第3回関数空間セミナー報告集

(1)

Instructions for use Title 第3回関数空間セミナー報告集

Author(s) 宮島, 静雄; 中路, 貴彦

Citation Hokkaido University technical report series in mathematics, 35, 1

Issue Date 1995-01-01

DOI 10.14943/5154

Doc URL http://hdl.handle.net/2115/5469; http://eprints3.math.sci.hokudai.ac.jp/1296/

Type bulletin (article)

Note 1995年1月9日（月）∼1月11日（水）

(2)

第

3回関数空間セミナー報告集

1 995年 1月 9B (月 )rv_l₎₌_J_ll_日(水)

代表者宮島静雄・中路貴彦

(3)

HOKKAIDO UNIVERSITY

TECHNICAL REPORT SERIES IN MATHEMATICS

n 1: T. Morimoto

，

Equivalence Prob1巴msof the Geometric Structures admitting Differ己ntialFiltrations

，

11 pages. 1987.

H 2: J.L. Heitsch， The Lefshetz Theorem for Foliated Manifo1ds， 59 pages. 1987. H 3: K.Ku bota (Ed.)，第 12閉偏微分方程均餅峨シンポジウム予稿集， 77 pages. 1987.

H 4: J.Ti1ouin，巴K ummer' s cri t日rionover A and Hida's Congruence Modu1e， 85 pages. 1987.

H 5: Y.Giga伊d.)，Abstractsof Matl悶 natica1Analysis Seminar.1987， 17 pag巴s. 1987.

H 6: T.Yoshida (Ed.)， 1987年度談話会アブストラクト集 ColloquiumLectur巴s，96 pages. 1988. H 7: S. Izumiya，G. Ishikawa (Eds.)，“持異点と微分幾何"研究集会報告集， 1988. U 8: K.K11 bota (Ed.)，第 13由偏微分方程式五命札幌シンポジウム予稿集， 76pag閃 .1988. H 9: Y. Okabe (Ed.)，ランジュヴ、ァン方程式とその応用予稿集， 64pag巴s.1988. U 10: 1.Nakamura (Ed.)， Superstring理論と K3曲面， 91 pages. 1988. ~ 江山j1: Y. K日am出is泊hi立ma(但Edι.)，1988年度談話会アブストラクト集 Collo引qu山li町umLe巴ctu口ne

~， 2ふ G.I弘shi吋ika乱w包a， S. Iz在凶工mn吋1せj戸&乱邸y ndT. Suw乱(但Ed白s.)，“特巽点論とその応用"研究集会報告集 Proc田e巴吋di碍n19伊sof t泣h巴

Symposium “Singu1arity Theory and its Applications，"317 pages. 1989.

I

I13: M. Suzuki ，“駆け足で有理群を見てみよう "1987 年 7 月北大での集中講義の~ð是， 38 pages. 1989.

I

I14: J. Zajac， Boundary values of quasIconformal mappings， 15 pag巴s.1989

H 15: R.Agemi (Ed.)，第 14回鋪微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 55 pages. 1989.

<<16: K. Konno， M.-H. Saito乱吋S.Usui (Eds

ふ

Proceedingsof the Meeti珂 andthe worksllOp“A1gebraic

Geom-計ryand Hodge Theory" Vol. 1

，

258 pages. 1990.

H 17: K. Konno， lVL-H. Saito and S. Usui (Eds.)， Proce巴dingsof the Meeti時 aば theworkshop

“

A1gebraic Geom-etry and Hodg巴Theory"Vol. II， 235 pages. 1990.

I I1凶山8: A. Arai但(Edι刈.)， 1印9回89年度鹿i談炎話会アブストラクト集 Cω01恥11叫叫0ψQ伊u山1 H 19仇: 註.Sl四叫d侭(Ed.)，複素多様体のトポロジ一 To叩polo白gyof COl11叫p1巴悶xMar叫fo1d出s，1口33pages. 1990. n 20: R.Ag巴mi(Ed.)，第 15西偏微分方程式論札規シンポジウム予稿集， 65pag日s.1991. "21: Y. Giga， Y. Watatani (Eds.)， 1990年度談話会アブストラクト集 Colloquiul11Lectures， 105 pages. 1991. I I22: R.Agel11i (Ed.)，第 16目偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 50 pages. 1991.

H 23: Y. Gig， Y. Watatani 札 (Eds.)， 1991年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloqllillmLectllres， 89 pag巴s. 1992. H 24: K.Ku bota (Ed.)，第 17回偏微分方程式論札続シンポジウム予稿集， 29 pages. 1992. H 25: K. Takasaki，“非線型可F彰子系の数理"1992.9.28""'" 10.2北海道大学での集中講義講義録， 52 pages. 1993. H 26: T. Nakazi (Ed.)，第 1盟関数空間セミナー報告集， 93 pages. 1993. H 27: K. Kll bota (Ed.)，第 18回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 40p明日s 1993. U 28: T. Hibi (Ed.)， 1992年度談話会・特民講演アブストラクト集 CollOqllilll11Lectures， 108 pages. 1993.

(4)

第

3 回

関数空間セミナ}

報

告

集

1 9 9 5年 1月9日(月)~ 1月11日(水) 代表者宮島静雄中路寅彦自次 Riesz' s functions in weighted Hardy and Bergman spaces 山田雅博 (広大・理) A Remark on linear isometries of

l

t

m) into

i

.

t

)

岡田紀夫 (東京理大・現王宮換 Banach環のキャリア空賠上の関数族について井上純治 (北大・理) 高橋民映 (山形大・ヱ) j臨時保容力学系における安定性理論と曲面の発展方程式荻原俊子 (東大・数理) 非可換 Lp-空間の isometryについて渡辺恵一 (新潟大・理) 1次元力学系の共変表現について河村新蔵 (山形大・理) Gaussian estimateの拡張について宮島静雄 (東京理大・理) 複素力学系からみたニュートン法西沢清子 (城西大・理) Double layer potentials of LP-functions for a bounded domain with fractal boundary 渡辺ヒサ子 (お茶大・理) Lipschitz双対空間の順序と Lipschitz双対写像のスベクトル性津島信子 (お茶大・理) LP-convergence of an extended stochastic integral， II 新谷俊忠 (苫小牧高専) 並べかえ理論再考酒井雄二 (信大・工) 不等式のヴィジュアルな証明久保文夫 (富山大・理) 1 8 12 18 24 30 35 38 44 50 56 62 66

(5)

行列の c-numericalrangeの境界について 72 高口真 (弘前大・理) 線形写像の空間の種々の orderと norm 76 安藤毅 (北大・電科研) Weighted norm inequalities for some singular integral operators 81 山本臨範 (北海学園大・教養) Eigenvalues of matrices with given block upper triangular part 87 高橋勝利 (北大・現) コンパクト群上の F. and M. Rieszの定理について 90 山口博 (城西大理) Type constants and Clarkson' s inequalities forLr(X) 93 高橋泰嗣 (岡山県立大・情報工) 岡崎悦明 (九州工大・情報工) 加藤幹雄 (九州工大・工) On some Banach algebras with involution 96 越昭三 (北海道工大)

(6)

似

_IJt

仰の

_L

_F

ペ

モ

M

/

?

i

N

_弘

_¥

;

:

明

王

!

2

1 _i

_y

日-t

z

i

羽

_{ι b}

_{け ? で}

'

f

7 _{Ob μy/?it}

ぽ

f

J

j

:

-t

凶

1 ;

;

i

l

c

t

;

i

_う

_?

_ょ

_w

_f

_;

_?

₍

_J

₂

2 :

₂

₁

_j

t

ど

5 d

勺

C

う

P

U jI'L

ョ

訓

_P

_J

七

(

/

-

/

0

1 ツ

t

;

?

j

Ljczω

ヂイ/"ぬ狗手タタ

i l f

立す

d

介

引圧

のソ

j

叫

j

A

_パ

も

社

ゐ MM 人 J4 イ

ρ

ドハふ ν

ガ

ヤ

〆符 υ 引いイ F L f j 犬んザ

ρ υ

の

/ 刊

外

γ /

引

J P

ふけ

y

r

JfA1212lv

w

メ

1 ・

の

b

、ト

y

け

f

F

飼

い

J

r

i

ρ

プ

家小三

D

A 弥人・とみ ρ ぺ l

く

4 J に

μ

￡レ

C

ハ

ν

名ルヴ L 41 ム協か -J t v t l t

} ノ

ど / ーん j '

ゎ

r u

/ 十・ L

f

斗ノ

ft

ゾ/ r J ' E 、， F hyuwE r s e 十 1j ﹁

ρ

/ 1 1 1 1 ノ r s J } ノ m l L l J 寸{ J f ¥ 3 2ノノ円

μ

p u

/止/ f ¥ ) ゾ J J ¥ J ノハ

μ

/ ' e

目、

子 ¥ ノ

d

万

埼

場

ハ

移

仏似

w

d

仰し伴 i

山

ゾ// j ，

d

ハ

μ

μ υ

〆 k J F P L j s パ

u

f

し

C

G

t ナ ipfi iμHHCJ

。

l 々川リ戸 L ド ι v -- V 庁_t ‘ 、 J L q ' ' g a ・ a t s g ' ' ' ， ι ' '

j

q

d

ipJ C ﹀

ι

にかパわハドーし件十

υ

fiG

7ihH ぺ ? ，，、、げ μ J L fij 1

-ブ

以

'

J

f

Z

/九九

J

_!

