分 権 的 シス テ ム十 分 割 原 理 と非協 力 ゲ ー ム に よ る ア プ ロ ー チ

分 権 的 シス テ ム十 分 割 原 理 と非協 力 ゲ ー ム に よ る ア プ ロ ー チ

奥 田 和 重

1

あるシステムを集権的 とみるかあるいは分権的 とみるかは,集権 と分権の概 念が相対的であるためにその定義 は一般的には困難である^｡ そこで本請 で は, 対象 とす る分権的 システムをシステム理論の範境で取 り扱われているものとす

る^｡ すなわち,システムはい くつかのサブシステムで構成 され,各 サ ブシステ ムは何 らかの評価基準 に もとづいた目的関数 と何 らかの制約条件式で表 される ものとす る｡ このような分権的 システムの最適化に対す るアプローチとして, 分割原理 によ る方 法 とゲームの理論 における非協力 ゲームによる方 法 が あ

る [1]｡

分割原望削ま大規模で複雑な､システムを小規模で複雑なサブシステムに分割 し, その取扱 いを容易にす るものである^｡ その際,サブシステム間の相互干渉 (相 互関係)を非干渉化 し,各サブシステムを独立 したサブシステムとみなす こと

によって分権的 システムであるとす るものである^｡ 他方,ゲームの理論 で は シ ステムをサブシステムの集 まりであるとみな し,各サブシステムは相互関係 を 考慮 して自 らの評価基準にもとづいて行動を決定す るものである｡特に決定権 に優先権のない非協力ゲームにおけるシステムでは,その構造それ自体 が分権 的であるといえる｡

例えば,河川流域の自治体 による水資源利用計画問題を考えてみる｡流量 が 一定のとき,河川上流の自治体の取水量が多 ければ下流の自治体の取水量 に影

(昭和

6 2

7 月 8

〔53 〕

54

響 を及 ぼ し,

ればな らな

独立 した利用

す る上位 レ

現 させ るも

いに交換す

計画

それとの主たる相違は次のようである｡分割原理にお い て は システム全体の目

的関数が構成されるが,非協力ゲームにおいては構成 されない｡またサ ブシス

テム間の調整は分割原理においては上位 レベルに設置 したコーディネータが行

い,非協ゲームではサブシステム問の情報交換によって 行われる｡

本論ではこのような分権的システムに対する分割原理 と非協力ゲームの 2通

りのアプローチについて述べ比較検討する｡

2.分権的 システムの構成

2. 1.

分権的 システムを構成す るサブシステムはN個存在す るものとし,各 サ ブシ ステ ムを準字 iで表す もの とす る^｡ 各サブシステム

Si

^{x. ･∈ X}

y , . ∈ yi

S, . :Xi ‑ Y,

ここで

X

Yi

S

yi

Pi

DMi

DM,

D. ･

G

これを達成す るために x,･と

y

｡

^{ui ∈ U i}

^{｡ U i}

[ 2]

( a )

分権 的 シス テム

Gi:

X . ×Y , ･ ×Ui

‑R P, A :X

XU ^{, .‑} ‑Yi

Di : G .(xi ,y

･ ,ut )

sub｡t o yi ‑Pi(a , . ,Xi )

∴

^{. .}

^.

■

ー

(a･)

₍

図1

ここで R は実数空間を表す｡先の水資源利用計画問題では,入力 xiは気象 条件 のよ うな外乱,出力

yi

ui

Gi

は上水道や農業濯概用水 ,釣 りなどの レジャーに関す る効用関数である｡ 各 自 治体 は気象や流量 を観測 して効用 を最大 にす るよ うに取水量 を決定す る^｡

2. 2

分権的 システムは,サブシステム問 に何 らかの相互関係が存在す る複雑 な シ ステムである｡ システムが分権的であることは,各 サブシステムが相互 関係 に ある他のサブシステムの決定 に影響 され ることな く自らの決定変数の値を決め ることがで きることである｡ この相互関係 には,サブシステム間に共通 した希 少資源が存在す る場合のよ うな間接的な相互関係 と,サブシステム間に入出力 関係が存在す る直接的な相互関係がある｡ 前者 はシステム干渉,後者 はプロセ

5 6

図

2

ス干渉 と呼 ばれている

[ 3

b∈R

i ∈B. 1 ⊂R

｡Bi

2)

. :Yi X U

‑Bi

る^｡

y ,･‑P.I(xL,ui)

b i二 g,A(yi,a,.)

