二脚モデルの歩行に及ぼす関節ばねの影響

長崎大学工学部研究報告第1 9 号 昭 和5 7 年 8 月

二脚モデルの歩行に及ぼす関節ばねの影響

曇 武 友 一 市 ・ 御 手 洗 忠 、 本 今 井 康 文 事

I n f l u e n c e  o f   J  o i n t  S p r i n g s  o n  t h e  L o c o m o t i o n   o f  a  B i p e d a l  M o d e l  

by 

Tomokazu MAT  AKE ，  T a d a s h i  MIT  ARAI ，  Y a s u f u m i  IMAI 

( M e c h a n i c a l  E n g i n e e r i n g )  

A b s t r a c t  

I n f l u e n c e  o f  t h e  j o i n t  s p r i n g s  and t h e  i n i t i a l  c o n d i t i o n s  on t h e  l o c o m o t i o n  o f  t h e  b i p e d a l  model  h a s  b e e n  i n v e s t i g a t e d .   The b i p e d a l  model ，  a s  p r o p o s e d  b e f o r e ，  h a s  e i g h t  r i g i d  l i n k s  r e p r 飴 e n t i n g u p p e r  a n d  l o w e r  l e g s ，  f e e t ，  t h e  w a i s t ，  and t h e  u p p e r  body ，  which a r e  j o i n t e d  e a c h  o t h e r  by p i n s   t o g e t h e r  w i t h  t o r s i o n a l  s p r i n g s .   As r e p o r t e d  p r e v i o u s l y ，  i n  t h e  monopedal p e r i o d ，  a  J i m i t t e d  r a n g e   o f   s p r i n g   c o n s t a n t s   a r e   a v a i l a b l e   f o r  t h e   model t o   move c o n t l n u o u s l y   a J i ke human w a l k i n g .   However ，  i t   h a s  b e e n  f o u n d  t h a t  t h e s e  same v a l u e s  o f  s p r i n g  c o n s t a n t s  a r e  n o t  a p p r o p r i a t e  f o r  t h e   b i p e d a l   p e r i o d .   C o n t i n u o u s  movement from monopedal t o   b i p e d a l   p e r i o d   i s   o n l y  p o s s i b l e   by  e m p l o y i n g  t h e  d i f f e r e n t  s p r i n g  c o n s t a n t s  f o r  d i f f e r e n t  p e r i o d .   S u c c e s s f u l  c o m b i n a t i o n  o f  s p r i n g   c o n s t a n t s  and i n i t i a l  a n g u l a r  v e l o c i t i e s  o f  a l l   J i nks f o r  a  c o m p l e t e  o n e . s t e p  movement i s   o b t a i n e d   a f t e r  t h e  t r i a l  and e r r o r  m e t h o d .  Under t h i s  c o n d i t i o n ，  t h e  s t e p  f o r c e  o f  t h e  model v a r i e s  showing two  p e a k s  a s  i n   t h e  c a s e  o f  human w a l k i n g  a l t h o u g h  t h e  s e c o n d  peak ，  which may b e  r e l a t e d  t o  t h e   a c c e l a r a t i o n  t o  t h e  n e x t  s t e p ，  r e m a i n s  q u i t 疋 l o w .

1 . 緒 曾

ヒトの歩行を形態的に分ければ，両脚立脚期と片脚 立脚期に大別することができる.二脚歩行モデルを用 いて，ヒトの歩行のシュミレーションを考える場合で も同様である.歩行モデルの計算"では，さらに形態を 細分し，その区間内での運動方程式の数値解を求める 方法を用いた.前報 2 1 では，片脚立脚期におけるこれら の運動方程式の解が，連続した歩行状態を表わすため

昭和5 7 年 5 月 6日受理 .機械工学科

の必要な条件を調査した.この結果によれば，ヒトの 歩行のように連続した動きをするためには，歩行を開 始させるときの初期条件(リンクの初期角速度)を一 定にすれば，歩行モデルの両側の膝(ひざ)および股 (こ)関節(以下 K j o i n t および H j o i n t という)の ばね定数は，ある狭い範囲内でしか成立しないことが 明らかになった.

確かに，この歩行モデルのように多自由度系の運動

2  真 武 友 一 ・ 御 手 洗 忠 ・ 今 井 康 文

を，次々に連続して行わせることは難しいことである.