_f

庁

. ₎

庁

i

f

_バ

(7)

J

可愛守支

H

川

j

t 切々か}~U

m

O

l

玄問の仔坊そ胡¥る

ニ

ι

i

1 .

"

-

i

，

そ

J

(

r

z

，ク¥.'¥ /(

~

1 >

L

z

-

.

)

1

，

/

¥

"

9 二とと

19 K

i

e

s

よ間与の

1

色

存

7 の

与

J

H

.~ .

2 _•

ノ

争

)

1 -

1 .

7

ぃ

2 人

F

_ヘ

t

花

J

I

S

Z

ワ

と

の

1

1 の従来のノ

S

怖かけj

)

1 .

'

_hb

_{~杓タタぶ須}

IJ

_!~にが

_I?

)3)

;

5 ナヌ差押上

_l

釘メど日

いたイ?とニラ C

_八

~}i

_次多るこ

_z

-

t

-

_'

₁

₇

_グ

_l

_;

_v

_'

₇

_"

I

J

，

.

-

f

，

校

の

ダ

J

I

定

μlZ

_{刀ぃ ?}

_{).1どづえニ}

j

i

問題

r

z

(j{~，

材家"1-，

火

η

)

z

.

s

f

i

2 -

l

-

ィ

タ

.

:

1 j

z

d

i

ノ

{

を

5 ムの:ヲ

f

J

A

CF

O

ど

さ

;

J

:

.

{

;

'

-

，

広

三

2

0

0 ロタ

D

)

Z

J

-

_ず

I

?

ノ

((

，

}

t

1 )

~

c

くと >

/

5 (ζυC¥

0 -

)

~7

Q

~子

3 争

点

1 ;

;

_E

ぐ

J

ρ

b

-

J

j

.

1 i

.

(

7 :ダぐ

J

)

i

t

ノ

仏

1

→

r

，

d

t

い

ぐ

:

ρ

今

(2)

ぐ

t引づ L(

ヅ

ぷ(行i~)

~

_C

_"

(d)

j

{

I

ふ

!

)

~.

D

!う

川

河

る

円

近

J

グヂ

f

y

l

-e

j

-A グ j 本 i g じイ，ブ﹀

小

UB

作

プ

ク

院

i

J

V

待

乏

、

内

〆

hb

F h /

一

ロ

︹

μ

¥ Y

﹁ァ，﹄

，

J I r A ヨ 1 4 T J ' H ベノ一，つ / L

f

y

h

り，

f /

引

1 /

:

伊八い

C

万人る

3 Rむ d h

の

/

ヲ

タ

ル

川

c

d

M

{

7

7 プ

イ

汁

小

ラぷ﹀ノ必ナ C11jrr/ 白i l

-i

p

b

j

一

_f

の。

J

乙

ι

J

b

3

4

ごい

、

L L J の / 句 d レい

片

山

ド

の

と

寸

・

グ

ム

ん

旬

i イ

/

j

幻

十

健

ケ

f

k

円 / ν 叶内 1 ' '

J

:

，イ

ih

与

の

F ι J r J A

りナ著院で

j

レ 4

じ

ゅ

捗

(

₁

₀

₁

_づ

_i)

/

5 (θj

づ C

(8)

ぷの之長ずう

J

交の二と

F

だたろ

12

~h

i

l

9 ~じ{と ρ バ乏

1 f

(

ω

/

f

<

:

ぷ

(

/

1

，

t

， (

ソ

-

J

J~

/

.

1 I

ゆ

(

f

'

f

t

f

)

ρ J ノ / ρ J /

ごめニとり

/

5 (C

'

-

J

;

7 D

、

?

M

ニと

ζP

のしうり

-

m

z

}'z

1

7 '

i

)

る

f

a

i

l

T

l布衣丸山チ(り Þ~J! 括f[ 7 、 bる

ことは巧

f

'

J

1 -

-

T

b

J ヮ?ノ万を F タ GZ子百盈 J~ ニどを/多

ス

1

1 -

ρ 。

定

4 ユ

ノ~

E

<

D

上の刻長どよゑ山

ω

t

:

t

(

~

'

W

{

仇

(

I

-/

a

I

千戸り

F

)

J

(

/

o

d

W

)

L

/

¥

(

の

j

〈ノ

y

(

のさざ

(

-

I

-

(

a

l

ず

?

f

の

β

ぞ

ρ

ニ

二

7 -

、

U

E

-

L

1

(

T

.

f

れ)

(2

.

9 -

;

[

/

2 「 (

I

s

I

う

?JI1(Ejιω

L

!

C

の

ご

ん

U

(

2 )

μ-

0 -

;

/

今い

，

L

υ

ω

斗

υ ) #

色刀ヌス

μJ

ユ

l

川

/

β

，

)

(

ぷ

の

J

之

-(

s

[

卜

一

l

〈

川

ο

1 /

υ)

，

J(

卜イ民)

)

と茅ぷ。

〆ぞ

K

p(

口

d

k

J

j

k

仁

I

c

(

J

(

W

/

l

i

)

ノ

ム

三二?~

t

:

土

/

l

HC

.i

X /

"

i

2 .

1

乏行 f::-

f ヒ

:

J

j

.

b 3…

(9)

1 J

1 立は

j

き

;

f

i

と)司

3 1P

lz

引似手{ふヘ抑，この

芝

J

f

2 f)

又のタヴゲヲマ

ι

ふみ

J

T

L

、

/メ(左/ゴ上のず

l

彦

/

;

r

f

t

/

1

1 =

W と 1;J~

ωf~

f

u

J

W

J~l1

'/-μ

で早川¥伝乏のヌユ/¥

0

7 }

手

6 GKD7dFif

ノ

μεφ

;

7

，[

-b~

4 .

f

1 L

l

乙

ぷ

(C

ノ之

E

C

j

(i

C

q

ハ

7-

ぷ

Jι/

幻

μ j

川

0

7 f

卓

也

k(

c

D

ノグ

7 M

l

f ん /~~l 7fcû" γμ

'

1 -

-

五

ふ

)

7

1 ~/イ三色このゴム /， o7f

J

f

-

1 J

φ(C

ん

jdJfJ

ノ

五

る

E

q

-

/

'

じ

I

J

v

-

J

j

-

A

[7

ぷ(のえ

ε

テ

G

ι

q

-

7

‘

4zi

エ

の

イ

売

ρ

(

1

)ノ

(2)

J

d

)

多

ぺ

J

>

t

o

r

A

の

ω

〆 ( み作

J

っ

三

件多ふる

(J

(j)

7 -

ρ

l

d

-

W

の

ρチ

チ

ヂ

?

φ

子教

.

1

1 き

t

1 J

4 手作叶

z

"

、みタて

(2) (

"

'

1

1 そチ刀ナヲ手いよ

c

'

?

-

の

す績のノ惨をナタィ争

1

1 と

1

7 い

る

む

s

今

、

j

f

いけど

L

C

リ

い

R

クぃ

7 付i

i

イ州

y

Z

J

4

1 る

f

l

¥

かげ

1 h

t

¥

!

l

>

1 -

l

T

f

]

吃

周

忌

l

危

l

ザく

t

う

工ら

ι

併を

ρ

i

<f)

t

f

>

#

r

切款のチ年

ι

秒

。

ぺ

?