さ ら に , 資 源 制約 としてすべてのサ ブシステムに対 して,

∑ r

= l b. l ≦t

(3)

(4)

が成

なければならない｡他方,プロ セス干 渉 で は ,

す 変

数 z i

. ･と相互関係の関数 Ki l .YX U‑Ziを 導 入 し て

の よ うに表 現 で

きる (

) ｡

y

‑p. ‑ ( ui , X

I , I, ･ )

zi‑ K

,a) ( 5)

ここで,

y

, u ∈U

l . ×‑ ^･ ×Y ^N .U‑ U IX ･ ･ ･× UN

以下 の議論 の展開 を容易 にす るために,評価基準 として最大化基準 を用 い る ことに し,外部入力 先を無視す る｡ システム干渉 は,資源配分型統合法 と して

[ 4

分権的 システム

図

3

57

3.

分割原理による分権的 システム

3. 1

分権的 システムに分割原理を適用す るとき,原問題の目的関数 としてサ ブシ ステムの目的関数で構成 されるシステム全体の目的関数が用い られる｡多 くの 場合 ,これはサブシステムの目的関数の加法和である^｡ このような原問題 は吹

のように定式化できる^｡

Max. ∑r = .Gf( y

,u L ,ZL)

Sub･t o yi‑. Pi(a

,I, . )

,

z, ･ ‑ Ki

,a)

, ･

これを最適化す るために

Lagr ange関数を次のように定義する｡

L (y

,u

･ ,I

. ,}

,〟i)

仝

∑. ^N = ^{l G} . I(yi ,ui ,Zi) + ∑ ^r = ^l A . T ( ^{pi( u}

^{, I, ･ )‑ yi)}

+

^{∑, N =l} P, T(z L ‑K

,u))

1un Hl ll mu p nu 6 7 8 lⅦ̲ u iZq iZq

(9)

^li ,F E .

Lagr ange乗数である

旦

∂y.

∂yi 一

坐 aui a ‑ 99 u, i I ‑ .

莞 一

慧 ‑o

生 ^a z. I 壁 aZi i ' ･" T ' 莞 + 拒 O

5 8

3 8

2

豊

湖 , ‑ y f ‑0

‑ 申L‑

u* ) ‑0

∂ f L

i

分割原理が有効であるのは,サブシステムの数

N

Goalc oor di nat i on me t hod ( i nf e as i bl eme t hod)

Mode lc oor di nat i onme t hod( f e as i bl eme t hod)

[ 5

La gr an ge

Z

Goalc oor di nat i on me t hod

このように呼ばれ,また最適解を求める過程で得 られる解 は,常 に最適 で はあ るが実行可能性が保たれていないために

i nf e a s i bl e

Mode lc oor di nat i onme t hod

Z

f e as i bl e

Mi xe dc oor di na t i onme t hod [ 5

るが,本論ではこの

2

3 . 2 Goa暮Coor di nati onMe t hod

(9)

L(yi,ui^.ZL

,

1 ,〟)

仝

∑,

^tG

‑ ,

,

, ･ )

, ･(

,

+ p

K;(

‑

∑, N = l

,〟)

PN)T

分権的 システム

これより第 i番冒のサブシステムの最適化問題 は次のようになる^｡

Max･ G

,I, ･ ) +

Sub.t o

5 9

この最適化問題では,サブシステムはコーディネータよりFEの値が与え られた な らば,他のサブシステムの決定に影響 されることな く自らの決定変数 の値 を 決めることができる^｡ ところが 〝の値を適切に決めなければ,サブシステム間 の入出力関係が成 り立たない｡いま,各サブシステムが与え られた〟の もとに 式

