1.シ
ー ス形 成 の 基 礎 概 念
雨
宮
宏
(理化 学 研 究 所)
(1992年10月22日
受 理)
Basic Concept
of Sheath
Formation
Hiroshi Amemiya
(Received October 22,1992)
Abstract
The condition for the formation of a sheath in front of an electrode in a plasma is reviewed.The treatment is extended to cases with negative ions,high energy electrons and secondary electrons.The case when the positive ion temperature is higher than the electron temperature is also treated.The plasma dispersion relation is discussed from the point of sheath formation.
Keywords:
Bohm criterion,sheath,negative ion, fast electron,secondary electron,edge plasma,
1.は
じめ に
プ ラ ズマ 中 に電 極 や絶 縁 物 が浸 さ れ る とそ の周
り に は境 界層 が発 達 し物 体 を プ ラズ マか ら遮 蔽 す
る.Langmuirは
プ ラズ マ中 の プ ロ ー ブ の周 りの
境 界 層 を シ ー ス と名 づ けた1).電 極 に大 き い正 ま
た は負 の バ イ ア ス を与 え る と電 子 ま た は イ オ ンの
飽 和 電 流 が流 れ る.各 荷 電 粒 子 の 速 度 分 布 が マ ク
ス ウ ェル分 布 に従 い飽 和 電 流 が そ れ ぞ れ の 荷 電 粒
子 の熱 速 度 で 決 ま る とす る と,通 常 の 実験 室 プ ラ
ズ マ で は電 子 温 度 が イ オ ン温 度 に比 し圧 倒 的 に
高 い ので 電 流 比 は質 量 比 ・温 度比 の 平 方 根 で与 え
られ 数 千 倍 に達 す る.ま た,浮 動 電 位,即 ち電 極
へ の全 電 流 が 零 とな る電 位 は プ ラズ マ電 位 に対 し
て 深 く負 にバ イ ア ス され る筈 で あ る.し か し,実
験 で は 電 流 比 は 数100倍 の 程 度 の 値 と な り,浮 動 電 位 も予 想 値 よ り 浅 くな る.こ の くい 違 い は, Langmuirの シ ー ス 理 論2)で 明 ら か に さ れ,さ ら にBohmに よ り解 決 さ れ た3).本 稿 で は ま ず 従 来 理 論 に 基 づ き シ ー ス が 形 成 さ れ る条 件 を 明 ら か に す る. 従 来 プ ラ ズ マ に 対 し負 性 ガ ス を 用 い る 最 近 の プ ロ セ ッ シ ン グ プ ラ ズ マ や 低 域 電 離 層 で は 負 イ オ ン が 存 在 し,シ ー ス 形 成 機 構 が 修 正 さ れ,浮 動 電 位 も影 響 さ れ る.ま た,速 度 分 布 が マ ク ス ウ エ ル 分 布 か らず れ,二 電 子 温 度 型 や ビ ー ム 状 の 電 子 群 が 熱 的 電 子 に 重 畳 さ れ た 型 と な る こ と が 多 い.さ ら に,エ ッ ジ プ ラ ズ マ 等 で は イ オ ン温 度 が 電 子 温 度 に比 べ 同 程 度 か 高 くな る場 合 も あ る.本 論 文 で は,これ らの観 点 か ら負 イ オ ン,高 速 電 子,二 次 電 子
の 存在 す る プ ラズ マ,熱 的 非 平 衡 プ ラ ズ マの シ ー
ス形 成 を粒 子 面 お よ び波 動 面 か ら考 察 す る.