狭い範囲ではあるが，ある関節ばね定数と初期条件の もとでは，片脚立脚期におけるモデルの歩行は可能に なり，歩行の形態，踏力線図を得ることができ，ヒ卜 の歩行状態のものと比較することができた.

本研究では，前報と同様に歩行モデルの両脚立脚期 における，連続歩行可能な関節ばね定数および初期条 件を求めること，さらに初期条件のみで，片脚立脚期 と両脚立脚期とを連続的に一歩の運動として成立し得 る可能性について調査，検討した結果を報告する.

2 . 歩行モデル

本論文で用いる歩行モデルは，前報

と同様に一般 化された二脚歩行モデル1)である.この歩行モデルの各 リンクは質量をもち，各関節は回転ばね継手になって いる. F i g . 1 は前報に用いた一般化されたモデルの見 取図で，本論文に必要なリンクの角度および関節番号 のばね定数を示した.添字の数字は前脚が奇数で，後 脚が偶数であり， リンクの寸法およびばね定数の取扱 い，次の区間への移行条件などすべて前報

と同一で，

本論文に不必要な記号等は省略した.

ド ^Case3  ~ ^Case4 

一般化された歩行モデルの歩行は. 5 区域の形態に 区分されている1)この区分に従えば，片脚立脚期は，

Case5‑1‑2 の区間に相当し，両脚立脚期は Case3‑4 の区間である.これを模式図で示したのが F i g . 2 であ る.

( 3   mass 

。 o s p r i n g  j o i n t  

F i g .  1 G e n e r a l  v i e w  o f  t h e  b i p e d a l  mode   l .

￨Cas e  5  . L C a s e   I  . 1 .   Case  2J 

一ーーー一一一ー診

F i g .  2  P o s t u r e s  o f  l o c o m o t i o n .  

3 . ぱね定数および初期角速度の設定

片脚立脚期における歩行運動の際は，前報

の結果に よれば立脚側及び遊脚側，すなわち左右の H j o i n t の ばね定数 k( 単位はすべて N ・ m/rad) を等しくした場 合 ( k

=k

足関節(以下 F j o i n t という)のぱね定 数 を わ = 5  O .   k

=100 に設定すれば，片脚立脚による 歩行可能な範囲は. K  j o i n t のばね定数で 1 0 7 0 孟ん三五 1 1 6 5 .   0  ~五 klO 三五 75. H  j o i n t のばね定数では 1 7 5 孟 k

=

k 1 4 話 2 3 0 の範囲にある.

本研究でも，片脚立脚期の場合と同一条件および同 様の計算方法により，このモデルの雨脚立脚期および

一歩行程において，歩行可能な関節ばね定数の範囲を 求めてみよう.

両脚立脚期は Case3‑4 ( F i g .   2 参照)であるから，

ぱね定数を片脚立脚期の場合と同一にして. C a s e 3 の 初期条件(リンクの初期角速度)を求める計算を開始 したが，両脚立脚期の歩行が可能な初期角速度(添字

。を付ける.単位はすべて r a d / s e c ) は ，

‑6.0 五 三 β 。話一 5 . 0 0 . 7 話 Y O 壬 1 . 3

-7.0~五布。孟 ‑6.0 

である. ( β .   Y .甲はリンクの角速度で. F i g . 1 を参照

二脚モデルの歩行に及ぼす関節ばねの影響 3 

のこと) Table 1 にこの範囲にある角速度を用いた計 算結果を 2 つ例示した.

T a b l e  1  Two r e s u l t s  o f  a n g u l a r  v e l o c i t i e s  i n   b i p e d a l  p e r i o d   a n d  i n i t i a l  a n g 山 rv e l o c i t i e s  o f  C a s e  5  ( r a d l 舵)

e X . l  

e X . 2  

3  7  I n i t i a l  a n g u l a r  v e l o c i t i e s   ‑ 5 . 0   1 . 0  A t  t h e  e n d  o f  C a s e  3  1 . 8 2   ‑ 2 . 5 4   A t  t h e  e n d  o f  C a s e  4  0 . 1 9   ‑ 4

m

l n i t i a l  a n g u l a r  v e l o c i t i e s   ‑ 5 . 5   1 . 0  A t  t h e  e n d  o f  C a s e  3  ‑ 1 . 9 5   ‑2

