〔論 文78-2〕
系 列 依 存 性 によ る2次 元 画 像 の解 析 お よび そ の 周辺
内 田
勝,田 中 嘉 津夫,蔡
篤 儀,藤
田広 志,稲 津
博
大塚 昭 義,小
島 克 之,山
田
功,鷲
見 重 治,杉 本 貢,
船 戸康 雄,早 川武 行,ア
・ジ ャハ ンギ ル
岐阜大学工学部
岐阜工業高等専門学 校
宮崎医科大学
山口大学医学部
岐阜医療技術短期大学
§1概
説
この 報 告 は1983年4月1日,日
本 放射 線 技 術
学 会 総 会 で 璽
鷺
画 像 と情 報 理 論"と 題 す る特 別 講 演
を 行 な った 内 容 を べ 一 ス に その 後 の 発展 を まと め
た もの で あ る登
系 列 依 存 性 は情 報 理 論 がC.E.Shannonに
よ
って1948年
に創 め られた 翌 年,F.Attneave
に よ って心 理 学 に導 入 され,定 量 的 な手 法 と して
脚光 を あ び た もの で あ るn勿 論1次 元 の 領 域 で の
適 用 で あ る が.そ の 当時 まだ電 算機 の 普 及 は み ら
れ ず 十 分 な 計算 量 を こな す こ と は無 理 で あ った 。
しか し,こ の適 用 は心 理 学 に お け る数 学 的 方 法 と
して 大 い に活 躍 した よ うで あ る。 その 後 この 莫 大
な 計算 量 の ため か 心 理 学 に お いて 系 列 依 存性 に よ
る研 究 はあ ま り多 くみ られ な い。
最 近 の 電 算 機 の 発 達 は この 系 列 依 存性 の2次 元
画 像 へ の 適 用 を 着 想 させ た。1次 元 の シ ミュ レー
シ ョ ンか らは じま って2次 元 へ の導 入,そ
して ま
ず は 定 常 画 像 お よ び非 定 常画 像 の簡 単 な モ デ ル の
解 析 が 行 な わ れ て い る。 これ が 撃2.1次
元 信
号 の 系 列 依 存性 と その2次 元 へ の拡 張"で
あ る。
§3.定
常 画 像 の 解 析 で は2次 元系 列 依 存 性 が
被 写 体 を 含 まな い 定常 画像 に対 して,ど の よ うな
意 味 を もつ か に つ い て実 験 と考 察 が 行 なわ れ て い
る。 こ こで は,縦 軸 は粒 状 度 に,横 軸 は鮮 鋭 度 に
対 応 す る との 見 解 を 示 して い る が,こ れ は決 定 し
た 見 解 で はな く,も っ と多義 的 な意 味 を もつ もの
と考 え て い る◎ 今後,多
くの定 常画 像 実 験 を 行 な
って 検 討 を く りか えす 必 要 が あ る。
§4.非
定 常 画 像 の解 析 で は 被写 体 を含 む 非 定
常 画 像 の 系列 依 存 性 に よ る解 析 を と りあ げて い る.
こ この 例 と して は大 き さの 異 な る岩,煉 瓦,水 玉
な どの,対 象 は異 な るが 圃 像 と して は画 質 一 定 な
もの を 用 い て 系列 依 存 性 を 調 べ て い る。 これ は 画
像 の基 礎 と して形 の 認 識 か ら定 量 化 を は じめ た も
の で あ る心
この項 の本 来 の 目的 は,Digitalradiography
の 空問 周 波 数 強 調 処 理 を した 画 像 の よ う な,粒 状
は わ る くな る にか か わ らず,形 の 認 知度 は よ くな
る と い う場 合 な どの 評 衝 につ い て で あ る。 階 調 処
理 とか 周 波 数 処 理 で 画 像 の 認 知 度 が よ くな る現 象
はS/N比
が ほ とん ど変 わ らな い こ とか ら考 え て
物 理 的 に説 明 で き な い とさ れ て い る。
系列 依存 性 の強 い文 章 は 間違 うこ とが少 な くわ
か りや す い◇ これ と同 じで 系列 依 存 性 の 強 い 画像
は 認知 しや す い と考 え られ る。 したが って,画 像
の 認知 度 の良 し悪 しは系 列 依 存 性 によ って 定量 的
に 評価 が 可 能 で あ る と考 え て い る◎現 在 最 先端 と
目され るD。R.の
評 価 に この 系 列 依 存性 が 役 立
て ば と実 験 を 続 けて い る次 第 で あ る。
§5.拡
張 され た ラ ンダ ム ドッ トモ デ ル は19
83年10月,J。0.S.Aに
す で に報 告 した
論文 で あ るが,系 列 依存 性 の周 辺 と して 記 述 した 。
系 列 依存 性 を 定常 画像 とか 非 定 常 画 像 に適 用 す る
際,従 来 のMTF・Wienerspectrumと
比 較 す
る こ とが必 要 と な って くる 。 こ こで は 奴
拡 張 さ れ
た ラ ンダ ム ドッ トモ デ ル攣'によ って 粒 状 性 を解 明
した もので あ る。 従 来,光 学 で 用 い られ て い た
《
甕
ラ ンダ ム ド
ッ トモデ ル"を 光 学 とは 異 な る放 射
線 画 像 雑 音 に 適 応 で き るよ うに拡 張 した の で あ る。
この モ デル によ って種 々な粒 状 模 様 が シ ミュ レー
トされ て い る◎ この 確 率過 程 は エ ル ゴ ー ド過 程 と
考 え られ るか ら.系 列依 存 性 に よ って 実 際 の フ ィ
ル ム濃度 分布 と の比 較 が関 心 のあ る と こ ろで あ る。
MTFに
関 して §6.濃
度 一
一有 効 露 光 量 変 換 の
新 しい方 法 とMTFが
あ て られ て い る.MTFは
1946年
光 学 か ら は じま り,1960年
放 射 線 領域
に導 入 され て か ら今 まで その 歴 史 は長 い 。 と ころ
が その 測 定 に問 題 が 全 然 な い わ け で は な い 。 §5.
で は粒 状 性 に つ い て,そ の 放 射 線 画像 に独 特 の 雑
音 に応 じた モデ ル が 考 え られ た 。 これ と 同 じよ う
にMTFに
関 して も光 学 とは 異 な った放 射 線 領 域
独 自の 灘 定 法 を考 え る必 要 が あ る。 それ が §6.で
あ る。
大 き くス リッ ト法 と チ ャー ト法 の 二 つ に 分 け ら
れ て い る。 ス リッ ト法 も チ ャー ト法 もそ の測 定 法
は光 学 か らの直 輸 入 によ って は じま った.ス
リッ
ト法 で はH&D曲
線 の 使 用 とか ぶ り濃度 以 下 の 線
量 の 処 理 法 で あ る◎ チ ャ ー ト法 で はH&D曲
線 の
使 用 と入 力 チ ャ ー トコ ン トラス トを1と す る こ と
であ る。 これ らに 関 す る疑 問 は1960年
代 に もど
るが,そ の 頃 は放 射 線 領域 へ の導 入 に急 で この解
決 に向 けて 長 く とど ま る こ とが 許 され なか った。
今 回,MTF測
定 に際 して 再 検 討 を迫 られ た もの
で あ る 。
結 果 と して §6.にみ られ るよ うに,ス
リッ ト法
で はU曲 線 の開 発 と基 礎 露 光 法 の 適 用,チ
ャー ト
法 で はX線 フ ィル ムで 測 定 した 入 力 チ ャー トコ ン
トラス トで出 力 コ ン トラス トを 除算 す る方 法 の 確
立 で あ る。
1960年
代 か ら現在 ま で これ らの問 題 を 放 任 し
て いた こ との 怠 慢 を は じ ると共 に,早 急 に従 来 の
方 法 の 再 検 討 と §6.に み られ る放 射 線 領域 で の こ
の 独 自の 方 法 の 追試 を お おか た にお 願 い す る もの
で あ る。
以 上 の よ うに系 列 依 存 性 の 放 射 線 画像 解 析 へ の
導 入 を 中心 と して,従 来 の 評 価 法 に ま で み るべ き
副産 物 が 得 られ た 。D.R.の
幕開 け と共 に それ
に伴 な った 評 価 法 も誕 生 しな け れ ば な らな い。 こ
の系 列 依 存 性 が そ うだ とい うわ けで は な いが,少
な くと もそ の 一 つ と して の位 置 を 占め るで あ ろ う。
AD変
換 か ら画 像処 理,さ
らにDA変
換 の,走
査 線 によ る直 列伝 達 系 は 決 して 総 合 効 率 の よ い も
の で は な い 。 そ れ は処 理 を 加え れ ば加 え る ほ ど情
報 源 の もつ情 報量 は 失 な わ れ る と考 え られ るか ら
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で あ るeし か し,そ の損 失 情 報 量 を1部 分 に しわ
よ せ して,た
とえ ば 粒 状 の悪 化 な ど に集 申 して,
他 の よ り有 意 な部 分 た とえば 認 知 度 の 向上 な どに
貢 献 す る方 式 で あ る と考 え る な らば 納 得 が い くの
で あ る。X線
フ ィル ム の反 転 処 理 に そ の 例 を み る
こ とが で き る。 そ れ は鮮 鋭 度 を 犠 牲 に して 粒状 性
の 向上 を はか って い る ので あ る。 目 的 を達 成 す る
た め に は,よ
り重 要で な い部 分 を 犠性 にす る こと
も止 む を得 な い の が現 在 の 科 学 の レベ ル で あ ろ う.