す

{

f

芝

H

L

吋

玄

問

H

f

仰を

p

の

し

ら

L

的

Z

ノ

Je

守杓

i

B

サ川

T

f

d

L

い少を

r

したいりごガパ

L

T

V

り?に話ヲムニニ之乃え会問趣)ぷ

又

J2

ヴ十める&

どしどっ

i

ず

L

E

似

φ

い

っ

Lbj7m

C

Q

九十タれづ lð …け~(〆 c Lifé~

3

3 d

z

ι

(10)

? ゐ

J 1 / i r t‘ イは可ノケ

U

IJ ノ

い

三

/ ι J A H

N

d

ゾ

f μ

と

ザ J A パ

手

︽

:itAli--﹃

付

，

一

夜

f 1 1 t i I 十 J 7 ム戸、ノ一、レ μ ¥ t ' S E t i -z ， J つ， I L -J 1 J j h a f J

川

昇

一

/

が

} ノ〆いアし、 ‘ ， f f ¥ j J 2 1 J u

-υ

/

'

E

A μ 1 ふ ⋮ ・ 1 、、 J / /

f u

J f t ¥ AU ゥ J グ d f r 句づ〆﹄ γ ﹂

々

ザ

イ司 J 〆 - d 従リ # 月つ L 、_v ゲづ ι

、

，

z

つ

J J / 〆₁ 5 1 刑判 1 F I t -ι ω V

M m

_レ

p

_ャ

_t

_r

_¥

_{;，~IJ 広 dbb}

ど

_L/

立

五

_JL

ーノ { M I

1 .

;

ρ

!~I

¥

d

1

1 九

守

1

コ

どかタニと )J 可イ~.1Abb~

7

-n 引

ι

_色

J A T I V

J

1 ヒ

γ

﹂

ヴタ

J 仏 W づし

ρ

2 J

V

4 i

} ι

ィ

d

パ

い

け

cy

け

- P γ

ハ

J

よ

けい

ト

.-(，)

z

h

w

F

上初

f

f r n j / す付 υ r j 不 U 4 け

3

片

M J

U

ば

Y

j ; ;

の

を

，ノム

) ι

( 主ザフ / 、ぃ 7 h j r

ゎ

q 〆

L

F

7L ) 7 L 6 十、の

一

V - 1

-J 4

4

レ 7

ク

ρ

f

﹀ ' ' t Z 1 I Ji 、﹁ / / /ヂ一/

ω

F

J

ゲ ι

ハ

3 じ

岬〆匂 / J J e 〆

州法人ヴ

9 3 p

-人戸

i

f

つ

_ι

川ハソんり f p

ぺ

，

i j f { ゴ今ゴ f J

砂

ι

ー

﹀ ' h f b f p

，

. - v f し︽

μ

¥

o f

h

， r3

i

μ

イ

L b

﹁

LA

マ

h

p

/ f

国

ヤグ

ヒ

ヲハグ江 υ

y

し

乙

ユ

〉

I J 弘中代 l h H H H ' U J N U 持し

w n

-7 ︿ d V 7 {

f

b

ぃ ' 寸

ρ

し

は

る

し

丈

一

P

L

K 乙匂

vhU7t

J π

打

す

マ

q

L

I

4 ' ト λ' ﹂ J d μ

ー

は

り

/ j i -ノグ人ハ﹄﹀ / ι れ巾 / I I 1 v ' i I L f I ¥ ， ' ' /r レ勾 F

ι ι

3 A

U

? μ

パい考

ふ氏

μfr

UHlid-P7kυ ィがよけ / 恥必 μ 乃 1 1 7

上

J

U

J

O u l k E ハパム

ι

しか

' Y U

ム切

人

年

治

い

(

'

!

J 札パイ叫 4

2 一

y

祐

川

生予防

t n H 1 J

例

n -， . 、・ 4 L E E

-S

A 1 4 a f u 千 t f L ナ l ， J L れ H H H ド

仁

戸

、

f

﹀ 1 2 ' ぜい ¥ J と ; f レーラ去

p f

ぐ J t

d

h

J

﹀ J ・ f l ゲ λ ハド I 5 ノノヘ k C ﹀ i 小山ピ r L f L ， J ，，， .B' 昼、、 / ♂

μ J

1 l f う

J U

仰

iI 河川 u ， Il ヲ L 九，寸 1j J げれ μ l a / L ι L

。

ρ

﹀乏 i i q

ρ

市

t L A f / t け U μ υ y f ' ' f パ f i J U アトム似 / /

(11)

A REMARK O N LINEAR ISOMETRIES OF

4

n) INTO

i!~m)

NOLIO OKADA

Department of Mathematics

，

Science University of Tokyo

3

1 .

Introduction.

We denote by

4 n

)

(1 ::;p

:

;

∞

?η 巴

N)

，

R

n

equipped with !ip-norm and by !i

1 n

)

(

C

)

(1 ::;

p::;

∞

，

nεN)

，

Cn equipped with !ip-norm. We consider the following:

For giveη1 ::;p

，

q

三∞

J

チ

q

，

η巴N

，

is there an m E N such thati!~n)

(

問

spectively!i

1 n

)

(

C

)

is isometrically isomorphic to αsubspαceof i!~m) (respectivelyi!~m)(C))， or is thereαlineαT zsom町 T:tr) → i!~m)

γ

(

espe伽 el

ν

T : 4n)(C) → i!~m)(C)) for some m E N ?

The motivation to the above problem is stated as follows. In a book (Summing a吋 N吋 ear

Norms in Banach Space Theory by G.J.O. Jameson)

，

it is stated that H:= ((Xl

，

X2

，

X3

，

X4)

ε

必

):2j=1Zj=0}isisoz附 ricallyisomorphic toi!~3). 1 was not ab1e to construct a 1日1悶nea町r

i叩ωSome向 Tι:P

庁

E

4

;??吟3)→ H. S制oIa的S北酷ωkeげdPわProf，ば弛O鳴f色e出悶加蜘ssorT. 1抗bもωO州 1 悶 1s:ぬhi1凶n制sS凶ti耐M凶te吋OぱfT，悦恥白e伽Ch加 01

附

O略叩gyabout

it. He gave me an answer that the m叩 T: i!~3) ---l-H

，

defi.ned by

(Xl

，

X2

，

X3)

ー

(Xl十円十 X3

，

Xl - X2 - X3

，

-Xl十円 -X3

，

-Xl - X2十円 )

is a linear isometry

，

since we have

5123

作品

1

2

1

十

e

2X2十

e

3X31

Moreover he州 edthat the map T :庁)→ zg-1)(ηεN)

，

defined by

(Xj)j=l

ー

(Xl十

O

F

)

2

十

O

Y

)

Z

3

十十

oi

is a linear isometryヲsincewe have

デ凶作用部

IXl

十

社

2 )

Z

2 +

o

i

3 )

Z

3 + +

o

i

n

)

z

n

i

戸1

f

J

;

:

I吋 1 Later he announced me that the number 2n-1 is the best possible

，

i.e.

，

わ

hereis a linear isometry T :

R

i

n)

→ 必

)y_{thmweAGUE kun-Ip} and such isometries do not exist for complex scalars

，

i.e.

，

For any m E N

，

there does not exist a lineαr zsom向 T : i!~2\C) ---l-R~)(C).

Therefore

，

it seems to be natural to reach the above prob1em. "The results except the above are surnmarized as follows.

(12)

Theorem A. Let 1 ::::;p

，

q

三∞，

(p

，

q)

チ

(1

，

∞

)

， (

∞，

1)

，

p

チ

q

，

2.Then there do田 notexist a linear isometry

T

:

!1

1

2)

→ ゲ

(mεN)

Theorem B. Let q三1

，

q

.

:

f

2N

，

then there does not侃 ista linear isometry T 1!~2) → i!，~m) (m E N) Theorem C. There does not出 sta linear isometry T :必)→

/

!

i

m )(m E N) Theorem D. T:

/!~n) 一→ 42n叫n)

(n -1 E N)ヲde:B.nedby / 1 ，，2，1 ，2，1 ，2，.1¥ (Xl

，

X2

，

.

，

X

n

) ー ~(3.

2日

)

t

(X1十e2X2十十enXn)

，

(

j

)

4 Xl，

(

j

)

4 X2

，

"

'

，

(

j

)

4 Xn)いが isa linear isometry.

Theorem E. Let 1 ::::;p

，

q <

∞，

p =1-q

，

2.Then there does not exist a linear isometry T :

4引 C) → /!~m)(C)

(m

E

N)

3

2 .

Proofs of mrun resu1ts. First we show the following:

Prop叫 tion1.If凶ereis a linear isometry T :

/

!

i

n) ---+ /!~)， then問 havek

2 :

2n-1

Put E:ニ

{

X

=

(

e

j

)

j

=

l

巴tjn):61口 1

，

(

)

j=

土1(2 ::::; j三n)}・Thenthe cardinality of

E

，

deno七edby cardE = 2n- ¥ IIxll1口 η(xE E). The proposition is easily derived from the

following:

Lemma 1.Let x

，

y E E

，

x

チ

y.Take t (1 ::::;t::::;k)such that IITxl1∞

=

I(Tx)tl= n. Then we have IITyl1∞ > I(TY)tl.

