非定常非圧縮粘性流れ問題の指数関数型Petrov-Galerkin有限要素法

【論 　 文

1

　 　 日本 建築 学会 構 造 系論文報告集 第439号

・

1992年9 月

Journal　Qf 　Strvct

．

　Constr

、

　Engng

，

　AIJ

，

．

No

．

439

，

　Sep

．

，

1992

非

定

常

非 圧

縮

粘 性 流

れ

_問

題

の

_{指 数 関 数型}

　　　　

Petrov

−

Galerkin

_{有 限要}

_素

_法

PETROV

−

_GALERKIN

　

FINITE

　

ELEMENT

　

METHOD

　

USING

　　 　

EXPONENTIAL

　

FUNCTIONS

　

FOR

　

UNSTEADY

　 　

INCOMPRESSIBLE

　

V

_工

SCOUS

　

FLOW

　

PROBLEMS

　　　　

角

田

和

彦

＊

， 登 坂

宣 好

＊＊

Kazuhiko

　

KAKUDA

　and 　

Nobuyosbi

　

TOSAKA

　

Anew

　

finite

　element 　scheme 　is　

proposed

　to　solve　numerically 　incompressible　viscous 　

flow

problems　

for

　

high

　

Reynolds

　number 　_governed　

by

　the　unsteady 　

Navier−Stokes

　equations

．

　

This

scheme 　serves 　

in

　the　

finite

　element 　

formulation

　

based

　on　the　Petrov

・

Galerkin

　me 出od　using 　ex

−

ponential　weighting 　

function

．

　

The

　unsteady 　inco皿pressible　

Navier・

Stokes

　equations 　are　

discre

−

tized　

by

　the　semi

−

expliとit　scheme 　with 　respect 　to　a　time　variable

．

　As　the　computational 　scheme

， the　

fractional

　step 　method 　which 　

is

　one 　of　the　time　splitting 　techniques 　

is

　used 　effectively 　

in

　this

study

．

　The　valiClity 　of　the　p【oposed 　method 　is　shown 　by　numerical 　solutions 　ef　several 正low　prpb

−

lems．

Key

ωercts ：

PetrOV

　

Galerkin

　

finite

　elentent 　method

，

　

’

　e　tPt，nentiai　

fanctions

，

　

incomPressible

　Vt

’

SCOUS 　

flbza

，

，

　　　 　　　 6α碗yメ

Z

伽

，

flOW

　around 　a　rectangular 　aylinder

，

．

high

　

ReymldS

　numbet

　　　　　　

ペ トロ フ

・

ガラ

ー

キン_有限 要素法

，

指数 関 数

，

非圧縮 粘 性 流れ

，

キャ ビテ ィ内流れ _， 　　　 　　　正 方 形 角 柱 まわ りの流れ， 高レイノ ルズ数

1．

緒　言 　近年

，

超 高 層 建 築 物の建 設に対す る気 運 が 高まっ て き た。 そ れ に伴い

；

その建 築 物 周 辺に は

，

風によ る複 雑な 渦の 生滅

，

変_化とい っ た非 定 常 的な現 象が し ば しば 観 察 さ れ る。 こ の よう な現 象に起因 す る非定常流 体 力を推 定 ずること は重 要な問 題である

。

特に

，

こ の よ う な 現象で は高レイノ ル _ズ数を有する流れを 対 象と し な けれ ばな ら ず，

Navie

・

．

Stokes

秀

程 式と運 続の方程 式の初

期

値

一

境 界 値 問 題に対す る有効 な数 値 解 析 手 法1）_{の開 発が必 要と} さ れて いる

。

　流れ問 題の近 似解析に は_{， 種}々な手法Z）_{が知ら れて い} て

，

こ れ まで主と して差 分 法21_二9が多用 さ れてき た が

，

任 意の解 析 対 象 領 域に対す る解 析メ ッシュ の適 合 性や構 成の _{容 易}さ か ら

，

最 近で は有 限 要 素 法Zl

・

6 ）

・

7 ）も使用 され る よ_うに なっ て き

・

た。 高レ イノ ル ズ数 流れの 場合，

Navier−Stokes

方 程 式に含ま れる非 線 形の移 流 項が粘 性 項に比べ て卓 越 する こと が特 徴 的なこと と な る。 この特 徴 を考慮 し た 近似スキ

ー

ム を使 用し ない限り_， 得ら れ る 数 値 解は振 動 すること が知られ て い る

。

そのた め

，

こ の よ うな振動を生み出さ ない ばか り で はな く高 精 度な 近 似 ス キ

ー

ムの 開発が行わ れて い る

。

　差 分 法による流れ解 析では

_，

移 流項に対す る中央差分 の代わ り に

，

風 上差 分 （upwind 　

difference

_{） と か 上 流} 差 分 （ttpstream 　difference_）と_呼ばれ る手 法が導入 さ れ， 現在

，

さ まざま な近 似ス キ

ー

ムが存 在して い るZL4）

．

S）

−

1°1

_。

有限要素法の場合に も差分法の 場合と同 様に何 らか の

“

風 上 化

”

（upwinding _）が 必要と なり

，

こ れ まで次に 述べ _{るい く}つ か の 風 上化手法が提 案さ れて いる。：そ れら の風 上 化 手 法は大き くわけると上 流 要 素 選 択型手法川 と

Petrov・

Galerkin

型 手 法12｝

−

IT〕_{とな る}

_。

_{こ のう ち}

Petrov・

Galerkin_{型 手 法}は

，

従 来か らの有 限 要 素 法の ベ

ー

スで あ る

Galerkin

型 手 法18〕

−

z°｛ を 拡 張 したもの である か ら前 者に比べ て取 扱いが容 易である

。Petrov−Galerkin

型手 法の特 徴は_， 未 知 関 数に対す る基 底 関 数と異な る重み関 本論文の

一

_部は第15_{回構造工学に お け る数値解 析法シ}ンポ ジウム 〔平 成3年7月1に おいて発 表 した

。

＊ _日

本大学生産工学部数理 工学科　専任 講師

・

博士_Assistant　Prof

，

，

　Dept

．

　Qf　Mathematicai　Engineering

，

　College　Qf　In

．

　 （工学 ）　 　 　 dustria旦Technology

，

　Nihon　Univ

．

，

Dr

．

Eng

．

＊ ＊

日本 大 学 生 産工学 部 数 理 工学科　教 授

・

博士（工学 ｝Prof

．

，

　 Dept

．

　 of 　Mathematical　Engineering

，

　 College　of 　Industrial

　 　 　 Technol〔〕gy

，

　Nihon　UnLv

．

，

Dr

．

　Eng

．

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

数を採 用する ことで ある

．

また

，

上流の影 響を より多く 取り入れるとい う効 果 を表 現 するよ うな重み関 数 を 構 成 することによっ て風 上 化を実 現 することになる。 こ の よ うな重み関 数とし て こ れまで い くつ か のもの が提 案さ れ て いる2Lt21

