

.

パラメーター変数への

↓ Weyl

群作用

˜

s

_i

( α

^∨_i

) = ˜ s

_i

α

^∨_i

˜ s

⁻¹

i

= −α

^∨_i

,

˜

s

_i

( α

^∨_j

) = s ˜

_i

α

^∨_j

˜ s

⁻¹

i

= α

^∨_i

+ α

^∨_j

(i , j = 1 , 2, i , j),

˜

s

_i

( f

_j

) = ˜ s

_i

f

_j

s ˜

⁻¹

i

= f

_j と仮定して

, σ

i

: = f

^α

∨ i

i

˜ s

_i

↓

braid

関係式

σ

1

σ

2

σ

1

= σ

2

σ

1

σ

2

(8)

非可換環の要素の変数べき

σ : = f

^α

∨ i

i

˜ s

_i

.

代数自己同型

x 7→ s

_i

(x) = σ

i

x σ

i−1

= f

^α

∨ i

i

˜ s

_i

(x) f

^−α

∨ i

i

で

Weyl

群作用を構成可能

.

環

A

の可逆元

f

の変数

γ

によるべき

f

^γ とは何か？

(1)

可算直積環

A

^Z に

A

を対角的に埋め込んで同一視

: A ∋ a = (a)

_k_∈Z

∈ A

^Z

.

(2) f

^γ の定義と

γ

の

A

^Zへの埋め込み方:

f

^γ

= ( f

^k

)

_k_∈Z

∈ A

^Z

, γ = (k)

_k_∈Z

∈ A

^Z

.

(9)

middle convolution

D⁽¹⁾

4 型の場合で説明:

f2 =∂x = ∂

∂x, fi = x−ti (i=0,1,3,4) i=0,1,3,4について, [f2,fi]=1 なので

s2(fi)= fi+α^∨₂ f2−1, s2(τ2)= f2

τ0τ1τ3τ4

τ2 . すなわち

s2(x)=x−α^∨₂∂x−1, s2(τ2)=∂x

τ0τ1τ3τ4

τ2 . f2γ =∂xγのEuler変換による実現:

∂xγf(x)= aD^γ_xf(x)= 1 Γ(−γ)

∫ x

a

(x−y)^−γ−¹f(y)dy.

注意: fi, fjのどちらかが1ならば, Vema関係式は常に成立するので,欠けてしまって足りなくなった分の fiは1として補充可能.

(10)

従属変数への s _i ^{の作用の有理性}

(1) [ f

₁

, [ f

₁

, f

₂

]] = 0 (

例

f

₁

= ∂/∂ x, f

₂

= x − a)

のとき

f

₁^γ

f

₂

f

₁^−γ

= f

₂

+ [ f

₁

, f

₂

] γ

f

₁

= (1 − γ ) f

₂

+ γ f

₁

f

₂

f

₁⁻¹

.

特に

[ f

₁

, f

₂

] = ± 1

ならば

f

₁^γ

f

₂

f

₁^−γ

= f

₂

± γ

f

₁

.

欲しい形の公式が出て来た

!

(2) f

₁²

f

₂

− (q + q

⁻¹

) f

₁

f

₂

f

₁

+ f

₂

f

₁²

= 0

のとき

f

₁^γ

f

₂

f

₁^−γ

= q

^±γ

f

₂

+ ( f

₁

f

₂

− q

^±¹

f

₂

f

₁

) [ γ ]

_q

f

₁

= [1 − γ ]

q

f

₂

+ [ γ ]

q

f

₁

f

₂

f

₁⁻¹ ここで

[ γ ]

_q

= q

^γ

− q

^−γ

q − q

⁻¹

. q

差分版でもよい公式が得られる

!

黒木玄(Gen Kuroki) (東北大学数学教室日本数学会Painlev ´e2015年度秋季総合分科会京都産業大学系とそのτ函数の正準量子化講演日2015年20159月年139日月(日)〜1614日(月)日(水) 2015/09/14 Version 1.210 / 47 http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20150914QuantumPainleveTau.pdf)

(11)

τ 変数の非可換性をどう定めるか ?

量子従属変数

f

i

−→ Serre

関係式もしくは

Verma

関係式量子パラメーター変数

α

^∨_i

−→

互いにおよび従属変数と可換

量子

τ

変数は何とどのように非可換であるべきか

?

量子

τ

変数

τ

i

−→

互いにおよび

f

_j と可換

.

しかし

,

量子

τ

変数は量子パラメーター変数とは非可換

(New!) τ

i

α

^∨_j

τ

⁻¹_i

= α

^∨_j

+ δ

i j

.

すなわち

τ

i

= exp( ∂/∂α

^∨_i

)

パラメーターの差分作用素

!