卜一 タ ル ・サ ムー 定 の科 学 な の で あ る 。
画 像 は直 列 伝 達 系か ら並 列 伝達 系 の 時代 へ と進
む宿 命 に あ る と思 われ るが,そ
こで は こ の 原則 が
破 られ るこ とが あ るの で あ ろ うか 。
以 下順 を 追 って 細 部 に は い る と しよ う￠
§2.1次
元 信 号 の 系 列 依 存 性 と そ の2次
元
へ の 拡 張
2.1は
じめ に
エ ン トロ ピ_解 析 法 は,1978年
に内 田1""3)が
放 射 線 領 域 へ 導 入 して 以来,広
く用 い られ て き た。
この 評 価 法 は,主
に定常 画像,す
なわ ち,被 写 体
を含 まな い 画 像 の 評 価 に貢 献 して きた Φ 一 方,非
定 堂 画 像,す な わ ち,被 写 体 を含 む 画 像 の解 析 の
た め,冗 長 度 に よ る 評価 法 が 開 発 され た 。の しか
し,こ の方 法 は,定 常 と非 定 常 両 方 の 画 像 を 十 分
に評 価 で き な い。 本 研究 で は,両 方 の 評価 に適 し
た 方 法 と して,系 列 依 存 性5)を 提 案 す る。
2.2系
列 依存 性 と そ の計 算 法
系 列 依 存性(SequentialDependency)6)と
は,記 号 系 列 の ラ ン ダム ネ ス,ま た は,規 則性 を
表 わ す 尺度 で あ る◎ 系列 依 存 性 を 計 算す るに は,
三 つ の 代 表 的 な 方 法 が あ る 。 そ れ は,(1)Miller. Frickの 方 法,㈱Shannonの 推 測 ゲ ー ム 法,お よ び(3)Newman-Gerstmanの 方 法 で あ るeこ れ ら の 中 で も っ と も 正 確 な も の は{1)で あ る。 した が って こ こ で はMiller-Frickの 方 法 を 採 用 す る。 Miller。Frickの 計 算 法7)に つ い て,つ ぎ に 述 べ る 。 記 号 あ た り の 情 報 量 は す べ て の 記 号 が 独 立 で 等 確 率Pな ら ば,で て く る あ ら ゆ る 記 号 の 数m の 対 数 に 等 しい 。 こ れ を0次 推 定 値Hoと よ び, 11 H・=Σ ρ1・92ア=m(thi・92m) =log2m ,(2.1) で あ る 。 同 様 に1次 推 定 値Hiは 1 H,=ΣP,1・92瓦 ・(2・2)で あ るeこ こにPiは
各 記 号 の 生 起 確 率 で あ る。
2次 の 推 定殖H2の
計 算 に巧 み な 方 法 が 用 い られ
て い る、 この方 法 は高 次 の推 定 値 の 計 算 に も同 様
に 適 用 で き る。 まず1対 の 連 続 す る記 号,す な わ
ち ダ イ グ ラム(Digram)の
平 均 情 報 量 を 各 対 が あ
た か も一 つ の ま と ま った 記 号 で あ るか の よ うに み
な して 計算 す る。
H「(digram)PtΣP(digram)
×1・92i( dilram)(2・3)こ こ でP(digram)は
各 結 合 記 号 の 生 起 確率 で あ
る◎ したが ってHの2次
推 定 値H2はH(digram)
と 私 との 差 を とれ ば 得 る こ とが で き る。
H2=H(digram)一
一Hi(2。4)
この 演 算 の 論 理 的 根拠 を 図式 的 に説 明 した の が
図2.1で あ る。系 列 の 中 で つ ぎ つ ぎ に く る記 号 を
重 複 した楕 円 で あ らわ して い る。 この よ うに 重複
さ せ た意 図 は各 記 号が 前 後 い ず れ の 側 の記 号 と も
図2.1情 報 量 が 重 複 す る 継 起 事 象 情 報 を 共 有 して い る こ と を 示 す た め で あ る 。 す な わ ち 記 号 が 独 立 で な い こ と を 示 して い る 。 昂 は 先 行 す る 記 号 と は 独 立 と み な した と き,あ る 一 つ の 記 号 が も つ 情 報 量 で あ る 。H2はH(digram) がHiを 超 過 す る 量 で あ っ て,対 の2番 目 の 記 号 が 占 め る新 しい 情 報 を あ ら わ す 。3次 の 推 定 植 橘 は 上 に 論 じた の と 全 く類 似 の 方 法 で 算 出 で き, H3;H(trigram)-H(digram),(2.5) で あ る 。 一般 化 す る と.次 式 が 演 繹 さ れ る 。 HN=」H(N-gram)-H(N-1-gram) (2.6> こ こ で, H(〈1-gram)ニ ΣP,(N--gram) 1 xb92ρ i(N-gram) (2.7) で あ る 。 た だ し,Pi(N--gram)は 各N-gram 記 号 の 生 起 確 率 で あ る 。 各 次 数 のHの 推 定 値HN を 推 定 次 数 κ に つ い て 図 示 す れ ば,こ の 図 は 記 号 系 列 の ラ ン ダ ム ネ ス,ま た は 冗 長 度 を 示 す 。 画 像 解 析 の た め,ま ず 一 般 化 し た ユ次 元 の 記 号 に つ い て,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 な う。 そ して2 次 元 に 拡 張 す る 。 これ ら の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は 実 画 像 か ら得 る 系 列 依 存 性 の 解 釈 に 役 立 つ 、 2.31次 元 信 号 の 系 列 依 存 性 コ次 元 信 号 は 規 則 的 な 系 列,ラ ン ダ ム な 系 列, そ の 中 間 の 系 列 と3種 類 に 分 け て 考 え る"そ れ ぞ れ に つ い て シ ミ ュ レー シ ョ ン を 行 な い 実 画 像 解 析 の 足 が か り と す る 。 23.1規 則 的 な 系 列 {a)選 択 肢(S)一 定 で 周 期(T)を 変 化 選 択 肢 と い う の は 系 列 の 中 の,記 号 の 種 類 の 数 で あ る。 一 方,周 期 と は 全 く同 様 の 状 態 を 繰 り返 す 記 号 の 数 で あ る 。 0と 】の 二 っ の 記 号 か らな る 長 さ500飼 の3連 S;2,Tニ6〔00011100011… … 〕,5連S=2, T=-10〔0000011111000… ・一〕,お よ び9連S= 2,T=18〔OOOOOOOOOII1111111000… … 〕 系 列 の 系 列 依 存 性 をMilleレFrickの 方 法 で 計 算 す る 。Miller-Frickの 方 法 を 忠 実 に 行 な う 計 算 法 を こ こで は 全 数 計 算 と よ ぶ ④ 計 算 結 果 は 園 2.2の 実 線 で 示 す 。3連 は4次 以 上,5連 は6次 以 上,9連 は10次 以 上 で0と な っ た 。 す な わ ち, 規 則 的 なn連 の 記 号 系 列 はn+1次 で0と な り, そ れ 以 上 の 値 は0で あ る。 全 数 計 算 の 省 力 化 を 図 る た め,ラ ン ダ ム サ ンプ リ ン グ 法 を 開 発 し た 。 ラ ン ダ ム サ ン プ リ ン グ 法 と は,計 算 機 に よ って1∼500の 値 の 乱 数x(1≦ 躍 ≧500 ,xは 整 数)を 発 生 す る 。 そ して,た と え ばn連 の 系 列 の κ番 目 の 記 号 か ら10個 を と り 出 す 。 こ の よ う な 操 作 を500回 行 な い,こ の 新 し い 系 列 に っ い て 計 算 す る。 そ の 結 果 は 図2.2に ○, x,お よ び △ で 示 す よ う に 実 線 と の 間 で 大 体 一一一…致 して い る 。 さ ら に,全 数 計 算 の70〔%〕 の 点 を ラ ン ダ ム サ ン プ リ ン グ 法 で 指 定 し,計 算 を 行 な った 。
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図2、2500個
の0お
よ び1か
らな る3連,5連,
9連 の 系 列 依 存 性(実 線)。 ○,×,△
は
ラ ン ダムサ ンプ リ ング法 に よ る。
得 た結 果 は全 数 計 算 と よ く一 致 す る こ とが わ か っ
た 。 した が って 。 この 方 法 を 用 い れ ば,約30(%〕
の 省 力 が 可 能 で あ る 。
つ ぎ は,500個
の0と
ユか らな る3連 系列 に,
20,100,300個
の0ま た は1の 乱 数 を ラ ン ダ
ム な位 置 に混 入 して 新 しい系 列 を 作 る。 これ らの
系 列 は規 則 的 な系 列 と ラ ンダ ムな 系列 との 中 間 の
系列 に相 当 す る。 その 系列 依存 性 の計 算 結 果 は図
2.3に 示す 。 図 か ら明 らか な よ うに,混 入 す る乱
図2.33連
の 系 列お よび そ の 中 に乱 数 を混 入{
た と きの 系 列 の 計 算 結果 ◇