−

17 ｝

・

21 ）

−

2

・

1 ） 。 　これ ら の重み関 数の 中で_指数 関 数を重み関 数と して選 ぶ場 合の

Petrov・

Gaierkin

型有限要 素法が提 出さ れて い るm ｝

｝

z3 ）。　

Hughes

ら 21〕_は ， 1次元移流 拡 散 方 程 式に対 し 変分原 理 を構 成す る際にvariational 　

basis

_{と呼ん でいる} 指 数 関 数 型の重み関 数 を提 案した

。

こ の ことは

，

移 流項 に_{起 因}し た非 対 称 性を有す る移流拡散方 程 式が対 称 化で き ること を意 味す る

。

文献22岡 では_， 指 数 関 数 型 重み関 数 を採 用す るこ とによっ て移 流 拡 散 問 題に対す る対 称 的 な近似ス キ

ー

ムが構成で き るこ とが示され てい る_。 こ れ らの_研究のい ずれ も

Navier・

Stokes

方 程 式ぺの拡 張が な さ れてい ない

。

　そこで著者ら は

，

これ まで

2

次元お よび

3

次元の_高レ イノル_{ズ 数粘性}流れ問 題を対象と し た有限要素 法の開 発 を めざし

，

指 数関数 型 重み関 数に よ る新しい近 似スキ

ー

ム の提案を行っ て きた241

』

2 η

。

こ の ス キ

ー

ムで は_， 指 数 関 数 型 重み関 数 とし て未 知 関 数の基 底 関 数である形 状 関 数を指 数 関 数に よっ て修正 し た もの を採 用し

，

風上化を 計るこ とに特 徴を有す る。 この よ う な 重 み関 数に よ る1 次元移流拡散方 程 式の _{有 限要}素法に よ る解析で得ら れ た 節点 値は完 全に_厳正解に

一

致す ること が示さ れ た24）

・

z5）

_。

ま た

，

提案す る 重 み関数 は形状関 数に基づ いた もの で あ る か ら既存の _{指数 関 数}型スキ

ー

ムM）

−

Z3）_に 比べ _{て近 似}ス キ

ー

ムの多次 元 化も容易であり

，2

次 元 移 流 拡 散 問 題へ の_有効性も 示 してき たZsj。 　本 論 文で は

，

移 流 拡 散 方 程 式に_対す る

一

連の_{成 果}を も とに

Navier・

Stokes

方 程 式と連続の方 程式に よっ て支配 さ れ る非圧縮 粘 性 流れ問題へ の上記の特徴 を有す る 近似 ス _キ

ー

ムの_拡張を述べ

，

_{提案手 法}の_適用性を検討す る。 特に

_，

高レイノル ズ数流れ を対 象と す る場 合に問題と な る重み関数の スケ

ー

リング効果 を 取り 入 れ た新しい 近 似 スキ

ー

ム につ い て述べ る

。

高レイノ ルズ数 流れ を対 象と する場 合に は要 素 分 割 をか な り細か く し ない限り指 数 部 が大き くな る た め

，

従 来の浮 動小数点 表 示を有する_計算 機で は す ぐ に オ

ー

バ

ー

フロ

ー

と な り計 算不 可能と な る

。

そこ で

，

こ の点を改善す る た め に指数 関数型の重み関数 に局所座標 系を用いたスケ

ー

リング を施すこと に よ り数 値 的安定性を確保 す る 新 しい ス キ

ー

ム を提 案す る

。

　な お

，

非定常

Navier

−

Stokes

方程式の時間に関す る離 散 化に は準 陽 的スキ

ー

ム28，を

適

用し

，

時間 進 行とし て fractional　step _法「v）_{に ょる計 算スキ}

ー

_{ム を採 用す る} 。 提 案 する近 似スキ

ー

ム の検 証と して

，

正方 形キャビ ティ内 流れ お よ び 正方形 角 柱ま わ り の流れ問 題の数値計算例を 示 す

。

一 190一

　 以 下の定 式 化に あた り

，

記 号 （

，

）と （ ）はそれぞ れ空 間および時 間 変 数に関す る偏 微 分 を表し

，

ま た

，

指 標につい ては_， アインシュ タ インの総 和 規約を採るもの とし た

。

2．

基 礎 微 分 方 程 式 　 非圧縮 粘 性流 体 場の解 析 対 象 領 域を9

，

そ の境 界 を

r

と す る。 こ の 運 動は

，

無 次 元 化さ れ た流 速ベ ク トル 成分 Ut と圧力 p に関す る次の よ う な非 定 常 Navier

・

Stokes

方 程 式と連続の 方程式で表すこ と ができ る。

　　　

b、・贓 广 鮒

毒

砺

i

・　

9 −

…

川

　　　

UL‘

；

O

　

in　

9 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

呷

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（2 ＞ ただし， Re は レイノ ルズ 数であ る。 これ ら の微分 方程 式の時間変 数に対し準 陽 的スキ

ー

ム！81を適用す れば

，

次 の支配 微分 方 程 式の半 離 散 化 表 現を得る。

　

　　

眦

7

送

響

＋ _耀 、

一

フ

聾

か

襲魂 Ω 　 　 　

…・

……一 ……・

……一 …・

（3）

　　　

包呈富監

＝

O

　in

　9

・

・

・

・

・

・

・

…曹

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

4

） た だ し_， At は時 間 間 隔

，

　n は 時 間 ステッ プ数 を 表 す

。

　境 界で は

，

流 速ま た はtraction τt が与え られ て い る もの と し

，

各々

，

次の よ うに表さ れ る。 　　 　u？

＋

匚

＝ ｛匕 ‘

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…一

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

（5）

　　　

・？ ・ ・

十

グ 撮

量

。

姉

・

− f

・

・

一 …・

_（・） た だ し

，a

‘お よ び を‘は それぞれ境 界上で規 定され る値 であり

，

nt は流 体の境 界 面における外 向き単 位 法 線ベ ク トル成 分， δt」は クロ ネッカ

ー

の デル タを表す

。

　ここ で

，

_{式 （}

3

_）， （4 ）に対 し， 修 正 速 度ベ ク トル 島 を用い て次の よ う な

fractional

　step 分 解291を 導 入す る

。

　（a）　第

1

ステッ プ

　

　　

冠

牙

， u7 ・畆

_「

詣

臨

………・

……

（・） 　 （

b

） 第 2ス テップ 　　 　u7

’

i

二

電厂 △ 置P 階 1

，

　 畷ガ

＝

O

− 一 ………

（8＞ 式 （

8

）の _p”

“

1 は未 知 関 数で あ る か ら

，

第

2

ス テッ プ か ら単 純に u？’t を決 定す るこ と はで き ない

。

そこで

，

式 （8）の第 1式に対 し

，

　　　

广 ・_一

嘘

φ

・

一 ……・

・

・

……・

……・

…・

・

・

…

（・） と置くことにより速度ベ ク トルと修 正 速 度 ポテンシャ ル φに関 する次 式が得ら れ る。

　　　

u？

＋

1

＝a

‘＋畝ゴ

………・

………一 ・

・

……・

（10 ） さ らに_， 上 式の発 散を採 り_， 連 続の 式 を用い る と _φに 関する次の

Poisson

方 程 式が導か れ る。

　　　

¢

，

、i＝

一

_{甑 ビ}

・

・

…・

…・

……・

…………・

…・

…・

…・

（11 ） こ の方 程 式を適 当な境 界 条 件2S〕_{の も とで解き}

_，

_{得られ た} N工 工

一

Eleotronio _Library

φを 用い て

，

pn

＋

1 と U？

＋

1 _ぱ それ ぞれ式 （9 ）と （1O） か ら求め ら れ る

。

3．

指 数 関 数 型 Petrov

−

Galerkin有限 要 素法24〕

−

2ア_｝ 　 前章で与え た第

1

ス テップの 方程式 （

7

）の中で

，

Re

が大き く な る と移 流 項 が 卓 越す る流れの 問題に な る

。

こ の高 レイノル ズ数 流れ の問 題 を対 象と す る 場合に は

，

近 似スキ

ー

ム の_{精 度}お よ び安 定化を計る た め に風上 化手法を導入 す る 必要が あ る

。

有限要素法の分野で は

，

その

一

つ の_手法 と して

Petrov・

Galerkin

法に基づ い た定 式 化が知ら れてい る団

_。

本論において も

，

式 （7）に対 して は

Petrov・

Galerkin

法_に基づ いた有 限 要 素 方 程 式を 構 成す る

。

　式 （7）に対 し

，

あ る関 数

Ma

を選び

，

部分領 域 Ω‘ に関す る次の重みつ き残 差 表現 を考え る

。

　　