(12)

τ ^変数への ^Weyl ^{群作用の拡張}

˜

s

_i の

τ

j への作用を定めれば

, s

_i の

τ

jへの作用も定まる

.

˜

s

i への

α

^∨_j への作用は

∂/∂α

^∨_j への作用に自然に拡張される

. A

₃型:

˜ s

₂

( α

^∨₂

) = −α

^∨₂

, ˜ s

₂

( α

^∨_j

) = α

^∨₂

+ α

^∨_j

( j = 1 , 3)

ならば

˜ s

₂

(

∂

∂α^∨₂

) =

_∂α^∂∨ 1

−

_∂α^∂∨ 2

+

_∂α^∂∨ 3

であり,

τ

i

= exp

(

∂

∂α^∨_i

)

なので

˜

s

₂

( τ

2

) = τ

1

τ

3

τ

2

.

さらに

τ

2

f

^α

∨ 2

2

τ

⁻₂¹

= f

^α

∨ 2+1

2

( τ

2は

α

^∨₂ を

1

ずらす) を使うと

s

₂

( τ

2

) = f

^α

∨ 2

2

˜ s

₂

( τ

2

) f

^−α

∨ 2

2

= f

^α

∨ 2

2

τ

1

τ

3

τ

2

f

^−α

∨ 2

2

= τ

1

τ

3

τ

2

f

^α

∨ 2+1 2

f

^−α

∨ 2

2

= τ

1

τ

3

τ

2

f

₂

= f

₂

τ

1

τ

3

τ

2

欲しい形の公式が出て来た

!

(13)

一般の対称化可能 GCM で OK

q

差分版でも

OK.

任意の対称化可能

GCM

に付随する場合

U

_q

(g) −→

下三角

U

_q

(n

₋

) = ⟨ f

₁

, . . . , f

_m

⟩ −→

従属変数

.

simple coroot α

^∨_i

−→

パラメーター変数従属変数とは可換とみなす

fundamental weight Λ

i

−→ ∂/∂α

^∨_i

−→ τ

i

= exp( ∂/α

^∨_i

) −→ τ

変数

α

^∨_i

, τ

j たちには自然に

Weyl

群が作用

(それを s ˜

_iと書く).

欲しい

Weyl

群

W = ⟨ s

₁

, . . . , s

_m

⟩

の作用は

s

_i

(x) = f

^α

∨ i

i

˜ s

_i

(x) f

^−α

∨ i

i

(14)

τ ^変数への ^Weyl 群作用の結果の多項式性

整ウェイト

λ = ∑

i

λ

i

Λ

i

∈ P ( λ

i

∈ Z )

に対して

τ

^λ

= ∏

i

τ

^λ_iⁱ とおく

.

定理:

w ∈ W

と

dominant integral weight µ ∈ P

₊ に対して

w( τ

^µ

) = ( f

_i

, q

^±α^∨ⁱ たちの非可換多項式

) × τ

^w(^µ⁾

. Kac-Moody

版では

w( τ

^µ

) = ( f

_i

, α

^∨_i たちの非可換多項式

) × τ

^w(^µ⁾

.

証明には

Kac-Moody

代数の表現論の

translation functor

(Deodhar-Gabber-Kac 1982)と

quantization of Lie bialgebras

(Etingof-Kazhdan 2008, “VI”)を使う

.

(15)

translation functor の応用

µ, λ ∈ P

₊

(dominant integral weight), w ∈ W

とする

. w ◦ λ = w( λ + ρ ) − ρ , shifted action.

可積分表現

L( µ )

を

tensor

して部分加群を取る操作で定義される

translation functor

を

T = T

^µ

λ と書く

[DGK].

w ∈ W

と

Verma

加群

M( λ )

について

M(w ◦ λ ) ⊂ M( λ ) , T(M(w ◦ λ )) ⊂ M(w ◦ λ ) ⊗ L( µ ) , T( M(w ◦ λ )) = M(w ◦ ( λ + µ )) ,

ゆえに次の可換図式が得られる

:

M( λ ) ⊗ L( µ ) ←−−−−− M(w ◦ λ ) ⊗ L( µ )

x  x 

M( λ + µ ) ←−−−−− M(w ◦ ( λ + µ )) .

[EK]

の結果よりこの形の可換図式は

U

_qの場合にも存在する

.

(16)

w( τ ^µ ) の多項式性の証明のスケッチ

M( λ ) ⊗ L( µ ) ←−−−−− M(w ◦ λ ) ⊗ L( µ )

x  x 

M( λ + µ ) ←−−−−− M(w ◦ ( λ + µ )) .

この可換図式から

w( τ

^µ

)

の多項式性が得られる

.

