K = h () v この K を静止土圧係数と呼ぶ土の内部摩擦角 f と静止土圧係数の関係を表した次の Jáky の式がある K = - inf () 通常土圧を受けても壁は変形することはない土圧が作用しても壁は静止しているので壁には静止土圧が働くことになる Fig. に示す擁壁の受

(1)

原稿受付 2017 年 3 月 6 日

個

個別

別要

要素

素法

法に

によ

よる

る離

離散

散粒

粒状

状体

体の

の動

動的

的追

追跡

跡法

法

‐

‐土

土圧

圧係

係数

数算

算定

定へ

への

の応

応用

用‐

‐

Dynamic Analysis for Discrete Particle Model by Distinct Element Method

-Application to Calculation of Soil Pressure Coefficient-

大西泰史１）_{丸裕也}２）_{吉田長行}_２）

Yasushi Onishi, Yuya Maru, and Nagayuki Yoshida

１）_{法政大学大学院デザイン工学研究科建築学専攻}

２）_{法政大学デザイン工学部建築学科}

The purpose of this study is to calculate the soilpressure coefficient by using the Distinct Element Method

(DEM). The theory of soil pressure was established long ago and is now effectively used in the real design of the structure. We simulate the soil pressure of a retaining wall by DEM. Numerical results are compared with the formulas based on Coulomb and Rankine's theory to confirm the validity of DEM in the soil problem.

Keywords : DEM, Soil pressure theory, Coulomb, Rankine 1 1.. ははじじめめにに不連続体解析を取り扱う粒子的手法の一つとして、 P.A.Cundall[1],[2]_{が提唱した個別要素法（}_Distinct

Element Method：以降 DEM と略称）が挙げられる。この手法の特徴として粒状体の個々の粒子に働くミクロな力の相互作用を考慮することで材料のマクロな力学挙動を再現できるところにあり、砂や礫といった粒状体の動的挙動を取り扱うのに適している。土圧理論は 1776 年に Coulomb が、1856 年に Rankine が発表している[3]_{。これらは古典土圧理論と} 呼ばれ、その後、壁体の変形の考慮や、すべり形状の改良など幾多の拡張が加えられているが、地下壁や擁壁の土圧では現在でも古典土圧理論が基本となっている。本研究では、DEM を用いて土圧係数算出シミュレーションを行い、板谷ら[4]が提案したDEM の接触アルゴリズムの精度検定を第一目的とし、シミュレーションを行う過程で DEM の検討課題を抽出することを第二目的とした。 2 2.. 解解析析手手法法 2 2..11 DEM DEM の計算手法は伯野の文献[5]_{および文献}[6]_に詳しい。 2 2..22 土土圧圧係係数数計計算算手手法法 2 2..22..11 静静止止土土圧圧係係数数自然の地盤に全く変形を与えない状態で壁が静止しているとき、壁に作用する土圧を静止土圧と呼ぶ。地盤内に鉛直方向の圧縮応力s が生じれば、土は片_v 側への変形が拘束されているので水平方向の応力 h s が生じる。この鉛直応力と水平応力は比例すると考えられ

(2)

0 h v

K

=

s s

₍₁₎ このK0を静止土圧係数と呼ぶ。土の内部摩擦角fと静止土圧係数の関係を表した次のJáky の式がある。 0

1 sin

K

= -

f

(2) 通常、土圧を受けても壁は変形することはない。土圧が作用しても壁は静止しているので、壁には静止土圧が働くことになる。Fig.1 に示す擁壁の受ける土圧は次のようになる。 01

K Z q

0

(

1

)

s

=

g

+

(3) 図.1 擁壁の土圧

Fig.1 Soil pressure on retaining wall

2 2..22..22 受受働働土土圧圧係係数数半無限地盤で粘着力C、内部摩擦角fおよび地盤の単位体積重量

g

は均質であり一定と仮定する。この地盤の深さZ の点での鉛直方向応力s はv gZとなる。この応力に伴って地盤は水平方向応力s_hが発生する。この二つの応力は主応力であり、鉛直応力が 1 s となり水平応力がs である。 3 図.2 モールの応力円とクーロン線

Fig.2 Mall stress circle and Coulomb line 主応力s と1 s がクーロン線に接する条件をモール3 の応力円を用いて求める。主応力s ,1 s が Fig.2 のよ3 うにクーロン線t = +C stanfに点Sで接しているとする。円の半径は(s s₁- ₃) 2であり、線OS はf傾くので、点Sの座標は次のようになる。 1 3 1 3 1 3 ( )_cos 2 ( ) ( )_sin 2 2 s s t f s s s s s f -= + -= - (4) この値はクーロン線に接するのでクーロンのせん断強度式を満足しなければならない。そこで 1 3 1 3 1 3

( )_cos ( ) ( )_sin _tan

2 C 2 2

s s- _f_{= +}ìs s+ _- s s- _fü _f

í ý

î þ (5)