9 0 A t  t h e  e n d  o f  C a s e  4  ‑ 0 . 5 7   ‑ 4 . 0 6   l n i t i a l  a n g u l a r  

‑ 2 . 0   ‑ 1 . 5 1  v e l o c i t i e s  o f  C a s e  5 2 )  

ム ー ー ー ー ー

S l X ' i n g  c o n は a n t so f  j o i n t s   ( N ・ m / r a d ) わ = 5 0 ， k

= 1 0 0 ，  1 1 . = 1 1 0 0 ，  k

= 九= 2 0 0

q 

‑ 6 . 0  

‑ 6 . 3 0  

‑ 4 . 8 7  

‑ 6 . 5  

‑ 6 . 6 7  

‑ 5 . 5 0  

‑ 2 . 8 0  

また，この表には片脚立脚期 (Case5‑1‑2) の計算 に用いた初期角速度も記入したが，これを見るとわか るように，この 2 つの例とも Case4 の終値と Case5  の初期値は全く違った債となっている.

特に大腿(たい)リンクの角速度ふは，前報告 2 ) では C a s e  5 の初期値としてふ =3.5 を与えている.これは 後脚を前に振り出すために必要である.しかるに，

C a s e  4 の終了時には脚が伸び切っているので， ~o= 布。

であるが， Table 1 で Case4 の終値はふ与一 5 . 0 と なった.これは前報告勺こおける Case5 の初期角速度 とは符号が逆である.したがって，ばね定数だけを変 化させて Case4 と Case5 を円滑に移行させることは 難しい.

次に，歩行モデルが両脚立脚から片脚立脚に移って，

一歩を完全に移動し得るかを検討してみよう.前報幻の ばね定数を用いて C a s e3 → Case 4 の移行は可能であ るが，上述のようにふの問題でこのままでは， Case 5  への移行は不可能である.したがって， Case3 → Case  4 → C a s e  5 → Case 1 → Case 2 の連続した歩行が可 能となるためには，片脚立脚期あるいは両脚立脚期の 単独歩行の初期条件では意味がなく，改めて全行程の 連続歩行が可能な条件を求める必要がある.

このため，新たに初期条件 β0 ，加 0 ，布。および関節ば ね定数 k f ， k

，  k . ，   k l O ，  k

=  k 1 4 の種々の組合せを考え て，これまでの計算結果を考慮しながら，試行錯誤に よる膨大な計算から Case 3 → Case  4 → Case  5 →  C a s e  1 → C a s e  2 の連続歩行する初期条件等の組合せ

を得ることができた.その組合せを Table2 に示す.

また，計算結果を Basography で示したのが F i g . 3  ( T a b l e  2  No.4) である.

Table 2 Combination o f   i n i t i a l   a n g u l a r  v e l o c i .   t i e s   and  s p r i n g   c o n s t a n t s   o f   j o i n t s   ( a n g u l a r  v e l o c i t y :  rad/sec ，  s p r i n g  c o n .   s t a n t :  N  ' m j r a d )  

N u   F 。 1  1 ‑ 3 . 5   2 ‑ 3 . 5   3  1 ‑ 3 . 5   4 ‑ 3 . 5   5 ‑ 3 . 5   6 ‑ 3 . 5   7  1 ‑ 3 . 5   8 ‑3

6 9 ‑ 3 . 6   1 0   ‑ 3 . 6  

z 

Y o   。 布 わ k b   ι  ^{k i O   k l 3}  

0 . 5   ‑ 4 . 0   3 5   8 5   3 5 0   1 0 0   3 0   0 . 5   ‑ 4 . 0   3 5   8 5   3 5 0   7 0 0   3 0   0 . 5   ‑ 4 . 0   3 5   8 5   3 5 0   8 0 0   3 0   0 . 5   ‑ 4 . 0   3 5   8 5   3 5 0   1 0 0   7 0   0 . 2 6   ‑ 3 . 0   2 0   4 0   3 5 0   1 0 0   1 5 0   0 . 2 6   ‑ 3 . 0   2 0   4 0   3 5 0   1 0 0   2 0 0   0 . 8   ‑ 2 . 5   2 0   5 5   3 5 0   1 5 0   1 7 0   0 . 5   ‑ 3 . 0   2 0   4 0   3 5 0   1 0 0   .  3 0 0   0 . 5   ‑ 3 . 0   2 0   4 0   3 5 0   1 5 0   3 0 0   0 . 5   ‑ 3 . 0   2 0   4 0   3 5 0   2 0 0   3 0 0  

Case

3 4  5  . 2  

" . 語 (N'm/r

( 

同・:挺悶{・ 3  加 。 ・

. .