数 の 個 数 が 増 す ほ ど ラ ン ダ ム 性 が 増 加 す る 。 {b)周 期 一 定 で 選 択 肢 を 変 化 Tニ10,S=2〔11111000001111100… … 〕 の 系 列,T;10,S=3〔212120000021212000 … … 〕 の 系 列,お よびT=10,S=・4〔32ユ230000 03212300… … 〕 の 系 列 を 作 り,そ の 系 列 依 存 性 の 計 算 結 果 を 図2、4に 示 す 。Sが 異 な る の で0次 に お け る 旅 は 異 な る が,周 期 一 定 の た め 三 っ と も6次 でHN;0と な っ て い るeま た,曲 線 が 途 中 で 交 差 す る 。 そ れ はHNの 大 小 関 係 が 逆 転 して い る こ と を 意 味 す る。 図2.4規 則 的 な 系 列 依 存 性 。 周 期(T) 一 定10 ,選 択 肢(S)2,3,4。 lC)選 択 肢 と 周 期 の 両 方 が 変 化 S二3,T=12〔000111222111000… … 〕 の 系 列,S;4,T=18〔00011122233322211100 0111… …)の 系 列 お よ びS-5,T=24(0001 11222333444333222111000… … 〕 の 系 列 を 作 る 。 そ の 系 列 依 存 性 を 図2.5に 示 すeこ の 場 合 三 つ の 曲 線 の 交 差 は な い 。 周 期 が 変 わ る に もか か わ らず HN-0に な る 次 数 は 一一致 して い るG図2.5規 則 的 な 系 列 の 系 列 依 存 性 。SもTも 変 化,〔S=3,T=12),〔S=4,Tニ18〕, 〔S=5、T-24〕 。 2.3.2ラ ン ダ ム な 系 列 (a}選 択 肢(S)一 定 で 総 数(T)を 変 化 (Sニ3,Tニ50〕,(S=3,T=200〕,〔S=3, T=500〕 お よ び 〔S=3,Tニo・ 〕 の ラ ン ダ ム な 系 列 を 電 子 計 算 機 に よ って 乱 数 を 発 生 さ せ て 作 る ◎ そ の 系 列 依 存 性 の 計 算 結 果 は 図2.6で あ る.ラ ン ダ ム な 系 列 で あ る に も か か わ らず.飾 の 値 は 一 定 で な い 。 そ の 理 由 は 系 列 が 有 限 な た め で あ る 。 総 数 が 少 な く な る ほ ど,曲 線 が は や く0に 落 ち る 。 園2.6ラ ン ダ ム な 系 列 の 系 列 依 存 性 。 選 択 肢 (S)一 定3.総 数(T)50,200,500,くxl {b}総 数 一 定 で 選 択 肢 を 変 化 (S=2,Tニ100〕,〔S=3,T=100〕,〔Sニ 4,T=100〕 お よ び 〔S=6,T=100〕 の ラ ン ダ ム な 系 列 を 作 り,そ の 系 列 依 存 性 を 計 算 す る。 図2. 7に そ の 計 算 結 果 を 示 す 。 こ の 図 か ら気 付 く こ と は,各 曲 線 の 縦 軸 と 横 軸 と で 囲 む 面 積 が ほ ぼ 等 し い の で は な い か と い う こ と で あ る 。 各 曲 線 の 払 か らHNま で の 和 は 乳 い こ と が 証 明 で き る 。5) こ の 制 限 の も と に 二 つ の 曲 線 は 任 意 の 数 の 交 差 す る 点 を も つ こ と が 可 能 で あ る 。 図2.7ラ ン ダ ム な 系 列 の 系 列 依 存 性 。 総 数 一 定 100。 選 択 肢2,3,4,6。 (c}選 択 肢 と 総 数 の 両 方 が 変 化 〔Sニ2,T=25二32〕,〔S;3,T=35=243〕 お よ び 〔Sニ4,T-45ニ1024〕 の ラ ン ダ ム な 系 列 を 作 る 。 そ れ ら の 系 列 俵 存 姓 を 計 算 し,結 果 を 図 2.8に 示 す 。 こ れ は 規 則 的 な 系 列 の 図2.5に 相 当 す る 系 列 依 存 性 で あ る。"三 つ の 曲 線 は そ れ ぞ れHo が 異 な り,Hs-0で 一 致 し互 い に 交 差 す る こ と が な い 。
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図2。8ラ ン ダ ム な 系 列 の 系 列 依 存 性 。SもTも 変 化 〔S;2,T=32),〔S=3,T=243), {S=4,T=1024〕 2.42次 元 系 列 依 存 性 へ の 拡 張 2.4.12次 元 信 号 モ デ ル 2次 元 信 号 の 系 列 依 存 性 の 計 算 も1次 元 の 計 算 と ほ と ん ど 同 様 で あ るe1次 元 の 場 合 は1方 向 に 系 列 を と る だ け で あ る が,2次 元 で は あ る1点 に 対 して 系 列 は360eの あ ら ゆ る 方 向 に 存 在 す る。 しか し園2.9に 示 す2次 元 モ デ ル で は,あ る1点 に 対 して 隣 接 す る 点 は8点 で あ る の で8方 向 に 限 図2.92次 元3連 パ タ ー ン を 例 に と っ て 周 辺 効 果 を 説 明 す る 図9
定 して 系 列 を 調 べ る。2次 元 信 号 の系 列 依 存 性 に
つ いて シ ミュ レー シ ョンの結 果 は,傾 向 と して1
次 元 の場 合 と同様 で あ る た め省 略 す る、
計 算 の 際 に は周 辺 効 果 す なわ ち周 辺 の 影響 を考
慮 して 計算 す る必 要 が あ る。 これ を図2.9で
説 明
す る。 図 の よ うなパ ター ンの 周 辺 部 にお け るあ る
点(破 線 で示 したro」)に
対 して10次
ま で の
系 列 依存 性 を求 め る とす る。10個
の 信 号 の組 を
と ろ う とす る と き,10個
全 部 を とれ るの は3方
向 だ け であ る。 あ とは6個 が2方 向.2個
が3方
向 で あ る。 そ こで,6個
の 信 号 ま で しか とれ な い
もの は その 頻 数 を6個 の 信 号 の組 の頻 数 に,2個
ま で しか とれ な い もの は そ の 頻数 を2個 の 組 の 頻
数 に加 え て 計 算 を 行 な う。 この よ うに して 周 辺 の
情 報 もと り こん で 系 列 依存 性 を求 め る こ とが で き
る 倉
2.4.2系
列 依 存性 に よ る2次 元非 定 常 画 像 お よ
び定 常 画像 の 評価
(a}2次
元 非 定常 画像
(a)
(b)
(c)
図2.10(a}ボ ケ の な い 格 子,(b}中 ボ ケ の 格 ・子, (c)大 ボ ケ の 格 子(a)
(b)
図2.11(a)ラ ン ダ ム模 様(密),(b}ラ ン ダ ム 模 様(粗)。簡 単 な 例 と して,図2」0と 図2」1に 示 す 三 つ の 格 子 パ タ ー ン お よ び 二 つ の ラ ン ダ ム 模 様 の 評 価 を 行 な う。 写 真 の 濃 度 測 定 条 件 は つ ぎ の 通 りで あ る 。 マ イ ク ロ デ ン シ トメ ー タ ー の ス リ ッ ト面 積 は100 ×100〔 μm2),サ ン プ リ ン グ 間 隔 は100〔 〔μ m2),走 査 速 度 は100〔 μm/秒 〕 で2次 元 走 査 を 行 な う 。 系 列 依 存 性 の 計 算 結 果 を 図2.12に 示 す 。 計 算 量 を で き る だ け 減 ら す た め,測 定 濃 度
図2」20U2.10と
図2.11に
示 した パ タ ー ンの
系 列 依 存性
を 適 当 な幅 で 量子 化 す る。 も ちろ ん,系 列 依 存 性
を比 較 す る とき に は この量 子 化 の幅 を一 定 にす る
必 要 が あ るeこ の 例 で は.濃 度 幅O.1で
量 子 化 し
て い る◇
図2.12か
らつ ぎの よ うな こ とが わ か る。Ho
の値 は量 子 化 した 濃 度 の種 類 の数 を 示 して い るの
で,三 つ の 格 子パ タ ー ンの 中 で は,ボ ケ な しの 濃
度 種 類 が も っ と も多 く,つ いで 中 ボ ケ,大 ボ ケの
順 にな って い る。 ま た,ラ
ンダ ムな 場 合 の 密模 様
と 粗模 様 で は濃 度 の 種 類 が 同 じで あ るe計 算 は ノV
=12ま
で 行 な った。〈1-12の
と こ ろでHNの
値
を 比 較 す る と,三 つ の 格 子 パ タ ー ン の 巾 に は,人 ボ ケ の ラ ン ダ ム ネ ス が も っ と も大 き い 。 つ い で 中 ボ ケ,ボ ケ な し の 順 に な って い る ◎ ま た,粗 模 様 の ラ ン ダ ム ネ ス は 密 模 様 の そ れ よ り も 大 き い 。 (b}2次 元 定 常 画 像 定 常 画 像 の1例 と して,一 様 に黒 化 した フ ィル ム の 濃 度 分 布 の 系 列 依 存 性 を 調 べ る、 資 料 と して, KodakのX線 フ ィル ムXRP(青 感 性.標 準 感 度),OG(緑 感 性,標 準 感 度)お よ びOH(緑 感 性,高 感 度)の3種 類 を 用 い るe照 射 条 件 は 管 電 圧80〔kVp〕,管 電 流50〔mA〕,焦 点 一 フ ィ ル ム 間 距 離180〔cm〕 で,フ ィル ム の 拡 散 濃 度 が0,60±0.03に な る よ う に 時 間 を 考 え て 撮 影 す る 。 濃 度 測 定 条 件 は(a)の 場 合 と 同 様 で あ り, そ の 系 列 依 存 性 の 計 算 結 果 は 園2.13の 通 り で あ る 。 図2.13Kodakフ イル ムXRP,OH,OG の 系 列 依 存 性Vol. 14. No. 1 (1984)—2
9—