となり、これを整理して

1 3

1 sin

_{1 sin}

2 cos

_{1 sin}

C

f

s

f

+

=

+

-

または

3 1

1 sin

_{1 sin}

2 cos

_{1 sin}

C

f

s

f

-=

-+

+

が得られる。さらに三角関数の半角公式を用いて 2 1 3 2 3 1

tan

2 tan

4 2

tan

2 tan

4 2

C

p f

s

p f

s

æ

ö

æ

ö

=

_ç

+

_÷

+

_ç

+

_÷

è

ø

è

ø

æ

ö

æ

ö

=

_ç

-

_÷

-

_ç

-

_÷

è

ø

è

ø

(6) となる。したがって、深さZにおける水平方向の主応力、すなわち受働土圧s_pは式(6)のs を3 gZにすることにより 2

tan

2 tan

4 2

P

Z

C

p f

s

=

g

æ

_ç

+

ö

_÷

+

æ

_ç

+

ö

_÷

è

ø

è

ø

(7) となる。受働土圧係数Kpは次式となる。 2

2 tan

tan

4 2

P

C

K

Z

p f

g

æ

ö

æ

ö

=

_ç

+

_÷

+

_ç

+

_÷

è

ø

è

ø

(8) また、擁壁の高さ

H

までの受働土圧の合力Ppは 2 2

tan

2 tan

2 4 2

4 2

P

H

P

=

g

æ

_ç

p f

+

ö

_÷

+

CH

_ç

æ

p f

+

ö

_÷

è

ø

è

ø

(9) となる。 3 3.. 擁擁壁壁のの土土圧圧シシミミュュレレーーシショョンン 3 3..11 モモデデルル作作成成初期配置を作成するため、自然落下により充填す

(3)

る。その様子をFig.3 に示す。図.3 充填 Fig.3 Packing 充填完了後に粒子が安定状態に移行するまで時間を置く。その様子をFig.4 に示す。図.4 締固め Fig.4 Compaction 安定状態に移行後、擁壁に変位を与える。その様子をFig.5 に示す。図.5 擁壁の移動

Fig.5 Movement of retaining wall 3

3..22 解解析析内内容容

本解析に用いたパラメータをTable.1、解析条件を

Table.2 に示す。

表1 物性値

Table.1 Analytical data

法線バネ定数 _1.0×106 n k = [N/cm] 接線バネ定数 _2.5×105 s k = [N/cm] 内部摩擦角

f

_µ =27[deg] 静止摩擦係数 µ=0.51[ ] -粒子密度

_r

₌_{2.65×10 [ /}-3 _{kg cm}3_] 減衰定数(落下時)

h h =

_n

,

_s

1.0[ ]

-減衰定数

_{h h =}

_n

_,

_s

_{0.215[ ]}

-時間増分 _{D =}_t _1.0×10-6_[sec] せん断速度

V =

_x

1.0

[mm/sec] 表2 解析条件

Table.2 Analytical condition 解析条件粒径 [cm] 粒子数 [個] 深さ [cm] 底面幅[cm] Pattern1 0.2 1000 7 20 Pattern2 0.2~0.4 1000 7 20 ここで、土圧係数の評価方法について述べる。静止土圧係数K0は式 (3)より 01 0 1

(

)

K

Z q

s

g

=

+

(9) となるここで、 s は水平応力、1

Z

は深度である。また、受働土圧係数K_Pは式(7), (8)に、砂地盤のためC =₀を代入し、整理すると P

ZK

P

s

=

g

(10) このとき、擁壁を構成する要素に作用する接触力のうち水平方向成分の総和を土圧P_Pとして評価した。接触状態にある要素

i

に作用する水平方向の接触力は次式で表される。

[ ]

F

ixt

=

鴿鴿

N c

ij t

ﾗ

ij

-

T s

ij t

ﾗ

ij (11) 擁壁を構成する粒子の個数を

j

個とすると、擁壁に作用する土圧_P_Pは次式のように求められる。 1[ ] j h ix t i P F = =

å

(12) これに式(10)を代入し、KPについて整理すると、 1 2 2 [ ]j ix t i P F K Z g = =

å

(13) となる。

(4)

4 4.. 解解析析結結果果 4 4..11 静静止止土土圧圧係係数数粒子が安定状態のときの水平応力から静止土圧係数を算出する。Table.2 の条件で解析を行い、静止土圧係数を算出する。に上載圧として0[kPa],100[kPa], 200[kPa],300[kPa],400[kPa]の 5 段階で検証した。以下に解析結果を示す。青い線はs_Pの値をプロットしたもので、赤い線はそれらを最小二乗法により近似したものである。図.6 粒径 0.2cm・上載圧 0kPa

Fig.6 Particle size 0.2[cm] and Overburden pressure 0[kPa]

