ゲルバー梁の座屈について
崎 山 毅
On the Buckling of Gerber−Beam by
Takeshi SAKIYAMA
（Structural Engineering）
Gerber beam which is often used as a bridge has discontinuity conceming the slope aロd shearing force at hinge point and middle support． On the occasion of analyzing the stress， deformation，
vibration or buckling of such structure as Gerber beam， solution becomes complex uselessly because of the discontilluity， and its numerical calculation becomes unstable．
In this paper， the author shows the general method』to analyze skillfully the structure with discontinuous elements and analyzes the buckling problem of Gerber beam．
The buckling behaviour of Gerber beam groups into two classes by the difference of buckling parts of bea卑． It is showed that the positions of hinge and middle support act upon the buckling しbehaviour， and the domain of I and II−type buckling， the eigenvalue and buckling mode are calculated
in addition．
1．序 文
橋梁形式として多用されるゲルバー梁は静定構造物 であり，力の平衡条件のみから，反力や断面力を算定 することのできる，いわゆる簡単な部類に属する梁構 造物であると考えられてきた．求めるものが支点反力 や梁の任意点の断面力などの力に関する量だけの場合 には，このような見方も成り立つであろう．しかしな がら，ゲルノミー梁に関して，静荷重に対する変形ある いは振動性状，座屈性状などを解析する際には，すな わち，変形に関する量をも考慮する必要のある場合に は，上記の見方は必ずしも妥当なものであるとは思わ れない．中間ヒンジ点におけるたわみ角の不連続性と 中間支点におけるせん断力の不連続1生とが解析の繁雑
さを惹起するためである．
著者は構造形式，荷重形態その他の原因によって，
たわみ角，曲げモーメント，せん断力，曲げ剛性ある いは断面積などの諸要素のいくつかが不連続性を有す る構造物の解析において，不連続要素に起因する式取 扱いの繁雑さを回避し得る一般的方法を得んとするも のであるが，本文においては，ゲルバー梁の座屈現象 の解析に対してその方法を提示する．
＊構造工学科
2．ゲルバー梁の座屈方程式とその解
全スパンにわたって一様な断面を有し，横荷重q（x）
と両端部における大きさPなる中心軸圧縮荷重とを受 ける単スパン直線梁の座屈現象は周知の次式によって 表わされる．
EII隻…＋p農一・（・） （・）
三一1に示すゲルバー梁の座屈も式（1）によって 表わされるが，単スパン梁の場合，両支点間にある梁 上の全ての点において式（1）が成立するのに対して ゲルバ 一梁の場合にはX隅Zξ1，Zξ2なる点，すなわ ち，中間ヒンジ点Hおよび中間麦点Bを除外した全て の点においてのみ式（1）は成立する．中間ヒンジ点 Hおよび中間支点Bにおいてはそれぞれたわみ角およ びせん断力が不連続となるために，これらの点は梁上 の他の任意点とは異なる特殊な点であると見なければ ならないのである．
一→P
A
置ゴニL
2
（1一ξ2）4
∴
Fig．1・Gerber・beam
したがって，図一1のゲル〉ミー梁の座屈方程式を，
梁の全長をzとし，η＝x／ なる無次元変数を用いて，
厳密に書けば次のようになる．
d2y d4y
＝＝0 （η≠ξ1，ξ2） （2）