図1.プ ラ ズ マ,電 極E間 の正 イ オ ン シー スの 電 位 分 布 (実 線),Langumuirに よ る シ ー ス形 成 条 件(点 線). 2.シ ー ス 形 成 の 基 本 的 な 考 え 方 図1に 示 す 様 に 電 極 前 面 に 単 調 な 電 位 分 布 v(x)を 持 っ イ オ ン シ ー ス を 考 え よ う.こ こ で, 電 位 は 下 に 向 か っ て 正 に と る.正 イ オ ン は シ ー ス 端 に 単 一 速 度 π,電 流 密 度 」 で 流 れ 込 む と す る と 電 位vで の イ オ ン密 度n+(V)はn+(V)=j/ (2eV/M+u2)1/2と な る(M:イ オ ン の 質 量). 一 方,電 子 密 度ne(v)は ボ ル ッ マ ン分 布:ne(V) =n s・exp(-eV/kかe)に 従 う と す る(ns:シ ー ス 端 で の 電 子 密 度,Te:電 子 温 度).こ の 時,シ ー ス 内 で は ボ ア ッ ソ ン 方 程 式(2.1)
が 成 り 立 っ(ε0:真 空 の 誘 電 率).eV0=Mu2/2 と 置 き 換 え,dV/dxを 乗 じ て 積 分 す る と(2.2)
こ こ で,シ ー ス 端 で 電 界Esは 零 と し た.シ ー ス 端 で 密 度,J/{2eV0/M)1/2―ns=0,と 仮 定 し (2.2)の 右 辺 をVに っ い て 展 開 す る とV2の 項 が 最 低 次 数 項 と し て 現 れ,(2.3)
を 得 る.(dV/dx)2≧0で あ る か ら 次 の シ ー ス 形 成 条 件,即 ち 「ボ ー ム 限 界 」 が 得 ら れ る.(2.4)
正 イ オ ン の 速 度 分 布fi(v)を 考 慮 す る 時J= ∫∞0fi(v)vdvよ り,(2.1)の 第1項 を 修 正 し て(2.5)
一 回 積 分 を 行 っ た 後Vに つ い て 展 開 し シ ー ス 端 で の 中 性 条 件,∫ ∞0fi(v)dv=ns,を 適 用 す る と(2.6)
を 得 る.こ こ で,<>は 速 度 分 布 に っ い て の 平 均 を 表 す.以 上 の 式 はVが 非 振 動 的 な 解 を 持 っ 条 件,d2V/d2x≧0,d3V/dx3≧0か ら も 得 られ る. こ れ は,ボ ア ッ ソ ン方 程 式 の 密 度 項 を ρ と 置 き, シ ー ス 端 付 近 で ρ=ρ0+(dρ/dV)Vと 展 開 し た 後,dV/dxを 乗 じ て 積 分 す る 時 ρ0=0の 他 に dρ/dV=0が 要 請 さ れ る 為,初 期 条 件 を 除 き Bohm理 論 と等 価 な 解 析 と考 え ら れ る. プ ラ ズ マ 中 の イ オ ン音 波 の 速 度vsは(2.7)
で あ る か ら,シ ー ス は イ オ ン の 平 均 速 度 が 音 速 に な る 所 か ら発 展 す る.<v2>と<v-2>-1と は 低 エ ネ ル ギ ー 部 が 多 い 分 布 や エ ネ ル ギ ー 幅 が 広 い 分 布 で は 違 い が 生 じ る が,単 一 エ ネ ル ギ ー 分 布 の 場 合 は 差 が 少 な い 、 次 に,電 離 を 考 慮 し たLangmuirの シ ー ス 形 成 理 論2'4)を 述 べ る.x座 標 の 原 点 を プ ラ ズ マ 中 の 一 点 に 選 ぶ.x’ で の イ オ ン 生 成 率 をg(x')と す る とx>x’ な る 点xで の 速 度 分 布fi(v)は(2.8)
準 中 性 プ ラ ズ マ の方 程 式,即
ち ボ ア ッソ ン方 程式
の右 辺=0か
ら
解説:小 特集 最近の シース問題
(2.9)
こ こ で,η=eV(x)/κTe,ξ=eV(x')/κTe,n0:プ ラ ズ マ 密 度.(2.9)で 変 数 変 換s2=η,ξ=s2sin2 θ を 施 し た 後,積 分 方 程 式 に お け るSchlomilch 変 換,を 適 用 す る と
(2.10)
が 得 ら れ る.Dw(y)=∫y0exp(t2)dtはDawson 関 数.Langmuirは 準 中 性 プ ラ ズ マ と シ ー ス の 境 界 をdx/dη=0の 点 と 定 義 し た.こ の 時,(2.10) よ り シ ー ス 端 の 電 位 ηLは(2.11)
か ら 決 ま り,g(x)の 形 に よ ら ず ηL=0.854と な る.こ こ で 平 均 速 度 くゆ を 計 算 す る と(2.12)
た だ し,ns=exp(-ηL).従 っ て,シ ー ス 端 の 電 流 密 度J=ns<v>は0.49n0vsと な る.一 方, Bohmモ デ ル で は,シ ー ス 端 で 速 度uを 得 る た め 電 位 はV0=κTe/2eだ け プ ラ ズ マ 電 位 よ り 下 が り イ オ ン を 加 速 せ ね ば な ら ず,密 度 はn0exp (-1/2)と な る の でJ=0.61η0vsと な る. 図1は シ ー ス の 電 位 分 布 を 示 して い る.こ こ で, デ バ イ 長 を λD,プ リ シ ー ス(準 中 性 プ ラ ズ マ) 領 域 の 特 性 長 をLと す る 時,シ ー ス 端 の 電 界Esに は次 の関 係 が 仮 定 され る.