　

五

｛

穿

7

＋ u_］・？

，

_J

一

量

。 畷、、

｝

脇

d

Ω

一

・ 　 　　　 　　 　　　 　　

・

…………一

・

・

………・

（lz ）

一

ヒ式に発 散 定理を適用 す るこ とによ り次の弱 形 式表

現

を 得る

。

　　　　　　

　

　

　

　

　

　

n

　　

　

五

伴

詰

＋_{幽 受・}

擁

d

Ω＋

五

孟

・呈’嶋

，

凶

　　

　

　

一

五

畆

dr

− ・

…・

…・

…・

…・

…・

一 ……

（・3） ただし_，

_、

鴛≡ _{媚 η} ∫／

R

εを表す

。

　こ こ で

，

数 値 解の安 定 化 を計る た めに

Ma

と して次の よ う な指

_蓼

関 数 型の重み関 数 を選ぶ27 ）

。

　　 M

。（Xl

，

x，｝

＝

Σ 醐 乱 切 e

−

：a

・

t”

・

X

・

T

−

x

・

e

＋

Qti 「v

・

＝

・

γ

一

＝

・

fig 　 　 　 γ 　 　 α1

＝

v？Re

，

α2　i

＝

　_v？

Re

＊ 　 　　　 　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（14 ） た だ し

，

この関 数は 2次 元の場 合の重み 関 数で あ り

，

．

＝2 L2 （rll， ξ η … … L1 　X1　 　

．

Fig

．

1　Typical　four

−

node

．

　isopararnetric　element ξ Na は通 常 使わ れて い る形 状 関数

，

醪 （

i

＝ 1

，

2）は

9 ，

内で規 定され た 速度ベ _{ク トル}

_，Re

_と

Re

＊ は後で示す 適 当な定 数を表す。 　式 〔

14

）に おい て

Re

と

Re

＊ _{が それぞれ}

Re

_{に等 し} い と置け ば最適 な重み関 数251を 選 ん だこと に な る

．

が， 通 常の計算機を用い た場合

，Re

が大き く な ると重み関 数 の値は オ

ー

バ

ー

フ ロ

ー

ま た は アン ダ

ー

フ ロ

ー

と なる

。

こ

’

の問 題 を 改 善 する た め に何ら か のスケ

ー

リングを施す必 要が あ る。 そ こ で

，Fig，

1の 局 所 座標系に関して

Re

と

Re

＊_を 次の よ うに仮定 す る

。

　 　 　

A一

　 　 　　 　 α l 　 　 　

Re

＝ 　 　 　 　

1L

，

llv

？

1．

　　　 　　　 　　　 　　　

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

一・

（15 ）

　

　

　

Rb

「

島

隔

1

ただし

，

α ha2 は スケ

ー

リングパ ラメ

ー

タで ある

。

こ の 定 義よ りα 1

，

a、はいわ ゆ る人工粘性 係数に対 応する も のであ ること が_分か る

。

　式 （ユ

3

）の 未 知 関 数は

，

通 常の_形状 関 数

Na

を 用い て 補間 近似するこ とにす る と次の_要素に関する有 限 要 素 方 程 式が得ら れ る。 　 　 　

1

祠β 」 匝呈｝β 　　　 　　　 　　　 　 十 καβ（鰐）ヨu：

ls

＝Fae17tln

　 　 　

M

αs 　 　 　 At 　 　 　 　

・

・

r・

9・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

幽

・

・

・

…

　（16） ただし

，

各 行 列は次の _ように定義さ れ

，

そ の 具体 的な表

．

現は

Appendix

に_示さ れ る

。

Ma・

−

1

。

1

　 “・N・

d9

編

砿

嵎 翩

9

・

儲

_{晦 儡 調} 凡・

−

Jf

，

瞬

dr

・

・

7r

_（17） こ こ_で

_，

各 部 分 領 域 内での_{重 み 関 数}の和が 1で ないた め

，

式 （16）の

1

齧｝β につ い て解い た方 程 式 を構 成する必 要 が あ る。 その結果， 次 式が得られ る

。

　

　

　

瓦

，

1

唯評

』 ・

瓦

，・

編

一

騰

……

（

18

） た だ し

，

．

Kα β（U？）＝

F

訪κγβ（U］）で あ り

，

　 Man （

＝

F

済

M

γβ）は本論文で は対角化され た集中質量行列と す る

。

　 式 （18）に おい て各 節 点で の 圖

α

の連 続 性 を考

’

慮し

，

さ らに全 体 系へ の重ね合わ せ の手 法3e ） を用い る こ と に よっ て

，

全 体 系の節 点に関 する有 限 要 素 方 程 式は次のよ うに与え ら れ る。 　 　 　U

＝

un

一

ト∠Ltc

−

1Fn

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

99・

・

・

・

・

・

・

…

　

9…

　

一

一

・

（19） た だ し

，C

は対角行 列

，

　

Fn

は n _時間ス テッ プでの 速度 ベ ク トル ぴ と

境

界

条

件の値か ら な る既 知ベ ク トルを表 す

。

　

一

方

，

第 2ステップか らu？’1 と p” ＋ ［を求 める た めに；

一

₁₉₁

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

ま ず

，

式 （11）に対 する次の重みつ き残 差 表 現を考え る。

　　　

五

1

φ蔽 娵 Ω

一

・

……・

……・

…………・

_（

2

・） 上式に_発散定理 を適用 し， 次の弱形式表現が得られ る。

　　　

JC

，， 　¢

．

・

N

・・

．

・

d

Ω

一

Jf

_，

　・・

，

・N・

d9 −

Jf

_，

　

ip

，

n！Vadr 　 　 　　 　 　　 　 　

・

…・

…・

・

………・

………・

（21 ） こ こ で， φと

U

‘を形状関 数

Na

を用い て補間近似す る ことによ り次の有 限 要 素 方 程 式 が得ら れ る

。

　 　 　

H

。βφβ

一G

。β 、観β

＝

fa

…・

…・

…・

・

…・

……・

…

（22 ） ただし， 各 行 列とベ ク トル は次の よ うに定 義さ れ る

。

島 ・一

五

翫 轟

，

認

Ga

・t

一

五

嚥

，

・d9

冠

M

誠

一 …一 ………・

一 ・

_（23） 　各 節 点にお け る未 知導関 数の_和は， その節点に境界 条 件が与え られて いない限り各 節点にお け る連続の関係式 より零 と なる3ω 。 この ため

，

式 （

22

）を全 体系に組み込 み_， 与えられ た境 界 条 件を考 慮す ることに よ り次の全 体 系に関する有 限 要 素 方 程 式が得られる

。

　 　 　

8

φ

；

F

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

…

　（24） ただ し

，B

は帯 性の 係 数 行 列

，

　

F

_{は修正速 度}ベ クトル U と φに関す る境界条 件か ら与え ら れ るベ _{ク トル を表} す。 　こ こで本 近 似スキ

ー

ム の解 法の アル ゴ リ ズム を まと め る と次の よ うに な る

。

Step

　1：n 時 間ス テップで の速 度ベ ク トル

un

を 与え， 　 　式 （19 ｝か ら修正速 度ベ ク トル U を陽 的に求める

。

Step

　2：

U

を 用い式 （24 ）に反復 解法を適 用し

，

修正 　 　速 度ポテン シャ ル φ を計算 する。

Step

　3 ：得 ら れ た _φか らpn＋L _と u？＋L は それ ぞ れ式 　 　 （9）およ び式 （10）の重みつ き残 差 方 程 式よ り求 　　め る