・ ¹⁰ ， ・ }

t . ・ ‑3.5Ir

0 . 5

3

、司1.‑4 、 . 0l' I 

_、、 、

、、 _、、

t_t

_、、 、 、

、、 _、、

、、 、、 _、、

，L ，，、 ~X

" 

， 

F i g .  3  A  b a s o g r a p h   o f   l o c o m o t i o n   o f   t h e   b i p e d a l  mode l .  

4 . 考 察

4 .   1  初角速度とぱね定数の関係

前報 2 ) の結果を参考にして ， k .を 1 0 0 0 重 ん 壬 1 2 0 0 と した場合， Case 3 → Case  4 → Case  5 → Case  1 →  Case 2 という歩行を行うためには，初期条件としてー 7 . 0 孟β 。豆一 6 . 0 ， -6.5~五1/0 孟 4 . 0 ，  0 . 5 ^豆

孟1. 0 の範囲を採用するが， Case 5 の最初に，前報 2 ) と同様に 3.0 孟 ~o 孟 6.0 の初角速度を与えてやれば良いことが わかった.しかし，踏カの垂直分力は，いずれの場合 も C a s e3 において負の値となった.これは足が床から 離れようとしていることで， Case 3 の歩行現象として は不適である.

逆に両脚の初速を減少させて，この状態で一歩行程

( C a s e  3 → … … → Case 2 ) の連続歩行ができるため

康文

kf=20  ( N ' m / r a d 】

kb=40  ( φ }  

k ・ ^{4 民)(  φ }   s ， r}

‑ 3 . 6   ( r a d / ， 制

) ; =   0 . 5   ( 争 }

智 ‑ 3 . 0 (多 3 忠・今井

‑ u ‑

O 吻 C

o d

‑

‑ 刷

︒

α1￨

州 刊 l q l o ω 6 4 2 4 4 4 4  

3 2

¥ 吉

﹄ } 会 草 堂 ﹄

O ち宮︽

8 . 0 1   友一・御手洗

4  真武

一‑s. 一一一 r

一 一 一 一 η

一一ーと

k 同 =IOO( ~ )  kB=300  (多}

‑ 1 0 . 0  

Diagrams o f   a n g u l a r  v e l o c i t i e s  i n   l o c o .   m o t i o n .  (N o .   8  i n  T a b l e   2 )  

1 . 0  

O.~

Time  (sec)  o 

F i g . 5  

比較すると F i g . 5 の方が終了値が初期値に近く，初角 速度およびばね定数を適当に選べば，あるいは僅かの 修正条件で連続歩行の可能性があることを示している.

両図を比較する限り，初角速度もばね定数も小さい方 が良いようである.

4 .   2  歩行の条件の検討

全区間を通しての連続歩行の可能な範囲の初期角速 度とばね定数の関係は，ほぽ明らかになったが，各区 間においてもこれらの関係如何によっては，その区間 内の歩行運動が中断する場合がある.この状態につい て考察してみよう.

(a)  前脚が前方へ倒れにくい場合:これは β が 小さくならない場合で，この対策として先ず考えられ るのは， I s o l または￨布。￨の値を大きくすることである.

しかし， 4 .   1 で述べたように，この値はあまり大き くはできない.次に考えられるのは， F  j o i n t のぱね定 数 ( k h k b) を小さくすることであるが，これはそれぞ れ 20N.m/rad より小さくなると，後脚の足リンクと 床とのなす角 ξ が ￨ ξ 1>90 ・になってしまい，実情に 合わない. 3 番目は. H j o i n t のばね定数 ( k

を小さ くすることが考えられるが，ん <70 では，遊脚は前方 へ少ししか振り出されないので，好ましい状態ではな

p .