( 1 5)

1 6)を最適化すると,必要条件内の式 ( 1 0)〜

1 3)が等号で成 り

( 1 4)が成 り立っように 〝の値 を決定

Ne wt on法を適用す ると次のようになる

pL+1 ‑

I , + E ･ ∂L/ ∂p ･( 17)

ここで lはイテ レーションの回数, eはステップ巾である^. サブシステム間 の入出力が均衡 したシステム全体の最適解を得 るためには,初 めに任意 の

pl

に対 して各サブシステムが最適化問題 (式 (

1 5)

1 6)

y:,u

I , I ,

( 1 7)により新 しい 〃Zを計算 し,これを各

〃2

( 1 5)

(1 6)を解 く

はある正の徴小量 ∂に対 して,

J z 仁 K. 1 ' ( F L L , y ^{f ,} u f )

^{<∂ ( 18)}

が成 り立つ ことである^｡ この過程を図で示す と図

4

いま図5のような水資源利用計画問題を考える｡あ る河川 の i番 目の流域 を含む自治体 iがあり,uiだけ取水するとする｡ 流域 iにおける上流の流量 を zi,下流 の流量 を y,‑とす るO各 自治体 の効用 関数

G

に関す る

2

〟‑3

Max･ ∑, ? =11/ 2(

, ? )

Sub･t o

‑Zi‑u

‑1,2,3

6 0

3 8

2

図

4 G oalCoo r di na t i o nMe t hod

図 5 水資源利用計画問題 (例題)

Z, L 〒 y' ･ ‑

i ‑2,3

21 . ‑一定

この問題 の

Lagr a ge

L (y

I ,ui ,Zi ,li ,PL)

仝

∑, ? i l l / 2 ( a, . y. ?+ a

, ? )+ ∑, ? = ^lli

i ‑ui‑y, ･ ) + ^{∑ . ? =2} Pi (zi‑yill )

となる^｡ これを各 才について分割す ると次 のようになる｡

自治体 1 :Max .1/2(a. y誓+ b l u 雪 ^{上 p2} y l

Sub .t o y l ‑ Zl l ul

自治体 2:Max .1/ 2(a2 y行 b2u… )+ F E2Z2 ‑ P 3y2

Sub .t o y2‑ Z2‑ u2

自治体 3‥Max .1/2(a3 y g + b3u…)+ p 3Z3

Sub .t o y 3‑ Z31 u3

分権 的 シス テ ム

各 自治体について解 くと最適解 は次のようになる^｡

〟2 + b lZ l

Z

Zl

b 2

P 3

( a 2 +

a 2 b2

a8 ナb 3

a3b3 〃3

いまの場合,コーディネータは各 自治体が決定 した ziと

yi

〟tを次のように して決める^｡

pf ' 1 ‑〟 f

8 ･ ( Z仁 yf ̲ 1 )

i ‑2 ,3

6

6 1

3. 3 Mode lCoor di nat i onMe t hod

この方法の場合,式

(9)

La gr a nge

･L( y

,

,

,J L)

仝∑,N=】(G

i( y

,u

+ AT(p. ･ , (ui ,Zi )‑y, . ) +j LT(2‑K ' ( yi ,a. ･ )) )

‑∑r=

lLi( y

,u

,

,)

,P)

ここで

, I‑( ^zl ,･

･ ,ZN)T

62

図

6 G oalCoor d i na t i o nMe t hod

卦

亜

分権的 システム

Max. Gi ( yi ,ui ,2 ) sub.t o yi‑ P. ･ (ui ,妄)

2‑

K ' ( y

,z L, I )

63

(20) (21)

( 1 0)

(

l l

1 3)

1 4)

( 1 2)

^｡ Goa lc oor d i nat i o n

2L'1‑ 2 1 + 8 ･∂L / ∂Z ( 22)