縦 軸 は 粒 状 牲 に 関 す る 値 で,横 軸 は 鮮 鋭 度 に 擢 す る 値 で あ る の で は な い か と 考 え られ る 。 詳 し し こ と は §3で 述 べ る 。Hoの 値 を 比 較 す る と,Xfi Pの 粒 状 性 が も っ と も わ る い 。 つ い でOH,OC の 順 に な っ て い る ◇ ま た,横 軸 の 値 を 比 較 す る と OGは も っ と も鮮 鋭 度 が よ い 。 つ い でOH,XRF の 順 に な って い る ￠ 2.5お わ り に 画 像 評 価 の た め,1次 元 系 列 依 存 性 を2次 元 に 拡 張 した 、 シ ミ ュ レ ー シNン の 結 果 に よ って2玖 元 系 列 依 存 性 の 詳 細 が よ く考 察 で き た 。 周 辺 効 架 を 取 り 入 れ る こ と に よ って 正 確 な 計 算 結 果 を 得 る こ と が で き た 。 ラ ン ダ ム サ ン プ リ ン グ 法 を 用 い る こ と に よ って 約30〔%)の 省 力 が 可 能 と な っ た 。 シ ミュ レ ー シ ョ ン結 果 の 実 画 像 評 価 へ の 適 用 は § 3と §4で 述 べ る 。 文 献 1)S.UchidaandD.Y.Tsai,Jpn.J.Appl. Phys.1Z2029(1978). 2)S.Uchida,H.InatsuandH.Fujita, Jpn.J.AppLPhys.19,ll77(1980). 3)S.Uchida,A.OhtsukaandH.Fujita, Jpn.J.ApPl.Phys.20,629(1981). 4)H.Inatsu,S.UchidaandH.Fujjta, Jpn.J.ApPLPhys.21,董606(1982). 5)内 田 勝,放 射 線 技 術 者 の た め の 艦精 報 工 学" (通 商 産 業 研 究 社,東 京,1984). 6)F.Atteneave,Applieationoflil/eorma. tionTheorアtoPsアeholo8ア(Holt ,Rine・ hartandWinston,NewYork ,1959). 7)G.A.MiHerandF.C.Frick ,Psychol. Rev.56,311(1949). §3定 常 画 像 の 解 析 3.1は じ め に 従 来,定 常 画 像 は ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル で 粒 状 性 を,MTFで 鮮 鋭 度 を そ れ ぞ れ 評 価 して い た 。 こ れ ら二 つ の 量 を1元 評 価 す る の に §2 .で述 べ た 系 列 依 存 牲 を 導 入 す る 。 そ して,フ ィ ル ム だ け の と き と,フ ィル ム と 増 感 紙 を 組 み 合 わ せ た 場 合 の 系 列 依 存 性 の 意 味 に つ い て 考 察 す る. 3.2フ ィ ル ム だ け の 系 列 依 存 性 3.2,1資 料 と し た フ ィ ル ム フ ィル ム の 拡 散 濃 度 がO.60に な る よ う に 一 様 にX線 を 照 射 し,定 常 画 像 の 資 料 と した 。 照 射 条 件 は, 管 電 圧180(kVp〕,管 電 流 二50〔mA), X線 管 焦 点 と フ ィ ル ム の 距 離:180(cm), で あ り,照 射 時 間 を 変 化 して 濃 度 が 同 一 と な る よ う に .した 。 実 際 に 露 光 した フ ィル ム の 濃 度 はO.60 ⊥O.03の 範 囲 で あ る 。 資 料 と して 用 い た フ ィル ム と 露 光 時 間 を 表3.1 に 示 す 。 現 像 は 自 動 現 像 機 を 用 い た 。 上 述 の よ う に して 作 製 した 資 料 の 濃 度 の 均 一 な 部 分 を 選 び,図3.1に 示 す ① ∼ ⑤ の5箇 所 を マ イ 表3.1資 料 と して 用 い た フ ィ ル ム
ク ロ フ ォ トメ ー タ で2次 元 的 に 走 査 し,濃 度 分 布 を 測 定 した 。 一 つ の 測 定 箇 所 の 大 き さ は3x3 〔㎜2〕 で あ る。 こ の 部 分 を100〔Ptm)ご と に サ ン プ リ ン グ し,30×30個 の 測 定 値 を 得 た 。 マ イ ク ロ フ ォ トメ ー タ の ス リ ッ ト面 積 は100×100 〔μm2〕 で あ るe 函3.1系 列 依 存 牲 を 計 算 す る た め マ イ ク ロ フ ォ トメ ー タ で2次 元 走 査 し た 位 置 資 料 と した フ ィ ル ム の ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル を 図3・2に 示 す 。 こ れ ら はMaximumEntropy Method(MEM)で 計 算 し た 結 果 で あ る 。 図3. 2{a}(富 士 の フ ィ ル ム)で は,粒 状 性 につ いてRX とRXO-Hは 同 程 度 で あ り,RXO-Gが 他 の 二 つ よ り も よ い 。 ま た.図3.2(b)(サ ク ラ の フ ィル ム)に つ い て は,A,AO,AOGの 順 に 粒 状 性 が よ く な って い る 。 ど ち ら も 感 度 が 低 く な る と 粒 状 性 が よ くな る と い う 傾 向 を 示 し て い る.
図3.2フ
ィル ム だ けの ウ ィー ナ ース ペ ク トル
(MEM法)。
3.2.2系
列 依 存 性
§2.で 述 べ た 方 法(2次
元 に 拡 張 した系 列 依 存
性 の 計 算)を 用 いて 求 め た 定 常 画像 の 系 列 依 存 性
を図3.3に
示 す 。 これ は 図3.ユ に示 す5箇 所 の そ
れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 の 計算 結 果 の平 均 値 で あ る◎
濃 度 は001で
量 子 化 してい る。 これ らの 系 列 依 存
性 と粒状 性 お よ び鮮 鋭 度 と の関 係 をつ ぎ に述 べ る。
{a)粒 状 性 と の関 係
図3。3において,0次
の 推 定 値Hoは
式(2.1)の
計算 結 果で あ る。す なわ ち,量 子 化 した 濃度 の種
類mの2を
底 と した 対数 で あ る。 した が って,濃
度 の 種 類 が 多 い ほ ど 橘 の 値 は 大 き くな る。 濃 度
. No. 1 (1984)
-3 1— Vol.
14
図3.3フ ィ ル ム だ け の 系 列 依 存 性 の 種 類 が 多 い と い う こ と は 粒 状 性 が わ る い こ と で あ り,」%の 大 き さ は 粒 状 性 に 関 係 した 量 と 考 え る こ と が で き る ◎ 図3.2の ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル の 関 係 と比 較 す る と粒 状 性 に つ い て 同 様 の 傾 向 を 示 して い るe図32(b}と 図3.3(b}に お い て,Aと AOに 注 目 す る と,図3.2{b)の ウ ィー ナ ー ス ペ ク ト ル よ り も図3.3(b}の 系 列 依 存 性 のHoの{直 の ほ う が 粒 状 性 の 違 い が は っ き り わ か る 。 こ の よ う に, 系 列 依 存 性 を 用 い て 感 度 よ く粒 状 性 を1元 評 価 で き る。 1次 の 推 定 値Hlは 異 な る 濃 度 の 出 現 確 率 に よ る エ ン トロ ピ ー を 示 して い る￠ §2で 述 べ た よ う に,Hiか ら推 定 値HNが0 と な る ま で の 和 は 等 しい 。 した が っ て,少 く と も 一 つ の 交 点 が で き る 。 交点 か ら次数 の低 い部 分 の 飾 は 粒 状 性 の ラ ン ダ ム ネ ス に 関 係 し た 量 で あ る。 (b}鮮 鋭 度 と の 関 係 §2.で す で に 出 て き た が,HNはN番 目 の 記 号 が 占 め る 新 し い 情 報 を あ ら わ ず(図2.1参 昭)^
この新 し く付 け加 わ る情 報 が
何で あ るか を つ ぎ に述 べ る。
図3.4{a}(線
像 濃度 分布)
にお い て 実 線AはO点
に お け
る一 定 の π次外 挿 曲線 で あ る
とす る◎ この直 線 か らはず れ
る,す な わ ち外 挿 曲線 か らず
れ る ほ ど 付 け加 わ る情 報 は大
き い と考 え る￠ した が って0
点 近 傍 にお いて,実 線Bよ
り
も破 線Cの 方 が 外 挿 曲 線 か ら
の ず れ が 大 き く,付 け加 わ る
情 報 が 大 きい 。 この よ うにB,
C曲 線 の 各 位 置 にお け る一 定 のn次 外挿 曲線 か ら
のず れ が 新 し く付 け 加 わ る情 報 で あ る とす る。董)
した が って,実 線Bの α 以 下 の 部 分 の よ うに外 挿
醜線 に乗 った と考 え られ る場 合 は付 け加 わ る情 報
が な く,HNは0と
な る◎ これ は図3.4{b)に お け
図3.4系
列依 存 牲 と線 像 濃度 分 布(鮮 鋭 度)と
・
の関 係 。
る実 線Bが7次
で0に な って い る こ とに 相 当 す る
この と き,破 線Cの
β以 下はO点 近 傍 の 情 報 のメ
小 か らまだ外 挿 曲 線 に乗 って い る とは 考 え られ ね
いで,HNは0と
は な らな い 。 これ は図3.4(b}に
お け る破 線Cが7次
で0に な らず,8次
で0に な
る こ とに相 当 す るe以 上 の よ うに,図3.4(a}の
集
線Bに 対 応 す る系列 依 存 性 が 図3.4(b}の 実 線Bて
あ る。破 線Cに
つ い て も同様 で あ るe外 挿 曲 線 か
らの ず れ が大 き い ほ ど,す なわ ち,線 像 濃 度 分轟
が 狭 い ほ ど鮮 鋭 と な り高 い次 数 でHNが0と
な る
この こ とか ら,図3.4(b)に
お いて 交 点 か ら次数 の
高 い部 分,と
くにHNが0と
な る次数 が 鮮 鋭度 に
関 係 した量 で あ る と考 え る こ とが で き,鮮 鋭 度 を
1元 評 価 で き る。
図3.3に
示 す フ ィル ムだ け の 系 列依 存性 に お
いて,Hoが
小 さ くな るほ ど,す な わ ち,粒 状
表3.2増
感 紙 と組 み 合 わ せ たフ ィル ム
表3。3増 感 性*希
土類増感紙
性 が よ くな るは ど 高 い次 数 でHNの
植 が0と な っ
て い る.必 ず しも一 般 的 な こ とで は な い が,フ
ィ
ル ムだ けの 場 合 に は,粒 状 性 の よ い もの は鮮 鋭 度
もよ く,粒 状 性 の わ るい もの は鮮 鋭 度 もわ るい 。
した が って,こ れ らの 結 果 は⊥ 述 した外 挿 曲 線 か
らの ず れ が新 しく付 け 加 わ る情 報 で あ る とい う考
え に矛 盾 しな い 。
ま た別 につ ぎの よ うな理 由を 考 え る こ と もで き
る。
系 列 依 存 性 の 強 い文 章 は 間 違 う こ とが少 な く,
理 解 しや す い。 これ は画 像 の 認 知 に つ い て もい え
る こ とで あ る.