Proo

f

.

Suppose the conclusion does not hold

，

then we have IITyll∞ 口 I(TY)tlロ ηSince

z

チ

y

，x

十y=(α

j

)

j

=

l

with αj = 0ヲ土2(1壬j

三

代

)

，

αjo= 0 for some jo (1

三

jo::::;

n

)

，

so we have

IIT(x

+

ν) 11∞口 Ilx十ylll::::;2(n -1).

Since the五rstcoordinate ofx -y is zeroヲ

!

I

T(x-y)I∞口1 IIX-ylll壬2(n -1).Hence we have

2n = I(Tx)tl

+

I(TY)tl

口噌

xI(Tx)は (TY)t1

=吋

xI(T(x土Y))t1

:

;

吟

xllT(x

幻 )

11

∞

:

;

2(n 1)

，

which is a con七radidion.

Secondly we consider the following:

Proposition 2.For any m

ε

N

，

t凶he悦r問ed仇O閃附e出snot exist a a叫l1五lii問111

P

丹

Pro吋Oザ

f

.

S句u叩pp戸os引eth同e町悦r閃eis a linear isometry T

げ

)(C)→

l

:

)

(

c

)

for some m

ε

N. Put

T(l

，

O) -:-(αj)

九

l'T(O

，

l)口

(

s

j

)

兵

1・Thenwe have 1αjl

，

Isjl

三

1(1 ::::;j

<

m). Take Izol口 l

such that argZo=1-argαj - arg

s

j

(

1 :

:

;

j

三

m).Then 11

，

(

1

zo)lh=え butwe have IT(l

，

zo)jl= 1αj + svol

<

1αjl+Isjzol三2(1 ::::; j ::::; m)

，

IIT(l

，

Zo)11∞ < 2

，

which is a contradiction.

N ow we consider linear is

∞

mtries

T:tr) → i!，~m)

(1

<

p

，

q <

∞

J

チ

q)・Inorder to

prove our results

，

we prepare the following lemma which is checked by using Taylor's theorem.

(13)

-7-Lemma 2.For α > 0

，

b

=

f

:

0

，

α > 0 and for each in古egerJ どOヲ

J弘元才(附 bト~(~)川-kb

k

_{} 口 (j}

:

1 )

_α_α_{一川}

∞

，

p

チ

qヲ2.Then there does not exista linearisometry T < G A P < 1 L ノ

1 N

d ε L m 噌 i l ノ

m

p

⋮ ↓

h 幻 T

〆

M r

Proo

.

f

Suppose the conclusion does not holdヲthenthere are (αj)?LIヲ(bj

Y

F

=

l

C R s吋1.that for

allX1

，

X2巴R

，

(IX1IP十IX2IP)

九(全

α

i

円十 bjX2lg)山 So _I:j~l

a

]

=

I

:

T

1

Ibjlg = 1 = 0 (mo

<

j ::;m). We may supposeαj > 0 ( 1 ::;j ::; m'o)

，

Then for largeX > 0

，

we have

L

Ibjlq

(

日

+

1)q/p

=

乞

α

(

jX十b_j)g十 q 一 P

o

.

By Lemma 2

，

we have

弘元{伊十

1)山 -xq}出 7 0

弘

2

e m u a y a m e

w

ト

: - I b j t

告

[2W

十b

川町

X

)

g

}

+

乏

Ibjlg] J=mo十1

25 号。合元 { ( 山 ) 札作

0

Moreover by Lemma 2

，

we have

九五台{芝(山山

q

}

口比二台芝

{

(

α

川

)

g-(

α

jX

)

g

一山一

1bj}

之

(;)αj-2b?>O

7

ロ

Azh{(ZPH) q}

Then we get

:

則

E

古

ム

今

P

元

X

出

土

長

剖

す

ぺ

2 号

(

怯

μ

(

何附

α句J j=mo+1 {1<p <えp

<

q}or {1

<

p

<

2

，

p> q

，

m

=

mo

，

}

{1

<

p

<

2

，

p > q

，

m > mo} or{p> 2}

，

(14)

Lemma 3.Let q

>

1

，

q tj:..N

，

mo

，

m

E N

(

m

o

:

;

m)

，

αj

>

0 (1 :::;j :::;

mo)

，

b_{j ξ}R (1:::;j三

m)

S

U

c

l

that~j:1 aJ

=

~;二 1

I

b

j

=

q

I

1.Assume tl凶 forlarge

X

>

0，附have (X2

十

1)q/2

=

二

2 :

(α1

叶ザ十乞

Ibjlq 1口1 J=mo十1

(

l

之1

，

odd) Then the following equations hold:

E

J

4 -

l

b

;

。

口

(

l

さ0ヲeven)

(

1 )

204-14

、、 ‘ 白目，，，，寸 1 4 / ' t ¥

乞

Ibjlq

=

0 j=mo+1

(

2 )

Lemma 4.Let q

=

2s十 1(s E N). Assume that for some

mo

，

m

E N

(

m

o

:

;

m)

，

αj

>

0 (1

三

j壬

mo)

，

bj E R (1三j:::;

m)

such that~j:1 αj==Z;L1ibjY219we have

L

Ibj

l

9 (X2

+

1)q/2

=

乞

αj( X十b_j)q十 for largeX

>

O.Then the following equations hold:

乞

α

J

-

l

b

;

= 0 (1 :::;1 :::;2s -1

，

odd) (0 :::; 1 :::;2s十2

，

even)

(

!

)

去

の

α

;

-

1

4

・口 (3)

玄

Ibjlq= 0 j口mo+1 εbj十 (4) 一一一+ 1

，

q tf:..2N

，

then there does not exista linear isometryT .e~2) Theorem 2.Let q

>

.e~m) (m E

N)

Proo

f

.

Suppose the conclusion does not hold

，

then七hereare (αj)j=ゎ(bj)j=l

c

R such that for allXl

，

X2E R

，

(IXlI2十IX212)1

九(芝

αi内十b_jX2lq)l/q

(15)

-9-80 ~j:1

a

J

=

~Þ1 Jbj Jq

=

1 口

o

(mo

<

j ::;m). We may supposeαj > 0 (1 ::;j ::;mo)

，

Then for largex > 0

，

we have

ヱ

JbjJq (x2

+

₁₎qj 2

口玄

α(jX十 bj)q十 28 and

<

q

<

We may assume ~j:1 JbjJ

チ

O.For 8 E N

，

we consider two cases 28 - 1 28

<

q ::; 28十1.In Lemmas 3

，

4うweput 1 := 28十2

，

then we get

¥ I I I -/ 吋，ム q 一 2 十 S / I I I -¥ 一一 q L 十 s q A M q J v h v η A Q υ η A M n u a ._。 J α

町工同

¥ 1 1 1 1 ノつ ω

q

十 G U つ山 / I I I -¥ Inもhecase of 28 -1

<

q

<

28

，

we have (28: 2) = (28: 2)! q(q -1). .. (q -28

+ 的 -

28)( q -28 -1) > 0ぅ 28十2) (28

+

2)! 2 ) = - F ) ( - H 1

ト

)

_<

0

(

i

l n 8

₊

1) (8十 1)! 2 ¥ 2 -/ ¥ 2 In the case of 28

_<

q ::;28十lヲwehave (28: 2) 28

+

2) = ((σ2288十

~

幻

22

)

!

ぱ

q(q

一

1

リ

).

.

(ωq

一

刈

b

州

)

(

治

(ωq

一

28

一

リ

2 _{トーや)...(~}

_-8)>0

(

i

1 n S 十1) (8十1)! 2 ¥ 2

Hence

，

in七heeach case we get a contradiction. Therefore the theorem is proved.

Now we consider the complex case. For α > 0

，

b ₍

_チ

0)E C

，

α E R

，

we consider the real variable function_J( x):口α￨十bxJ Cl'.Then direct calculations show that J'(x)=αiα十bxJα-2(JbJ2x十αReb) =αiα

+

bxJαRe( ， b 1 ) ¥α

₊

bx )

￨

bJ2x十 αReb 口 α

J(x)w

つつ r .

同

士

(Jα十bhJα

一作 f

'

(

O

)

= aaCl'-lReb

The fol1owing proposition which we state without a proof is shown by using Taylor's theorem and Leibniz rule.