この場合,サブシステム間の入出力関係 は常に均衡 しているが,サ ブシステム の最適化問題 (式 (

1 9)〜 ＼ ( 2

ス1 ,pl ,

l ,ul

コーディネータはこれ らの値を用いて

2

1 ^{2l'1‑ 2}

^l

^と23)

のときイテ レーションを停止す る^｡ このときの解が システム全体を最適にする 最適解である｡ これを図示すると図

7

｡

図

7 Mod e lCoor d i nat i o nMe t hod

6 4

8

2

図

5

Mo de lc oo r d i na t i o nme t h od

i ‑2,3

自治体

1:Max. 1/2( al yf +bl u誓 ) Sub. t o y l‑ Z1‑ ul

yl= Z2

自治体

2:Max. 1/2( a2 y2 2+b2u… ) Sub. t o y2‑ Z2‑ u2

y2= Z3

自治体3

:Max. 1/2( a3yS +b3u… ) Sub. t o y3‑ 231 L3

各 自治体について解 くと最適解 は次のようになる｡

)

〟 *‑

b l( zl1 22) b2(22‑23)

a3 b3

‑

Z l +( al +bl )2 2

‑

b222 +

a2+ b2) I

³

これを解 くことによって決定 された ),･

, F l , I

分権的 システム

2i +1

^{乏 f +}

･( ]f + pf ̲

)

i ‑2,3

8

6 5

3. 3

こ こ ま で 分 割 原 理 に お け る

Goalc oor di nat i on me t hod

Mode l c oor di nat i onme t hod

いずれの方法において もコーディネータはサブシステム問の相互関係を調整 す るために設置されたもので,従来中央政府あるいは上位 レベルの意思決定者 などと ｢経済的解釈｣されてきた｡ しか しなが ら企業組織などでは上位 レベル の意思決定者 は下位であるサブシステムの意思決定者よりも大局的で包括的な 計画を作成 し,その計画 に基づいて統制を行い,結果の評価を行 うものである｡

統制の中に相互関係の調整が含 まれるか もしれないが,それが上位 レベルの意 思決定者の主たる職分ではない｡最適化 の過程 において もコーデ ィネータは

Goalc oor di nat i onme t hod

( s hadow pr i c e )

Mode lc oor di nat i onme t hod

2

｡

5

1

2

3

｡

6

商 学 討 究 第38巻 第2号

6 6

笹 崎

U ‑

O

u O T忘 u Tp J OO U

P O

9

分権的 システム 67

さらに上位 レベルのコーディネータを設置 し,

2

は分権的 システムを解明するには無理があるといえ,大規模 システムの最適化 を分権的に行 うところにその意義がある^｡

4. 非協力ゲームによる分権的システム 4. 1

分割原理では,サブシステムは他のサブシステムの情報を直接知 ることはな い｡これは各サブシステムの情報が コーディネータに集中 しているためで,サ ブシステムはコーディネータが これ らの情報にもとづいて決定 した調整変数を 介 して間接的に しかその変化を知 ることができない｡ところが決定に優先権の ない非協力ゲームでは,サブシステム間で直接情報を交換するので,他 のサ ブ システムの変化を直接知 ることができる｡ このとき各サブシステムが持っ情報 のすべてを交換するのか,あるいはその一部を交換するのかが問題 となる｡

∫

もし各サブシステムが持っすべての情報を互いに交換すると,各サブシステ ムは同 じ情報をもつ ことになる^｡ この場合,これ らの情報を用いて各サブシス テムが最適化問題を作成すると,これはすべて同 じ形になる｡ た とえば,前述

した水資源利用計画問題を考える｡ 各 自治体 は河川の流れを観測 してその流量 を知 ることができるが,他の自治体を流れている部分の流量 は当該自治体 を通

じてのみ知 ることができるとする｡そこで各 自治体が観測 した流量や効用関数, 制約条件に関す る情報のすべてを互 いに交換すると,各自治体が作成す る最適 化問題 は同一 となる｡ もし効用関数の加法和が許 され るさ らば