(2.13)
Langmuirモ デ ル2)で は 左 の 不 等 号 を と りEsは 近 似 的 に ∞(点 線),Bohmモ デ ル3)で は 右 の 不 等 号 を と り シ ー ス 端 で はEsは 近 似 的 に 零 に 近 い (実 線).VL,VBはLangmuirとBohmに 対 応 す る イ オ ン加 速 に 要 す る 電 位 で,モ デ ル の 違 い は あ る が 大 き い 差 は な い.後 に,両 モ デ ル を 滑 らか に 接 続 し極 限 で 一 方 に 移 行 す る 様,よ り 一 般 的 な 解 析 が な さ れ た5). 浮 動 電 位yfは,電 子 電 流 密 度Je=n0(κTe/ 2πm)1/2exp(-eVf/κTe)=Jよ り 次 式 と な る.(2.14)
ま た,シ ー ス の 厚 さDは 次 の 様 に 評 価 出 来 る. 即 ち,シ ー ス 電 位 が 深 く な る に つ れ て(2.1)で イ オ ン の 初 速 度 や 電 子 の 項 が 無 視 出 来,解 は よ く 知 ら れ た 空 間 電 荷 制 限 式(3/2乗 則)(2.15)
で 表 さ れ る.浮 動 電 位 で は,DはJeと(2.14) か ら決 ま り次 式 に 示 す 様 に λDの 数 倍 と な る.(2.16)
3.プ ラ ズ マ の 分 散 式 か ら の ボ ー ム 限 界 の 誘 導6,7) 準 中 性 プ リ シ ー ス長Lが デ バ イ 長 λDに 比 べ 充 分 長 い 場 合,分 散 式(3.1)
が 成 り 立 つ.こ こ で,ω,kは 各 々 角 周 波 数,波 数,ω2pe,ω2piは 各 々 電 子 お よ び イ オ ン プ ラ ズ マ 角 周 波 数 で あ る.電 子 が マ ク ス ウ エ ル 分 布fe(v)= (m/2π κTe)1/2exp(-v2/v2e);ve=(2κTe/m)1/2 に 従 う と す る と(3.2)
解 説:小 特集 最近の シ―ス問題 こ こ で,Z(ζ)=∫∞_∞exp(-x2)dx/(x-ζ);ζ= ω/kυeは プ ラ ズ マ 分 散 関 数 で ζ →0,Z'(ζ)→-2;ζ →∞,Z'(ζ)→-1/ζ2 と 近 似 出 来 る.シ ー ス 形 成 条 件 が ω →0の 極 限 で 与 え ら れ る と 考 え,(3.1)と(3.2)よ り
(3.3)
を 得 る6).(3.3)はkλD→0で イ オ ン が 一方 向 に の み 動 く 場 合,(2.6)と 等 価 に な る.ま た,イ オ ン に 対 し ド リ フ ト マ ク ス ウ ェ ル 分 布,fi(υ)= (m/2π κTi)1/2exp{-(υ-υ0)2/υi2};υi=(2κTi/ M)1/2を 仮 定 し,ζ → ∞ の 近 似 式 を 使 っ た 後d/ dx→ikと 置 く と(2.3)が 得 ら れ る か ら ω →i kλD→0の 近 似 に お い て 分 散 式 か ら シ ー ス 条 件 が 導 け る.負 イ オ ン,高 速 電 子 を 含 む 場 合 も 同 様 に 得 ら れ る7). 4.各 種 プ ラ ズ マ の シ ー ス 形 成 条 件 4.1.負 イ オ ン を 含 む プ ラ ズ マ8,9) 負 イ オ ン密 度,温 度 をn-,T-と す る と,先 と 同 様 シ ー ス 形 成 限 界 は ポ ア ッ ソ ン方 程 式 右 辺 の 電 荷 密 度⊿nと そ の 微 分 が 零 と い う 条 件 で 与 え ら れ る事 を 示 し た か ら(4.1)
(4.2)
か ら決 定 出 来 る.た だ し, V'=V+V0.ηB=eV0/κTeは 両 式 か らJを 消 去 し,V=0と 置 い た(4.3)
