有限変形場でのポテンシャル流体と弾性体容器の相互作用を支配する汎関数

｛

論

　

文

】

UDC ：

624

．

074

．

43

：

624

．

953

：532 ：624

．

04 日本 建 築 学 会 構 造系 論 文 報 告 簗 第 362 号

・

昭 和

61

年

4

月

有

限

変

形 場

で

の

ポ

テ

ン

シ

ャ ル

流体

と

弾性 体 容

器

の

　　　　　　　　

相

互

作

用

を

支配

す る

汎

関数

正 会 員

　皆

丿

ll

洋

＿

＊

　 序

　

流

体

と

弾性 体

の

_相

互

作 用 問

題 は

，

両 者

の

_{幾 何 学 的 形 状}

，

対 象

にす る

流 速

，

振 動

数領域

に

依 存

して

考慮

しな

け

れ ば な ら ない

物 理 現 象

が

異

な る

。

液体

を 入 れ る

弾 性 体 容 器

の

振 動

問

題

は_，

液

体

を

ポ

テン シャル

_{流 体}

と

仮 定

して

，

相 互

作 用 場

にお け る

振 動 問 題

と し て

扱

わ れてきて いる。

弾 性

体 容 器

の

変 形 を微 小 と仮 定

して

_挙

動 を

支

配

す る

方

程 式

を

線 形 化

し_，

流 体

の

自 由

表面

上

の

_境

_{界 条 件}

も

波 高

や

速 度

が

小

さい と して

線 形 化

した

Bernoulli

式 を

用いた

線

形

の

_定

式 化

の

も

とで

，

応 答

が

解 析 さ れ

てい る17）

・

181

・

24）

・

25）

_。

　

し か し な が ら_，

実 験 的

な

研 究

報告

9 ）

・

11 ）

・

22 ）によれ

ば

，

水

の 入っ た

円筒

シェ ルへ

横 方 向 周 期 外 力

（

周 方 向展 開

次

数

n

＝

1

）

を

作

_用

さ せ る と

，

_n

＝

0

，

2

，

3

_等

_の

_{振 動}

_モ

ー

_ドが

観

測 さ れ る。 こ の

現 象

は

線 形 理 論

で は

説

明で き ない

。

Clo

皿

gh

ら9｝はこの

原 因 を初 期 不 整

の

影 響

で

あ

ろ う と

予

測 して いるZ3， 。

皆 川

27」

・

28〕_は

_{弾 性 体}

_の

_{幾 何 学 的 非 線 形}

性

を

考慮

す れ ば

，

この よ う な

現 象

が

生 起

し

得

る こと

を示

して い る3）

−

6〕 。 ま た

，

池

田

ら 15）

_，

_{大 森}

29）_は

_剛

_な

_{容 器}

_{に 入} っ た

流 体

の

自由 表

面

上

の

_{非 線 形 境 界 条 件}

が

生

み

出

す

効 果 を 検

討

し てい る

。

　

流

体

の

_{自 由 表 面}

の

非 線 形 境 界 条件

を

考 慮

し て

，

周 期 外

力

の も とでの

応 答

を

検 討 す

る

時

，

問 題

が

生 ず

る。

流 体 を

支

配 す る

方

程式

は

Euler

の

_方法

で

_表

示

さ れ て い る の で

，

変

形

後

の

_状

態

で

境 界 条 件

を

導

入 す る 必

要

が ある

。

線 形 化

し た

境界条 件

で は

変

形

前 後

の

流 体 場

の

変 化 を無 視 す

るこ と に な るの で

，

エ

_ネ

ルギ

積

分

を

変

形 前

，

ある い は

変 形 後

で行っ て も 差 違 は ない

。

しか し

，

流

体

の

波 高

を

有 限

とす る と， エ

ネ

ル

ギ積

分 は

変

形

後

の

形

状

で

行

う 必

要

が あ る。 こ の た め，

非 線 形

のス ロ ッシン

グ応

答解析

は 逐

次

近 似 法

に

頼

る こ と に な る8）

・

1°｝

_。

_{上 述}

_{し た}

_大

_森29）の研 究 は

，

自

由

表 面

の

非 線 形 境 界 条 件

が

変 形 前

の

静 水

面

で

成 立

す る と

仮

定

して

，

積 分

の

変 形 前

の

状 態

で

行 う近 似 を導

入 してい る

。

　

剛 な

容 器

に入っ たポテ ン シ ャ ル

流 体

の

挙 動

を

支

配 する

方 程 式

は

Bernoulli

の

_{方 程 式}

を

変 形 後

の

流 体 場

で

積 分

し た

汎 関 数

の

第

一

変 分 を計 算

す ることで

，

自由表

面

の

境 界

本 報 告は文 献

34

）で発 表し た内容に加 筆した

。

實 _鹿児 島 大 学

　