,3. 2

とになる｡ この場合,同 じ最適化問題をそれぞれ解 くよりも一つの最適化問題 を解けばよい｡これは各サブシステムが持つ情報を‑カ所に集中 して,一つの 最適化問題を作成 し,それを解 いた結果を各サブシステムに知 らせるとい う集 権的 システムとなる｡ したがって,すべての情報を交換する場合,分権的 シス テムよりも集権的 システムの方が情報交換に要す る費用や最適化問題を解 く費

6 g

8

2

用が少な くてすみ効率的である｡

他方,サブシステム間に情報交換が全 くなされないとき,各サブシステムは 他のサブシステムのとる行動を推測 して自らの行動を決定 しなければならない｡

この場合,各サブシステムのとる行動の不確実性が増す ことになる｡さ らに各 サブシステムは他のサブシステムの決定変数の値を推測 し,その値にもとづい て相互関係を満たすように自らの決定変数の値を決めなければならない｡この ように推測にもとづいて決定 される値 はまた他のサブシステムによって推測 さ れるので,サブシステム間で推測が繰 り返 されろことになる

｡

にする取水量を決定することになる｡

つぎに各サブシステムが持っ情報の一部を交換する場合を考えてみる^｡ 各サ ブシステムが持っ情報には,最適化問題を解 く前に既知であるものと解 いた後 に明 らかになるものとがある｡前者 は目的関数や制約条件式の構造,あるいは データとしてあ らか じめ与え られる係数,過去の決定変数の値である｡ これ ら の情報 は事前に情報交換することができる｡後者は最適化問題を解 くことによっ て決定 される決定変数の値である

｡

図

9

分権的 システム

6 9

の調整を行 う (図

9)

を満たすような各サブシステムの最適解を得 る方法を次節で述べる

b

4. 2

i番目のサブシステムの最適化問題 は次のようになる｡

Ma女｡

,Z

Sub.t o

zi‑KL(y,u)

(26)

式 ( 2 6)を式

と,サ ブ システ ム の最適化問題は

Max｡

(27) Sl l b.t o

(28) 式 ( 2 4)〜 ( 2

ロセ スへ の入 力 と して式

( 2 6)で表 され

題 で は,目的関数 と状態方 程式内に現れて

i≠メ,j‑1, ･ ･ ･ ,N lが 与 えられているも

に決 定 変数 uiと y' Iを 決定する｡式 (

各 サ ブ システムは シス テ

ム全体の状態方

｡ いま

J, . ( ul , ･ ･ ･

とする.vui∈

J. I ( uT , ' ･ . ･

(29) であれば,この

る [ 6]｡ 式 ( 2 9) はN

コのサブシステ

めに は,それぞれ の最 適

化問庵が同時に

味 して い る｡いいかえれ

ば,他のサブシス

る限 り,各 サ ブシステムに

は Nas h均衡解

とで あ る｡ この Nas h 均

7 0

3 8

2

衡解を求めるために最適化問題 (式 (27),(28))に対する Lagrange関数を 次のように定義す る｡

L.I(y,ul,‑,ZEN

,}i )

仝G

,z

1 , . . .

‑

u

u

十

ul ･

箸 ‑告 G "

･

u T ･ ･

･ 瀬 一丹‑0

㍍

ⁱ ‑￡

) ^{7 意 G L( y* ･uT , ･ ･ ･ ,uk)}

I^･ f T

豊 ‑ p( u

･ ･

‑0

( 30)

N コのサブシステムでこの必要条件を同時に満 たす u芋

,y*

Nas h

( 3 0)〜 ( 3 2))

Nas b

2

2

Max･

/2

Q

sub.t o

ここで

Q

0

zl

l

L

agrange関数 は次のようになる^｡ L,.(y,

u

仝 1/2(yTQ.･y

+

,

+ A ; ( z o+ ∑r = l

‑ 1/2((Z｡+∑,F=lB,･u,･)TQ.･(Z｡+∑rtlBju,･)

+ ∑, F = l u

∑r ‑

( 3 0)〜 ( 3 2)