定 常 画 像 にお いて は,系 列 依 存性 が 強 い と い う
こ とは 濃度 分 布 の 図 柄 が わ か りや す い こ とで あ り,
弱 い とい うの は わ か りに くい こと で あ る 。す な わ
ち,濃 度 分 布 が荒 くて あ るい は不 均 等 で 認 知 しや
す い とき は,そ の 図柄 はわ か りやす い⇔ それ が わ
るい鮮 鋭 度 に結 果 す る と考 え られ る。 一 方,濃 度
分 布 が細 か くて あ る い は均 等 で認 知 しに くい と き
は,そ の図 柄 は わか りに くい。 す な わ ち,結 果 と
して よ い鮮 鋭 度 を意 味 す る もの と思 わ れ る、
3.3フ
ィ ルム と増 感 紙 を組 み 合 わ せ た と き の系
列 依 存 性
っ ぎ に フィル ム と増 感 紙 を組 み 合 わ せ た とき の
表3.4フ
ィル ム と増感 紙 の組 み合 わ せ
Vol. 14. No. 1 (1984)
—3 3—
系 列 依 存 性 に つ い て 述 べ る 。 用 い た フ ィ ル ム を 表 3.2に,増 感 紙 を 表3.3に 示 す 。 ま た.こ れ ら を 組 み 合 わ せ た と き の 照 射 時 間 を 表3.4に 示 すe照 射 条 件 は, 管 電 圧:70〔kVp),管 電 流;50〔mA〕, X線 管 焦 点 と フ ィル ム の 距 離:198〔cm〕, で あ る 。 LT-ll/XSとLH一 皿/CRONEX4の 組 み 合 わ せ で は,H-D曲 線 は 同 一 の 形 を して お り, LT。 ∬/XSの ほ う がLH一 皿/CRONEX4よ り も 約L6倍 感 度 が 高 い ◇KS/OHとKH/AOGの ■A-2 園3.5フ ィ ル ム と 増 感 紙 を 組 み 合 わ せ た と き の ウ ィー ナ ー ス ベ ク トル(FFT法)。 組 み 合 わ せ は 濃 度 が1の と き 同 一一の 感 度 で あ る 。 こ れ らの ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル を 図3。5に 示 す 。 こ の ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル はFastFourier Transform(FFT)で 計 算 し た 。LT-ll/XS とLH-一 皿/CRONEX4(図3.5(a})と は ウ ィー ナ ー ス ペ ク トル は ほ ぼ 同 一 で あ り.粒 状 性 に 関 して 差 は な い と考 え る こ と が で き る。KS/OHとKH /AOG(図3.5(b))と で はKH/AOGの ほ うが わ ず か ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル の 値 が 小 さ く,粒 状 性 が よ い と み な す こ と が で き る 。 到3.6フ ィル ム と 増 感 紙 を 組 み 合 わ せ た と き の MTF(従 来 の チ ャ ー ト法)。
MTFを 図3.6に 示 す 。 こ れ ら のMTFは 従 来 の チ ャ ー ト法 で 測 定 した 結 果 で あ る 。 図3。6(a}の よ う に,MTFはLT一 皿/XSがLH-ll/CRONE X4よ り よ い 。KS/OHとKH/AOG(図3.6(bl) で はKS/OHの ほ うが,KH/AOGよ り も よ い 。 こ れ ら の 組 み 合 わ せ の 系 列 依 存 性 を 図3.7に 示 す 。 系 列 依 存 性 の 計 算 方 法 は フ ィル ム だ け の と き と 同 様 で あ る 。 粒 状 性 に つ い て は,LT一 皿/XS とLH一 皿/CRONEX4(図3.71a})はHoの 値 が 同 一一で あ り,図3.5{a}の ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル と 同 じ結 果 で あ る 。KS/OHとKH/AOG(図3.7 {b})で は 橘 の 値 の 差 が 大 き く 出 て お り,図3.5 ㈲ の ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル よ り も粒 状 性 の 良 否 が よ く わ か る 。 粒 状 性 に 関 して は ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル よ り も 系 列 依 存 性 の ほ うが1元 的 に は よ くわ か る 。 鮮 鋭 度 に つ い て はLT一 皿/XSの ほ う が,LH 一皿/CRONEX4よ り も わ ず か に よ い(図3 .7
(a})。 図3.6{a}のMTFと
同様 の 結 果 で あ るが,
MTFで
わ か る ほ ど の大 き い差 は 出 て い な い。
KS/OHとKH/AOGに
つ いて も,MTFで
は
違 いが わ か る が(図3.61bl),系
列 依存 性 で は差
が 出て こな い(図3.71b})◎
いま ま で の例 で は,
鮮 鋭 度 に関 して 系 列 依 存 性 はMTFほ
ど1元 的 に
もその 差 が よ く出 て い な い 。
3.4お
わ りに
フ ィル ム だ け お よ び フ ィル ム と増 感 紙 を 組 み 合
わ せ た と き の系 列 依 存 性 を求 め.ウ
ィー ナー ス ペ
ク トル お よ びMTFと
の関 係 につ いて考 察 したe
系 列 依存 性 の0次 の 推 定 値Hoの
値 が 粒状 牲 に
関係 した量 で あ る と考 え られ る。 そ して,ウ
ィー
ナ ース ペ ク トル よ りもよ い感度 で 粒 状性 を あ らわ
して い る。
系 列 依 存 性 の 推 定 値 琢
が0と な る次数 が 鮮
鋭 度 に関 係 した値 で あ る と推 定 され る。 しか し,
鮮 鋭 度 に関 して はMTFほ
ど に は 明確 な差 が 出 て
こな い。 この こと に つい て も,
も っ と違 い の よ くわ か る フ ィ
ル ム と増感 紙 の 組 み 合 わ せ を
捜 して い ると こ ろで あ るの
MTFの
差が 大 き くな る と系
列 依 存 性 の交 点 が 二 つ 以上 存
在 し,HeとHlの
大 き さの
関 係 が逆 にな る と予 想 して い
る。
な お,鮮 鋭 度 につ い て,そ
の差 が は っき り しな い理 由 を
隔調 べ て い るが
,そ の 一 つ と し
て つ ぎ のよ うな こ とを考 え る
こ とが で き る。 す な わ ち,こ
図3.7フ
ィ ル ム と増 感 紙 を組 み 合わ せ た と きの 系列 依 存 性
Vol. 14. No. 1 (1984)
—3 5—
のMTFは 従 来 の 入 力 チ ャ ー トコ ン トラ ス トを1 と し た 計 算 法 で 出 し,コ ル トマ ン補 正 し た も の で あ る 。 これ は 正 し く な い 方 法 で,§6.で 述 べ る よ う に 入 力 チ ャ ー ト コ ン ト ラ ス トで 出 力 コ ン ト ラ ス トを 除 算 す る 必 要 が あ る 。 こ の よ う に し て 求 め た MTFが 系 列 依 存 性 と ど の よ う な 関 係 に な る か は ま だ わ か って い な い 。 しか し,一 つ の 図 面 で 粒 状 性 と 鮮 鋭 度 を あ らわ して1元 評 価 で き そ うで あ る 。 さ ら に 多 く の 資 料 に つ い て 系 列 依 存 性 と ウ ィ ー ナ ー ス ペ ク トル お よ びMTFの 関 係 を 検 討 中 で あ る。 文 献
1) N. Wiener, Extrapolation,
Interpola-tion, and Smoothing of Stationary Time
Series (The Technology
Press of the
Massachusetts
Institute
of Technology
and John Wiley & Sons, Inc., New York,
1950).
§4.非
定 常 画 像 の 解 析
4.1は
じめ に
実 画 像 を 評価 す る ため の準 備 と して,§2で
は
種 々 のパ タ ー ンの系 列 依 存V{i'2)を 検 討 した。 こ
こ で は,被 写 体 を 含 ん だ 非 定 常 画 像の 系 列 依 存 性
に よ る解 析 につ い て 述 べ る。
ただ し,実 際 の 被 写 体 とい って も,非 常 に異 な
るパ タ ー ンか 広 範 囲 に 含 まれ るも ので あ って は 好
ま し くな い 。 な ぜ な ら,そ れ は エ ルゴ ー ド性 を 無
視 す る こ と にな るか らで あ る。
こ こで は,非 定常 画像 の資 料 と して 。 医学 的 な
画 像 と 無機 質 的 な 画 像 の二 つ の タ イブ を取 り上 げ
た 。 前 者は 系列 依 存性 の 医学 的 診 断 へ の適 用 の検
討 の た め であ り,後 者は 系列 依存 性 の 性質 の 検 討
の た めの もの で あ る。
(al
(b;
(c)
図4.1(a顧 部,(b胸 椎,〔c)胸 部 のX線 写 真4.2頭 部 。胸 椎 ・胸 部 の 系 列 依 存 性 ま ず,頭 部,胸 椎,胸 部 の3枚 のX線 写 真 を, 35ミ リ ネ ガ フ ィル ム に 複 写 した(図4.1)。 そ れ ら の ご く一 部(7m×7㎜)の 濃 度 分 布 を マ イ ク ロ デ ン シ トメ ー タ ー で 測 定 し ,0.2で 量 子 化 して 計 算 の 資 料 と し た 。 な お,そ の 部 分 は 図 に 四 角 枠 で 示 して お く。 マ イ ク ロ デ ン シ トメ ー タ ー の ス リ ッ トは100,ttmX100μ 祝 で,サ ンプ リ ン グ 間 隔 は100μ 肌 で あ る 。 結 果 は 図4.2の と お り で あ る。10次 の と こ ろ に 注 目 す る と,頭 部 に 強 い 系 列 依 存 性 が あ る こ と 図4.2頭 部(Head),胸 椎(Stomach),胸 部 (Chest)の そ れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 が わ か る 。 こ れ は,頭 部 の 対 称 性 に よ る も の だ と 思 わ れ る 。 ま た,胸 椎 は 胸 部 よ り対 称 性 が い い の で 系 列 依 存 性 も わ ず か に 胸 椎 の 方 が 強 い よ うで あ る。X線 写 真 か ら見 て,も っ と 大 き な 差 が 出 そ う で あ るが,計 算 の 簡 略 の た めO.2で 量 子 化 して 選 択 肢 の 数 を 減 ら して い る の で(頭 部10,胸 椎8. 胸 部5),こ の 図 形 の 真 の 情 報 を 十 分 取 り 出 して い な い よ う で あ る 。
4.3早
期 癌 の系 列 依 存 性
図4.3食 道 の 早 期 癌 の 切 除 標 本 写 真 つ ぎ に,食 道 の 早 期 癌 の 切 除 標 本 写 真 を 取 り上 げ た(図4.3)。 そ の35ミ リネガ フ ィル ム の 一 部 (3rm×3nzm)で の 濃 度 分 布 を マ イ ク ロ デ ン シ ト メ ー タ ー で 測 定 しO.02で 量 子 化 し 計 算 資 料 と し た 。 た だ し デ ン シ ト メ ー タ ー で の 測 定 条 件 は42 と 同 じ で あ る 。 図4.3に は 枠 が2箇 所 あ る が,上 の 枠 は 早 期 癌 の 異 常 組 織,ド は 正 常 組 織 の 場 所 を 示 し て お り,そ れ ぞ れ に つ い て 測 定 し,計 算 した 。 ま た,測 定 面 積 を 小 さ く して エ ル ゴ ー ド性 を 高 め た こ と と,量 子 化 の 濃 度 幅 をO.02と 小 さ く し た こ と で 精 度 を 高 め た 。 そ の 結 果 は 図4.4の と お り で あ っ た 。図4.4食