Proposition 3.Let α

_>

O

，

b

₍

₌

₁

₌

0) E C

，

α > 0

，

then we have for each integersj

_三

0

，

α-j-1 _C_j ート 1

，

出合

(Jα+肋α￨

一土〈

h

k

)

C2=f{(α

一明

eb)2十(Imb)2}ヲ where C1 =αReb

，

Co

=

1

，

(16)

Lemma 5.Forα> 0

，

b (

チ

0)E Cヲα >0 and for each integerjど0

，

we have

J1弘元寸{I川α 一土(axt~k

where

Co

=

1

，

ClαReb

，

C2

三

=

{(α

一明

eb?十(Imb)2}ラ

(k十l)Ck十1

=

(α -2k)Rebck十(α-k十1)lbI2ck_l (k三1).

By七healmost same methods as in the real case with Lemma 5

，

we get the following: Theorem 3.Let1 < 払q

<

ι

∞

J

チ

ι

2.Then there does not exista linear isometryT 。)(C) → f~m)(C)

(mεN).

33. Some concrete linear isometries. (1)42)is not isometric t0 42)?but T :42) → f~3) ， defi.ned by (Xl

，

X2)

ー(主

-Xl十、ス4 l 1 1 ?一:-i"""X 1一一

-2

*

-

(18) is a linear isometry.

(

2 )

T

:

f~2) →れ defì.ned

by (Xl' X2)

ー(

_{¥(10)t '}1. ，:

τ

(Xl_{_. -}十川」て_/_'₍₁₀₎_t(Xl - X2)

ぅ

(

;

)

丸

(

2 )

九

2 )

is a linear isometry. (3) T : f~2) → f~6)

，

defi.ned by ( 川2)

ー

α(山十α山川lXl-α2X2川 1十αlX2，a2xl -α1川 3Xl，a山)， wl~悶eα1 ニ 3! /( 420)ま?α2

=

1/(420)き?α3口 2/(420)，をis a linear isometry. (4)T:tf)-zj??おfi.nedby (Xl，X2)

ー

(αlXl十α山川1-a2X2， a2xl河川山一αlX2，α仇 ? 叩仏 whereα1 = 1/(1512)古?α2口 3!/(1512)古?α3口 2/(1512)完， is a linear isomeむy. (5) T : f~3) → 419)?ddned by

(

仇

Z町九1，川み♂2勾川山 ?α4

仏

三

j，k9，同，8j口土1ヲ where α1

=

1/(140)ま?α2

=

{(18)を+2t}き/(560)会?α3エ {(18)

士

一

2t}!/(560)を?α4

=

(6/35)ま? is a linear isometry. (6)T:

伊

(C)---7 f~4)(C) ， defined by (Zl，Z2)

ー

α(lZl十α2Z2，αlZl一α2Z2，α2Z1十αilZ2，a2z1 -zαlZ2)， where α1= (3!十 1)を/2

，

α2= (3! -1)を/2ぅisa linear isometry. 噌 E ム 1 1

(17)

-可換

Banach環キャリア空間上の関数族について

北大・理

山汗受大-工

井上五輪

高橋員映

1 序

以下はR.Dossによる次の定理によって mspl却されたものであるD

Theorem D([l

，

Theorem 2]). Let G be a LCA group and G its dual group. Then a continuous function σon G is the Fourier-Stieltjes transform of an absolutely continuous measure if and only if

，

wheneverE

>

0

，

there is a compact set K and {)

>

0 such that

，

for any trigonometric polynomialp 口 Zcη'i

，

the relation IIpl

い

さ

1

，

J

J( I p(x)1 dx

<

o imply I Z CiCT(γ'i)

1 <

ε. Aをキャリア空間 φAを持つ可換 Banach環、 span(φA)をAの共役空間 A*の中での争Aの線形包とする。 span(争

A

)

の部分集合族

Q

=

Q

(

A

)

が次の条件を満たすとき、擬位相 (quasi-topology)と名付けよう : (1) 0 E

U

(

V

U

E

Q

)

.

(2)

VU

，

V E

Q，

ヨ

WEQ: WcUn

v

.

互いに細分になっている擬位相は同一視する。従って細分によって擬位栢の族に自然、に瀬淳が入る。今、 φA上の複素数値連続関数 σが条件

VE>

0

ヨ

，

U

E Q

:

1

2 二

Ciσ(

机)

1 <

E (均=乞仰

i巴

U

)

包=1 i=1 をみたすとき、

Q

-

連続と呼び、そのようなものの全体をC(争

A

;

Q

)

で表すことにする。このとき、

C

(

争

A

;

Q

)

は自然な意味で線形空障を作る。勿論

Q

壬

Q

'

吟 C(争

A

;

Q

)

c

C(争

A

;

Q

'

)

が成り立つ今 Aの共役空間A本の弱位桔の span(φ

A

)

への制限による原点、の近傍族を

Q

o

=

Q

o

(

A

)

とする。勿論

Q

o

は集合族 U(x}，

…，

xn;ε)口

{

p

E span(争

A

)

1 :

p

(

X

i

)

1 <

ε(i = 1

，

…

，

η

)

}

，

(

X

，l

…，

X

n 巴A

，

η 口 1

，

2

，

・

E>

0) と同値であり span(争A)上の擬位相である。

(18)

2 擬位相についてのいくつかの結果

dて、各 Z

ε

Aiこ対して、去でその Gelfand変換を表すことにし、

A={

企:X E

A}

とおけば、次の結果を得る。 Theorem 1.(i)

I

f

Q is a quasi-topology on span

争A

(

)

such that A

c

C(φ

A

;

Q)

，

thenQo^-::; Q.

(

i

)

A

=

C(争A;Qo). Proof. (i) Let Q be a quasi

ぺ

olologyon span(争

A

)

such that A

c

C(争

A

;

Q

)

.

Suppose that Q

三

。

Q.Then there exists U(Xl

，

…，

Xn_パ

0 )

E Qo such that V

4

U(Xl

，

.

，

九

州

)

(1) for everyV E Q. Since each5:i is Q-continuous by hypothesis

，

we can五nda quasi -neighbourhood

v

i

E Q(i

=

1

，

…

，

n)such that

1

p(Xi)

1 <

EO

(

2 )

for allp E

V

i

.

Then take a quasi-neighourhood

v

o

E Q such that1も

c

V₁

n

…

nv

_n. By (1)

，

we can find an elementpoE 1も¥ U(Xl

，

.

・・

，

X_n;ε

。

)

.

Then 1 PO(Xi)1どEO for some Xi becausepo

手

U(Xlγ・・

，

Xn;EO).But sincepoE 1も

c

，

i

V

we have

1

PO(Xi)

1 <

EO

，

a contradiction.

(

i

)

For each

X

E

A

，

set

x

(

p

)

=

p

(

x

)

(

V

p

E span (φ

A

)

.

Then

A

口

{

x:

X

εA}

is a linear subspace of (span

(も))"

the linear space consisting of linear functionals on span (φA).AIso A separates the linear functionals in spa

叫

争

A).Therefore we see thatA coincides with the set of those linear functionals on span(争A)which are continuous for the A-topolgy (cf.[2

，

p.62

，

3.

1 O

]

)

.

Letぴ bea complex-valued function

on争A・Forany element

p

=

I

:

i

=

l

Ciψi of span (φ

A

)

，

set丘

(

p

)

口

I

:

i

=

l

Ci

ぴ

(

机

)

.

Then

そ

isa linear functional on spa

叫

φ

A

)

.I

f

σ E C(争

A

;

Qo)

，

thend is continuous for the A同topologyand hence we c乱nfind an elementX of A such thatd =

x

，

so σ X. Conversely

，

we c悶 easi1ysee that everyま

(

X

E

A

)

is Qo-continuous on span(争

A

)

.

Q.E.D. 上の定理は Qoが

A

=

C(φぺjQ)を満たす擬位相の中で最小のものであることを主張している。従つでもし、 A口 C(φA;Q)を満たす Qoより真に強い擬位相が見つかれば、それは Theorem1-(誼)をより精密にするといえる。このような観点から眺めると、 TheoremDは無限次元群環は常に精密化できることを主張している。実際、争Ll(G)

=

Gと考え、 Gのコンパクト部分集合 f{及び正数 ε>0に対して、 Uんf{'バε戸ペ口ベ

{

p

同山巴

ω

S

叩P戸州& と定義し、 Qc=

Q

c

(

L

l

(

G

)

をそのような

U

f{εのすべての族とすれば、明らかに Qc は span(G)上の擬位相となり、 TheoremDは

(

L

1 (

G

)

= C(骨A;

Q

c

)

q ο 11 品

(19)

が成り立つことを主張している。また一般に QO(L1(G))

三

Qc(L1(G))であるが、次の補題から、 #(G)口 ∞ 仲QO(L1(G))

<

Qc(L1( G)) が成り立つことがわかる。今 Q1

=

コQ1(A)をA*のノルム位相から導かれた擬位相とする。勿論 Qo ~ Q1 and Q1

=

{U

ふ

， >0 (札口 {pE span(争A): IlpllA

・

<ε})

であるo Lemma 2. The following three conditions are equivalent:

(

i

)

#

φ

A<

∞.

