幾何学序論２

(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

連結集合連結成分連続写像と連結集合練習問題練習問題

幾何学序論２

第 2 章ユークリッド空間の位相，

2.7 連結性

市原一裕

2017年12月11日（月）２限

(2)

連結集合

定義 2.7.1（分離(separation)）

R^m^{の部分集合}Xに対して，Xの開集合AとBが次を満たすとき，A^とB^の組(A, B)^をX^{の分離という。}

(1)A, B ̸=∅, (2)A∩B=∅, (3) A∪B =X

注意：

・分離が存在するとしても唯一とは限らない。

・定義2.7.1の中の開集合は閉集合に置き換えても良い。

定義 2.7.2（連結(connected)）

R^m^{の部分集合}Xがどんな分離も持たないとき，Xは連結であるという。

(3)

分離をもつための条件

連結でないというのは分離を持つこと。

系 2.7.3

R^m^{の部分集合}Xが分離を持つための必要十分条件は，R^m の開集合O^とPが存在して次を満たすこと。A=X∩O^， B =X∩P として，

(1)A, B ̸=∅, (2)A∩B=∅, (3) A∪B =X このとき，(A, B)がXの分離になる。

定理 2.7.4

R^m^{の部分集合}Xが分離を持つための必要十分条件は，部分空間Xの開かつ閉である部分集合Cが存在して

C ̸=∅, Xを満たすことである。

(4)

連結性の判定条件

補題 2.7.5

Xが連結でないとし，(A, B)をその一つの分離とする。X の部分集合Cが連結ならば，C ⊂AまたはC⊂Bのいずれかが成立する。

定理 2.7.6

集合族{C_α}α∈Aがいずれも連結集合で∩

α∈AC_α̸=∅ ^ならば∪

α∈AC_αは連結集合。

とくに，CとDがいずれも連結集合でC∩D̸=∅^ならば，

C∪Dは連結集合。

定理 2.7.7

Cが連結であるための必要十分条件は，C^{のどのような２} 点を取っても，その２点を含むCの連結な部分集合が存在すること。

(5)

Rの連結集合

系 2.7.8

(1) R^{は連結。したがって，}R内の閉かつ開であるような集合は∅^とR^{自身しかない。}

(2) R内の任意の区間，つまり

(−∞, a], (−∞, a), (a, b], [a, b], [a, b), (a, b), [a,+∞), (a,+∞), は連結。

(3) R^{内の連結集合は，}R自身・一点からなる集合・区間，

しかない。

(6)

連結成分

定義 2.7.9（連結成分

R^m^{の部分集合}Xに対して，x∈Xを含むXの連結な部分集合のすべての和集合X(x)を，xを含むXの連結成分という。

注意：各連結成分は連結。

定理 2.7.10

R^m^{の部分集合}Xの連結成分に関して次が成立する。

(1) ^任意のx, y∈X^{に対して，}X(x)∩X(y)̸=∅^ならば X(x) =X(y)である。

(2) Xは互いに交わりのない連結成分の和で表せる。

(3) ^{連結成分はすべて}X^{の閉集合である。}

(7)

連結集合連結成分連続写像と連結集合

練習問題練習問題

連結集合と連続写像

定理 2.7.11

R^m^{の部分集合}XとY と，その間の連続写像f :X→Y が与えられているとする。C ⊂Xが連結ならばf(C)もまた連結である。

中間値の定理

連続関数f : [0,1]→R^{が与えられたとき，}f(0)とf(1)の間の任意の中間値c^{に対して，}[0,1]^の点a^{が存在して} c=f(a)をみたす。

(8)

練習問題 (1)

練習問題 2.7.1

A={1}^とB ={−1}^{としたとき，}(A, B)がX={1,−1} の分離になることを示しなさい。

練習問題 2.7.2

(0,1)∪[2,3]の部分集合として，[2,3]が開集合かつ閉集合であることを示しなさい。

練習問題 2.7.3

N⊂Rが連結でないことを示しなさい。

練習問題 2.6.4

{(x, y)|xy = 0} ⊂R²が連結であることを示しなさい。

(9)

練習問題 (2)

練習問題 2.7.5

(0,1)∪[2,3]の部分集合として，(0,1)が連結成分になることを示しなさい。

練習問題 2.7.6

R²の部分集合として，ひらがなの「な」の連結成分の個数を書きなさい。

練習問題 2.7.7

方程式x−cosx= 0は，0< x < πの範囲に少なくとも一つの実数解を持つことを示しなさい。（数学III^）