助 教 授

・

工

博

　（昭 和 60 年 7 月

8

日 原稿受 理）

条 件

を 含 めて

完

全 に

記 述

さ れる こと

を

，

Luke2

〕_は

示

し てい る

。

木

村

，

大 橋

13〕_{は こ の}

_{汎 関 数 を 変 形 前}

_の

状

態

で

Taylor

展 開

して

，

変

形 前

の

状

態

で の

非 線 形 関 数

と し て

表

現 す る

手 法

を

用

いて

，

回 転

シェ ル の ス ロ ッシング

振 動

を

解析

し てい る。

Euler

表 示

さ れ た

有 限 波 高 上

で

表 現 さ

れ た

自由 表 面 上

の

_境

_界

_条件

を

静 水 時

の

位

置で

Taylor

展

開

す る

方 法

は

，

メオ

ー733

）_{に も}

_示

_{さ れて い る}

_。

　 本論

で は，

有

限

変

形 場

で の ポ テンシャ ル

流 体 と弾 性 体

容 器 と

の

相 互 作 用 を支

配 す る

汎 関 数

を

提 案

する

。

流 体

は

Euler

表 示

され てい る の で

，

弾

性

体

も Euler

表 示

し た

扱

い

を用

い

れ

ば

，

こ の

汎 関数

は

厳密

な

基 礎 微 分 方 程 式

お よ び

境 界 条 件 を 与

え る

。

得

ら れ る

方

程式

は

Ettler

表 示

さ れ て い る の で

，

遂 次

近

似 法

を 適 用 して過

渡 応 答

を

解 析

す るの に

便 利

で

あ

る

。

し か し な が ら，

弾

性 体

は

Lagrange

表

示

して

定 式 化 す

るの

が通 例

で

あ

る

。

ま た

，

ポ

テ ン シャ ル

流 体

との

相 互 作 用

の

振 動

を

非

線

形 振

動 問

題 へ

_{誘 導}

_し て

，

大 域 的

な

挙 動 を把 握

す る た め に は，

変 形 前

の

状 態

で エ

_ネ

ル

ギ積 分

が

表

さ れてい な け れ

ば

な ら ない。 ゆ えに

，

こ の 汎

関 数

を

変 形 前

の

状 態

で

Taylor

展 開 して近

似 的

に

表

現

す る

方 法

を

示 す

。

　

§

L

有 限 変 形 場

で の

ポ

テ ン シャ ル

流 体 と 弾性 体

容

器

　　　

の

相 互 作 用 を支 配 す

る

汎

関数

　

圧 力の

積 分

が

非 粘 性

，

非

圧

縮性 流

体

の

運 動 を支 配

す る

Lagrange

関 数 と

な ること は

19

世 紀

に

知

ら れ てい た よ うで あ る1） e1967

年

Luke2

） はこ の 汎

関 数

の

第

一

変

分

を

正

確

に

算 定 す

ると，

自 然

境

界

条件

と して

流 体

の

自由表 面

上

の

_{非 線 形 境 界 条 件 が得}

_{ら れ る}こ と を

示

し

，

剛 な容 器

に 入っ た ポ テンシャ ル

流 体

のすべ _{て の}

_{運 動}

_{はこ の}

_{汎 関数}

_に

基

づ い て

解 析

で きる ことが

明

ら かに さ れ た。

　

幾 何

学

的

非 線 形 性 を 考 慮

し た

弾 性 体

を

支 配 す

る

Lagrange

_{関 数}

は

弾

性 体

の

持

つ

ポ

テン シャルエ

_ネ

ル ギ か ら

運 動

エ ネルギ を 減 じた

関数

で あ り， ポ テン シャ ル

流 体

の運

動

を

支 配

する

Lagrange

_{関 数}

と

同

じ

次

元

を

有

す る

。

ゆ えに

，

両 者

の

Lagrange

関

数の

_和

を と り

，

流 体 と弾 性

体

の

_変

形による

流 体 場

の

幾 何

学

的 変

化 を

考 慮

し た

汎 関 数

を 有

限

変

形 場で の

相

互

作 用 問 題

の汎

関 数

と して

提 案

す る

。

重 力

と

逆 方

向

へ

_z

_{座 標 を定}

_{め た}

_デ

_{カル ト}

_座

_{標 系}

_に おい て

，

流 体

の

速 度 ポ

テンシャルを φ

，

自 由表 面

の

波 高

一

₁₀₅

一

を η

，

弾 性 体

の

変 位

ベ ク トル を u と

表

し

，

簡 単

の ため

　 　

に

弾 性 体

にお け る

外 力仕 事 項

を

省

く と， この

汎 関数

は

次

　 　 　 　

の

形

で

表

され るSU）

_。

　

　　

・

（

φ

…

u

）

一

∬

［

孤

＿ ・

｛

弖

grad

φ

・

grad

φ・

φ

・ ・

（

2

−

z・

）

｝

・・

一

玖

｛

弖

細

）

− A

（

u

）

｝

dV

］

dt …・

…・

（1 ）

　

こ こに

_，VL

：流

体

場

，

　

V

、 ：

弾 性 体 領 域

，

ρL ：流

体 質

量

密 度

，

ρE ：

弾 性 体 質 量 密 度

，

＝

∂

／

∂

t

，　

g

：

重

力

加

速

度

，　

z

。 ：

_{静水 時}

の

_自由表面

座

標

，

A

（

u

）

：

弾性

体

の ひ

ず

みエ

ネ

ル

ギ密 度

。

　

波 高

は

z

方 向

（

単位

ベ _{ク トル}

iz

_）

の

方

向

を

有

して いること を

考 慮

し て

，

（

1

） 式

の

第

一

変 分

al

を計 算

す る

。

変

分 を とる

未知

関

数

は

_φ

_{， η，}

u

であ る

。

　

　　

・・

一

∬

［

伽

｛

豈

gra

・

φ

・

grad

φ

・

6

・ ・

（

・

一

・・

）

｝

励

・

∂

1

＿ ・・

　

　　

　

　

・

∬

_・

佳

_・

rad

φ

・

9

・

ad

φ

・

φ

・ ・

（

・

一

・・

）

｝

（

・…

Dl

・

dS ’

・

皿

＿ ・

（

grad

φ

・

grad

δ

φ

・ ・

_φ）

dV

　

　　

　

　

一

孤

1

ρ

鼡

踊

）

−

dn

∂

A

／

∂uldV

］

dt

…・

・

・

…一 ・

…・

……・

………・

……・

………・

…………一 ………

（

2

）

　

こ こ に

，S

ノ：

流 体 自 由 表 面

，

　

SE

：

相 互 作 用 面

，

　nL ：

変 形 後

の

流 体 場

の

外 向

き

法 線

ベ ク トル，　

dS

’

変形 後

の

表 面

で の

面 積 分 要 素

を

表

す

。

　（

2

）式

の

_第

3

_項

を

部

分

積

分

して

，

次式

を

得

る。

　

　

第

・

項

一

∬［

瑳

．，，．，，・…

grad

・

・

・

・

・・

…

dS

’ ・

蕉

（

一

・・

臙

・・

）

・

φ

・・ ’ ・

泓

（

一

・・

）（

a・

・

D6ipds

’

　

　　

　

　　

一

皿

＿ ・・

d

・・

（

grad

φ）

・

副

・・

………・

…………・

…・

……・

・

一 一 ………・

………・

……

（

・

）

　