か ら 決 ま る9).こ こ で,ηB1=ηB+T+/3Te,α= 図2.負 イ オ ンを 含 む プ ラ ズ マ の シー ス形 成 限 界 ηB=eV0/κTe対 α=n-/n+. n-/n0,r=Te/T-,ne+n-=n0. 図2に ηBを γ を パ ラ メ ー タ と し α=n-/n0の 関 数 と し て 示 す.た だ し,T+=T-と 仮 定 し た. α の 増 加 と と も に ηBは 減 少 す る が,温 度 比rが 大 き い と不 連 続 が 生 ず る.鎖 線 は 正 イ オ ン温 度 を 零 と し たBoydら の 結 果8)を 一 部 修 正 し た も の で モ デ ル に よ り若干 の 違 い が あ る.即 ち,α=0,T+ =0の 時(4 .3)は(2.3)に 帰 着 す る 筈 で あ る が ηB<1/2な の は,T+>0と し た 結 果 で あ る.浮 動 電 位 は,ηB∼1/2の 範 囲 で は 近 似 的 に(4.4)
と な り,α と 共 に 電 位 が 浅 く な る.α ∼1の 場 合 は ηBとJ=n0exp(-ηB)(2ηBκTe/M)1/2=Je か ら 数 値 計 算 す る 事 に よ っ て 得 ら れ るl0). 4.2.高 速 電 子 の 存 在 す る 場 合 電 子 の 速 度 分 布 が 密 度,温 度 が 各 々ns;nh,Te ;Th の 低 温 部 分 と 高 温 部 分 か ら な る と す る.こ の 場 合 の⊿nは(4.1)でn-→nh,T-Thと 置 き 変 え た も の に な る.結 果 は,β=nh/neの 増 加 に 伴 い ηBは 増 加 し,温 度 比 がTh/Te>20に な る と 不 連 続 な 上 昇 を 経 て β→∞ の 極 限 で ηB-Th/ 2Teに 近 づ く. 次 に,よ り一 般 的 に 負 イ オ ン の 他 に熱 的 電 子に解説:小 特集 最近の シース問題 密 度n1,単 一 エ ネ ル ギ ーeU=mv21/2の 等 方 的 な 高 速 電 子 が 重 畳 し た 場 合 を 考 え る.プ ロ ー ブ は 高 速 電 子 を 反 射 す る 程 深 い バ イ ア ス電 位 に あ る と す る と 先 と 同 様 に 次 式 が 成 り 立 つ9).
(4.5)
(4.6)
と置 き上 の2式 よ りJを
消去 す る と ηBを 決 定 す
る式 と して次 式 が得 られ る.
(4.7)
図3に ηBを9を パ ラ メ ー タ と し て β に 対 し て 示 す(9=eU/κTe).β の 増 加 に 伴 い ηBは 増 加 し,あ る β の 値 で 不 連 続 な 増 加 が 見 ら れ る.β 図3.高 速 電 子 を含 む プ ラ ズ マの シ ー ス形 成 限 界 ηB対 β=nh/ne. → ∞ の 極 限 で は ηB→q/2に 近 づ く. 一 定 の β の も と で α を 変 え る と,Te/T_は 通 常1に 比 し大 き い の で,α=1近 辺 ま で は ηBは 殆 ど β とqで 決 ま る 値 に 固 定 さ れ,α ∼1で 急 激 に 零 に 向 か っ て 降 下 す る. 4.3.二 次 電 子 放 出 の あ る 場 合11)電 子 温 度 が 高 い と一 次 電 子(電 流 密 度Je)に
よ り電 極 か ら二 次 電 子(電
流 密 度J2=γJe)が
発 生 す る.電 極 が浮 動 電 位Vfに
あ る とす る と,
ボ ア ッ ソ ン方 程 式 の右 辺 の密 度 は
(4.8)
こ れ とdΔn/dV=0よ りexp(-eV/κTe)の 項 を 消 去 し,V=0と 置 い た 式 にnes+J2/(2eVf/ m)1/2=ns,電 流 連 続 の 式Je=J2+Jか ら 得 ら れ るJ2=γJ/(1-γ)を 代 入 す る と,最 終 的 に(4.9)
を 得 る.シ ー ス形 成 限 界 ηBは1/2よ り(m/M)1/2 程 度 増 加 す る.浮 動 電 位 は近 似 的 に(4.4)で α→ γ と 置 き 換 え た 式 に な る.た だ し,γ ∼1と な る に 従 い(4.9)に よ る イ オ ン電 流,電 流 連 続 の 式 か ら 決 ま るVfを 自 己 無 憧 着 に 解 く必 要 が あ る. こ れ は エ ッ ジ プ ラ ズ マ を 対 象 と して 一 般 的 に 高 速 電 子 を 含 む 場 合 に つ い て 解 か れ,(4.9)の 拡 張 式 とVfの 表 式 が 得 られ た12). 4.4.正 イ オ ン温 度 の 高 い プ ラ ズ マ の 場 合 熱 核 融 合 エ ッ ジ プ ラ ズ マ 等 で はT+がTeを 凌 駕 す る事 が あ る.シ ー ス 端 へ の イ オ ン に 対 し無 衝 突 の 仮 定 を す る と,、Δnは(2.5)右 辺 で 与 え ら れ る.こ れ とdΔn/dV≧0よ りexpの 項 を 消 去 す る と シ ー ス 形 成 限 界 ηB=eV0/κTeを 決 定 す る 式 と し て(4.10)