(

詰)

3U E Qo : IIpllA・~ 1 (VpE U). (iii)Qo

=

Q1・

Proof.(i)=? (ii). Suppose that#争A n < ∞ & 同争A口 {rpl，・・.，rpn}.Since

the hu11-kernel topology on φA is a Trtopology

，

for any i(l

<

i

<

n)

，

we have

n

j

=

l

，j:;i:iKer

判

手

Ker机 andso there is an elementXiE A such th抗的 (Xi)口 Oi，j

.

・

Then

p口 P(X1)仇 + … 十P(Xn)仇

for every p E span(争

A

)

'

Put

M

= max凶 <n

1

似

I

A

権問dconsider.a quasi-neighbourhood

U(Xl，

，

.

Xn;

l

/

(

n

M

)

inQo・Thena simple computation implies IlpIIA・さ 1for any

pε U(X1

，

…

，

_Xn;

l

/

(

n

M

)

.

(ii)仲 (iii). Sraightforward.

(

誼

)

吟

(i).Assume that there is a quasi-neighbourhoodU(X，l，...Xn; Eo) inQo such tha IIp

l

I

A*

三

1for everyp E U(X，l

…

，

Xn;ε

。

)

.

Then we have to show that#争A<

∞.

Suppose not. Then we can take mutually distinct pointsψ

ゎ

…

，

伊

π+1in φA. Then

there is a non-trivial vector (α1，.・・9α

n

+1) E

c

n

+1 that

αlrp1(Xi)

+

…αn+l伊批判(Xi)口 O

for all i口 1

，

…，

n.We can without loss of generality thatα1

チ

O.As obseved in the

proof of (i)斗 (ii)

，

we can choose an element eε A such that

Ilell

=

1

，引い)手

0

，

αぱ ψ2(e)

=…=仇

+l(e)

=

O.

LetCi

法制

oreach i口 1

，

.

n

+

1 and 倒 Po= C1rpl

+

十九十仇+1

Then PO(Xi)

=

0 for all i口 1

，

…，

nand sopεU(Xl，

…，

Xn; EO)

，

henceIIpoIIA*~ 1

by hypothesis. However we have IlpollA*

討

p(e)

1 =

1

clrp1(e)

1 =

2

，

a contradiction. Q.E.D. 王立換 C*環についても R.Dossの定理と類似のことがいえる。。を局所コンパクトHausdorff空間、 Co(O)を無限遠点でゼロとなる Q 上の連続関数環とする口また、 φco(n)口 0

，

(Co(O))*口 M(0)

，

the measure space on 0 と考える。今、 Oのコンパクト部分集合 K 及び正数 Eに対して、

~

，

h

(

1 <

(20)

と定義し、 Qc= Qc(00(0))をそのような円(，εのすべての族とする。ただし 1p 1 は測度 pの全変動を表す。このとき明らかに Qcはspan(0)上の擬位相となり次の定理が成り立つ。

Theorem 3. 0₀(0)

=

O(φA;Qc) .

Proof. Let 0

チ

fE 00(0) and E

>

O. SetJ{

=

{ωεo

1 :

f(ω)

1 :

:

;

E/2}.

Then J{ is compact. Also set 8

=ポ広

andletp be any element of九，8・Then

pココ

2 :

7=1 Ci8ωυ for some C1

，

.

Cn E 0

，

ω1，…

，

Wn E O.Note that1 p 1=

2 :

7=1 1 Ci1 8ω，i' Therefore 1

Lcd(

ωi) I壬I

L c

d

(

ωi)1十￨玄

c

d

(

ωi)1

L

1 Ci11

f

(

ωi)

:

;

L

1 Ci11

f

(

同)

1十三11

ル

三Ilfll

レ

∞

lpHillpil

壬計ト

ε Consequently

，

f

E 0(0; Qc).

Conversely

，

let

f

E 0(0; Qc)and E

>

O.Then there exists a compact subset

J{ ~nd 8

>

0 such that1

2 :

7=1

cd (

同)

1<E/2for all p ロ

2 :

7=1 CiO，ωi ε 下う(，8・Set

J{e

=

{ωξo :1

f

(

ω) 1

三ε

}

.

Then J{e

c

J{. Actually

，

if not

，

then there is an

element ω EJ{

ε

¥

J{.Since ω巴J{e

，

we have1

f

(

ω) 1

2 :

:

E・Butsince ω

寺

J{and

1

ん

11口 1

，

it follows that

J

J( d 1 ω8口￨ O(< 8)and hence

ι

Elうて山 so1

f

(

ω) 1<

ε

/

2 ，

a contradiction. ThereforeJ{e must be compact and so

f

ε 00(0). Q.E.D.

と擬位相

L

-s

u

b

s

p

a

c

e

測度環の

3

頭、に挙げたR.Dossの定現にあるが、この証明にはR.Doss[l]

，

Theorem 2 我々が、擬位相の概念を考えた由来は、この定理はただちに次のように一般化されるo の証明をほとんど変更なく科用できる。

Lemma 4. Let G be a

LOA

group and G its dual group. We denote by

M(G)

the measure algebra of G

，

and suppose μis a non-zero positive measure in

M(G).

Then a continuous function σon G is the Fourie-Stieltjes. transform of a measure which is absolutely continuous wふ t.μifand onlyif

，

whenever E

>

0

，

there is a compact setJ{ and 8

>

0 such that

，

for any trigonometric polynomial p

=

2 :

Ciγi

the relation Ilpll∞ < 1

，

J

J( 1

p

(

x) 1 dμ(x) < 8 imply1

L

Ciσ(γ

，

)

1<E・制度環の L-subspaceと擬位相の関係を述べるため、必要な定義を述べておく。定義1.

M(G)

の closedsubspace

M

で、 μE

M

，lIE M(G) かっ、 ν~Iμ! なら、 IIE

M

であるものを

M(G)

のL-subspaceとよぶ。 p h u 句 ' ム

(21)

定義 2.Qを spanGの擬位相とする。

Qが L-type仲 (i)U

c

{pE spanG : Ilpll∞壬 1}. (VU E Q)

(

益)

VU E Q

，

35 > 0 :

{

p

E spanG : IIpll∞ざ 5}

c

U. (i.e.Q

三

Ql) Qが translationinvariant 仲 Q~

=

{γV:V εQ}is a ql凶 iωtopologyequvalent

to

Q

for each γE G

，

whereγVロ

{L

Ci(γi十γ):

L

Ciγ'i E V}.

次の Theorem5.は Lemma4.より直ちに証明できる。

Theorem 5. Let

M

be ~ non-zero L-subspace of

M(G).

Put QM be the set of allU(K

，

μ

，

ε)口 {pεspanG:Ilpll

∞

:

;

1

，

J

J( 1 p 1 dμ<ε} with K a compact set of

G

，

μ巴β([+

，

E > 0 . Then

，

we have

(i)Qt1 is a ~uasi叩topology which is of L -type and translation invariant.

(

註)

M = C(G;QM)

Theorem 6. Let G be a LCA group and G be its dual group. Suppose that

Q

is a quasi-topology in span G such thatQ is of L勾peand translation invariant. Then there e:xists an L-subspaceM ofM (G)such that

1

1 !

=

C( G;Q) .

Proof. First

，

we show that each element ofC(G; Q)is a Fourier-Stieltjes trans“

form of some ν~

M(G).

Let σ巴C(G;

Q

)

.

Then there exi.stsU E

Q

such thatp

=

L

Ci乍巴 Uimplies

1 LCiσ(

市)

1

三

1. Si註ce

Q

is ofL-type

，

there e:xists 5 > 0 sucht thatU

コ

{p巴

spanG: IIpll∞ 三 5}.Then for each non-zeropロ LCiγ'iE spanG we have 5pllpll∞ 巴

U

，

a;吋hence5 1 L Ci

o

-

(

引

I

l

pll∞ 三 1

，

that is I L Ci

o

-

(市)

1ざ IIpll∞/5

，

w hich implies

ぴ E

M(

G) by Bochner-Schoenberg叩Eberleintheorem.

we put M:= {ν:

I

E C(G;

Q)}

，

and show that M is a closed subspace of

M(G).