道 の 早 期 癌 の 異 常 組 織 と 正 常 組 織
の 系 列 依 存 性
Vol. 14. No. .1 (1984)
_37_
図4,4の 結 果 に 対 応 す る 記 号 系 列 が §2.の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 中 に あ る 。 そ れ は,0000011111 0000… と000002121200000… の 二 つ の 記 号 系 列 で あ る 。 図4.5に そ れ を 示 して お く。 つ ま り, 正 常 組 織 の 濃 度 分 布 はOOOOO11111の よ う に 規 則 正 し く,異 常 組 織 の 場 合 は0000021212の よ う に 脈 動 し た 記 号 列 に 対 応 して い る と 考 え ら れ る 。 こ の こ と か ら,正 常 組 織 は き れ い な 規 則 性 を も っ て お り,異 常 組 織 は 周 期 は 同 じで あ る が 表 面 が 崩 れ た も の で あ る と 予 想 で き る 。 図4.5図4.4の 系 列 依 存 性 と 対 応 す る 記 号 列 4.4無 機 質 的 な 像 の 系 列 依 存 性 も う 少 し一 般 的 な こ と を 見 る た め に,つ ぎ の3 枚 の 像(図4.6)に つ い て 検 討 した 。 資 料 は35ミ リネ ガ フ ィ ル ム で あ り,18ma× 18nmiの 範 囲(図4.6の そ れ ぞ れ の ほ ぼ い っ ぱ い の 大 き さ)の 濃 度 分 布 を 測 定 した 。マ イク ロデ ン シ トメー タ ーの ス リッ トは600μ 飢 ×600μ7π で サ ン プ リ ン グ間 隔 は600μ πしで あ る 。 ま た,量 子 化 は O.02で あ る 。 §2.に お い て の シ ミ ュ レ ー シ ョ ンのn連 に 立 ち 戻 って み る 。n連 のnが 小 さ い ほ ど低 い 次 数 でH
図4.6距
離 を 変 え て 撮 影 した ブ ロ ックの 写真
●■ 図4.7ブ ロ ッ ク の 人 き さ の 違 い に よ る そ れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 が0に な る こ と が わ か って い る 。 こ れ と 同 じ結 果 が 図4.7に み られ る こ と か ら,像 の パ タ ー ンが 細 か い ほ ど,Hが 早 く0に な る よ う で あ る 。 も う一 っ 水 玉 模 様(図4.8)に っ い て 同 様 の こ と を 行 な い,結 果 を(図4.9)に 示 して お く。 水 玉 模 様 も細 か い ほ ど 落 ち る 特 性 と な っ て い る。 この二 つ の 結 果 か ら,細 か い パ タ ー ンを も つ も の ほ ど 系 列 依 存 性 は 強 く,全 体 と して 細 か い 豫 が 認 知 し や す い よ う で あ る 。図4.8距
離 を変 え て 撮 影 した 水玉 模 様 の写 真
図4.9水 玉 模 様 の 大 き さ の 違 い に よ る そ れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 つ ぎ に 形 状 の 違 う 像(図4.10)に つ い て 検 討 して み た 。 図4.11か ら,最 も 系 列 依 存 性 が 強 い の は 岩 と な って い る 。 一 見 す る と 最 も 細 か い パ タ ー ン は 水 玉 で あ る よ う に 見 え,前 の 結 果 と 矛 盾 す る よ う に 思 わ れ る。 しか し,よ く 見 る と 岩 や ブ ロ ッ ク の 濃 度 の 高 い 部 分 が 一 様 で な く,か な りバ ラ つ い て い る の が わ か る 。 そ の た め に 水 玉 よ り も 細 か い パ タ ー ン が 存 在 し,岩 と ブ ロ ッ ク を 比 べ れ ば,岩 の 方(a)
(b)
(c)
図4.10{a}水 玉 模 様,{b}ブ ロ ッ ク,{c}岩 図4.11図4.10の そ れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 が よ り細 か い の で あ ろ う 。 つ ま り形 状 が か わ っ て も像 の 細 か さ が か な り 人 き く影 響 し て い る よ うで あ る 。 岩 に つ い て も 大 き さ を か え て 調 べ て み た(図4. 12)。 そ の 結 果 は 図4.13の と お りで あ る 。 図413で は 差 が ほ と ん ど み られ な い 。 こ れ も 像 が 一 様 な 濃 度 分 布 で な い た め だ と 思 わ れ る 。 つ ま り,細 か さ が ど れ も 同 じよ う に な って い て,特 性 が 同 じ に な って し ま っ た よ う で あ る。 そ こ で, 量 子 化 の 幅 を0.10と して み た 。Vol. 14. No. 1 (1984)
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図4.12距
離 を変 えて 撮 影 した 岩 の 写 真
図4.13図4.12の そ れ ぞ れ の 系 列 依 存 性 図4.14量 子 化O.1の と き の 岩 の 大 き さ の 違 い に よ る系 列 依 存 性 図4.14は,図4.7や 図4.9の よ う に は っ き り と し た 差 は 出 て い な い が,図4.13よ り は 区 別 し や す く な って い る 。 そ の 傾 向 と して,や は り 細 か い ほ ど 早 く0に 落 ち て い る よ う で あ る 。 最 後 に 岩 の 例 を と って 量 子 化 の 違 い に よ る 系 列 依 存 の 違 い を 図4.15に 示 し て お く。 こ こ で も,量 子 化 の 幅 が 小 さ い ほ ど,つ ま り像 が 細 か い ほ ど 早 く 落 ち て い る こ と が わ か る 。 図4.15岩 の 場 合 の 量 子 化 の 違 い に よ る 系 列 依 存 性 4.5胃 癌 ・胃 か い よ う ・胃 炎 の 系 列 依 存 性 系 列 依 存 性 が 医 療 へ の 適 用 の 可 能 性 を も つ,と い う 二 つ の 例 を あ げ て お く。 一 つ は 胃 癌 と 胃 か い よ う と の 比 較 で あ る(図4 . 16)。 そ れ ら を35ミ リ ポ ジ フ ィ ル ム に 複 写 し た 。 そ れ ぞ れ の 正 常 部 と 異 常 部 の3imn×3㎜ の 範 囲 の 濃 度 分 布 を,ス リ ッ ト100μ7π ×100,Ltmの マ イ ク ロ デ ン シ トメ ー タ で サ ン プ リ ン グ 間 隔100Ptm で 測 定 し,量 子 化0.02で 資 料 を 作 っ た 。 胃 癌 と 胃 か い よ う の 系 列 依 存 性 の 特 性 は よ く似 て い る(図4.17)。 これ は 癌 も か い よ う も 表 面 上 は 非 常 に よ く似 て い る と い う 医 学 的 事 実 と 一 致 し図4.16(a}胃 癌 。 中 央 の 四 角 枠 が 異 常1離 左 上 の 四 角 枠 が 正 常 部 図4.16{b}胃 か い よ う。 中 央 の 四 角 枠 が 異 常 部, 右 上 の 四 角 枠 が 正 常 部 図4.17胃 か い よ うCl)と 胃 癌 〔2}の系 列 依 存 性 て い る 。 つ ぎ の 例 と して,二 つ の 胃 炎 のX線 写 真 像 を と り上 げ た(図4.18)。 そ れ ぞ れ の 正 常 部,異 常 部 の 計4ケ 所 を は じ め の 例 と 同 じ測 定 条 件 で 測 定 し た 。 図4.18(a}胃 炎 〔1) 左 の 四 角 枠 は 異 常 部,右 の 四 角 枠 は 正 常 部 図4.18(b)胃 炎(2} 左 の 四 角 枠 は 異 常 部,右 の 四 角 枠 は 正 常 部 図4.18の 結 果 を 図4.19に 示 し て お く。 図4.19 か ら,正 常 部 と 考 え た と こ ろ の 二 つ の 系 列 依 存 性 の 特 性 は よ く一 致 して い て,異 常 部 の 特 性 は 大 き
Vol. 14. No. 1 (1984)
—4 1—
く異 な って い る。 これ は 胃炎 の 程度 の 差 に よ る も
のだ と考 え られ る"
図4.19胃
炎11),{2}の 系 列依 存 牲
4.6お
わ りに
系 列 依存 性 に よ る解 析 の最 終 的 な 目的 は,X線
医 療写 真 像 の解 析 で あ り.診 断 へ の適 用 で あ る。
こ こで は,像 の細 か さにつ いて の性 質 は 確 か め ら
れ た 。 しか しな が ら.系 列 依 存 の他 の 性 質 を 知 る
た め に は,多
くの シ ミュ レー シ ョ ンにつ い て 調 べ
る必 要 が あ る。 そ れ を前 提 と して 適 用 を 進 め るべ
き で あ る。 ま た最 後 の二 つの 例 か らわ か るよ うに,
画 像 を定 量 化 す る こ とが で き る と思 わ れ るが,解
析 に は 医学 の 分 野 と深 くか か わ る こ とか ら.ド ク
タ ーと の共 同 研 究 が必 要 で あ る。
最 近 のDigitalRadiographyの
評価 に つ い て
一 言 の べて お く
。 写 真 像 のS/N比
は 空問 周 波数
処 理 あ るい は階 調 処 理 を して も ほ とん ど 変 化 しな
い。 それ に もか か わ らず,処 理 しな い写 真 よ り も
階 調 処 理 を した方 が 見や す く,空 闇周 波 数 強調 処
琿 した 方 が 微 細 部 が 見 や す くな る.こ れ は従 来 の
物 理 的 評価 法 で は 説 明 が つ か な い 。
低 空間 周波 数 強 調 を した 胸 部写 真 は,強 調 しな
い も の に く らべ て雑 音 は多 くな るが,認 知 しや す
い写 真 に な る こ と は よ く知 られ て い る心 す な わ ち,
粒 状 性 は わ る くな って も信 号 が は っき りす る こと
の方 が 認 知 しや す い と い う こ とで あ る。 これ は知
覚 系 を 通 した人 間 の パ タ ー ン認 識 の しわ ざ で あ る
が,こ
こ に もパ タ ー ンの 系 列 依 存牲 が 定量 化 の道
具 と して 役 立 つ の で は な か ろ うか 。 それ は系 列 依
存 性 は も と も と人 間 心 理 に お い て大 き な役 割 りを
した 手 法 だ か らで あ る、 系列 依存 性 の 強 い文 章 は
間 違 う こ とが 少 な く理 解 しや す い.こ れ は画 像 の
認 知 に つ い て もい え る こ とで あ る。 非 定 常 画 像 に
お いて は,系 列 依 存性 の 強 い パ タ ー ンは認 知 しや
す い 画 像 で あ ろ う。 そ れ に対 して弱 いパ タ ー ンは
認 知 しに くい 画像 と い うこ と が で き そ うで あ る。
今 後 の 問題 と して 期 待 を も って い る。
文
献
1) F. Atteneave, Application
of
Informa-tion Theory to Psychology (Holt
Rine-hart and Winston, New York, 1959).