・ ‑ 6 . 0 ( r 凶 九 州

戸・1. 0 ( φ }  

弘 ‑ ‑ 6 . 0 ( 令 }

t . ・ 5 . 0 ( 争 }

、 、 、ー ー ー ー 一

k f ‑ 3 5  ( N ' m / r . ω 】 陥・ 85 ( φ }   k..IOOO(φ} 

k 防 ‑IOO( 多 } k l s ・ 175( ~ )  1 2 . 0 1 < : : ロ s e

3 . 4 . 5 

8 馴 6 . 0   4 . 0   1 0 . '   ( u

也 前

¥ h v O

﹄ }

(b)  遊脚の大腿リンクが早めに前方へ振り出され ない場合:これは t が大きくならない場合で，このよ うにならないためには，後脚に与える初角速度 1 1 / 0 1 の 値を小さくすることであるが，布。 >‑2.5 では， β が小

‑ 1 2 . 0  

D i agrams o f  a n g u l a r  v e l o c i t i e s  i n   l o c o .   m o t i o n .  

の，ばね定数の条件を求めてみよう.いま ， so> 

4 .  O .   1 1 0 >  ‑ 4  .  0 とし， _{~oの値は Case} 4 終了時における 甲の値をそのまま用いるためには， K j o i n t のばね定数 んは， 3 0 0 くおく 4 0 0 を用いなければならない.また，

このことを確かめるためにお孟 3 0 0 またはん孟 4 0 0 の 範囲では，初期角速度をいかに変えても，モデルの歩 行は続行できない.結局， T a b l e  2 に示した初期角速 度と関節ばね定数の組合せが全てではないにしても，

これらの組合せから大きくはずれた値ではあり得ない.

また，この二脚歩行モデルは，初期外力だけでどの ような歩行をするのかを調査するもので，前報

のモデ ルでは連続歩行が可能であった.松葉杖歩行モデル

で は，ある区域では新たに駆動する必要があった.した がって，このモデルの歩行が C a s e3 →…→ C a s e   2 →  C a s e  3 と連続して行われるためには， C a s e2 終了時に おける各角速度が歩行の初期，すなわち C a s e3 の最初 に与えた角速度とほぼ同じ値か，近似的な値でなくて はならない.

いま，本計算結果の一例を，各リンクの角速度の時 間経過でプロットしたのが. F i g .   4 お よ び F i g . 5  ( T a b l e  2  No. 8 ) である.これらの図からわかるように，

角速度の C a s e2 の終了時の値は， C a s e  3 の最初の値 にはなってはいない.また，区間の境界では，曲線が 急変化して運動が円滑でないことを示している.これ は，各区開運動方程式の移行条件に，境界での同一の 角加速度を採らなかったためである.しかし，両図を

1 . 0 

O.~

Time (sec)  o 

F i g . 4  

二脚モデルの歩行に及ぽす関節ばねの影響

さくならないのでモデルは後方へ倒れてしまう.次に H  j o i n t を大きくすることであるが， k "  >300 では，重 心が後方へ移動し，この場合も後方へ倒れてしまう.

(c)  遊脚の膝(ひざ)が振り出す途中で伸び切っ てしまう場合:これは平=~となる場合で，このよう な状態では着地の際，突張り作用を起こし，体を後方 に押し摂して C a s e3 に移れない.これを防ぐために は ， 1 7 1 0 1 の値を大きくすることが考えられる.ところ が ， 4 .   1 で述べたようにあまり大きな値は採ること ができない.また，同様な防止法として，遊脚の K j o i n t のぱね定数を小さくすることも考えられるが，ん<

1 0 0 では遊脚が前方へ振り出されないために，体は後方 へ倒れる.

これらは，二脚モデルの計算のうち，歩行させるた めの試行錯誤の際，考慮したことがらの一例であるが，

多自由度系の物体の運動が，歩行運動と類似の運動と なるために，互いに相反する多くの条件を満足させね ばならない難かしさを表わしている.

4 .   3  歩行モデルの磁力

本報告で使用した一般化されたモデルは，概観的に はヒトの形態に類似している.そこで，ヒトの歩行中 の踏力とモデルのものとを比較してみよう.

本モデルの C a s e3 → … … → C a s e  2 の場合の垂直カ 分布と時間との関係の一例 ( T a b l e2  N o . 1 ) を表わし

C a s e  

4. 5  2

3 "   4  6 0 0 1  

r o o  

o q  

伺 鈎

Z) 曲 U

o h k r ・ a ( N ' m / f a d l   k b ・ 85( 争 } k ・ ・ ao( ^多 l  k l o ・ IOO( 争}

知事・30( ・} 

ふ

・ ‑ 3 . 5(  r a d / . . c  I 

九・ O.5( 多}

骨 0.‑4.01 多}

ピ : . l ー ム a  ・ ⁰

‑

C J )   200 

100 

。 ; _{0 . 2   0 . 4   0 . 6   0 . 8}  

Time (sec)  F i g .  6 S t e p  f o r c e  d i a g r a m .  