こ こに，

Sb

：

流体場

の

固

定境界 面

。

　

（

3

）

式 を

（

2

＞

式

へ

代

入 し

，

整

理 す る と

，

次式

が

得

ら れ る 。

　　

・・

一

∬

［

広

・・

｛

弖

grad

φ

・

grad

φ

・

li

・・

（

z

−

2

・

）

］

・・

7（

・・

’

・

D12

＝

a

，

＋ ・

dS ’

・

伽

grad

φ

一

il

・・

）

・ ・δ

illx

−

・…

dS ’

　　

　

　

・

伽

grad

_φ

・

n

…

edS

’

・

∬

_・

（

grad

φ

一

・

）

n

・・

di1

・

dS

’

・

∬

_・

［

春

grad

_φ

・

grad

_φ

・

φ

　　

　

　

・ ・

〔

・

一

司

（

・・…

｝

1

・

dS ’

−

fft

_．

．

，

．

，

PL

…

（

・・ad

_φ）

・

_酬

皿

_蝋

・ ＋・

〃

・

u

）

dV

］

dt−

………

（

・

｝

自由 表 面

の

静 水 時

の

微 小

面

積

を

dxdy

と

表

現 すると き，

変

形 後の面 積

dS ’

は 次の よ うに

表

さ れ る

。

　　

dS

’

＝研

dxdy

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…　

マ

ー

・

・

…　

一

…　

一

・

一

一

・

・

・

・

・

…



一・

・

…　

呷

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…　

『

・

・

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…　

_（

5

）

ま た

，

波 高

が

生

じ

た時

，

自 由表 面

S1

上

の

外 向 き法

tw

　

nL

は

次 式

で

表

さ

れ

る

。

　　

髭乙

＝

（

1

十 η

三

じ

十 η

…

』

）

−

v2

_（

一

η＝

i苫一

η”ごy十‘z

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一…

　一・

・

…

　一・

一・

一・

・

・

…

　一・

・

阜

・

一・

一・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　P鹽

9・

…

　噛

一

（

6　

）

こ こ に_，

i

＝

_，　

iy

は x_，　

_y

_{方 向}

の

単 位

ベ ク トル で

あ

る

。

（

5

）

，

（

6

）式 を （

4

）

．

式

へ

_{代 入}

_{し て}

，

_{自由 表 面}

の

項

，

お よ

び相 互 作 用 面

の

項

の

一

部 を書

き か え て

，

次 式

を

得

る

。

　　

・・

一

∬［

fl

． ・・

｛

弖

…

d

φ

・

grad

φ

・

6

・

9

（

・

一

司

勧

ト

ー ・

d

・

dy

　　

　

　

・

伽

（

φ

．

・

−

il

，

・

Vpe

−

¢

，

・

n

，

y

−

b

）

・

il1

・

一

…

蜘

＋

伽

grad

φ

・

n

・・

φ

dSt

・

∬

・

（

grad

φ

一e

）

n・・

ip1

…

’

　　

　

　

・

伽

・

・

場

grad

φ

・

…

d

φ

・

φ

・・

（

z

−

z

・

）

｝

1

・

dS

’

_一

孤

。 ， ・ …

（

・

ra

_．

・・

¢

〉

・

edV

　　

　

　

＋

皿

_晦

顔＋ ∂

A

／

∂

ω

dy

］

dt …・

…一 ……一 …・

一 ……一 一 ・

・

…一 ………・

…・

…・

…・

・

　

弾

性 体

の

境 界 条 件

お よ び

基 礎 微 分 方 程 式

は_，

_{（7 ）}

式

の

_最

後

の

項 を算 定 す

れ ば

得

ら れ るこ と が

分

っ て い る の で31｝

，

（

7

） 式

か ら

流

体

お よ

び相 互 作 用 面

で の

境 界 条

件

を取

り

出

す。 ・・

上

・

P

・

｛

弖

　

grad

　

¢

・

grad

φ

・

φ

　

　　

　

＋

9

（

鮓 銑

引

＿ 鋤

一

・

……・

（

8

−

・

）

ρ、

（

転

一

φ

辺ガ

蜘

η

r

ウ

）δ

φ

1

。

．

m

，

＋

η

＝

o

　 　 　

．

．

・

・

…

　

噛

幽

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　 （

8

−

2

）

　　　　　　祠

一

grad

φ

・

grad

φ・

φ

　　　　　　　

・ ・

（

・

一

為

脚

・

一 _・

……・

・

…・

…

_（

8

−

6）

　

自 由

表

面

，

流 体

固

定 境 界 面

，

流 体 内部

での

条 件 式

は

，

周 知の 厳 密 な 方 程 式2 ）を 与 え る

。

（

8

−

5

_）

式は

弾 性 体

と

流

　 　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　

・

・

・

…

　

（7 ）

Sb

上

：ρL　

grad

_φ

・

nL

δ

_φ

＝O

　

………・

・

…・

…

（

8

−

3

）

VL

中

：ρL 　

div

（

grad

φ

）

δ

ip

　iO

…一 ・

…・

…

_《

8

−

4）

Ss

上

：ρL

（

grad

φ

一

a

）

nL

δ

il

　

1

．

＝O − …・

…

（

8

−

5

）

　 　 　

1

　 　 　

2

一 106 一

体

の

相

互

作

用 面

で の

速 度

お よ び 流 速の

_{法線 方 向 成 分}

が

一

致 し

，

す き

間

がで き ない こと を

意

味

し

，

（

8

−

6

）式

は

流

体

の

圧 力

が

相 互 作 用 面

の

_変形後

の

法線

方 向

の

力 と

し て

作 用

す ること

を意 味

す る

。

以

上

か ら

（

8

−

5

，

6

）式

は

_物

理

的

に 判 断 し て

，

相

互

作 用 面

で の

_厳密

な

境 界 条 件 式 を表 現

し て いる。

　