2)小 野 茂,心 理 学 に お け る 数 学 的 方 法(培 風 館,東 京,1976)。 §5.拡 張 さ れ た ラ ン ダ ム ド ッ トモ デ ル 5.1は じ め に ラ ン ダ ム ド ッ トモ デ ル(Random・dotmodel, 略 してRDM)は,1955年 にPicinb。r。')お よ びSaveUi2)に よ っ て 提 案 さ れ て 以 来,写 真 粒 状 が 関 連 す る 多 くの 分 野 で 利 用 さ れ て 来 た 。3・4)し か し な が ら,こ の モ デル に お い て,モ デ ル 銀 粒 子 は フ ィ ル ム 面 上 に 一 様 な 密 度 で 分 布 す る も の と仮 定 して お り.し た が っ て 還 子 モ トル5)や プ リ ン ト 卦 ル6)等 の い わ ゆ る モ トル を 含 む よ う な 写 真 粒
状 の 解 析 に は 適 用 す る こ と が で き な い 。 本 章 で は, RDMに 二 重Poisson確 率 過 程 を 適 用 して 構 成 さ れ た,モ トル を 含 む よ う な写 真 粒 状 に も適 用 で き るRDMに つ い て 述 べ る。 こ こで は,こ の モ デ ル を 拡 張 さ れ た ラ ン ダ ム ド ッ トモ デ ル(Extended random・dotmodel ,略 してERDM)と 呼 び7 こ れ に つ い て 述 べ る 。 5.2モ デ ル の 構 成 図5.1に 示 す よ う に,x-y平 面 上 に,任 意 形 図5.1モ デ ル の 構 成 状 を も つ モ デ ル 粒 子 が,ラ ン ダ ム に 分 布 して い る も の を 考 え る 。x-y平 面 は フ ィ ル ム 面 を,粒 子 は フ ィ ル ム の 黒 化 銀 粒 子 を モ デ ル 化 し た も の で あ る 。 粒 子 は 以 下 に 述 べ る 規 則 に した が っ て,分 布 す る も の と す る 。 ま ず,モ デ ル 化 さ れ た モ トル を 表 わ す も の と し て,関 数 λ(lxl)を 考 え る.モ デ ル 化 さ れ た 粒 子 は,モ トル の 中 に お い て,平 均 粒 子 密 度 が λ(Ixl)で 表 わ さ れ る よ う な 不 均 質 な 密 度 を も つ 。Poisson分 布 に した が っ て,x-y平
面 上 に ラ ンダ ム に 分布 す る もの とす る。 い い 換 え
る と,モ トル の 中 心 が,x-y平 面 上x=x;に 1個 あ る と き,粒 子 は,x-y平 面 上 に お い て λ(lx-x:1)の 粒 子 密 度 を も つPoisson分 布 に した が っ て 分 布 す るe図5.1に 示 す よ う に,関魏G∬
一 岬)は
・Eト ル の 巾'帥=鳩
に対
し回 転 対 称 と 仮 定す る。 さ らに,モ
トルの 中 心 τ
=婿
は ,x-y平
面 上 に お い て,平 均 密 度Qの
Poisson分
布 に したが って 分 布 す る もの とす る。
す な わ ち,x-y平
面 上,与 え られ た 面 積Sに モ
トル の 中 心 がN個 あ る確 率 は,
P(N:QS)=e一Qs(QS)N/N!(5ユ)
で与 え られ る◎
つ ぎ に,関 数f(X-X孟)を
考 え,こ れ を ,コ0姦
に参 照 点 を もつ 粒 子 の 位 置 τ にお け る点透 過 率 を
表 わ す 。 粒 子 は任 意 形 状 を もつ もの と仮 定 して い
るの で,工(忽
一娠)は
確 率変 数 とな る。 参 照 点
職
は,円 形 粒子 の 場 合 の粒 子 の 中心 を 一 般 化 し
た もの で あ る 。
い ま,x-y平
面 上 にm個 の モ トル が 分 布 して
い る もの とす る。 この と き.粒 子 の 透 過 率 分布 を
表 わ す 工(コ
ゆ
一 嫉)の
参 照 点 娠 は,不 均 一 な 粒子
の 密 度 分 布 」§ λ(lx-x"jl)を も つP・'ss・n分 布に したが って 分 布 す る。 す な わ ち.x-y平
面 上,
与 え られ た 面積Sに
参照 点 がn個 あ る確 率 は
のP〔n;集
肇λG鱈
∼D翻
一exp〔-」1愚
λ(嘱Ddヱ)・
ロ
〔J渦 λ(lx-vSl)dx)n/n!(52) と な る 。 た だ し,dxニdxdyを 表 わ す 。 多 少 複 雑iな記 述 で あ る が,上 記 の よ う な 規 則 に し た が って 分 布Vol. 14. No. 1 (1984)
—4 3—
す る粒 子 が,モ
トルを も つRDMを
表 わ す こと は
容 易 に理 解 で き る(図5.1参
照)。
5.3平
均 透 過 率 の計 算
まず,こ の モ デ ルの 平 均透 過 率 を求 め る。図5.2
図5.2x-y平 面 の 分 割 に 示 す よ う に,x-y平 面 を 小 さ な 面 積 を も つ 小 細 胞dSiニdXidyi dSjニdXj∠tyj(5.3) に 分 割 す る 。 最 初 に 。 小 細 胞dSjの 中 に,N欄 の モ トル の 中 心 が あ る 場 合 の 平 均 透 過 率 触(餌. x")を 考 え る 。dSjの 中 にN個 の モ トル の 中 心 が あ る 確 率 は(5.1)か ら PN(dSj)ニP(N二QdSj) ニexp(-QdSj)(QdSj)冠/N! (5。4) で 与 え られ る 。dSjの 中 にN個 の モ ト ル の 中 心 が あ る 場 合,ASiの 中 にn個 の 粒 子 の 参 照 点 がn 個 あ る 確 率 は,(5、2)か ら Pn(dSi)-exp〔-N4 、」 λd⑳"一 婿Dd記"'〕 x〔N4 。五 λGジ 鍔Ddτ"')シn! ;Pこn:Nσ(コ 〆i,xS)〕(5 .5)とな る。 ただ し
σ(錦 婿)=f d,,R(lx"-xSl)dx"(5・6) を 表 わ し,ま た(5。5)に お い て は,Poisson分 布 の 加 法 性 を 用 い た 。 こ の と き,小 細 胞dSiの 中 に 粒 子 の 参 照 点 がn個 あ れ ば,こ の 粒 子 に よ るXに お け る点 透 過 率tfi(X)は,お
tn(x)=II」[(x一 忽ゼ)(5.7) k-1 と な る 。 し た が って,参 照 点 を 小 細 胞dSiに も つ 粒 子 の 寄 与 に よ る 点 透 過 率t.(x)の 平 均 値t.(x)は あ ㌔(x)ニ Σ{Pn(dSi)n〔 工@一 躍灸)〕} n=Ok・ ・1 (5.8) と な る こ と が わ か る 。 そ れ ぞ れ の 小 細 胞 に 参 照 点 を も つ 粒 子 が,平 均 透 過 率tN(ガx・ ￠1)に お よ ぼ す 寄 与 は,独 立 事 象 と考 え られ る.し た が っ て, 次 式tN(X,x")-Ev{1im〔n(Σ{P。(dSi)x 4srゆOi霜 穫r℃ ぬ 〔辞(x-xk)〕})〕}(5・9)
を 得 る。 た だ し,E.は,確
率 変 数1(x-xk)に
関す る平 均 を と る操 作 を 表 わ す 。(59)に
お い て,
粒子 の透 過 率 を 表 わ す 確 率 変 数 工(￠ 一娠)は,
それ ぞ れ 独立 と仮 定 す る と,(5.9)に
お いてE.