十k2 dη2 dη4
ただし k・≒詳
方程式（2）の解は次の形で求められる．
y（η）＝＝yo（η）十y1（η）・u（η一ξ1）十y2（η）・
u（η一ξ2） （ξ1《ξ2） （3）
函数y（η）はゲルバ・一梁の座屈方程式（2）の解であ るゆえ，前述のとおり，
0《η＜ξ1，ξ1＜η〈ξ2，ξ2〈η《
なる変域において意味を持つものであるが，函数
yo（η）， y1（η）， y2（η）はηの全ての変域で定義され るものである．なお，U（η一ξ）は単位階段函数で次の ように定i義される．
・（η一ξ）一
o認
式（3）を微分方程式（2）に代入して
（1窮。＋k・ll護。）＋（蹴＋鴨）噸（η一ξ・）
＋（器蓬2＋k・誰2）・u（η一ξ・）一￠， （3）
したがって，式（3）中の未知函数yo（η）， y1（η），
y3（η）はそれぞれ次の3個の微分方程式め解である．
蜘＋k・第一・ （5）
駿＋k・誰一・ （6）
霧＋k・誰一・ （7）
3個の微分方程式（5），（6）および（7）の解式中 に含まれるそれぞれ4個つつ合計12個の積分定数は図 一2を参照して得られる次の12個の条件により決定さ
れる．
ム H
天 鞠（鉛 一B @ c 一士〔％（争，〉＋1｝1（多1）〕
一士跡）
ム＼一
津7稀車
Fig．2 Shearing farce at hinge point H：
左支点 ηニ0， yo（0）＝0 （8． a）
yo （0）＝0 （8． b）
右支点 η臨1，yo（1）十y1（1）十y2（1）誕0（8．c）
yo （1）十y1 （1）十y2 （1）＝0 （8．d）
中間ヒンジ点η＝ξ1，
y1（ξ1）＝0 …たわみの連続条件 （8．e）
鷲：1｝…曲げ…ント零の条件翻
yo （ξ1）＋k2ylo（ξ1）＝0…せん断力の条件（8．h）
中間支点η＝ξ2，
鑛瀞亀）＝oトー零の条件ll：：l
y2 （ξ2）＝0 …たわみ角の連続条件 （8．k）
y2 （ξ2）ニ0…曲げモーメントの連続条件（8．1）
条件（8．a），（8．b）を満足する微分方程式（5）の 解は
・・（ξ）一…（・）・η＋yo安，（0）・（kη一・i・kη）（9）
微分方程式（6）の解は条件（8．e），（8，g），（8．h）を 考慮して
，、（η）一y1 書1）一・・i・k（η一ξ、） （・・）
また，条件（8．j），（8．k），（8．e）を満足する微分方 程式（7）の解は次式で与えられる．
，、（η）一y撃・）〔k（η一ξ，）一・i・k（η一ξ、）〕
（11）
したがって，ゲルバー梁の座屈方程式（2）の解は 式（9），（10），（11）を式（3）に代入することによ
り次のように求まる．
yo （0）
y（カ）＝yoノ（0）・η十
・（kη一sin kη）
k3
＋y・ 望1）・・i・k（η一ξ、）・・（η一ξ、）
＋yノ￡薯2）・〔k（η一ξ・）一・i・k（η一ξ・）〕・
u（η一ξ2） （12）
式（12）中に含まれる4個の未定定数yoノ（o）， yo
（0），y1ノ（ξ1）およびy2 ＾（ξ2）は残りの4条件（8．
c），（8．d），（8．f）および（8．i）により決定されるこ とになる．
単位階段函数を含む式（12）め微分形は次の各式の とおりである．
yo （0）
y （η）＝yoノ（0）十
（1−cos kη）＋y／1（ξ1）
k2
・c・・k（η一ξ・）・u（η一ξ・）＋y喋1ξ2）・
〔1−cos k（η一ξ2）〕 ・u（η一ξ2） （13）
崎 山
プ（η）一y㎡ c0）・si・kη一…（ξ・）」k・i・k
（η一ξ、）・・（η一ξ、）＋y2川噤E・i・k（η一ξ・）・
u（η一ξ2） （14）
y （η）＝yo （0）●cos kη一y1 （ξ1）・k2cos k （η一ξ1）のu（つ9一ξ1）＋y2 （ξ2）cos k（つ9一ξ2）
・u（η一ξ2） （15）
3．座屈条件式と座屈モード
ゲルバー梁の座屈方程式（2）の解式（12）中に残 る未定定数を4条件（8．c），（8．d），（8．f），（8．i）で 決定するとき，ゲルバー梁の座屈条件式がえられる．
すなわち，式（12），（14）と上記の4条件とより，4
個の未定定数yoノ（o）， yo （0）， y1 （ξ1）およびy2
（ξ2）に関する連立方程式がつぎのようにえられる．
O sin kξ1 0 0 ξ2kξ2−sin kξ2 sin k（ξ2一ξ1） 0
