工業数理基礎(J)［片持ちばり］1
片持 片持
片持 片持ち ち ち ば ち ば ばり ば り り( り ( ( 梁 ( 梁 梁 梁) ) ) )
(大学入試センター試験2011) 年次 組 番・氏名 第1 問 問 2 構造物の設計では、構造物そのものに作用する重 力(自重)を考慮しなければならない。図2のような、一端を壁に 埋 め 込 ん だ 形 の は り(片 持ば り)に 自 重 の み が 作 用 する 場 合 を 考 えてみよう。図2の点Aで曲げモーメントが最大となるので、ここが壊れないように、はり断面の設計をする必要がある。
重力加速度g[m/s2]、材料密度ρ[kg/m3]、はり幅b[m]、はりせ い(断面の高さ方向の長さ)h[m]とする。自重は一様に分布する荷 重(等 分 布 荷 重)と し て 表 さ れ 、 は り の 単 位 長 さ 当 た り の 荷 重 w[N/m]は次式のようになる。
w =ρgbh (8) 図2
はりの長さをL[m]とすると、点Aの曲げモーメントの大きさMA[N・m]は、自重の合力(全
荷重)wL[N]が、はりの中央に作用していると考えられるので、次のようになる。
MA = キ ×w (9) キ
0 2 1
2 2
4 3
4
点 A の曲げ応力(曲げによって生じる力)σA[Pa]は、断面係数(断面形状の性質を表す係数)
= を用いて次の式で表される。
σ = = 6
ℎ × 10
式(8)～式(10)から次式が得られる。
σ = ク 11
ク
0 3
2ℎ 1 3
2ℎ 2 3
ℎ 3 3
ℎ
式(11)から、はりの形状と曲げ応力との関係を考えてみよう。点Aの曲げ応力が等しくな るようにして、同一の材料を用いて2倍の長さのはりを作製するためには、4倍の ケ が 必要になる。 コ は点Aの曲げ応カには影響しない。
ケ ・ コ
(0) はりせい (1) はりの長さ (2) はり幅 (3) 材料密度
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コンクリートを用いて、長さL=10mの片持ばりを作製するために必要なはりせいを求め よう。コンクリートの密度と曲げ強度は表1のとおりである。重力加遠度g = 9. 8 m/s2 と する。σAが材料の曲げ強度σ[Pa]に一致するときのはりせいは、
ℎ= サ . シ × 10ス cm となる。
表1 コンクリートの密度と曲げ強度 密度ρ[kg/m3] 2.4×103 曲げ強度σ[Pa] 2.8×106
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解説
点Aの曲げモーメントの大きさMA[N・m]は、「全荷重×荷重までの距離」で求められる。
問題より、全荷重はwL[N]、これがはりの中央に作用するから距離はL/2[m]となる。
= ×
2=
2 9 キ 1
点Aの曲げ応力(曲げによって生じる力)σA[Pa]は、式(8)～式(10)から次のようになる。
= ℎ ⋯ 8 を、 =
2 ⋯ 9 に代入して、 =
2 × ℎ となる。
これを式(10)に代入して求める。
σ = 6
ℎ × = 6
ℎ ×
2 × ℎ =3
ℎ× × =3
ℎ 11 ク 3
点Aの曲げ応力σA[Pa]は同じで長さを2倍にする。元のはりは、長さをL[m]、はりせい をh[m]とする。2倍のはりは、長さが2 L[m]、はりせいがh2[m]とする。これを式(11)に代 入してh2を求める。
3
ℎ =3 2
ℎ = σ
ℎ = 2 ℎ
ℎ =4 ℎ
ℎ = 4 × ℎ
ℎ = 4ℎ
よって、h2は元のはりせいの4倍の大きさが必要である。また、式(11)にはb(はり幅)はな いので、点Aの曲げ応カには影響しない。 ケ 0 コ 2
長さL=10mの片持ばりを作製する。g = 9. 8 [m/s2]、材料密度ρ=2.4×103 [kg/m3]、点A の曲げ応力σA =σ= 2.8×106 [Pa]のとき、はりせいh[m]を求める。
σ =3
ℎ より、ℎ =3
σ となり、各値を代入して計算する。
ℎ =3
σ =3 × 2.4 × 10!× 9.8 × 10
2.8 × 10 =3 × 6 × 10!× 1.4 × 10
1 × 10 = 25.2 × 10#$
ℎ = 2.5 × 10%&m' = 2.5 × 10 &cm' サ 2 シ 5 ス 2