の操 作 を先 に実 行 す る こ とが で き る。 す な わ ち,
め ハ E。{n〔 ヱ(x一 娠)〕}-fi{Ev〔f(記 一 娠)〕} k-1k編! :・=・〔f(1コじ一 コ【ゾil〕轟 (5」0) と な る。 こ こ で,f(lx-￠ ∼Dは,工@一 婿) の 集 合 平 均 を 表 わ し,コ ゆ{に 関 し回 転 対 称 と 仮 定 した 。 ま た,dSiの 面 積 が 非 常 に 小 さ い の で, 娠=婿 が 成 立 す る こ と を 用 い た 。(5.10)を (59)に 代 入 し,次 式 の 関 係ΣPn(dSi)〔f(1]c-ac1-1))n=exp〔-Nσ@1・ ほイ 婿)〕x{1+Nσ(3ひ ㌔ 婿>fd諾 一 コウ{D +〔Nσ(vf・ 婿)f(1コr一 魏)〕2/2! +〔Nσ(`rf,x;>f(lx-x'il)〕3/3!… … ・・} (5.11) お よ び お ムi巴 。〔9垂{exp(轍 〔1-fq鉱 一婿D〕 × Nσ(錦 婿))}〕-exp{一 ∫N〔1-f(lx-x'1)〕 ×1(lx'-x;1)dx'}(5 ,12) を 用 い る と,平 均 透 過 率tN(x,x∫)と し て, tN(鵬P-exp{一 ∫N〔1-f(IX-X'1)〕 xズ(lx'-xfl)dx'}(5ユ3)
を得 る。 さて,中 心 を小 細 胞dSjに
もつ モ トルか
らの寄 与 に もとつ く透 過 率 の 平 均 値t(x・xS)は,
次 式 の よ う に表 わ す こ とが で き る。
t(x,促 つ=Σ 〔PN(aSj)tN(x・ 婿)〕 N黛0 (5.14) (5.14>を(5.13)に 代 入 し,(5.11)と 全 く 同 様 の 関 係 式 を 用 い る と,t(x,可 〉は 結 局 t(x・x∫)=exp(-QdSj (1-e{「r(1-f(lx-x,1)z(lxr'-x"1)dx'}) Xdx"〕(5」5) と な る 。 各 小 細 胞dSjが 平 均 透 過 率Tに お よ ぼ す 寄 与 は 。 そ れ ぞ れ 独 立 事 象 と 考 え られ る の で,こ の モ デ ル の 平 均 透 過 率TはTニlim{n〔t(〃x・ τ 」)〕=exp〔-Q∫ dS,e◎ 」一蓋 (1_e{-f(1-f(lx-x'1)?1(lx'-x"1)dx'} xdx")(5 .16) と な る 、(5.16)はERDMの 平 均 透 過 率 の 厳 密 な 表 現 で あ る。 5.4透 過 率 の 自 己 相 関 関 数 用 い た 仮 定 か ら,透 過 率 の 自 己 相 関 関 数 が 回 転 対 称 の 性 質 を も つ こ と は 明 らか で あ る 。 自 己 相 関 関 数 は.距 離2離 れ た2点 に お け る 透 過 率 の 積 と して 表 わ す こ と が で き る 。 の(e)・=E〔t(コ じ)t*(x+e)〕 k't(x)t*(x+e)(5 .17) こ こ で,*は 複 素 共 役 を 示 す 。 平 均 透 過 率 を 求 め た と き と 全 く 同 じ よ う に 考 え れ ば,(5」7)は 次 式 の よ う に 書 き 表 わ す こ と が で き る ◎
め
の(e)-1im(nΣ{PN(dSj)Evqヱ)})〕 dSj→oj-IV,4X} (5.18) た だ し,Eニlim{n〔 Σ(Pn(dSj)× dsi→ ・oi・1n=O {昌 〔工(ノコσ一 認k)t*(針2哨 娠)〕})〕} (5.19) で あ る 。(5.11)(5.12)と 同 じ よ うな 関 係 式 を 用 い れ ば,(5.18)は 結 局 の(2)一 〔-Q∫ (1-e{イ 〔1-f(x-xりf*(x+e-x'〉)λ(lxLx"1) dx'})d 二じ"〕(5.20) と な る 。(5.20)はERDMの 透 過 率 の 自 己 相 関 関 数 の 厳 密 な 表 現 で あ る 。 ま た,透 過 率 ゆ ら ぎ の 自 己 相 関 関 数 φ(4)は φ(e)=の(e)-T2(5.21) と し て 求 め る こ と が で き る 。 5。5近 似 表 現) (5.16)お よ び(5.20)で 求 め た,ERDMの 平 均 透 過 率 お よ び 自 己 相 関 関 数 の 厳 密 な 表 現 は,
Vol. 14. No. 1 (1984)
—45--積 分 を 含 ん で お り,と くに 自 己相 関 関 数 の 値 を 求
め る に は,面 積 分 を2回 実 行 す る必 要 が あ り,容
易 で は な い 。 こ こで は,適 当 な条 件 の も とで は,
使 いや す い 近 似 表 現 に つ いて述 べ る。 ま ず,モ
ト
ル の 申 にお いて,粒 子 は平 均 密 度qで 一 様 に分 布
す る もの とす る。 す な わ ち
λq岬
《8:ほ=糞 ほ1(522)
とす る。 さ らに 粒 子 はす べ て 円 形 で 同 じ大 き さ と
し,透 過 率 も一 定 とす る◇ す な わ ち
脚
一f(一(;:
ll蜘 曳
(5.23) と す る 。(5.22)(5.23)に お い て,Rお よ びrは, そ れ ぞ れ,モ トル お よ び 粒 子 の 半 径 を 表 わ す ◎ さ ら に,モ トル の 大 き さ は 粒 子 の そ れ に 比 べ 十 分 大 き い も の と す る 。 す な わ ち r/R<<1(524) 上 記 の 条 件 の も と で は,(5.16)(5.20)の 積 分 は 近 似 的 に 簡 単 な 関 数 で 表 わ す こ と が で き,平 均 透 過 率 お よ び 自 己 相 関 関 数 は 次 式 の よ う に 近 似 表 現 す る こ と が で き る 。(詳 し くは,文 献{7}⑧ 参 照) T=exp(-QA{1-e-(1-f)qa})(5.25) の(の 一exp(-2QA{1一 α 〔1/(2R))} × 〔1_e-(1-f)qa{ユ ーα〔(1/(2「))} 一(rf2)qaα 〔1/(2r)〕 〕) xexp(-QAα(1/(2R)〕 × 〔1一 ゼ2(1縣Dqa{1--ev〔1/(2r>〕} イ1イ リqaα 〔i/(2r)〕 〕)(526) た だ し, A=πR2,a=πr2(5.27) お よ び鴨 廊 ∴)
で あ る。(525)お よ び(5.26>は,そ れ ぞ れ 平 均 透 過 率 お よ び 透 過 率 の 自 己 相 関 関 数 の 近 似 表 現 で あ る 。 56RDMと の 比 較 ERDMの 近 似 表 現(5.25)(5.26)を 従 来 のR DMの 結 果 と比 べ て み る 。RDMの 平 均 透 過 率 お よ び 透 過 率 の 自 己 椙 関 関 数 は,そ れ ぞ れ TR=exp〔 一(1-h)dπr2〕(5.29) お よ び 妬(e)-TRT♂ × exp{(ユ ーh)(1-h*)dzar2ev〔 レ(2r))} (5.30) で 表 わ さ れ る 。 こ こ で,hは 粒 子 の 透 過 率.dは 平 均 粒 子 密 度,rは 粒 子 の 半 径 を 表 わ す 。 (5.25)と(5.29)を 比 べ る と,ERDMの 平 均 透 過 率 は,RDMに お い て.パ ラ メ ー タ を πr2ニA,d=Q,h;exp(一(1-f)qa〕 (531> と し た も の に 一 致 す る こ と が わ か る ￠ す な わ ち, (5.31)の よ う な 大 き な 粒 子 が ラ ン ダ ム に 分 布 し た 場 合 の 結 果 に 等 し く な る 。 ま た,粒 子 の 密 度 が 非 常 に 小 さ い 場 合,す な わ ちqa《1の と き, (525)は 近 似 的 に T蟹Ta;exp〔 一(1-f)QAqa〕(5.32) と な るeこ の 場 合 は,粒 子 密 度d-QAq,粒 子 の 透 過 率fのRDMの 結 果 と 岡 じ に な る 。 つ ぎ に, 自 己 相 関 関 数 に つ い て 考 え る 。 ま ず,相 関 長4が粒 子 の 直 径 に 比 べ 小 さ い と き,(5.28)よ り, α 〔1/(2R)〕Ot1と す る こ と が で き る 。 こ の と き(5.26)は,近 似 的 に の(e)-T。Tj・ ・P{(1-f)(1-f*) ×QAqaα 〔e/(2r〕}, 乏ン/(2r)《1(5.33) と 書 く こ と が で き る 。 ま た,6が 粒 子 の 直 径 に 比 べ 大 き い と き,α 〔乏/(2r)〕tyOと す る こ と が で き る か ら,(5.26)は 近 似 的 に の ω 一T。T'・xp{〔1-・ 一(1'f)qa〕 ・ 〔1-e-(1-・*)・ ・ 〕QAα 〔1/(2R)〕} e/(2R)》1(5.34) と な る 。(5.33)お よ び(5.34)を(5.30)と 比 べ る と,相 関 長 が 粒 子 の 直 径 に 比 べ 十 分 小 さ い と き, ERDMの 自 己 相 関 関 数 は,粒 子 密 度QAq,粒 子 の 面 積a,粒 子 の 透 過 率fを も つRDMの 自 己 相 関 関 数 と 似 て い る 。 相 関 長 が 粒 子 の 直 径 に 比 べ 十 分 大 き い 時,ERDMの 自 己 相 関 関 数 は,粒 子 密 度Q,粒 子 の 面 積A,粒 子 の 透 過 率eXP〔 一(1 -f)qa〕 を も つRDMの そ れ と 似 て い る こ と が わ か る。 5.7数 値 計 算 例 (5.22)(5.23)の 条 件 の も と で のERDMの 数 値 計 算 例 を 示 す 。 こ こ で,モ トル の 強 さ(集 落 の 強 さ)をi表 わ す 指 標 と して モ トル 係 数Mc,お よ び モ トル の 大 き さ を 表 わ す 指 標 と して モ トル サ イ ズMsを Mc≡ ≡q/Q,MsiR/r(5.35) と して 定 義 す る 。Mc=0,Ms=。 。 の 場 合 が 従 来 のRDMに 対 応 す る。 図5.3に,平 均 透 過 率T =0 .5,Ms=10と し,Mcを パ ラ メ ー タ と した 図5.3{a)ERDMの パ タ ー ン(Mc=0、Ms=oQ) 図5.3{b}M(一 ▼=1,Ms=10 図5.3〔c)Mc-5,Ms=10
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図5.3{d)Mc=10.Ms=10 ERDMの 計 算 機 に よ る 作 成 結 果 を 示 す 。 図5.3 〔aJがRDMと 一 致 す る 。ERDMの 平 均 透 過 率 の 数 値 計 算 例 を 図5.4に 示 す 。 実 線 は,(5.16)を 数 値 積 分 し た 値 を 表 わ し,破 線 は(5.25)の 近 似 表 現 の 値 を 表 わ す 。 図 か らわ か る よ う に,Mcが 増 加 して も 平 均 透 過 率 の 値 は あ ま り変 わ らず,ま た,Ms>5で あ れ ば,近 似 表 現(5.25)は,ほ と