。

そ の後，

Step

　1に戻る

。

4．

数 値 計 算 例 　 本手 法の適 用 性 を 調べ る ために_， 正方 形 キャビテ ィ内 流れ お よび 正 方 形 角 柱 まわ りの 流れ の解 析 例 を紹 介す る

。

その際

，

速 度ベ _{ク ト}ル と修 正 速 度 ポテン シャルに は 双

一

次要素， 圧 力は

一

定要素を 採 用し て い る

。

また， 式 （23）の積 分 計 算に は

Gauss

の 1点 積 分 公 式 を採 用し， 方 程 式 （24 ）を解く際に

，SCG

法 （

Scaled

　

Co

皿

jugate

Gradient

　Method _）31 ）を用い て いる。 な お

，

収 束 判 定は 相 対 残 差

2

乗ノル ムSl）に対 し

1U

−

3 で行っ た。 4

．

1 正方 形キャビテ ィ内流れ 　2次元 正方形 キャ ビティ内 流れ は

，

提 案さ れ た 近 似 ス キ

ー

ム の_{妥 当性}を 確 認す る た めの典 型 的な問題32）

−

34〕 と され てい る

。

この 問 題は_， ある時 刻

t＝・

Oで正 方 形 キャ ビ ティ の上 壁が

一

定 速 度で動きだ し た 場合のキャ ビ ティ 内の流れ場 を解析す ること で あ る

。

　こ の_問題の 形状と境界 条件お よび有 限要 素メ ッ シュ （総 節 点数

2601，

要 素数

2500

）を

Fig．

2

に示 す

。

こ の_{場 合}の_最小メッ シュ 幅は

0．

OO3285

で あ る。 た だ し， 式 （

24

）を解く際に

，

適 当な位 置での 修 正 速 度 ポテン シャ ル _φに関する規 準 値 を 与 える必 要が あるza ］

。

こ こ で は

，

下 壁 中 央の点A で _φ

一

〇とい う Dirichlet条 件 を与え て い る。 ま た

，

その他は すべ て

Neumann

条 件 ¢

，

。

＝

・

Oと し て いる。 計算の実 行に当た り

，

初 期 条 件は領 域 内のすべ ての_点で速 度を零と し た。 ま た

，

ス ケ

ー

リン グパ ラメ

ー

タ を ai　＝＝　a2　＃

O．

　

0625

_{と し た}

。

　

Fig，

3

には

，

　

Re

＝

103

に対す る各 時 間ス テップでの速 度ベ _{ク ト}ル_場と対応す る 圧力場を示す。 時間 間隔

At

は

（a）　Geometry　and　boundary　conditions

　 　 　 Fig

．

2Flow 　in　a 　 square 　cavity

（

b

＞　Finite　element 　mesh

一 192一

,,I･I･li･lii,iddHIIIII ''ig

ii

t

ilii,ili

t

i,iiii･i'i

_jlilli

....-ttl

..-J-ltlX

S-.it-X:ff=-'-:ii.iiiFl;.=-=..,g,-.N

dimlL-IZLtl dllLllLtiilNINNNt " ,""LLIINLNNxNNs rtP

dlLl-slNXSNNNN.

ttP

liigg}}}}}}sg.sii..,..va.,z!{lll･

iiilliilill･i･llli-llllii{1/,t,t{1(fll･lli-;I;Illl"l;l"!:;::1:::t!II1:Il!;I;I{.

ilil,"ell-rtt/ttrl"ttrIII"ilrrrrtbtrlPlirllltl#l,dbntLllltlltl

LlltlLi""}NNsk bnt!tL"XNSNNNxK d"1""NNNNxxN.. ."ltx"XNXNNNNN

,"""N""NX.-K..--.t/

.,--lx""N"h-s-.Lt-Fi"

t,t-""X"SNSLN"-.-..or

.,"tL"""""-""

Ii!liii.l{I･lllllS.i-===f.-.tfggl

ijeeffg.--..--.

st,...itl _rt L-L.Jtlfl

EEEiif2iii,,,E[lll

tl""''-:::!llE;;;:.;1!H;/illl/Ii;.

t/41:1::':l:s':Ilil::mirttttisuPl"rlMlii

fvlfx=."v-i....i. ,,lmllllLUul dlMllU"SNsKh LillltLUNINNxNxs

,,m""NNNNXNNs

_{,,t""X"XXXNNs}

,illllllllllll$SEillE::

z･i

-.,-""NX-h5-sh.-.-t-.,v.."-"NNxSss

:1:::::z:::::::=--'"/."t::/ f5ZJ====- kxt

iIiii#llli-i-

l

-i

-i

-ltlll,.,..liillJ J Si-''.itt/1 _tl

N-"jl!ll

lti

iEEEift{;2Z

a?,l[ll

t/tt-'" tza /tt"'''' 11tiJ.H..

F.it-

Xiltt''''"

-.---L-."-/-"Jtttt.."

i: ,L_{iliiEil{llUl i.i.Il:iii} t=20 _{t=40 t-50}

{a)Velocity

vector fields

t=20 t=40 t=50

(b)

Pressurefields

Fig.3FIow in asquare cavity at Re=lo3

:=::1ttttt"'it'"Jt'tt'if1i utfaz L"xx "."N...-N,/=/:/://::IEN /tt/ k"-t"1llultEiIXIsstx.1" NtNNN{. NNNNsNKss ==r.zz

3ii

;ii;ii

ii

'

iliiii]i

'i

ii

'

iiiii

t

i

"

i

N"

lllii

1,

. . . ' ,,-JJtlil"

-,,..,.JjtfJJJIilt -.liillliili'il3'uat,z

${･SE-S.;-:-l-;-l:l.;;;fil,ilil[i

1ini

--'i

zzz},C//!./i'l'll'

lill'l,/i"2･'tcbzkve"

/i,,,t

f///,z

/

/lii"

xZ======.-==Tr 5J:::-J-.::::;:l

nt.-.-"""

--.J----N"

t).----sNS

....--hN-1

tt"--.tL-11

jt....t--11

tt....tLlll

-.,.,,,/ldt

,,/tJt

-

.

.

.

,

.

- ttilirtil

ii.il,l[ii,liiLri

tt'=.i.-.rr

.tHl'

"'-- ux`1.'L'l'lli e st "xN,StN,::)N:I:/:)M-t

ly

"-ttt tl.tttttttttttt t'=se t==120

(a)

Velocityvector fields

t==150 e on t-:80 Fig.4 t=120

(b)

Pressurefields Flow in asquare cavLty at Re=104

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

0

．

0025 である。 この場 合の等 圧 力 線の間隔は O

．

　Olで あ

る

。

こ れ らの図を見る と

，

t

＝

40で速 度ベ ク トル お よ び 圧 力に関する_変動は な く な り

，

定 常 解 と見 な すこと がで

き る。

　

Re ＝

IO4に関す る各 時間ステップでの速 度ベ ク トル場

と 圧力場 を

Fig．

4に 示す

。

こ の場 合 At

＝o．

　oo5 で あ り 等圧力 線の間隔は同じく 0

，

01で ある。 t

＝

ユ50で も主 渦 お よび二 次渦の 中 心 付 近 に多 少の _{変 動}は残っ て い る が2°）

_，

全 体 場に対す る速 度ベ _{ク トル お よび 圧 力}の挙 動は 少な く な っ て いる。 　

Figs．

5

，

6 は

，

そ れ ぞ れ

Re ≡IO3

，　

IO

‘_に 対 し， キャ ビテ ／内の垂直及び水平中央 線で の u］お よび u、の分 布を他の _結

eeSU

）

−

34〕と の比 較を示し たもの で ある

。

こ れ らの結 果は

Ghia

ら33〕 お よび Schreiberら34］の結 果 と良 い

一

_致を示し てい る

。

　