分権的 システム

塾 . ‑Q, ･ y*雄 ‑0

8y

旦む a u ⁱ ‑B TQL ,･ + R. l tu f'B 律 =o

∂Li

扇7‑

2 0 + ∑ , "

j か ッ

=

となる｡ これよ り,

u芋‑‑2Rl I BTQ. ･ I l ‑l z ｡ y* ‑p‑ lzo

), 仁 Q, ･ I l ‑ Ilo

7 1

.'E.:I' 粥 .1. , iZq ヨ iZq ) ＼ノ ) 8 9 0 3 3 4 iZq lⅦ 川U iZq

を得 る｡ ここで,

I l ‑ ( I‑2∑r ‑l B, ･ Ri i ･ B;Q, ･ )

である｡ この結果を見 ると行列 B,R

,Q

z

水資源利用計画問題 にこの結果を適用す る｡まず情報交換が全 くなされてい ないとき,自治体 iは上流の流量

y? ‑ 1

し,簡単化 のために

y. 9 1

｡.

Max. 1/2( a, ･ y, ? +b, . a. ? ) Sub ･t o yi ‑y. 9 ̲ 1 ‑ul ･

ここで

y3‑z

Lagr a nge

Li(

,a

仝 1/2( ai y. ? +bi n. ?

i ( y, 9 ̲ 1 ‑Z L . ･ ‑y. A )

∂エ i

‑ ‑a. ･ yT‑), 仁

i ‑1,2,3

aL , ‑

‑ ニ ーai y* + b, ･ u芋 十 好‑0, i‑

,2,3

∂L L i

‑

y

一

‑ 0 , i‑1,2,3

∂A

7 2

究

38

2

となる

｡

｡

2αi

o

u

･ ? ^{= 転}

宕 y ･ ‑

i ‑1,2,3

yf‑ 亘 k yf 9 ‑

i‑1 ,2,3

a. 1

.

^o

1 ･ ? ^{= 亘}

云y

1 , i ‑

これを図示す ると図10のようになる｡

情報交換を行 う場合を考える｡そのために行列を次のように定義する｡

Q , I :

^3×3

^{Ri , I ‑[bi ] ,B}

(

1,1 ,1

,B 2 ‑(

,1 ,1

,B3 ‑( ^0,0 ,

^T.

これ らを用いて自治休 iの最適化問題を定式化すると次のようになる｡

Max.

/2( y ^T Q, ‑ y+bi u, ? ) sub.t o y‑I .+∑, q 三l Bju, ･

Qi

R , ･ . I ‑[b, . ]>0

( 3 8)〜 ( 4 0)の結果がその

ポ ‑2/a, ･ BTQ

トl ^z｡

y * ‑I l ‑ ¹ z o lヂ‑Q, L T 1 z o

I l ‑( I+2∑, 3 ‑l l/b, ･ B, . B, TQj)

∴ ∴

∴

図

1 0

分権的 システム

である｡ これを計算す ると次のようになる^｡

I l ‑ ^{2a l +b l 0 0}

2a1 2 a2 +b2 bl b2

2 a1 2a2 2 a3 +b3 bl b2 b3

♭ 1

2a l

‑bl b2

( 2al +b l )( 2 a2 十b 2 )

‑2 al b2 b3

これより

z L *‑

0 0

b2 2a2 +b2

‑2 a2 b3 b3 ( 2a l +b l )( 2 a2 +b2 ) ( 2 a3 +b 3 )( 2 a2 +b2 )( 2 a3 +b3 )2a3 +b3

b

2 al

l

bl b 2

Zl

( 2 al +bl ) ( 2 a2 +b 2 ) bl b2 b 3

Z l

( 2a l + bl ) ( 2 a2 +b 2 ) ( 2 a3 +b 3 ) 2α1

喜 右 手五 2 1 2 a2 b

( 2a l +bl ) ( 2a2 +b 2 ) 2 a3 bl b2

Zl

( 2a l +bl ) ( 2 a2 +b2 ) ( 2 a3 +b3 ) a

1

2

bl

a2 bl b2

Zl

( 2 al +bl ) ( 2 a2 +b2 ) a3 bl b2 b3

Zl

̲( 2a l +bl ) ( 2 a2 +b ･ 2 ) ( 2 a3 +b3 )