図.7 粒径 0.2cm・上載圧 100kPa

図.10 粒径 0.2cm・上載圧 400kPa Fig.10 Particle size 0.2[cm] and

Overburden pressure 400[kPa]

図.11 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 0kPa

Fig.11 Particle size 0.2~0.4[cm] and Overburden pressure 0[kPa]

図.12 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 100kPa

-10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡_]] -10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 20 40 60 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡_]] -10 -5 0 0 20 40 60 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]]

(5)

図.13 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 200kPa Fig.13 Particle size 0.2~0.4[cm] and

図.14 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 300kPa

図.15 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 400kPa

シミュレーションから算出したK0をTable.3 にま

とめる。

表3 解析結果

Table.3 Analytical result

上載圧 [kN] 静止土圧係数

K

0[-] Pattern1 Pattern2 0 0.385610 0.503494 100 0.515103 0.511411 200 0.672632 0.490378 300 0.544246 0.552539 400 0.592530 0.559321 4 4..22 受受働働土土圧圧係係数数擁壁の移動に伴う受働土圧の合力の推移より受働土圧係数を算出する。静止土圧係数と同様に、 Table1,2 の条件で解析を行い受働土圧係数を算出する。本節ではPattern2 のみ実施した。こちらも上載圧 0[kPa],100[kPa],200[kPa],300[kPa],400[kPa]の 5 段階をかけて検証した。図.16 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 0kPa Fig.16 Particle size 0.2~0.4[cm] and

図.17 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 100kPa

図.17 粒径 0.2~0.4cm・上載圧 200kPa

-10 -5 0 0 20 40 60 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 50 100 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] -10 -5 0 0 50 100 150 DD eepp tthh [[cc mm ]] H Hoorriizzoonnttaall ssttrreessss[[kkNN//㎡㎡]] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 CC ooee ffff iicc iiee nntt oo ff PP aass ssii vvee EE aarr tthh PP rree ssss uurr ee [[--]] D Diissppllaacceemmeenntt[[ccmm]] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 CC ooee ffff iicc iiee nntt oo ff PP aass ssii vvee EE aarr tthh PP rree ssss uurr ee [[--]] D Diissppllaacceemmeenntt[[ccmm]] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 CC ooee ffff iicc iiee nntt oo ff PP aass ssii vvee EE aarr tthh PP rree ssss uurr ee [[--]] D Diissppllaacceemmeenntt[[ccmm]]

(6)

各グラフの受働土圧係数Kpのピーク値をTable4 に

示す。

表3 解析結果

Table.3 Analytical result

上載圧[kPa] 受働土圧係数

K

_p[-] 0 1.888685 100 2.091253 200 1.9204 300 2.34323 400 2.771452 5 5.. 考考察察・・結結論論式(2)よりK =0 0.5460095を静止土圧係数の推定値とすると、全体的に近い数値が得られた。しかしグラフの近似線と水平方向力の差が大きいものが多く、特に粒経が一様のものに多くみられた。そのため分布粒径を用いることが有効であると判断できる。式(8)よりK =p 2.662939929を受働土圧係数の推定値とすると、上載圧の低いものでは数値が小さくなる結果となった。結果が目標値より小さく出たものは、擁壁の移動によって水平応力は増加したがせん断破壊まで至らなかったためであると考えられる。そのため、土圧係数算出には上載圧をかけることが必要と考えられる。 6 6.. 結結論論 DEM 解析による土圧係数の評価方法を提案した。土圧係数算出には分布粒径の採用と上載圧の設定が必要であることが結論として挙げられる。今後の課題として，上載圧に関するより詳細な設定法と、地盤水平方向の遠方境界条件の導入が挙げられる。参参考考文文献献

[1] P.A.Cundall “A computer model for simulating progressive, large-scale movements in blocky rock system” ISRM，Nancy，France. Proc. 1971. [2] P.A.Cundall, O.D.L.Strack “A discrete numerical model for granular assemblies” Géotechnique， 1979. [3] 林貞夫、”建築基礎構造”、共立出版、2002. [4] 板谷知洋，大西泰史，吉田長行、”個別要素法による粒状体群のせん断シミュレーションにおける摩擦処理”、法政大学情報メディア教育センター研究報告，Vol.29、2015. [5] 伯野元彦：「破壊のシミュレーション」―拡張個別要素法で破壊を負う―，森北出版，1997 [6] 粉体工学会編：粉体シミュレーション入門― コンピュータで粉体技術を創造する，産業図書，1998 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 CC ooee ffff iicc iiee nntt oo ff PP aass ssii vvee EE aarr tthh PP rree ssss uurr ee [[--]] D Diissppllaacceemmeenntt[[ccmm]] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 CC ooee ffff iicc iiee nntt oo ff PP aass ssii vvee EE aarr tthh PP rree ssss uurr ee [[--]] D Diissppllaacceemmeenntt[[ccmm]]