1 . 0  

5 

たのが， F i g . 6 である.図中の破線は後脚になった場合 であるが，計算値がないので C a s e3 および C a s e4 に おける後脚の値を記入した. C a s e  4 と C a s e5 の接続 部に不自然な不連続部が見られるが，大別すると 2 つ のピーク部があり，第 1 ピークが大きく，第 2 ピーク は小さい.この傾向は，片脚立脚期 ( C a s e5 → C a s e  1 

→ C a s e  2 ) の場合と同様であるが，第 2 ピークが小さ いことは，踏み切りの駆動時にカが小さいことを意味 しており，このままの状態では，次のステップに移行 しないことが予想される.

5 . 結 論

上体，大腿(たい)および下腿(たい)の各リンク に質量をもち，関節部に回転ばね継手をもっ一般化さ れた二脚歩行モデルを用いて，初期条件及び関節ばね が，両脚立脚期の歩行および両脚・片脚立脚期の連続 歩行に及ぼす影響について調査した.

一般化された二脚歩行モデルは多自由度系であるた め，運動方程式も煩雑なものになり，さらに一歩行の 形態を 5 区域に分けた各区間の解と，歩行形態に類似 させるための移行条件とを考慮したため，計算は甚だ 複雑なものとなる.したがって，これらの数値計算を 行うとしても，仮定すべきパラメーターの組合せは膨 大なものになるので，歩行条件を考慮したある値から 類推して，試行錯誤を繰返しながら結果を求めざるを 得なかった.

前報 2 ) の片脚立脚期のみの歩行では，ぱね定数がある 範囲内にあれば，その中のどんな組合せでもこのモデ ルは歩行は可能であった.一応この値を基準にして，

先ず両脚立脚期の歩行解析を行った.すなわち，片脚 立脚期 ( C a s e5‑1‑2) の歩行可能な範囲のばね定数 を用いて，両脚立脚期 ( C a s e3‑4) の歩行可能なリン クの初期角速度を求めることができた.

次に上述のぱね定数を用いて両脚立脚期と片脚立脚 期を通して歩行し得るための， リンクの初期角速度を 求めたが，一歩行の運動をすることはできなかった.

したがって，ぱね定数も変化させて一歩行行程を運動 できるばね定数と初期角速度の組合せを得ることがで きた.すなわち，両脚・片脚の両立脚期を通して運動 できる関節ばね定数と初期角速度が存在する.

また，この場合の垂直踏力線図では，ヒトの歩行に

類似の 2 つのピークは生じるが，第 2 のピークは極め

て小さい.すなわち，一歩行終了付近では脚力が著し

く減少している.他方，一歩行終了時 ( C a s e2 終了時)

の前絢は， K j o i n t が伸び切っており，前脚リンクの角

6  真 武 友 一 ・ 御 手 洗 忠 ・ 今 井 康 文

速度も初期のものとは方向が逆であり，このモデルが 次の歩行を連続して行うことは，この状態では不可能 である.したがって，歩行を連続して行うためには，

一歩行終了時に新たな加速を与えることが必要となる.

ヒトの場合は，筋肉によって，この必要にして十分な 加速を，そのつど行っている.したがって，制御機構 をもたない自由振動系のモテ・ルの運動の研究は，生理 膝(ひざ)や快適な義足の開発に役立つものと考えら れる.

なお，数値計算には長崎大学情報処理センターの電 子計算機 FACOMM‑180IIAD を使用した.

文 献

1  )真武，今井，御手洗;長大工研究報告. vo 1 . 1 6 ，  P .   1 ，  ( 目 白 56‑1  ) .  

2  )真武，御手洗，今井:長大工研究報告. vo l .   1 8 ，  P .   1 ，  ( 日 百 57‑1 ) .  

3  )真武，今井，御手洗:長大工研究報告. vo 1 . 1 5 ，  P .   1 ，  (B~55 ‑7  ) .  

4  )真武，御手洗，今井;長大工研究報告. vo 1 . 1 7 ， P .  

1 ，  ( 日 百 56‑ 7).