To show that

M

is a subspace is easy. Let1/be in the norm closure of

M

and let ε> O. Then there exi.sts με M such that 11μ- lノ11

三

ε/2. Choose U E Q

such thatp

=

I

:

Ciγ'i E U implies I Li Ci

T

(

γi) 1

三

ε/2.Then p

=

L Ciγ~ E U implies

i

玄

CiIl(')'i)1

三

1

I)II-

t

，

)似)

1 + 12

二

Ci

T

，

(

γi)1

三

ε/2+ε/2口 ε Thus we get1/E M. Finally

，

we show that百με

M+

and if1/E

M(G)

is absolutely continuous wふ t. μ

，

we have 1/εM. Since

Q

istranslation invariant

，

we have γμελ([ for each γ E G

，

and hence pμε M for each trigonometric polynomialp. LetCoo(G)be the space of continuous functions with compact support on G

，

凱叩an let9 巴CαO

∞

0

バ

(G

的

)

a叩n吋dε >Oa泣出E出bit壮E日a紅叫E巧y.Then we can choose a trigonometric polynomial Pesuch that

J

1 9 -Pε1dμ<ε(some，時四回tis necessary to reduce this fact

，

but h悦 weomit them.) This implies by the above argum凶 sthatgf-lE M. Since

Coo (G)is dense in L

ペ

G

，

μ)

，

we have

f

με M for each

f

E Ll(G

，

μ).

I

f

we take the Radon-N ykodym derivative

デ

_a_，_p as

f

，

we obtain

f

巴M 回 desired.QED.

(22)

4 問題

可換 Banach環 A上の乗作用素TのGelfand変換 Tの全体を M(A)とするとき、

M(A) = C(争A;Ql)となるような Aを BSE-環と呼ぶ。群環、円寄環、ハーディ環、可換 Cへ環等は皆 BSE-環である (cf.[3])0 特に単位的 BSE-環は A=C(母A;Qけと

なる口従って Oがコンパクトのときは、 c(n)

=

C(争A;Q1)となるが、他方 Qc=Q1 が成り立つので、 Theorem3と一致する。然しながら局所コンパクト可換群 Gが離散的であれば、 (L1(0))

=

C(G; Ql)であるにもかかわらず、 Qc

<

Q1であることが容易に示される。それ故に次の様な問題が自然に提起される。問題 1. Theorem Dをもっと精密化できるか ? 更に単位的BSE-環他lこも A =

C

(

争A;Ql)を満たす可換Banach環は沢山ある口実際、可換 H*環、コンパクト可換群上の

L

P

-

環 (1

<

p < ∞)、任意の集合上の[1-環、半群 Nk

=

{k， k

+

1， k十2，…}よの半群環などがそうである(cf.[4])。従って、問題2. 上記の可換 Banach環 Aに対して成り立つ等式A =

C(

争A;Ql)をもっと精密化できるか ? 最後に、問題 3. 任意の可換 Banach環 Aに対して、 A

=

C(争A;Q)を満たす最大の擬位相が存在するか ? もし、存在すればそれは何か ?

R

e

f

e

r

e

n

c

e

s

1.R.Doss

，

On the Fourier-Stieltjes transforms of singular or absolutely continuω ous measures

，

Math. Zeitschr.

，

97(1967) 77-84.

2. W.Rudin， Fundional Analysis， McGraw叩Hill，New York， 1973.

3. S-E.Takahasi and O.Hatori

，

Commutative Banach algebras which satisfy a BochneトSchoenbergωEberleintype theorem

，

Proc. Amer.Math. Soc.

，

110(1990) 149ω158.

4. S.-E.Takahasi and O.Hatori

，

Commutative Banach algebras and BS

E-inequalities

，

Math. Japoinca 37(1992) 607-614.

ウ

t

τ t A

(23)

) 1買序保帯力学系における安定性理論と曲留の発展方程式東京大学大学院数理科学研究科荻原俊子 1.はじめに自然界には，雪の結晶・プランクトンなど対称性のある美しい構造をもつものが多く存在している.どのような原理によって対称性をもっ現象はおこるのであろうか.この解明のために，群の作用に関して問変なモヂル方程式において安定解は方程式と同じ対称性をもつか調べることは興味深いことである.これまでに，コンパクト連結群の作用している強順序保存力学系においては安定解は対称性をもつことが証明されている.この研究は，非線形偏微分方程式について示した Matano[6]の論文にはじまる.その後， Mierczynskiと PolaCik[7] が連続力学系に対し，そして， Tak必 [8]が離散力学系に対して一般論にまとめた.本講演では，これらの理論をさらに一般化するとともに，これまで個別に議論されていた曲面の発展方程式の安定平衡解および二種競争系の安定な進行波解の対称性に対する応用を与える. 本研究は，東京大学の俣野博教授との共同研究である. 2.主結果 X はI}国序完備距離空間，すなわち， (閉)半順序構造(ざ)をもっ完備距離空間とする

.X

の任意の元包，vに対し，これらの最大下界U八Uが存在して，写像(包，v)H U八v:XxX→X は連続であると仮定する.Xの距離を dで表し，U~りかつ u ヲ!:. vを包<vと表す. Tは仮定(Tl)一(T3)をみたすD(T)C Xから Xへの写像とする. (Tl) 順序保存性(旬 <v 中 T旬~ Tv).

(T2) 上半連続性(収束列 h → u∞に対し， ω~ T(u∞)，¥;/ωε nkEN{Tun

I

n

乏

k}が成

立). (T3)有界で単調減少な軌道 (Tn+l 匂~ Tnuをみたす有界列 {Tnu})は相対コンパクト. G はXの元に作用する距離付け可能な位相群とする.写像 γ:GxX→XがX上の群 Gの作用であるとは， γが連続で gHγ(g，・)がGから Hom(X)への準同型写像であることである.ここで，Hom(X)はXから Xへの同相写像全体の集合を意味する.記号を簡略化するために， γ(g，匂)口 g叫また， γ(g，・)=gと書く.群Gに次の仮定をおく. (Gl)順序保存性(匂ざり吟gu~ gv， ¥;/gE G). (G2)写像 T との可換性 (gT旬口T(gu)，¥;/gE G， ¥;/包

ε

D(T)). (G3)群 Gは連結である.

(24)

Tの不動点包が性質(E)をもっとは， (E)Tの不動点 v<uに対し，ある 8>0が存在してgv<叫 VgεBo(e) が成り立つことである.ただし，Bo(e)はGの単位元 eのふ近傍を表すものとする.また， Xの元uが gu = u

，

VgεG をみたすときに，uは対称性をもっという. 主蓋ニ(i)

T

の不動点 uが下方安定であるとは，任意の f>Oに対しある 8>0が存在して， d(匂ヲ旬)

<

8， v <包をみたす任意の vEXに対しd(包，Tnv)

<

f， VnεNが成り立つことである. (ii)T の不動点匂が安定であるとは，任意の f

>

0に対しある 8

>

0が存在して， d(包;v)

<

8をみたす任意の vEXに対し d(旬，Tnv)<ε， VnεNが成り立つことである. 注意ニ一般の距離空間から距離空間への写像の不動点に対しでも (ii)の安定性の定義はできる.これはリヤプノフ安定性とよばれる概念である. 次の結果を得た.

一

時

一

例

gu戸u

，

Vg E

G

をみたすTの性質(E)をもっ下方安定な不動点在は，対称性をもっ. (説明).まず，ある 8>0が存在して，

(

2 .

2 )

gu=蕊

，

VgEBo(e) が成立する場合を考える.群Gの部分集合M を M

=

{gE G

I

gu=石} と定める.集合

M

は閉集合で，単位元 eを含むから非空集合である.一方，

(

2 .

2 )

より， g'EMに対し， gg'百 = 否 VgεBo(e)

，

すなわち，Bo(e)MC M.これはM が開集合でもあることを示している.群Gは連結であるから，M=G.したがって，

u

は対称性をもっ. Q d 宅 E よ

(25)

次に，どんな

6>0

に対しても，

(

2 .