7 3

7 4

となる｡ これより,各自治体 は事前に互いの効用関数の係数を伝えてお くと, 流量の初期値

zo

自らの最適な取水量を決定することがで■きる (図

1 1 )

a

l

図

1 1

4. 3

非協力ゲームによる分権的 システムは,優先順位がない同一 レベルのサ ブシ ステムにより構成 され,それぞれに独 自のDMを有 し固有の目的関数を持 って いるところにその特徴がある｡ またサブシステムは,他のサブシステムの不完 全な情報 と自らの制御範囲に関する情報を持

っ ｡

しか しなが ら,分権的 システムが本来有す る特徴を認めることによって もた らされる制御性能の低下や システムの煩雑さ,無計画な肥大化を招 く可能性 も ある｡さらに

Nas h

2

｡Nas h

分権 的 システム

7 5

衡解の集合の中か ら一つの解を決定する方法として

Nas h

[ 7]

本論では相互関係 として直接的な相互関係であるプロセス干渉の場合について述 べてきた｡これはサブシステム間の入出力になん らかの競合関係が存在 しているこ

とを前提 としている｡間接的な相互関係であるシステム干渉の場合の共通資源の配 分問題では,限 られた資源の取得に関 してサブシステム問&.=競合状態が存在す る｡

非協力ゲームではコーディネータが存在 しないためにサブシステムが資源の奪い合 いを演 じることによってシステムの制御性能を低下させるかもしれない.こねよ う な場合,サブシステムが協力することによって公正な資源配分を行 う協力ゲームに よるアプローチが有効であると思われる｡

分割原理では

Lagr ange

｡Nas h

2

Nqs h

5.

本論では分権的 システムに対す る分割原理 によるアプローチと非協力ゲーム によ るアプ ローチ につ いて述 べ た｡ 分 割 原 理 に よ るアプ ロー チ は,

Goal c oor di nat i onme t hod

Mode lc oor di nat i onme t hod

テムを解明す ることには適 していないこのを明 らかに した｡ しか しこれは大規 模 システムに対す る分割原理 の有効性 を必ず しも否定す るものではない｡実際 に電力 システムや道路交通 の制御 などに適用 されて効果 な結果が得 られている ことが報告 されている

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非協力ゲームによるアプローチでは,モデルが分権的 システムとして構成 さ れているのでそれを解明す るには有効である｡本論では,非協力 ゲームによ る 最適化法を述べ分権的 システムを取 り扱 うのに有効であることを明 らかにした｡

しか しサブシステム間を調整す るコーディネータが存在 しないために,あ る

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参 考 文 献

[1 ]∫. Be r nus s ou and A̲ Ti t l i : I nt e r c onne c t e d Dynami c al Sys t e ms:

St abi l i t y

De c ompos i t i on and De c e nt r al i sat i on,c h. 1,pp.3‑8 6

1 9 8 2,Nor t h‑ Hol and.

[2

,pp.4 7 ‑8 3,1 9 7 4

[3

,pp.3 0 3 ‑3 4 0.

[4

,Vo l .3 5 No.2,3,pp.1 6 5 ‑1 8 6,1 9 8 5.

[5]M.G.Si ngh and A.Ti t l ュ :Sys t e ms:De c ompos i t i on

Opt i mi s at i on andCont r ol ,c h.4,pp.1 2 7 ‑1 9 9,1 9 7 8,Pe r gamon.

[6 ]∫. 打as h:̀ ̀ Non‑ Coope r at i v eGame s

'Annal sofMat he mat i c s,Vo l .5 4

No.2,1 9 5

[7

,pp.1 5 7 ‑1 8

,1 9 8 2

[8]M. G. Si ngh and A. Ti t l i ( e ds.) : Handbook of Lar ge Sc al e

Sys t e msEngi ne e r i ngAppl i c at i ons,1 9 7 9,Nor t h‑ Hol l and.