本 手 法におい て特に ス ケ

ー

リングパ ラメ_T タの設定の 仕 方が問 題と な る

。

そこで，

Re ＝

IO4の流れを対 象に種々

胸

コ 1

．

0

’

：Io5

’

1

．

O as　8 　

＿

，

t

．

o　 　 oρ 　 　

一

1

．

O　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　O　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　↑

．

O 　 　 　 Ul

Fig

．

5　Ve ］ecity 　_prof註es 　through 　the　centre 　of 　the　cav 】ty （Re

＝

　 　 　lO3）：

−

　present　（孟

＝

40）；

　 　 　

OGhla

　et 　aL _（129　by　l29

，

　multi 　_grid　FDM _＞；

　 　 　△ Schreiber　and　Keller_〔141　by　l41

，

　FDM _）；

　 　 　口 Nallasamy　and 　Prasad _（50　by　50

，

　upwind 　FDM _）

の ス ケ

ー

リン グ パ ラメ

ー

タに対 する計算を行い

，

得ら れ た速度ベ ク トル場 を

Fig．

7 に示 す

。

どの場 合で も数 値 的に安定で あ り， 流れ のパ タ

ー

ン_も良く

一

致してお り

，

こ の_範囲の スケ

ー

リン グ パラ メ

ー

タで は どの値を採っ て も良い もの と考え てい る

。

4

．

2 正 方 形 角 柱ま わり の流れ 　こ の問題に対す る形状と境界条件お よび有 限 要素メ ッ シュ を Fig

．

8

に示 す

。

メ ッシュ は総 節 点 数4669

，

要 素 数4488 で最小メ ッ シュ 幅IS　O

．

　Olで ある

。

こ の流れの 場 合

，

最 小の有限要素の スケ

ー

ルがキャ ビテ ィ内流れに 比べ て大 きい ためか

，

ス ケ

ー

リン グパ ラ メ

ー

タを小さな 値に_設定し たの で は解が得られ ず

，

α、

＝

α 2

＝

2

．

O とい う 比較 的大き めの値 を設 定 した。 　計 算 例と し て

，Re

＝ lo5

，

　At

＝

0

．

Olに対する数 値シ ミュ レ

ー

ショ ン を示す

。

Fig

．

9は， 各 時 間ス テ ップで の 角 柱 周辺の速 度ベ _{ク ト}ル場 と 圧 力 場 を示 す

。Fig．

10に は

，

角 柱ま わ りの抗 力 係 数

C

。と揚 力 係 数 CL の履 歴 曲

円

菷 1

．

O τ_し O

．

5 ：

・

el

．

。 α5H 　

．

　

一

1

．

o　 　qo 　 　

−

1

．

o　　 　　　 　　 　　　 　　 　　o　 　　　 　　 　　　 　　 　　　 　tO 　 　 　 Ul

Fig

_．

_6　Velocity　profites　through　the　centre 　of　thecavity 〔Re

＝

　 　 　104）；

−

_present（t

＝

150＞；

　 　 　

OGhia

　et　al

．

_〔257　by　257

，

　multi　grid　FDM _）；

　 　 　△ Schreiber　and　Keller_（180　by　180

，

　FDM _）；

　 　 　囗 Nallasamy　and　Prasad_（50　by　50

，

　upwind 　FDM _）

講

・

．

．

．

：

，

”

一

；

．

＝

．

＝

’

え ニ コ

ロ

ニ

　

ロ

コ

　 ＝ ≡ ＝

圏

＝ ♂ ” 曜

ー

11n1 、

1

凝 ：

lll

、

：蹴 ミ

潮

歪

一

ミ こ こ

鹽

冂

　 ＝ ＝ ＝

−

＝ 　

_一

： ＝ ： ：

°

一

＝ ＝ ： ：

°

°

ニ ＝ ＝ ： ：

°

： ＝ ：

’

＝ ＝ ＝

°

°

ヨ ニ ニ ＝ ー ：

’

彡 二

’

” ：

，

彡 彡

ノ

’

’ ” ー o ’

’

　

ミ “ い

UU

鴫 凵

摺

〃 〃 〃 〆

靉

賭 凵 川 山 昭 … …

笏

　 　 　 　 　 　 。

「

二

，

，

彡 彡 ！

_’

’

，

，

’

’

髴

辮

… … …  

鼕

二

，

，

’

〆

” 彡 ニ ニ ニ ニ 彡

，

7

” ニ ニ 三 三

盞

韃

h い い

“

こ ミ ミ

（

a

_）

α₁＝ _α2＝

0．

0625

　　　　　　　　

（

b

）

_α1＝ _α2＝

0，

25

　　　　　　　　　

（

c

）

α₁＝ α₂＝

O・

5

　 　 　 Fig　7Compalison　ef 　the　velecity 　vector 　fields　at　t

＝

150　for　different　scaling 　_parameters

一

　

194

一

di

，

n

＝

0 　 ， 0

ニ

2

＝

暫

7 000

三

耳

＝

h

ち φ 000

＝

＝

； 12 　

π

uu φ

，

口

u1

＝

lu2

≡

0 φ

、

匹晋

0

il

，

n　

＝

O 査

＝

u2

＝

0 り

尸

一 6 mesh Finite　 element rectangular 　　　　　　（b） cylinder apast boundary　conditons 　　　　　　　　　Fig

．

8　Flow Geometry　and a

圏

｝

O

・

丿

幣

《

O

　 　

O

齟

（

一

_一

一

一

−

＝ 己 ＝

「

、

−

こ

「

＝ こ

、

、

、

、

、

「

こ ： こ 煽 こ

、

、

、

こ 」

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丶

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丶

丶

＼ 丶

」

、

、

、

こ

、

、

、

、

、

、 、 、 丶

ミ

＼ 丶 丶 ＼ 丶 ＼ ＼

、

、

、

、

、

、

、

丶

、 、

丶

丶

、 丶

ー

＼ ＼ ＼ ＼ こ こ ミ ミ こ 、 丶

ミ

ミ

ミ

こ ＝ こ ミ ミ

ミ

丶 ミ

ミ

＼ ＼ ＼ ＼

、

、

こ ミ

ミ

丶 丶 ＼

ー

＼

ミ

、

、

こ ミ ミ

ミ

＼

ミ

ミ

こ こ

、

、

、

、

、

丶

丶

丶

ミ

＼

＼ ＼ 丶 丶

ミ

丶

、

丶

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丶

、

、

、

、

、

丶

、

、

丶

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丶

丶 丶 丶 丶 ミ

、

丶

、

、

、

．

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、

、

、

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、

こ

、

、 こ

、

、

＝

「

．

一

一

：

．

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、

、

、

、

こ こ 軸 こ 7

！

〆

彡

，

／

’

戸

’

二

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、

、

、

＝ ＝

慶

フ

〆

ノ ノ

彡

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，

’

r

’

一

一

一

影

。

一

一

ノ

t

＝

80 t

；

80

三

！

”

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’

！

’

二

彡

彡 〆 ノ

！

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r ”

r

” 二 ’

’

’

’

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／ ／ ／ ／ ／

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Fρ

’

_F

； 二 ρ

「

「

厂

厂

厂

’

二 〆 〆

ノ

／

／

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！

＝ ＝ 二

「

°

顰 ： ： 二 2 二

’

！

’

〆

’