流 体

は

変 形 後

の

座 標

で

諸

量 を

計

量 する

Euler

の

方 法

に基づ い て

表 示

さ れ て い る の で，

弾 性 体 も

Euler

の

方

法

に

基

づい て

定 式 化

すれば

_，

す な わ ち

，

（

7

）式 を 増 分

表 示

して

，

弾 性 体

は

Updated

　

Lagrangian

　

Approach3i

） を 適 用 し

，

遂

次 近 似 法

を

用

い て

_解析

す れ ば

，

有 限 変 形 場

で の

_弾性

体

と ポ テン シャ ル

流 体

の

_相

互

作

用

の

問題

が

解 け

る

。

　

§

2．

弾 性

体

が

Lagrange

の

方 法

で

表

示

さ れ てい る

時

　 　　

の

第

一

変 分

　

弾 性 体

は

Lagrange

の

方 法

に

基

づ い て

表 示

さ れ る場 合 が

多

い の で

，

第

1

節

で

誘 導

さ れ た

有 限 変 形 場

で の

ポ

テン シャ ル

流 体 と

弾性 体

の

相

互

作

用

を

支 配 す

る

第

一

変 分

の

弾

性 体 部 分

の

条 件 式 を

Lagrange

の

方 法

で

近 似 的

に

表 示

す る

方 法

をこ の

節

で

扱

う

。

液 体の

_容

器 とし て

薄 肉

の シェ ル

構 造

が

利 用

さ れ る

機 会

が

多

いので

，

円錐 台

シェ ル

を例 題

と して

採 用 す

る。 この シェ ルの

定 式

化

は

円筒

シェ ル

を含

み

，

母

線

方 向

に

傾

き

を持

つ ほ か の回 転 シェ ル の

扱

いを

も

示 唆

す る。

　

2−1

　

円錐

台

シェ ル

　

シェ ルの

変

形

は

Kirchhoff

・

Love

の

仮

定

が

_{成 立}

する

状

態

にあ る もの と

仮 定

し

，

流

体

との

_相

互

作 用 面

で の

接 線

ベ ク トル

，

_法

_線

ベ ク

ト

ル は

対 応

す る

中 央

面での

接 線

ベ ク ト ル

_，

法

線

ベ ク トルと

一

致 す

る

も

の

と

み な す。 ま た

，

流 体

の領 域 を 定

義

する

時

は

，

シェ ル の

厚

さ を

考 慮 す

る

も

の の

，

相

互

作

用 面

で

伝 達

さ れる

力

は シェ ル の

中

央 面

に

作 用

す る

も

の

と

考

え る。

　

変 形 前

の シェ ル の母

線 方 向

の

長

さ に

沿

っ た

接線

ベ ク ト ル

，

周 方 向

に沿っ た

接 線

ベ ク

ト

ル

を

そ れ ぞ れ

ti

_，　

t2

と

す

る。 こ の

2

つ の

接

線

ベ ク トル の

外 積

t

］

×

t

、

の

方 向 を

シェ ル の

法 線 方 向

と し

，

単 位

法

線

ベ ク

ト

ル

を

n

と

表

す

。

右

手 系

の デカ ル ト

座

標

置，

y

，　

z

方 向

の

単 位

ベ ク トル

を

ix，

　

iy，

ら とし

，

　 r，　

z

方 向

が デ カル ト

座 標

の

x

，

2

方

向

と

一

致

する

図

一

1

（

ti

と

t

，が 逆に

表 示

されて い る

）

に 示 す よ う な

円 筒 座 標

r_， θ_，

z

を

導

入 し

，

円 錐 台

シェ ル の

_初

_{期 形 状}

r° を

次

の よ うに

表

現 す る

。

　　　

r

°

＝

＝

（

r

。＋

SSin

ψ

＞

COS

鵝 ＋（

r

。＋

sSin

・

P

）

Sin

　

ei

。

　 　　　 　

十

SCOS

　

Ptz………・

……・

・

……・

………

_（

9

_）

　

こ の シェ ル の

第

一

基

本

量

Af，

　

A

_：

を

定

め る

。

　 　　

Al＝

（

rrs

・

rrs

）

i 〆z

＝

1

・

・

…・

・

………・

…・

………

（

10

−

1

）

　　　Al

＝

_（

_ree

・

_rPe

_）

’

f

’

＝

_r

。＋ ssin 　

ep

…・

一 …・

…

（

10

−

2

）

　

（

9 ）

，

（10

） 式

を

用

いる と

，

接 線

ベ ク トル

tl

，　

t

，お よ び

法 線

ベ ク

ト

ル

n

は

次 式

の よ うに

定

め ら れ

る

。

　 　 の

ン

，

_ら

Fig

．

1



Geometry

　of　a　

Conical

　

Shell

　with 　

Liquid

　　　 t

・＝

re

．／

A

：

＝

sin

　

9

　

cos

　

ei

。＋

sin

ψ

sin

θ’，

　　　 　　

十

cos

¢

ix’

「

四’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”

曾

’

’

”………・

…

　

（

11

−

1

）

　　　 t

・

＝

r

龜

〃

芸

＝ ＝

−

sin

・

ei

。

＋

cos

　

ei

。

・

・

…・

・

…・

（

ll

−

2

＞

　　　

n

＝　

cos

θ

cos

　

9

垣エ

　

sin

θ

cos

¢層劃

　　　 　　

＋

shl

_帆

・

………・

・

一・

…・

………・

・

一 ・

_（

₁₁₋₃

_）

　

ti

，

　

t

！

，

　

n

方 向

の

座

標

は そ れ ぞ れ s_， θ

，

　

n

を

用

い て

表

し

，

各 方 向

の

変 位 成

分 を そ れぞ れ u_，

v

，　

w

と

表

現

す る と

，

変 位

ベ ク

ト

ル u は

_次式

で

表 さ

れ る

。

　　　

u

＝

uti 十

vt2

十

wn

・

・

…………・

・

…・

…………

_（

12

_）

　

変

形

後

の

位 置

ベ ク トル

R °

は

次 式

で

表

さ れ る

。

　　　R

°

＝

r° 十 u

＝

r° ＋

uti

十

vt2

＋ωn

…一・

・

…・

・

_（

13

_）

　