解説:小 特集 最近の シース問題 図4.有 限 正 イ オ ン温 度 プ ラ ズ マ で の シー ス形 成 限界 ηB対T+/Te. が 得 ら れ る13).こ れ は(2.6)を よ り 一 般 化 し た シ ー ス 条 件 と 考 え られ る.図4は イ オ ン の 速 度 分 布 が マ ク ス ウ ェ ル 分 布 の 場 合 の(4.10)の 数 値 解 ηBを 示 す.ηBは 温 度 比T+/Teの 増 加 と共 に1/2 よ り0に 向 か っ て 減 少 す る.近 似 式 ηB+T+/3Te =1/2を 点 線 で 示 す .T+∼Teか ら イ オ ン電 流 は 7,支 配 か らT+に 支 配 に な る.
5.結
論
プ ラ ズ マ中 の 電 極 前 面 の シ ー スの形 成条 件 を古
典 的 文 献 を も と に概 説 した.次 に,最 近 の プ ラ ズ
マ を考 慮 し各 種 の場 合 へ の拡 張 を試 み た.最 新 の
情 報 に つ い て は文 献14)-16)が
有 用 で あ ろ う.
終 わ り に,本 稿 で の有 益 な 示 唆 に対 し小 島 昌治 理
研 元 主 任 研 究 員 に感 謝 す る.
参 考 文 献
1) H. M. Mott-Smith and I. Langmuir: Phys. Rev., 28 (1926) 727.
2) L. Tonics and I. Langmuir: Rhys. Rev., 34 (1929) 876. 3) D. Bohm: The Characteristics of Electrical Discharge in
Magnetic Fields, ed. A. Guthrie and R. K. Wakering, McGraw-Hill, 1949. chap. 3.
4) E. R. Harrison and W. R. Thompson: Proc. Phys. Soc., 74 (1959) 145.
5) A. Caruso and A. Cavalier: Nuovo Cimento, 26 (1962) 1389.
6) J. E. Allen: J. Phys. D., 9 (1976) 2331.
7) 小 島 昌治: 理 化 学 研 究 所 報 告, 69 (1992) 3.
8) R. L. F. Boyd arid J. B. Thompson: Proc. Roy. Soc., 252 (1959) 102.
9) H. Amemiva: J. Phys. H. (Appl. PhYs.), 23 (1990) 999. 10) H. Shindo and Y. Horiike: Jpn. J. Appl. Phys., 30
(1991) 161.
11) G. D. Hobbs and J. A. Wesson: Plasma Physics, 9 (1967) . 85.
12) K. Shiraishi and S. Takamura: J. Nuc. Mater., 176/177 (1990) 251.
13) H. Amemiya: Jpn. J. Appl. Phys., 28 (1989) 1109. 14) K. U. Riemann: J. Phys. H. (Appl. Phys.), 24 (1991)
493.
15) K. U. Riemann, U. Ehlemann and K. Wiesemann: J. Phys. H. (Appl. Phys.), 25 (1992) 620.
16) M. J. Goeckner, J. Goree and T.E. Sheriden: Phys. Flu-ids, B4 (1992) 1663.