1 k−sinksink（1一ξ1） k（1一ξ2）一sink（1一ξ2）
0
●
sin k −sink（1一ξ1）
；lllll）／司、2
y1ノ（ξ1）／k O y2κザ（ξ2）／k3 ／0
sink（1一ξ2）
（16）
連立方程式（16）の4個の未知数めうち，少くとも 1つはゼロでない解が存在するためには左辺の係数が 形成する行列式がゼロとならなくてはならない．これ
より得られる条件式がゲルバー梁の座屈条件式であり，
具体的には次の2式となる．
sin kξ1＝0 （17）
sin k（ξ2一ξ1）・sin k（1一ξ2）一kξ2（1一ξ2）・
sin k（1一ξ1）＝0 （18）
2つの条件式（17），（18）はそれぞれ異った形式の 座屈を表わす．条件式（17）によって表わされる座屈 は吊りスパンAHに部分的な座屈が生ずるものであり，
zξ1なるスパンを有する単純梁の座屈と全く一致する．
条件式（18）はゲルバー梁のアンカースパンBCおよ び張出スパンHBに部分的な座屈が生じ，それに付随 して，吊りスパンAHにも変位が生じる形式の座屈を 表わす．座屈条件式（18）は
ξ1→0のときsin kξ2・sin k（1一ξ2）一kξ2・
（1一ξ2）sin k＝o
ξ1→ξ2のときsink（1一ξ2）＝o
となり，それぞれ2スパン連続梁およびZ（1一ξ2）な るスパンを有する単純梁の座屈条件式と一致する．
，ここにおいて，，条件式（17）および（18）によって
毅
表わされる座屈をそれぞれ第1型式座屈および第H型 式座屈と称することとする．
ゲルバー梁の座屈モードは次のとおりとなる．
（1）第1型式座屈
たわみ・（η）一撃・si・kη・〔・一・（η一ξ、）〕
たわ埆θ（η）一y・1（0）・c・・k，・〔1一・（η一ξ、）〕
曲げモー・ントM（η）一yo 戟i0）・P・si・kη・
〔1−u（η一ξ1）〕
せん断力Qω一y・ノ I0⊇・P・…kη・〔・一。
（η一ξ1）〕
（2）第皿型式座屈
たわみ・（η）一…（・）｛η一，i。kき，一ξ1）・・i・k
（η一ξ・）・・（η一ξ・）一k（12ξ、）・〔k（η一ξ・）
一sin k（η一ξ2）〕 ・u（η一ξ2）｝
たわみ角θ（η）一yoｿ｛1一、i。 kl毅範・c・・k
（η一ξ・）・・（η一ξ・）一越・〔1一…k
（つ9一ξ2） ・u（？9一ξ2）｝
曲げモーメント M（η）＝一yoノ（0）・P・
｛、i。 kll，一ξ、）・・i・k（η一ξ・）・・（η一ξ・）
一融扇・si・k（η一ξ・）・u（η一ξ・）｝
せん断力Q（η）一一yoノC）・P・｛、i。鳶一ξ、）
・c・・k（η一ξ・）・u（η一ξ・）一互三ξ互・c・sk
（η一ξ・）・U（η一ξ・）｝
4．数値計算および考察 （1）座屈固有値
ゲルバー梁の座屈荷重Pcr．を含む固有値k二Pcr．
Z2／EIは条件式（17）および（18）から得られる．そ れぞれの座屈形式における最低次の固有値を示す．
〔1〕第1型式座屈 k一睾1 〔2〕第皿型式座屈 三一1のとおり．
ゲルバー梁が第1型式で座屈するか第皿型式で座屈 するかはそれぞれの場合の座屈荷重の大小関係によっ て，したがって，中間ヒンジおよび中間支点の位置関 係によって決まる．この相関関係は二一3に示すとお
Table 1． Buckling Eigenvalue I《of Gerber＿beam ξ1ξ2 0．8 0．7 0．6 0．5 0．4 0．3 0．2
0 5．2 5．6 6．1 6．3 6．1 5．6 5．2
0．1 0．8 0．9 1．0 1．3 1．6 2．2 3．0
0．2 1．2 1．4 1．7 2．2 2．8 3．6 3．9
0．3 1．8 2．1 2．6 3．3 4．1 4．5
0．4 2．4 3．0 3．8 4．8 5．2
0．5 3．4 4．4 5．7 6．3
0．6 5．1 6．9 7．9
0．7 8．5 10．5 0．8 15．7
10．0
言 煮
善2・
・ぎ
5．0
π
1。0
球
⊥
ζ
§ 説
§ 望。．5 馨
竃
0
1
嘱巨とした（瑠
1
0．5 1．O Suspended span factor ξ1 Fig．3 Domain of I−type buckling and rtype buckling
りである．図一3より明らかなように，通常の2スパ ンゲルバー梁においては第皿型式の座屈すなわちアン カースパンおよび張出スパンに部分的な座屈が生じ，