： ： ：

°

己

鹽

：

°

．

：

醢

； 二 二 二 ： こ

、

、

＝ 噂 ：

」

」

、

_ヒ

、

覧 こ こ

、

丶

、

、

＝

、

、

こ こ 、 こ

、

、 、 、 ー 、 ＼ ＼

丶

丶

丶

」

_、

＝

、

、

こ

、

」

ミ 、 、 、 、

ー

_＼ 丶 丶

＼

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、

、

、

丶

丶

、 ミ 、 丶 、 、

ー

丶 丶 丶 丶 丶

、

、

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_丶

、

、

丶 ミ 丶 丶 丶 丶

ー

丶 ＼ 丶 丶

…

ミ

ミ

ミ

ー

ミ

ミ

、

ミ

ミ

ミ

＼

ー

こ こ

、

ミ

ミ

ミ

ミ

ー

−

」

ミ

一 一

．

．

一

_一

！

it・

_”

．

‘

三

90 t

±

90

乙

／

ノ

！

！

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！ ！

’

ノ

彡

’

”

！

！

！

”

〆

1

’

’

’

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／

ノ

！ 1 ！ ≠

_’

11

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ノ

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〆

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”

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〆

〆

！

〆 〆 ’ 多

’

’ ”

ノ

彡

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ノ

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ノ

ノ

”

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！

〆

ノ

！ ノ ノ ー

〆

’

．

’

ノ ノ 彡

ノ

！

〆

−

’

！

！

ヨ

；

彡 彡 ’

彡

彡

彡

／

≡

’

三

二 彡 ゴ ノ ノ ノ ！

彡

彡

！

ニ

ノ

r

’

” 二

’

「

2

「

” ノ 4 多 7 ／ ／

／

ノ

！

！

r

’

” ＝ ー 「

卩

−

1 ” ！

多

彡

／

／

！

ノ

＝

一

： ： i

．

°

°

’

「

’

彡

／

彡 ／

！

二 ＝ ： こ

、

、

！ ：

°

．

； p

’

” ニ ニ

’

＝ ＝ こ

」

−

　 　 」

亀

こ 二 二 ＝

、

こ

、

こ こ

μ

尸 尸 尸 ー

丶

こ こ ＝

一

＝

、

、

こ こ 、 ー 　

〜

、

丶

こ

、

＝ 　 　 　

　

“ 蹴

一

〜

一

x

”

ve

−pny、

　

H 丶＼

一

一

S

丶

t

＝

100 t＝ 100 Pressure　fields （b）

Velociし_yvector fieids

ca＞ Re

＝

105 rectanguLar cylinder at apast F［ow Fig

．

9 　 　 　 　 O 『

_マ

　 ♂ 『 〒 ト Z 凵

冖

O

一

LL 凵 0 凵 ト 」

【

」 2DO

，

OO

CL

history　of Time （

b

） 80

．

00　　　　120

．

00　　　L60

＿

00 　　　　　　

−一

＞TI鬥E Time　history　of　CD 40

．

00 　 　 　 oo 　 　 　 　 8 尋 　 　 OO

・

％ ト Z 凵 HU

一

LL 凵 OUO く 広 O （a）

．

CL Cn　apd Time　history　of Fig

．

10

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

線を示す。 t＝ 10

〜

200の

C

。の 平均値は 2

．

496で

，

　 CL の平 均 値は

0．

Ol598

で あ る。 こ れ らの結 果は実 験 値 35〕 （

Co

三

2，

059，

　

CL

≡

O．

　

O

_）と比 較す る とい くらか高め で ある。

5

．

結 　 言 　 非 定 常 非 圧 縮 粘 性 流れの問 題に対し

，

指 数 関 数 型の重 み 関 数 を用い たPetrov

−

Galerkin有 限 要 素 法に よ る定 式 化お よ び数値計算例を示してき た。 その際

，

指 数 関 数 型 重み関数に局 所 座標系を用いたスケ

ー

リングを施すこ と に よ り 近似 解の_{安 定化}を計っ た。 ま た

，

Navier

・

Stokes 方 程 式の時 間 項に対す る近 似ス キ

ー

ム に は

fractional

step 法を採 用し

，

得ら れ た

Poisson

方 程 式の解 法には SCG 法 を適 用し計 算の高速化を計っ た。 　本 解 析 手 法の有 効 性お よ び適 用性を実証す る た め， Re

＝

10i

，

104に関す る正 方 形キャ ビ ティ内 流れを 定 常 状 態と見な せ る まで計 算し た。 これ らの結果は

，

他解法 の結 果と比 較して極めて_良い

一

_致を示し

，

本手 法は， 精 度および安 定 性ともに優れ た近似 解 法であ るこ と が分 か っ た。 また

，

こ の 問題に おいて種々 の スケ

ー

リン グパ ラメ

ー

タに対す る流れ場の検 討も行っ た

。

さ ら に

，Re

＝ los_{にお け る}正 方_形角柱_{ま わ り}の流れの計 算 例 を通し て

，

本手法は_高レイノ ルズ数の流れ の_{問 題}に対し て も極 めて安 定なスキ

ー

ム であるとい うこと が示さ れ た。 　本 解 析 法では

，

特に

，

最 適なスケ

ー

リングパ ラメ

ー

タ の設 定の仕 方につ い て の問題 は 残っ て い る

。

ま た

，

自然 対 流 問 題や3次 元 問題へ の _{拡 張}も可 能であ る。 これ らの 点は今後の研究課題であ る

。

な お

，

非定常の流れの シ ミュ レ

ー

ショ ン で重 要な 数値結果の アニ メ

ー

ショ ン化につ い ては他の_{論 文}36）_{を参 考さ れ たい} 。 謝 　 辞 　 本研 究の数 値 結 果の ビ ジュ ア ライゼ

ー

ショ ン化に当た り， 日本 大 学 大 学 院 生 産 工 学 研 究科博士後期課 程の佐藤 尋 君に協 力をい ただいた。 こ こ に

，

．

深く感 謝の意を表す。 参 考 文 献 1） 登 坂宣好

，

大西和 榮 ：偏微分 方 程 式の数 値 シ ミュ レ

ー

ショ 　 　ン

，

東 京 大 学 出版 会

，

199ユ 2） 保 原　充

，

大宮司久明編 ：_{数 値 流体力 学}

，

_{東 京 大学出版 会}

，

　 　19923

）　Roache

，

　P

．

J

．

：Computational　F］uid 　Dynamics

，

　Hermo

．

　 sa　Publishers

，

　A】buguerque

，

1972

4）Peyret

，

　R

．

　and　Taylor

，

　T

．

　D

．

；

Computational

　

Methods

　 　

foT

　

FIuid

　

Flow，

　

Springer

・

Vellag

，

　New　York

，

1983

5）Harlow

，

　F

．

　H

．

　and 　Welch

，

　

J

．

E

．

：Numerical　Calculatien

　 of　Tlme

−

Dependent　Viscous　Incompressible　Flowof

　 Fluid　with　F爬e　Surface

，

　Phys

．

　Fluid

，　Vol

，

8，　pp

．

2182

　 　

−

2189

，

　1965

．

12

6）　Thomasset

，

　F

．

：1【nplementation of　Finite　Element 　 Methods　For　 Navier

・

StokesEquations

．

Springer

．

一 196 一

　 　 Verlag

，

　1981

7） Pironneau

，

0

．

：Finite　Element　Methods　

fo

匸

F

且uids

，

　 　