2 )

が成り立たない場合を考える.このとき，Gの単位元 eに収束する列 {gn}で，gn U

1 =

U， Vn E Nをみたすものがとれる.すると，各 n E Nに対して， gnu八百 <gnu， 9四百八王IくをZ が成立.さらに，仮定(T1)より， T(gn百八官)壬 T(gn官)八T7i=gn官八百<官， Tm+1₍_g_n_{在八百)三}_Tm(gn_{百八百):::;・・・く官} となる.ここで，Uは下方安定であるから，{Tm(gn官八百)}mENが有界で，かっ，その期包が D(T)に含まれるように{gn}をとり直しておく.(T3)から，{Tm(gn百八百)}mENは収束列である.この極限を可と表すと，Un :::; Tm(gn宮八官)と(Tl)より， T百百三Tm₊1₍_g_n_官八否). 上式で m→ ∞ として，T可壬可を得る.一方，

(

T

2 )

より，可口"!J20Tm+1(gJ八百)5T(J!

曳

。

Tm(gnu八否))

=

TUn が成り立つ.ゆえに，

T

可=可.つまり，UnはTの不動点である.各nに対し，

G

の部分集合 Mnを Mn コ {gE G

I

9可三百} と定める.集合Mnは窃集合で非空である.また，Mnは開集合でもある.実際，ある g

ε

Mn に対して g可 =Uとすると，可<Uが成立しているから， U=g

百

;

<

gu となり (2.1)に矛盾する.すなわち， Mn

=

{gE G

I

9む<官} となるが，Uが性質(E)をみたすことと gUnもTの不動点であることから，Mnは開集合であることがわかる.したがって，

G

の連結性から

M

nコ

G

.

つまり，任意の 9E

G

とnε N に対して， (2.3) gU_nくをi. をZは下方安定であるから，n→∞とすると百ζ→官.よって， (2.3)においてη→∞として， gu:::; u

，

Vg E G.

(26)

gをg-lにおきかえて， g-lU::; U

，

¥Ig E G. つまり， u::; gu

，

¥Ig

ε

G

.

このようにして， u= gu

，

¥Igε G が得られる.以上より，定理が証明できた. 口 3.応用上の定理を適用することにより次の命題を得る. 3.1.応用併1.]Rn上の曲面の発展方程式 (3.1) V

=

f(n

，

¥1n) を考える.ここで，n は曲弱の外向き単位法娘ベクトル，V は曲面の外向き法線方向の速度を表す.方程式(3.1)は強放物型であることを仮定する. 距離空時 X と写像T:D(T)→Xを

x

=

(

r

，D)

I

r

(

c

]Rn)は有界開集合，D(C]Rn ¥r)は

o

r

を含むコンパクト集合}， T(r

，

D) = (r1

，

Dd と定める.ここで，(r，tD_t)は初期条件

r

o=

r

， Do

=

Dをみたす(3.1)の弱解(ref.[1]， [3]) を表す.また，距離dは，ハウスドルフ距離hに対し， d((r，D)，(r'，D'))

=

h(D，D')十h(D

u

r，D'

u

r

'

)

により定義する.

金麗ユニ(cf.Ei and Yanagida [2]， Giga and Yama-ucru [4])滑らかな有界平衡解は不安定である. (証明の方針).背理法により証明する.滑らかな有界平衡解で安定なものが存在したとする. それを S と表す.つまり，弱解 (S，Sの内部)は写像Tの安定な不動点とする. 空間Xの元

(

r

，

D

)

，

(

r

'

，

D

'

)

に対し， (r

，

D)三(γ

，

D')中中DCD'かっ

Durc

D'Ur'

(27)

-21-なる順序関係を考え，さらに群Gを G

=

{gaIαε ~n} と定める.ただし，gaは ga(r，D)=(r十α，D +α)

=

{(x十α，y十α)

I

x

εr

，

y

E D} を意味する.すると，条件(T1)一(T3)，(G1)-(G3)がみたされ，さらに， (8，8の内部)は性質 (E)をもつことがすでに知られている方程式(3.2)の解の性質などから示せる.また， (8，8 の内部)は (2.1)をみたすから，定理を適用して，対称性をもつことがわかる.すなわち，平行移動に関して不変となり矛盾. 口 3.2.応用例 2.ニ種競争系 (3.2) ( い

包いい山

J

川

川xxs汁川川+吋

f

叫

汽

(

叫ご dvxx

+

g(旬叫，パ吋U) - 00

<

x

<

00

，

一

∞

<x<

∞

，

の進行波解を考える (dは正の定数).方程式(3.2)が二種競争系であるとは，凡さ0

，

gtl~ 0 をみたすことである.また， (u(t，x)，v(t，x))コ(ゆ(x-ct)，

ψ

(x -ct)) (cは定数) の形で表せる解を速度Cの進行波解とよぷ. 方程式(3.2)の速度 Cの進行波解(石，万)に対し，距離空間 X と写像 T を x={(百十ω1，百十初2)Iω1 ヲ初2ε LP(~)} ，

T

(

包(x)パ(x))

=

CT1(旬(x+c)

，

v(x十c)) と定める.ただし，

L

P

ωノルムにより Xの距離は定義されるものとし， {弘}は方組式(3.2) の定める半流を表すとする.定義より， (百，v)は T の不動点である. 進行波解(笈，ち)が単調であるとは，石が非増加(resp.非減少)関数で亨が非減少 (resp. 非増加)関数であることである.

金麗

2 μ

f

.

K組 -on[5])安定な進行波解は単調である. (証明の方針).安定な進行波解(百，宮)が単調ではないとする.このとき，空間 Xに

(

U

1 ，

V

1 )

三

(

U

2

パ2)牛斗包

1 (

X

)

豆町(x)

，

り(♂)芝町(x)a.e.x

(28)

なるIJ民序構造をいれて，群Gを G

=

{gaIαεlR} と定める.ここで，gaは ga(U(X)

，

v(X))

=

包((X-a)

，

v(xーα)) を表す.すると，方程式(3.2)の解の性質などを用いて，条件 (T1)一(T3)，(G1)一(G3)が成り立ち，また， (官，めは性質(E)と(2.1)をみたすことが示せる.よって，定理を適用して，蕊(，

v

)

は G の作用に関して不変となる.すなわち，Uと否はそれぞれ定数関数となり矛j雷.したがって，単調である. 口参考文献

[1]

L

.

C. Evans and J.Spruck， Mption by level附 sby mean curvature， 1， J.Diff. Geometry，

33 (1991)

，

635-681.

[2] S. Ei制ldE.Y即時.gida

，

Stability of stationary interfaces in a generaJjzed mean curvature 坦ow，J.Fac. Sd. ， Univ. Tokyo， Sec. IA 40 (1994)， 651-661.

[3] Y-G. Chen

，

Y. Giga and S. Goto

，

Uniqueness and eXIstence of viscosity solutions of generaJjzed mean curvature長owequations， J.Diff. Geometry， 3~ (1991)， 749-786. [4] Y. Giga and K. Yamaぺlchi

，

On instability of evolving hypersurfaces

，

Diff. Integral

Equations

，

7 (1994)

，

863-872.

[5] Y. Kan-on

，

Parameter dependence of propagation speed of travelling waves for conpeti -tioIトdiffusionequations

，

preprint.

[6] H. Matano

，

Asymptotic behavior a紅組主nds坑ta油，bi出lityぱ0fs叫oh副凶1訪tio郎 of s印em凶il五ine乱紅，rd副if仇

r

五fu凶1

t

“

ions， Publ. RIMS; Kyoto Univ.， 15 (1979)，401-454.

[7]J. MierczyIIski and P. Pol説ik

，

Group actions on strongly monotone dynaInical systems

，

Math. Ann.

，

283 (1989)

，

1-11.

[8] P. Takac

，

Asymptotic behavior of strongly monotone time-periodic dynaInical process with symmetry， J. Diff. Equations， 100 (1992)， 355幽378.

第3回関数空間セミナー報告集

第

3回関数空間セミナー報告集

，

，

ふ

，

“

第

3

回

関数空間セミナ}

報

告

集

l

t

i

.

t

)

似

IJt

仰 の

L

F

ペ

モ

M

/

?

i

N

弘

¥

;

:

明

王

!

2

1

i

y

日-t

z

i

羽

ι b

け ? で

'

f

7

Ob μy/?it

ぽ

f

J

j

:

-t

凶

1

;

;

;

i

l

c

t

;

i

う

?

?

ょ

w

f

;

;

?

_IJt

仰の

_L

_F

_弘

_¥

_i

_y

_{ι b}

_{け ? で}

_{Ob μy/?it}

_う

_?

_?

_ょ

_w

_f

_;

_;

_?

_?

₍

_J

₂

₂

₁

_j

_P

_J

立す

_パ