それに伴って，吊りスパンに変位が生じる形式の座屈 が起りやすく，特殊な場合に第1型式座屈すなわち吊
りスパンの部分的座屈が起る．
図一4は座屈固有値とゲルバー梁の吊りスパン長と の関係を示すものである．これより中間ヒンジ位置と 固有値との関係が判明する．すなわち，アンカースパ ンの長さが0．5￡以上の場合，ゲル・ミー梁に生じる座 屈は第n型式の座屈のみで，このとき吊りスパンの長 さが大きい程固有値も大きい．またアンカースパンの 長さが0．5丑以下の場合，吊りスパン長が小さければ 第∬型式の座屈が生じ，吊りスパン長が大きくなると 第1型式の座屈が生じる．ゲルバー梁の座屈固有値は ほとんどの場合，同じ部材長を有する2等スパン連続 梁と単純梁の両固有値の間にあるが，中間ヒンジおよ び中間支点の位置いかんによっては，ゲルバー梁の座 屈固有値が単純梁のそれよりも小さくなることがある．
0
0．5 1，0 suspended span factor ξ1 Fig．4Relation between eigenvalue k and suspended span factorξ1
＼＼ 、 、 、 、 、 、
@ @
@ @
@ @
^／／
、、、
ノ！
、 ，
！ 一
0．60．5 ノ 0．7
0ぐ4 ．3
1一ξ2＝0．8 0．2
1
H 曽
このとき，ゲルバー梁は等部材長の単純梁よりも座屈 しやすくなる．
図一5は座屈固有値とゲルバー梁のアンカースパン 長との関係を示す．これより，中間支点位置と固有値 との関係がわかる．一般に，アンか一スパンの長さが 大きくなるにつれて，すなわち中間支点の位置が左側 に寄るにつれてゲルバー梁は座屈しにくくなる．これ は張出スパンが引き起す横方向への不安定1生が，中間 支点の左方移動によって，減少するためと考えられる．
10．0
2
窪2・
響 5．0
π
こρ
0．5 1．0 禮anchor span factor （1一ξ2＞
Fig．5 Relation between eigenvalue k and anchor span factor （1一ξ2）
@
@ノ@
@ @．ノ
DξrO．6 0．5 0．7
0．4
0．8
0．3 0．2
図一6はξ1＝0．4，ξ2＝0．6 のときの座屈固有値 k＝7．854に対するたわみ，たわみ角，曲げモーメン トおよびせん断力のモードを示す．吊りスパンのみに 部分的座屈が生じる第1型式の座屈である．これは吊
崎 山 毅
（a） deflectlon
（a） deflectlon
（b） slope
一
（b） slope
（c） bending momen t
（d） shearing force Fig．6 Bucking mode of I type （ξ1＝0．4，ξ2＝・0．6，k＝7．854）
りスパン部をスパンとする単純梁の座屈モードと一致
する．
図一7は ξ1＝0，4，ξ2＝0．6のときの座屈固有値 k＝3．812に対する諸量のモードを示す．アンカース パンと張出スパンに変形が生じ，吊りスパンは単に変 位するだけの第H型式座屈である．したがって，断面 力は吊りスパンには生じない．
5．結 語
橋梁に多用されるゲルバー梁は，その構造の特徴で ある中間ヒンジと中間支点の故に，それぞれの点にお いて，たわみ角およびせん断力が不連続となる．この ような不連続要素を持つ構造物の半巾，変形，振動あ るいは座屈などの解析に際しては，不連続要素に起因 して解式がいたずらに繁雑化することがしばしば経験 される．本論文においては，この種の問題を手ぎわ良
（d） ・shearing force F童9．7 Buckling mode of亜type （ξ1＝0．4，ξ2＝0．6，k＝3．812）
く解析する一般的な方法を提示し，ゲルバー梁の座屈 性状を解析した．
ゲルバー梁の座屈は梁の各部の部分的な座屈によっ て生ずるが，座屈する部分の違いによって第1型式座 屈と第H型式座屈の2通りに分れることを知った．さ らに，2通りの座屈型式の起り得る範囲および座屈固 有値，座屈モードを算定し，ゲルバー梁の座屈特性を 明らかにすることができた．
参考文献
1）山崎・崎山：「ゲルバー梁の座屈」 第25回土木学会年 次学術講演会概要集，昭和45年11月
2）S．Timoshehko ；Theory of Elastic Stabi童ityゴ Mc GRAW・HI肌，（1961）