M(w ◦ λ )

の

h.w. vector

の

M( λ )

での像を

f

_w

( λ ) v

_λと書く.

w( τ

^µ

)

の中の変数

α

^∨_i に

λ

i

= λ ( α

^∨_i

) ∈ Z

≧0 を代入したものは本質的に

f

_w

( λ + µ ) f

_w

( λ )

⁻¹

(2

つの

singular vectors

の比

)

に一致し

,

上の可換図式

= ⇒ f

_w

( λ + µ ) ∈ f

_w

( λ )U

_q

(n

₋

) . f

_w

( λ + µ ) f

_w

( λ )

⁻¹ は割り切れ,

w( τ

^µ

)

は多項式になる.

(17)

共形場理論と量子群

以上の単純な枠組みは

野性的に登場する

Painlev ´e

系の量子化を理解するためにはまだ不十分

!

B ¨acklund

変換

(Weyl

群作用

)

の部分だけではなく

,

Painlev ´e

方程式の部分はどうなっているのか？

Painlev ´e

系の

Lax

表示や

Sato-Wilson

表示は?

それらもろもろの量子化の表現論的な理解

?

以下では共形場理論や量子群との関係について説明する

.

(18)

微分版 Painlev ´e 系の量子化 = ^{共形場理論}

Schlesinger

系

(1

階連立の場合

)

の量子化

= Knizhnik-Zamolodchikov

方程式

(WZW model)

Garnier

系

(2

階単独の場合

)

の量子化

=

退化場

φ

1,2

, φ

2,1 に付随する

BPZ

方程式特異点の量子化

= primary field φ

2

階単独の場合のみかけの特異点の量子化

=

退化場

φ

1,2

https://twitter.com/genkuroki/status/448159501808439296

予想

:

任意の共形場理論は

Painlev ´e

系の量子化とみなせる

!

共形場理論でのWeyl群作用と量子τ変数のことはよくわかっていない.

(19)

大事なことなので繰り返す

予想 : すべての共形場理論は

Painlev ´e 系の量子化と

みなせるだろう

すでに膨大な量の

CFT

の例があり

,

古典

Painlv ´e

系もたくさんある.

(20)

q ^差分化版 Painlev ´e IV qP _IV ^の古典版

例として以下の場合を扱おう

. A

⁽¹⁾

2 型の場合

.

従属変数

F

i+3

= F

i

,

パラメーター変数

a

i+3

= a

i

qP

_IV

: T

qP_IV

(F

i

) = a

i

a

i+1

F

i+1

1 + a

_i₋₁

F

_i₋₁

+ a

_i₋₁

a

_i

F

_i₋₁

F

_i

1 + a

_i

F

_i

+ a

_i

a

_i₊₁

F

_i

F

_i₊₁

, T

_qP_IV

(a

_i

) = a

_i

.

対称性

(Weyl

群作用

):

s

_i

(F

_i

) = F

_i

, s

_i

(F

_i_±₁

) = F

_i_±₁

( 1 + a

_i

F

_i

a

_i

+ F

_i

)

±1

, s

_i

(a

_i

) = a

⁻¹

i

, s

_i

(a

_i_±₁

) = a

_i

a

_i_±₁

.

見た目が微分版と全然違う

!

(21)

q ^差分版 Painlev ´e IV qP _IV ^の量子化

F

_i

F

_i₊₁

= q

²

F

_i₊₁

F

_i

, a

_i

a

_j

= a

_j

a

_i

, a

_i

F

_j

= F

_j

a

_i

.

量子

qP

_IV

(離散時間発展):

T

_qP_IV

(F

_i

) = (1 + q

²

a

_i₋₁

F

_i₋₁

+ q

²

a

_i₋₁

a

_i

F

_i₋₁

F

_i

)

× a

_i

a

_i₊₁

F

_i₊₁

× (1 + q

²

a

_i

F

_i

+ q

²

a

_i

a

_i₊₁

F

_i

F

_i₊₁

)

⁻¹

T

_qP_IV

(a

_i

) = a

_i

.

対称性

(Weyl

群作用):

s

_i

(F

_i

) = F

_i

,

s

_i

(F

_i₋₁

) = F

_i₋₁

a

_i

+ F

_i

1 + a

_i

F

_i

, s

_i

(F

_i₊₁

) = 1 + a

_i

F

_i

a

_i

+ F

_i

F

_i₊₁

, s

_i

(a

_i

) = a

⁻¹

i

, s

_i

(a

_i_±₁

) = a

_i

a

_i_±₁

.

見た目が微分版と全然違う

!

量子群を使って非自明に構成した

!

(22)

量子化だけではなく , q ^差分化も !