変

形 後

の シェ ル の

法

線

ベ ク トル n

’

は

，Novozhilov30

〕 に

_従

え ば

，

次 式

の よ うに

表

現 さ れ る。

　　　

n

’

＝

1

（

1

＋

2

　e

：

i

）

（

1

＋

2

　

_e

_芸

z

）

广

L／21

−

∂．

ti− e23ti

　　　　　

十

（

1

−

←

all

十

an

）

nl

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



（

14 ）

　

ここ に

_{・aH ＝}

u

，

s＋ vsin 　

ep

／

r

_，

　

an ；

_（

U

，

_厂 vsin 　

_ep

_）

fr

，

　elz

＝

v

．

s，　

a

…

＝

（

v

．

e＋ usin ψ

一

wcos

・

o

）

／

r_，　

e1

，

＝

w

，

。 ，

　

e

・・

＝

（

w

，

e

−

v

　

cos

　

q

）

fr

，

　

e

：

、

＝e

、i＋

（

al

，＋

ef

、＋

al

，

y2

，

　

e

窒

z

＝

ξ｝22十

（

e

窪

，十∂

莠

，十 ∂

蓬

，

）

／

2

　

変 形 後

の

相

互 作 用

面

で の

流

体

の

_{外 向}

き

法 線

ベ ク

ト

ル

nL

＝−

n

’

で あ ること を

考 慮

し て

，

（

7

）式

の

相

互

作 用 面

S

‘上で の

積 分 を 変 形 前

の

表

面 積

に

関

す る

積 分

とし て

表

現

する

。

　

　

n

・

dS

’

_一一

nt

（

RPs

’

_瑠

鰕

協

ア

／2

　

dS

　 　　　 　

＝

−

_nfl

_（

1

_十

2e

_曾

₁

_）

_（

1

_＋

2

　

e3

！

）

尸

／2dS

　 　　　 　

÷

［

a

、3t，＋

a2st2

−

〔

1

＋

a

、1＋

a

，2）

n

ユ

dS

　　　　　　

（

∵



（

1

の 式 ）

・

…・

………

（

15

）

本 論

で は

_相

互

作 用 面

S

‘上で は

，

u

，

　

v

，　

w

《

r

を仮

定

して

，

（

15

）式 を次 式

の よ う に 近

似

し た

表 現

を

利 用

する

。

一

₁₀₇

一

　　

　

n、

dS ’

＝

＝

（

w

，

。

t

、＋

÷

嚥

一

（

1

＋ u

_，

s＋

÷

砺

）

・

）

　 　 　 　

・

rdeds

……・

・

……・

…………・

…・

…

（

16

）

　

変 形 後

の

位 置

で

評

価

さ れ る

量

，

例

え ば

grad

φ

，

φ

を そ れ ぞ れ

_grad

φ

」，φ

1

。

と

表

す

。

こ れ ら

_grad

φ

L

，

　剃

u は

，

有

限

要 素

法

や

境 界 要 素 法

を

利 用

し て

φを 離 散 化

　

して

表 現

す れ

ば

，

比 較 的 容 易

に

評 価

で き る

が

，

解析 的

な

i

_扱

い を

導

入 する

_時

は_，

第

3

節

に

示

す

Taylor

展

開

を

利 用

i

して

評

価

す る

方 法 が 便 利

で あ ろ う。

（

16

）

式 を （

7

）式

i

へ

_代

入 し て

整

理 すれ ば

，

次

式

を

得

る

。

…

∬

［

孤

［

P

・

1

壱

・

rad

φ

・

grad

φ

・

φ

・・

（

・

一

綱

1

− ・・… ・

蕉

［

・

（

・．

−

n

，

…

，

r

−

÷

脇

一

ウ

）

・

φ

］

1

− ・・… ＋

伽

grad

φ¶

麟

　

　

・

伽

（

grad

φ

」

一

・

・

・

_φ

L

＠

・・

÷

w

_．

・

t

・

一

（

1

＋

u

・

s・

÷

砺

）

・

）

・

dcas

　

　

・

伽

｛

弖

grad

φ

・

grad

φ・

φ

・

…

−

Ze

_）

｝

1

・

（

w

．

．

au

＋

塁

徴・δv

−

（

1

＋

u

，

s＋

1

　

・

．

e

）

・・

）

・・…

　

　

一

皿

一 ・

…

（

grad

φ

）

・φ…

皿

・・

（

P

・

ti

…

／

・・

）

・・

］

・

t

………一 …

・

…………・

…………・

…

（

・

7 ）

　

ここ に

，S

呈

は

変 形 前

の

相 互 作 用 面

を

表

す。

　

（

17 ）

式

の

第

一

変 分

で は

，

流 体

ポ テンシャ ル

φ

は

変 形

後

の

_領

_域

で

評価

され る

表 示 式

と なっ て い る が

，

弾 性

体 （

回

転

シェ ル

）内 部

VE，

お

よ

び

相

互

作 用 面 上

での

積

分 は

変

形

前

の

領 域

S

：

で

行

え

ば

良

い

形

を して いる

。

この

式 を増

分

表

示

し_，

遂 次 近 似 法

を

用

い て時 刻 応 答 を 解

析

すれ ば

，

弾

性 体 を

Lagrange

表 示

し た

扱

い

_（

_例

え

ば

，

運続 体 と

し て の シェ ル

理 論

）

を

導

入 して

，

有

限 変 形 場

に

お け

る

ポ テ

ンシ ャ ル

流 体

と

弾 性 体

の

相

互

作

用 問

題 を 解 析

する こと が で

き る

。

　

§

3L

　

Lagrange

の

方

法

で

表 示

_さ

れ た

ポ

テ ン

シ

ャ ル

流

　　　

体 と弾 性 体

の

相

互

作 用 問

題 の

汎 関 数

　

