TRU Mathematics 18−1 （1982）
NORMAI、ITY HYPOTHESIS ON THE．1、IN耳ARI ZEp．ゆpEI、 ．
『＼’．．・ OF’．HUMAN・GROWT日L・㌧ ・． ． ∴・ ・ ． ．．．．．．・． ；：．．ビ・・：1．’ヒ．・、『一．．、・．．一一．．．．．一 ．＾』．「三．．”．：』 『一”』∵・’：、 ．’ ゴーr．・』．．ジ．−HaJ爺sATO吊．・ ；・． 』’．・・． 「 ＿： ； ．「 「｝i・・」、．一．∴」．‘ ・：1＿1 ’・・：三 ・i ：．・・．，．「 ．． 』 ’ 「 1『 』 『．1 ． ．・ ＿一．．（Receiyeq．May 1・1982）・．．． ．．．，・・、・．．、．．・ 1． 1㎜〕IXJcrl（別 ㎏t励be l．the taildo血1馳vぼ亘語1壱．士epte・entihg・the・t・ture 6￡・’ “ ・ human being at the age t and h rt／ its popuユati㎝；mea血・．ぬsu）ア碑．「口］ observed．1五at the ind丘vidual stature H Ct／ is・．a∵1ihea士f垣1ction of h．rt）． d・・ing th・・虫i1伽。d・ 、 ．．・・．．一．．．一・一．．∴・・．…．．・・ 、 Hrtノ＝AlチBlh（t，）一『．．三’．ピ 、’ こ＼．・．・㌔ ．・ ’、（ヱノ and also during the adolescent pe士iod：，、獅’た射肇見、、：．、＿．．．． ．＿』∵「2ノ、
曲・r・・、and A、・・e t・。・飢d㎝m舳・rr麺呼．ごd．・、．岬2、＿．
・i・h−・・H・a1・。。b・erv・d血・Al i・i・・igifiC飢t ri・．m・t・dS・・1 ， ニtt ， A1血゜u頭．t亘rre eぷr；．「⊆迦y sh°「t．・pe輌d．gf◎siti°n．，、b・加een th・血i1品・禦！．〔C l麺麺rrcence’r・バ・口麺iW皿・r，． ．
we reduce it， fbr si珂plicity l s sake， to a㎡oment’T that ma］d（s theSta「t°f．．仙興。1grrgntロ「i？亡．Hrn煕．i㍉○墾．輌㌍ri禦r、恒興．、∵，
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between the 1°we「加皿d㌘．孤d the upPe「bOund・T＋°f？be血g c°nsエ4魎／／． as transitiona1． Then， the relations （O and r2／ are resumed as fbllows：．．．、呈㌘警1．＝㍑．㍍：．、．，、．．．L；㌫、、、・
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．：1 ．’τ二．「：・び’ t．1．：．t 1三； 」．．・ザ；㌣（』こ“ ’：・ご… ミ三：．？ ，．．・三言．♂∫ ．：；ご・∫ マご〉 二〔ノ㌻ごピ ∫・；i・・プ ：… In this note，刊e inVestigate this’model under certain conditicihs of no㎜ユity㎝the distτibution of Hrt）． 73H．SA芯0 2．ASSUMPTION OF CONDITIONAL NORMALITY三 「 ” ． ．“‘． It is generally believed tllat the・diミ…t童エbutlO’ri of lh㎜sta主ure is apProxi皿ately normal in a hcm《）geneous popUlation． So we assume that， restricted to those individuals諭o share the s．pPe．．value of㌘， the distribution of Hrt） is norma1． APPlied to the dlildhood rヱノ，this …切唄・i・緬孤・th・・助…ndit伽・Z〒nt・励・』・了‘・」’w鋤・e・ρ・・t カ0 17i．S η0ηηαZ．
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the integrand being given by： 一・ttt ’．1・・、・・［・一・2醐2ノ→・￠P・一蝋・， 「・・1』
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Proposition 1 ・f・pCt／r・PT−・・θ・デ』・imde） th・． ngrm・z毎α・・嘩鋤…、i・η゜捌αzz輌鋤麺汀…迦z・ぜB・嚇．十『W』；・．旧． 、