微分版の量子化の公式は古典の場合とほぼ同じ

.

特別な道具を使わない直接的な計算で色々わかる.

q

差分版の量子化を直接的構成は難しい.

適切な非可換性の入れ方さえわからないことが多い.

量子群の助けを借りる!

q

差分版

Painlev ´e IV qP

_IV を例に説明する

.

(23)

以下の構成はまだかなり複雑 . 1. 量子群の L -operator を定義

“ RLL = LLR ”

(24)

量子 L -operator から qP _IV ^{の量子化へ} 1

A

⁽¹⁾

2 型の

R

行列

:

R(z) = (q − q

⁻¹

z) ∑

i

E

_ii

⊗ E

_ii

+ (1 − z) ∑

i,j

E

_ii

⊗ E

_{j j}

+ (q − q

⁻¹

)

∑

i<j

(E

_{i j}

⊗ E

_ji

+ zE

_ji

⊗ E

_{i j}

) .

i , j

は

1 , 2 , 3

を動く.

E

_{i j} は

3 × 3

の行列単位.

A

⁽¹⁾

2 型の量子

L-operator

の定義は

“RLL = LLR”:

3 × 3

行列

L(z)

の成分は非可換環の元

,

R( z / w)L(z)

¹

L(w)

²

= L(w)

²

L( z)

¹

R( z / w) , L( z)

¹

= L(z) ⊗ 1 , L(w)

²

= 1 ⊗ L(w) .

(25)

2-1. 二重対角型上三角 L -operators の積 L( z) = L ₁ ( z)L ₂ ( z)

2-2. 上三角な L( z) の対角部分 L ₀ を二重化 e L(z) = L ₁ (z)L ₂ (z)L ₀

(26)

量子 L -operator から qP _IV ^{の量子化へ} 2

次のような二重対角型の上三角

L-operator

を考える

:

L

_k

(z) =

 



a

1k

b

1k

0 0 a

2k

b

2k

zb

_3k

0 a

_3k

 



より正確に言えば

,

各々の

L

_k

( z)

に関する

“RLL = LLR”

関係式と

L

_k

(z)

¹

L

_l

(w)

²

= L

_l

(w)

²

L

_k

(z)

¹

(k , l)

成分の可換性

を定義関係式とする代数を考える.

L

₀

: = (L

₁

(z)L

₂

(z)

の対角部分

) = diag( ˜ a

₁

, a ˜

₂

, a ˜

₃

) ( a ˜

_i

= a

_i1

a

_i2

).

L

₁

(z)L

₂

( z)

の対角部分

L

₀

= diag( ˜ a

₁

, a ˜

₂

, a ˜

₃

)

を

“

二重化

”:

e L(z) = L

₁

(z)L

₂

(z)L

₀

=

 



˜ a

²

1

b

₁

c

₁

zc

₂

a ˜

²

2

b

₂

zb

₃

zc

₃

a ˜

²

3

 

 .

(27)

補足

: L(z) = L

₁

( z)L

₂

( z)

の対角部分

L

₀ を二重化した

e L(z) = L(z)L

₀を考える理由は以下の

Lax

表示の存在

.

f

_i

: = (L

⁻¹

0

e L(z)L

⁻¹

0 の

(i , i + 1)

成分

)

q

⁻¹

− q = (q

⁻¹

− q)

⁻¹

a ˜

⁻¹

i

b

_i

a ˜

⁻¹

i+1

. f

_i たちは

q-Serre

関係式をみたしている

.

G

i

: = E + (c

²

− 1) ˜ a

²

i+1

b

⁻¹

i

E

i+1,i

, G

^′_i

: = E + (c

⁻²

− 1)b

⁻¹

i

a ˜

²

i

E

_i₊₁_,_i

, c : = q

^−γ とおくと

f

^γ

i

e L( z) f

^−γ

i

= G

i

e L(z) G

^′_i

. e L(z)

は量子化された幾何クリスタルともみなせる

.

(28)

3-1. e L(z) の対角行列による相似変換で c _i の部分を 1 ^{または中心元} r にする .

e L( z) =

 



˜ a

²

1

b

₁

c

₁

zc

₂

a ˜

²

2

b

₂

zb

₃

zc

₃

a ˜

²

3

 

 7→ Ce e L(z) C e

⁻¹

 



 t

²

1

b ˆ

₁

1 rz t

²

2

b ˆ

₂

rz b ˆ

₃

zc

₃

t

²

3

 





3-2. 二重対角行列の積 X(z)Y(rz) ^{に分解する} .

e

Ce L(z) C e

⁻¹

= X(z)Y(rz)

Painlev ´e 系とその τ 函数の正準量子化