流 体 場

の

積 分 を変 形

後

の

形状

に

基

づい て

行

う定 式 化

は

過 渡 応 答 を計 算

す るの には

適

してい る

も

の の

，

応 答

の

大

域 的 挙 動

を

非 線 形

振 動 理 論 と

結

びつ けて

理 解

す る の には

不 便

であ る。 この

節

で は，

ポ

テンシャ ル

流 体 と弾 性 体

と の

連 成 問題

を

支配

す る

第 1

節

で

示

した

汎 関 数

を

変 形 前

の

座 標

に

基

づ い て表 現 する

方 法 を 示

す

。

変 形 前

の

座

標

で

表

現

さ れ た

汎 関 数

に

基

づ け ば， こ の

連 成 系

を

支 配

す る

非

線

形

常 微

分

方 程 式 を誘 導 す

ること ができ

，

相

互

作

用

の

_問

題

を

非

線

形

振 動 問 題

とし て

位 置 付

け ること が

可 能

と なる

。

　3−1Lagrange

表 示

した

ポ

テン シ ャル

_{流 体}

と 回

転

　　　 　

シェ ル の

相 互 作 用 問題

を

支 配

す る 汎

関 数

　

前 節

で

例

題

と して

扱

っ た

円錐 台

シェ ル をこ の

節

で

も例

題

と し て

採 用 す

る。

　

変 形 後

の

流 体 場

を

4

つ の

領 域

に

分 割

する。

変 形 前

の

流

体 場

を

V2

，

静 水 時

の

自 由表 面

と

波 高

と に よっ て 形

成

さ れ る

流 体

場 を

Vf

，

変 形 前

の

相

互 作 用 面 と

弾 性 変 形

に よっ て

形 成

さ れ る

流 体 場

を

y

翌

，

波 高

と

弾 性 変 形

の

両

方

i

1

1

。 0 ’

γ

Fig

．

2



Divisions

　ef　a　

Fluid

　

Region

に よっ て

形 成

され る

流 体 場

を

V

費

と す る

。

流

体

場

陛

と

V

“

との

境 界

は

変

形

前

に

相

互

作 用 面

と

静

水時

の

_自由

表 面

との

交 点

の

軌 跡

と す る。

流

体

を

含

む 回

転

シェ ル

を

θ

；

O

で切

断

し た

断 面

図で示 せ ば， これ ら

4

つの

流 体 場

は

図

一

2

の

よ う

に

表

さ れ る。

　

変 形 前

の

相 互 作 用 面

と

流

体 自

由 表 面 と

の

交 点

P

ノの

r

座

標

を

定

め る。

（

9

）

式におい て 8

＝

0

の と き の

位 置

ベ ク

ト

ル r° が

x

−

_{y 平面}

上

に

あ

る

と す

れ ば

，

シェ ルの

中

央

面

と

流 体

自由表面

の

交 点

の

r

座 標

は r。＋ z。

tan

　

ep

と な る

。

シェ ル の

厚

さ を

h

と すれ ば

，

P

∫の r

座 標

，

　

s

座

標

それ ぞ れ rf，　

Sf

は

次 式

で

表

され る。

　　 　

rt

＝

r。＋ z。　

tan

　

g

− h

／

2

　

cos

ψ，　

sf

＝

z。

／

cos 　

g

　 　 　 　

・

………・

…・

・

…一 ……・

（

18

）

　 （

a

_）

_流

_体

_{場 槻}

，

vt

で の

Lag

τange

関

数

　

流 体 場

V2

お よ び

Vf

での

Lagrange

_{関 数}

L1

は

次

の よ うに

表 現 さ

れ る

。

・1

−

∬甑

_W

・

｛

去

・・

ad

φ

・

grad

φ

・

_あ

・

_…

−

z・

1

レ

翩 ・・

1

・・

一

_∬

_［

_∫

為

∬

Y

 

_｛

_去

grad

φ

・

grad

φ・

e

・

_…

一

・・

）

レ

・瀲

一

一

　

　

　

　

　

・

∬

＋

胃

ワ ・

｛

器

grad

φ

・

grad

φ

・

φ

・・

（

・

一

・・

）

｝

rd ・

d

・

d

・

］

dt …・

………一 ・

…………・

・

…

（19）

　

第

1

項

の う ち

変

分

に

関 係

し な い

項 を

省 略

し，

第

2

項 を

z

＝

z

。で

z

に

関

し て

Taylor

展 開 し

て_，

φ

，

_{η に}

関

す る

4 次

の

_非線形項

まで

を採 用 す

る

と

，

（

19

）

式

は

次式

の よ

う

に

表 さ

れ る

。

　　

　

・・一

∬

［

Xthf

， ！

7

， ”

pL

（

壱

grad

φ

・

grad

・

）

rd

・

d

・・z ＋

π

〃 ・、

1

・

（

彦

grad

φ…

ad

φ

・

_φ

）

　　

　　

　

・

S

_η2

（

（

者

grad

_φ

・

_grad

_φ

）

．

x ＋

φ

_{．＋ ・}

）

・

壱

_・・

tl

_．

． ．

｝

・

d

・

d

θ

］

dt ・

…・

………・

一 ……・

………一 ・

…

（

・・

）

　

（

b

） 流 体 場

vr

での

Lagrange

_{関 数}

　

こ の

領 域

で の

Lagrange

_関数

L

_，を

精 密

に

表 現

す るこ と は

難

し く

，

近 似 的

な

扱

い を

導

入 す る

必 要

が

あ

る

。

　 （の 　 近 似 法

1

　

変

形 前

の シェ ル の

座 標 （

S

_，θ_，

n

）

を

用

い て

，

弾 性 変 形

に

伴

う

流

体

場

を

表 現

する と，

次 式

の よ うに

表

さ れ る

。

　　

　

・・一

∬

［

孤

・・

｛

者

grad

φ

・

grad

φ・

e

・_・

〔

・

一

・・

）

1

・

d

・

ded

・

］

dt ……一 ・

…・

…・

一 ・

…・

…・

一 ………

（

21

）

　

　

　

　

・

∬

［

一

∫

 

・

∫

2π

…

∬

弔

grad

φ

・

grad

φ

・

e

_{・ ・}

_（

・

一

・。

）

idn

］

dt

………・

・

………一 ・

・

（

・

2＞

　