John

　Wiley　Sons

，

　New　York

，

1989

8）　Leonard

，

　B

．

P

．

：AStab 亘e 　 and 　Accurate　Conve¢tive

　 　 Modelhng　Procedure　Based　on　

guadratic

　Upstream

　 　 Interpolation

，

　Comput

．

　Meths

，

　App1

．

　Mech

．

　Eng

，

，

19

，

　 　 PP

，

59

〜

98

，

　1979

g）　Agarwal

，

　 R

．

　K

．

：A 　Third

．

Order

・

Accurate　 Upwind

　 　 Scheme　for　Navier

−

Stokes　Solutions　at 　High　Reynolds

　 　 Numbers

，

　AIAA　paper

，

　No

．

81

−

0112

，

1981

10）　Kawamura

，

　 T

．

and_Kuwahara

，

　K

．

：Computation　_ρf

　 　 High　Reyno！ds　Number 　Flow　around 　a 　CiTcu亘ar 　Cyhnder

　 　 wlth SurfaceRoughness

，

　 AIAA paper

，

　 No

．

84

−

034α

，

　 　 1984

11） Tabata

，

　M

．

　and　Fujima

，

　S

．

：An　Upwind　Finite　Ele

・

　 　ment 　Scheme　for　High

−

Reynolds

・

Number　Flows

，

　Int

．

　

J．

　 　Numer

．

　Meths

．

　Fluids

，

　Vol

．

12

，

　_pp

．

305

−

322

，

1991 12＞Christie

，

1

，

，

　 Grilfiths

，

　 D

．

F

．

，

　 Mitchen

，

　 A

．

R

．

　 and

　 　Zienkiewicz

，

　0

．

　C

，

：Finite　Element　 Methods　for 　 　Seco皿d　Order　D直fferential　Equations　with　Significant

　 　First　Derivatives

，

　Int

．

　

J．

　Numer

．

　Meths

．

　Eng

，

， 10

．

，

　 　pp

．

1389

〜

1396

，

　1976

13＞　Heinrich

，

　

J．

　C

．

，

Huyakorn

，

　P

．

，

Zienkiewicz

，

0

．

　C

、

　and

　 　Mitchell

，

　A

．

　

R．

_：An

‘

Upwind

’

　

Finite

　Element　Scheme

　 　for　Two

−

Dimensienal　Co皿vective 　TranspoTt　

Equa

しion

，

　 　Int

．

　

J．

　Nu皿er

．

　Meths

．

　Eロg

．

，

11

，

　pp

．

13ト 143

，

1977

14）　BToeks

_，

　A

．

　and　Hughes

_，

　T

．

　J

，

R

．

：Streamline　Upw 重nd _／ 　 　Petrov

．

Galerkln　Formulaしions　fQr　ConvectiQn

．

Domin

．

　 　ated 　F正ow 　with 　Particular　Emphasis　on 　the　Incompress

．

　 　ble　Navier

−

Stokes　Equations

，　Comput

．

　Meしhs

．

　Appl

．

　 　Mech

．

　E且g

，

，

32

，

　_pp

．

199

−

259

，

1982

15）Mizukami

，

　A

．

　and 　Hughes

，

　TJ

．

　R

．

：APetrov

．

Galerkin

　 　Finite　 Element　 Method　

fDr

　 Convection

−

Dominated

　 　F［ows ；An　Accurate　UpwirLding　Technique　fof　Satis

．

　 　fyLng山e 　Maximum 　Principle

，

　Comput

．

　Meths

．

　Appl

．

　 　Mech

，

　Eng

，

，

50

，

　_pp

．

181

−

193

，

1985

16）　Kondo

，

　N

．

，

Tosaka

．

　N

．

　and　Nishimura

，

　T

．

：Numericai

　 　Simulation　o｛Viscous　Flows 　by　the　Th玉∫d

・

Order　Upwind

　 　Finite　Element　 Method

，

　 Theoretical　 and Applied 　 　Mechanics

，

　VQ1

．

39

，

　pp

．

237

〜

250

，

1990　 　 　

＝

17）　Kondo

，

　N

．

，

　TQsaka

，

　N

．

　and 　Nishirnura

，

　T

．

：Third

−

　 　Order　Upwind　Finite　Element　Formulations　for　Incom

−

　 　pressible　Viscous　Flow 　Problems

，

　 Comput

．

　 Meths

．

　 　Appj

．

　Mech

，

　Eng

．

，

93

，

　pp

．

169

〜

187

，

1991

．

18）

Gresho

，

　

P．

M ，

，

　

Cha

皿

，

　

S．

　

T．

，

Lee

，

　R

．

L

．

　and 　Upson

，

　 　C

，

D

．

；AModified　F面 瓧e 　Element　Method　fer　Solving

　 　the　Time

−

Dependent

，

　Incompressible　Navier

・

Stokes 　 　Equations

，

　 Part　l：Theory

，

　 Int

．

　J

、

．

　Numer

．

　 Meths

．

　 　Fluids

，

　Vol

．

4

，

　pp

．

557

〜

598

，

1984

1g） Gresho

，

　P

．

M

．

，Chan，

　

S．

　T

．

，

Lee

，

　R

，

L

．

　and 　Upson

，

　 　C

，

D

．

：AModified　Finite　Element　Method　fQr　Solving

　 　theTime

・

Dependent

_，

IncompressibleNavier

−

Stokes

　 　EquatiQns

，

　Part　2 ：Applicatめ ns

，

　Int

．

　

J．

　 Numer

．

　 　Meths

．

　Fluids

，

　Vol

．

4

，

　pp

．

619

〜

640

，

1984

20）

Tanahashi

，

　

T ．

，Okanaga，

　

H ．

　and　

Saito

，

　T

．

：GSMAC

　 　

Finite

　

Eleme

皿t　

Method

　

for

　

Unsteady

　

Incompressible

　 　Navier

−

Stokes　Equations　at　High　Reynolds　Numbers

，

　　 Int

．

　

J．

　Numer

．

　Meths

．

　Fluids

，

　VQI

、

IL　_pp

．

479

−

499

，

　 　 1990

21）　Hughes

，

　T

．

J．

R

．

　and 　Atkinson

，

　

J．

_：AVariationa 且Basis

　　 for

‘

Upwind

’

Finite　Elements

．

　IUTAM 　Sympesium 　Qn

　　Variational　Methods 　in　the　Mechanics　of　Solids

，

　North

．

　　 western 　University

，

　Evanston

，

　IL

，

　_pp

．

387

〜

391

，

1978

22） Ahu飴

，

　

M

．

　 and 　Telias_，　M

．

：Petrov

・

Galerkin　Schemes

　　 for　the　Steady　State　Convection

・

Diffusion　Equation

，

　　 Finite　

Elements

　in　Water　Resou［cest

．

_pp

．

2_／3

〜

2_／12

，

　 　 1982

23） T

_，

abata

_，

　M

．

：ANumericat　Algorithm　foT　an　Upwind

．

　　 Type　Finite　Element　Method　U3ing　Exponential　Func

．

　　

、

tions

_，

　 Theoretical　 and 　Applied　Mechanics

，

　 Vol

．

94，

　 　 pp

．

371

−

376

，

　ユ986 24） 小 澤 善 隆

，

角 田 和彦

，

登坂宣好 ：指数関 数 型 有 限 要 素 法 　 　 による移 流 拡 散 問 題の近 似 解 析

，

第4回 数 値 流 体 力 学 シ 　　 ンポジ ウム_{講演 論文集}

，

PP

．

3D7

−−

310

，

1990

．

12 25） 登 坂 宣 好

，

角田和 彦

，

小 澤 善 隆 ：指 数

．

関数 型 Petrov

・

　 　 Galerkin有 限要 素 法に っ い で

，

構 造工学における数 値 解 　　 析 法 シン ポ ジウム 論文 集 第ユ5巻

，

pp

．

133

・

一・

138

，

　 　 1991

．

7 26） 小 澤 善 隆

，

角 田 和 彦

，

登 坂 宣 好 ：_{指 数 関 数 型} Petrov

・

　 　 Ga且erkin 有 限要 素 法による2次 元 移 流 拡 散 問 題の近 似 解 　 　 析

，

構 造工学に おけ る数 値 解 析 法シ ンポ ジ ウム論 文 集 　　 第15巻

，

pp

．

35

〜

40

，

］991

．

7 27） 角 田 和 彦

，

登 坂 宣 好 ：指 数 関 数 型 Petrov

・

Galerkin有 限 　　 要素 法によ る非圧縮 粘性流れ問 題の_{近 似 解 析}

，

_構造工学 　　 に お け る数 値 解 析 法 シンポジ ウム論 文 集

．

第15巻

，

　 　 pp

．

11

−

16

_，

　1991

．

7 28） 棚 橋 隆彦：非圧縮 粘 性 流 体の過 渡 流れ （1）

一

数 値 流 体 　　 力 学の発展

一，

機械の研究

，

第37

．

巻3号

，

pp

，

383

−

388

，

　 　 ］985 29）

．

Donea

_，

　