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that， under ceTta桓condiゼions．， a mixtu士e of ho珊1． р奄唐狽窒奄烽狽奄狽奄b窒奄刀@can． never b。 n6頑．．『‘・．@h・．1・1．．：．．’㌦．・． 一・． ∴ 〈
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4・ 1・et us prove the plて｝position 1．・Let v denOte the image mea5ure ・f㌔by也e㎎・血9カ→1 Wカノ．σrt／2ノ・m・蝋・h・v・・PB、ω一侮…σ2戸・や・一繋・〔・
By血・1・㎜・・B2 i…m・1 if孤d・nly、if・i・廿…P・i・t di・晒uti。・
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r・r鋼め．’≒傾！．一．「．ぞτ…＿一、 WhiCh i・輌・・1・nt t・血e i・ci・p・「ide・・ee・df・B・、孤d㌘・5・A怜Bヱ孤d脚㊤㎜由・t？MasCy・ma［3］6bsemb・th・t th・晒e−
1・・i・n・b・加・㎝β2．Md姻i・f証・1y high頭d n69・・iy・・「Th−i・麺1i・・ ’ く 也at・血゜u「m°de1；8・c㎜吋r n・㎜1・．q・ far aP．・h・吻中e・i・・f「 the propOsition l is satisfied．「．『 』 囁「 6．．CONDITI（蹴DISTRIBUrlON OF． B 2． 恥rthe a・iOlescent Peri。d r2み拠uy搬［2］（ibserved a very ・t…g・・g・・i鴨・・鵬・・ti・n・b・』嘱飢d・、，’from which h・dedgced that there exi・t・a・PO・i・ive’E…taii・b・・d品…2÷・r・−B2九
血at is・〆t）一D°合∂・硫∼一．・ノ・f thgg．．「…ノir・・pP・・馳…y・h・． crossing−point of all ind丘vi《h週ユ g…・《三urves ζhrtノ．冴r初． Nc’w we a「e g・ing t・inYe・tigat・th・mde1．了3／u・det the・upPli− melltary condition： ’ 』A2 ＝・r2−8ノ ∼・02
諭・「e・is s⑩・ed t。 b・・up・「ig・t・hrT？・F・㎝‘5ノ鋤d r・の，鳩 6btain： l B2−r・−B、姻，／侮．−h（T」2．．．n ：1 ．．r・・元ユ lhus・血・di・t亘b頭・・de・・i可。i B2．md・・．血6㏄・道・i・nl T−ti・ given by： ‘ ’ ， ロ ベ ニロ ， ・・、「xlT ＝ t」＝PB、「‘ゴー漏…毒1ア・晶二▲・，了・2・ H・nce・・mde・the ass叩ti・・2・・．．β2、c。面i亘。ned by？一力i・n・m・1・ whose mean and variance are given by： ，． ． ．…、IT−・・一……罐ω．・．． 勺…．，
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Fr㎝ r4／3、 r 7／ and C13｝エ we obtain easily：P‘カノ ＝呈．．こ三，9．．・｝：、、 ：’∵、戊鳶：．：「．H．：．SW〔》｛；：：二i5；占三三：9 t こ｛i了…㍉ジ．’： 7． The sec㎝d・．pro担em、．to：be・淀reatediきin th主s．亘ote．lis紬e．ごfblli㎝面g±ζ∫？”・，i、．1・ラ｛ バ 1アthθ distribution OアH（t） i8：釦：’ゐθ□匁0砺Z五液θη｝ε、i．S，幼『gθでθ担0㎏友ろ：、．i．ihoui J・ ｛己，．．亨 ・．一：一・ shouZd日「tJ behaVe befo「θ？ ㌘、、・∴乏、ここ二夢さ・。．凋、三1∵：・バ・t．：、ぷ∵＼：㌣一：／・、 Fr㎝ r2／ and rlOJ，we see that the noτ油ユity of the．distributioO−．
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th。紬一…fr・7）i・given by・㌻㌘．．．“㌍‘i：↓1”三∴三㌧‘二一1し：ll言㌧ 三主唐恒一・ノnlT−・〃識ナ醸麩亘i櫟ノη∵．ごll
t． k． g ’・／＋㌘！1㌢3T：三亘亘三：∴1∴：∵ll∴1㌘ざ癬、77 CN THE LINEARIZED M【）DEL OF HUMAN G㎜ With n＝2， we obtain the square of the coefficient of variation of H rtノ， whi（沮takes， by virtue of rヱ6ノ， the fbllowing fom：