こ こに

_，

r

＝

r

。＋

8sin

ψ，

符

号 （

一

）

は

流 体

の

外 向

き

法

線

と

n

と

の

方 向

が

逆

で

あ

ること を

意

味

す る

。

　

（

22

｝

式 を

Tayior

展 開

して

，

変 位

w

，

φ

に

関

す る

4

次

の

非 線 形 を採 用

す る と

，

次 式

を

得

る

。

　

　

　

L

・・

∬

［

イ

τ

π

・

｛

・

（

弖

grad

φ

・

grad

φ

・

φ

…

8c

・

s

・

一

・・

1

）

・

ム

・ ・

（

（

巷

grad

φ

・

grad

φ

L

　　

　　

　

・

li

_，

n＋・・

…

）

・

毒

嘱

レ

dcas

］

d

・

・

一 ……・

…………・

…・

一 …・

……一

・

……・

…・

……・

……一

一

_（

_・

3

_）

　

（

23

）

式

の

第

一

変

分

を

計 算 す

る

と

，

圧 力

は

変

形

前

の シェ ル の

法 線 方 向

へ

作

_用

す る

_形

の

式

が

得

ら れ るen） 。

変 形 前 後

の

回 転

が

小 さ

け れ

ば

（

23

）式

の

_表

現

で

十 分

で あ ろ う

。

　 （

i

の　 近 似 法

2

　

流 体 場

V

：での

_{体 積}

_{積 分}

を

近 似 的

に

表 現

す る に

際

し

，

近 似 法

1

は

体 積 積

分の

_表

_現

の ま ま

近 似 を導

入 し た。

（

21

）式

の

被積 分 項

の

第

2

，3

項 を 部

分

積

分

す る と

，

積

分は

変

形

後

の

_表

面

に

関

する

_面積

_分

に

_変

_換

さ れ る。

変 形

後

の

面積

分

は

（

16 ）

式

を

導

入し て

，

変形 前

の

面

積

分

に

変 換

できる か ら，

次

の よ う な

近 似 式 が 誘 導

で き る。

　

　

　

∬

［

孤

。

ρ・

｝

φ

＋

9

（

z

−

2・

）

1

・

d

・

dcax

］

dt −

∬［

孤

仇

卜

φ

ウ

場

9

（

・

一

・。

）

・

（

i

．

・

nL

）

｝

1

。

dS

’

］

dt

　

　

　

　

−

∬

［

伽

1

一

φ

1

・

（

d

・…

）

・

Sg

（

・

一

・。

）

・

（

・．

・

nL

）

｝

dS

’

］

dt −

f

。 tL

［

∬

回

一

φ

1

．

（

啝

号

啝

　　

　　

　

　

（

1

＋・・＋

−

lt

　

・

．

・

）

・・

）

・

59

（

・

c

・

S

・・

一

・。＋・ ・血

伽

c

・

S

。

）

・

　　

　　

　

・

（

w

_．

・

c

・

s

・

一

（

1

＋ u

，

s＋

｝

・・

）

・

…

）

｝

・

d

…

］

d

・

・

…・

…・

…………・

一 …・

…・

…・

………一 一 …

_（

24 ）

　

〔

24

）式

の

_φ

1

_。は

変

形 前

の

位 置

で

Taylor

_{展 開}

して

，

次

の よ うに

_評価

す る。

　　　

φ

L

÷

_φ

切

φ

結

嘱

＋

u

¢

．

s＋

÷

　

・

¢

．

。

…一 …・

一 ・

……・

…一 ・

…・

・

…・

・

…・

・

一 ・

…・

・

………．

＿ …．

．

．

_（

_，，

_）

　

（

25

）式 を （

24 ）

式

の

_第

₁

_項

へ

_代

_入し_，

面

内変位

u

_，

v

を 含

む

項

は

u

，　

v

に

関

して

1

次

で

あ

り

，

かつ

全 体

で

3

次 ま

で の

非 線 形 項

， ω，

φ

に

関

して は

4

次 ま

での

項 を採 用

す る。 また

，

（

21

）式

の

第 1

項

は

（

23

）

式 で示 し た

近 似 法

1

の

評 価 方 法

を

利 用

し て

，

次 式 を得

る

。

　

　

　

・・÷

∬

［

孤

・・

｛

Sgrad

・

・

9

・

ad

φ・

φ

…

z

−

z

・

）

1

・

d

・

dC

・・

］

dt −

∬

［

伽

［

・

｛

−

w

，

．

e − ‘

；

’

　

・

，

。

b

　　

　　

　

・

（

1

＋

u

_，

・

＋

÷

・

，

・

）

d

・

｝

・・

di

．

・…

S

…

−

te−

・

（

弖

grad

φ

・

grad

φ

）

−

t

　

・・

（

Sgrad

　

di

…

qd

　

il

）

．

n

　　　　　

・

（

・

φ

・

＋

÷殉

・・

参

₉

（

SC

・

s

・

一

・。＋…

np

＋

uc

…

）

・

　　

　　

　

　

・

＠

c

・

s

・

一

（

1

＋

u

・

e＋

÷

　

…

）

・

i

…

）

｝

吻

・

］

dt ・

・

…

1

…・

・

…………・

……・

・

一 ・

・

………・

…・

・

一 ……

（

26

）

　

後

に

示

す よ うに

，

（

26 ）式

か ら

得

られる

第

一

変 分

は

，

流 体 ポ

テン シャル

_φ

お よ び

重

力

g

か ら 導 か れる圧

力

が

変 形 後

の

法

線

へ

_{作 用}

_するこ と を

近

似的

に

_表

_現

す る。

一

_正

₀₉

一

　

（

c

_）

流 体 場

Vf

’ で の

Lag

「ange

_関

数



　

この

領 域

の

Lagrange

関 数 を定

める ために は，

変

形 後

　　　　　　

の

_領

_域

を

適 宜 近 似

す る 必 要が ある

。

こ こ では

弾

性 変 形

に

伴

っ て

拡 大 す

る

自

由表

面

の

面 積 増 分

の

絶 対

値

は

静 水 時

の

舳

麺

の

大

き さ と

蹶

して

小

さい と

考

え．　

Uk

の よ

う

に

　 　

扱

う

。

θ

＝

0

の断 面 図に お い て

，

_変

形

前

に

静 水 面

と シェ ル

と

の

交 鮎

と し， 。 の

点

の

座 標

の

変

形

後

の

齲

の

位

　 　

置

を

R

，Kirchhoff

・

Love

の

仮 定

の も と で

Pf

が 移 動

し た

変

形 後

の

点

を

P ’

・P

’

で の

鰓

と

R

樋

る

水 平 線

と の

｛

　

Flg

_．

、

交

点 を

Q

と す る と き，

領 域

P

．

P ’

QR

を θ

＝

0

で の 流

体

i

場

vt

” の

断 面

を

考

え る

（

図

一

3

参 照

）

。

領

域

P

／

P

’

_QR

_の

　

i

面積

△

stU

を

求

める

。

　

　

　

…

一

豈

・

ab

． ・

頭

・

靤

・

西

）

（

・。

X

・。

）

−

S

・ ・

1

鴇

r

識

・。 。

S

辮諾

。 ，

、

　 　　 　　　 　

（

w

−

uzv

，

。

）

｛

u

＋

wtan

　

q

）

　　　　　　

＋

　

2

（

1

切

。

tan

ψ

）

’

”

… ”… … … … マ

… … … … ’

… 7’

… … ’

”

　

殊

tan

甲《

1

と し

，

一

部

の

項 を省 略

し て

，

次 式 を得

る。

　

　

　

A

・…

；

・・

伽

叫

＋ η

（

器

盡

i

〃

）

・

麺

・ ・

…………・

・

…・

……・

…・

………・

…・

…・

　

こ の

_{領 域}

での 圧

力

は

一

_定

で ある と

仮 定

し て_，

Definitien

　of 　 a 　

Subregion



Vr

く

27

）

　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　

…………・

・

……・

（

28

）

こ の

流 体 場

の

Lagrange

関 数

Ls

を

次

の よ うに

表 現

す る

。

　　

　

・・一

∬

［

孤

弔

・

rad

φ

・

grad

φ

・

φ

・

9

（

・

一

・・

｝

1

・

d

・

d

・

dz

］

dt

　　

　

　

・

∬

∫

2π ・

（

圭

grad

φ

・

grad

φ

・

e

…

）

1

・

一

・

・

，

・

一

・

…

’ ”

・

・…

t

・

…・

…・

・

………・

……・

……・

……・

…

（

・

9

）

弾 性 体

の 運

動

エ

_ネ

ル ギ， ひ

ず

みエ

ネ

ル

ギ

，

外 力 仕 事

の

表 現

は

良

く

知

ら れ て い るものと

判 断

して

省 略

す る。

　

（

20

）

，

（

26

）

，

（

29

）

式 を用

いる

と

，

（

1

） 式

の

汎 関 数

は

次

の

よ う

に

近 似 的

に

Lagrange

_表示

でき る。

　　

　

M

（

・

・

，・

n

，・

｝

一

∬［

孤

・

（

巷

grad

φ

・

_grad

_φ

）

…

d

・

dz

＋

伽

｛

・

（

壱

grad

φ

・

grad

φ・

φ

）

　　

　

　　

　　

　

・

春

・

＜

（

杢

grad

φ

・

grad

φ

L

・

6

_{・＋ ・}

）

・

き

圏

・・…

　　

　

　　

　　

　

＋

孤

仇

｛

φ

（

一

嚇

一

；

獸・

b

＋

（

1

＋ u

，

s＋

÷

　

v

，

e

）

th

）

＋ wil

．

・

de

＋

S

　

wz

¢

，

・

de

　　

　

　　

　　

　

−

_・

（

弖

grad

φ

・

grad

φ

）

−

i

　

wt

（

去

grad

φ

・

grad

φ

）

_．

n ＋

（

uil

_，

s・

’

li

　

・

tl

．

e

）

・・

　　

　

　　

　　

　

・

S

・

（

・

c

・

s

・

−

2e

…   ・＋… s

幅

・

6

・ ・

一

（

　 　 　 　 　

1

1

＋

u

・

s＋

7



v

・

e

）

・

…

）

1

・

d

・

d

・

　

　

　

　

　

　

　

　

・

∬

τ ・

（

壱

grad

φ

・

grad

φ

・

φ

・

9

・

）

1

＿

4

弖

伽

・

一

殊 ・＋ η

（

畿毛

ω

）

　　

　

　　

　　

　

・

S

・・

ta

・ ・

レ

・・

一

皿

（

者

励

・

ti−

・

（

・

）

）

dV

］

dt …………・

一 ・

…・

…・

……・

………一

（

・・

）

　

こ こ に_，

変 形 前

の

流 体 場 を 槻

，

変 形 前

の

_{自 由 表 面}

，

_{流 体}

固

定境

界

， お よ び

相 互 作 用 面 を

そ れ ぞ れ

鍔

，

縄

お よ び

Sl

と

表 現

し た。

　3

−

2　Lagrange 表

示

さ れ た 汎

関 数

か ら

誘 導

され る

第

一

変 分

　Lagrange

表

示

された

（

30

｝式

の

汎 関 数

の

第

一

変 分

を

誘 導

し

，

次

に

得

ら れ た 式 を 第

2

節で

誘 導

された

第

一

変

分と の

対 応 を検 討

す る

。

　

（

30

）式

の

第

一

変 分 を計 算

し

，

流 体

ポ テンシャル

φ

の

S

_］

上

の

部

分

積

分は

厳 密

に

算 定

し

，

相 互 作 用 面

Sl

上の

部 分 積

分は u_， v

，

ω《

r

を

仮 定

し

，

　

r

＝ _{定 数}

，

の 扱いで

実 行

し

，

さ らに

流 体 場

y

費 以 外

の

線 積 分

の

項

を

省

略

し て

，

次

式 を

得

る

。

・

M

・

∬

［

伽

［

｛

（

者

grad

φ

・

grad

φ

・

6

）

・・

（

（

巷

grad

φ

・

grad

φ

）

_ノ

嗣

・

壱

η2

幽

レ

・…