J．

，

Giuliani

，

　S

．

，

Laval

，　H

．

　and　

guartapelle

，

　L

．

　　

．

：FiniteElement　SolutionQf 　theUnsteady Navier

．

　 　 Stokes　Equations　by　a　Fractional　Step　Methed

，

　Com

．

　　 puし

．

　

Meths

，

　

Appl．

　Mech

．

　Eng

．

，

30

．

，

pp

．

53

〜

73

，

1982 30） 川 原 睦 人 ：有限要 素 法 流 体 解析

，

日科 技 連

，

1985 31） 篠原 能材 二_{数 値 解 析の}基礎

，

日新 出 版

，

3版

，

1987

32） Nallasamy

，

　M

、

　and　PrasaCl

，

　K

．

　K

．

：On　Cavity　Flow　at 　 　 High　Reynolds　Numbers

，

　

J，

　 Fluid　Mech

．

，

　Vol

．

79

，

　 　 part　2

，

　pp

．

391

〜

4ユ4

，

．

1977

33）　Ghia

，

　 U

．

，

．

　 Ghia

，

　 K

．

　N

．

　 and　Shin

，

　 C

，

T

．

_：High

−

Re

　　 Solutions　for　Incompressible　Flew　Using　the　Navier

−

　　 Stokes　Equations　and 　a　Multigrid　Method

_，

　J

．

　Compロt

．

　 　 Phys

．

，

48

_，

　pp

．

387

−

411

，

1982

34｝　Schreiber

，

　R

．

　arLd　Keller

，

　H

．

　B

，

：Driven　Cavity　Flows

　　

by

　Efficient　Numeiical　

Techniques

，

_」

．

　

Comput，

　

Phys．

，

　 　 49

，

　pp

．

310

−

333

，

　1983

35_）Lee

_，

　B

．

　B

．

：The　Effective　Qf　Turbulence　of　the　SuTface 　 　 Pressure　Field　of 　a 　Square　Prism

，

亅

．

　Fluid　Mech

．

，

　 　 Vol

．

69

_，

　pp

，

263

〜

282

_，

　1975 36） 佐 藤 　 尋

，

角 田 和 彦

，

登 坂 宣 好 ：2次 元 非 定 常 粘 性 流れ 　　 問題の アニ メ

ー

ショ ン システム

，

_構造工学に おけ る数値 　 　 解 析 法シ ンポ ジ ウム論 文 集 　第15巻

，

pp

．

543

〜

548

_，

　 　 1991

．

7 37） 登坂 宣 好

，

中 山 　司 ：境界要 素 法の基 礎

，

日科 技 連

，

　 　 1987 Appendix 　式 （17_）の _行列M_{α β} と K。n（U7）は

，

双

一

次の長方形 要素 （Fig

．

A

−

1参照）に対し ては次の よ うに表さ れ る

。

　

　　

Ma・

禦

の

f

：

f

：

〔1＋ ・

。

ξ〕（1＋ta・

X1

＋C・，・e）（1煽 ） 　　 　　 　 e

−

＋ALt

＋

”

”

’

Ae］_ded η

　

　　

　

一

d

_气

_誓

ノ〕 e

−

A・

Q，

Q

， （・

，

β

一

1

，

・

，

・

，

・〉

　　　

臨

・

（_畷阿

∫

：

∫

：

M。N

・

，

、d・t（J

−

）d鋤

　

　　

　　　

　

・

毒∫

：

f

：

Ma

、

_躍 魏 ξ砌

　

　

　

　

　

　

一

ぬ

評

・

一

噛

・鵡

評

匸・

一

鵬

　　　　　　　

十

　　

1

　　

＿

e

−

A

・

　　 　　 　 　　 　16Redet （」〕

　

　

　

　

　

　

　

隴齢

溜

纛 ］

こ こで

，

各 係数 を 次の ように置 く

。

　 　 　R1

≡

ba　8_＃1_』（

A

_）

QL−

！1lQ2Ql 　 　 　R

：

＝Q，

Q

厂 A

，

Q2Q，

　 　 　R，軍

Q

、

Q

，

−

A，

QIQ

， 　　 　R4

＝

εαεnlo〔A1）

Qi−

AiQIQ2

　　 　

QI

≡

Io（A，）十

1

δ

．

十8s｝∬1｛A」｝十aa　6s　J2　

CAi

） 　　　

Q幽

＝

』』〔A

，

）＋

i

εα＋εβ｝ムし4

，

）＋ε

α

εβム

．

し4

，

＞ 　　 　

Q，

＝ s_ム　1

』

　（A

，

）＋tra　ap　li（A

，

） 　　 　

Q

、

＝

ε副

A

〕＋ε

。

　Efi　lt

’

（A

、

〉

．

　　 　

Q，

＝

δαム（A1）＋ δ配δ泊ム（AI） 　　 　

Q

，

＝

εalo （A1）＋εaEel ，（A1） 　　 A、

＝

α 、βi＋α ，冫〜

，

　A、

＝

alfit ＋a2γi 　 　 4。

冨

α、（β。

一

囲 ＋α、〔7｛

一

謝

　　

fi

・

−

t

（

一

一

xl＋・

’

f

＋x！

一

_．

・_：） 　 　 　 　 1

　　　

7，

＝

_可（

−

x；

−

x；＋x；＋x；）

　

’

瓦

一

_÷

←xl

−

xi ・x；＋x：） 　 　

＿

　 1

　　　

γ1

＝

z

’

← xl＋x；＋xi

−

x；） 　　 det〔」｝

葛

β，γ1

一

β1ヲ

T

た だ し

，

（

Xi η

（

xl ，・

1

）

Fig

．

　A

−

1RectangulaT　e［ement

〔

尋

・・

莠

）

ξ

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

（

，

ξ

　　

　　

零

）

Fig

_．

　A

−

2Typical　llnear　segment 　 　 　

−

x　 　 　 　 ぜ 　 　 　 e　 　 　 θ 　 　 　1。（x）

＝一

　 　 　 十

一

　 　 　 x　 　x

　

　　

・

，

（x）一

一

ギ

（

　 　 11 十

一

　 　x

）

＋

妥

（

一

・＋

麦

）

　

　　

・

・

（x）

一一

ギ

（

　1＋

_r

2＋　2 ア

）

＋

妥

（

1

一

美

＋

圭

）

　

　　

　

β・

一

去

（xl・xl・xl・ ・

1

）

　　　　

r。

・

・

1

（・；＋ ・；＋xl＋xl） 　 　 　 　δ_L

三一

1

，

aセ

＝

1

，

　δ3

薈

1，　　δ4

三一

1 　 　 　 　ε1

＝−

1

，

　ε1

＝−

1

，

　 E3

＝

1

▼

　 ε4

＝

1 な お

，一

般の四角 形 要 素に対しては

，

Gaussの数 値 積 分 公 式 等 を用いて評 価す れ ば よい

。

　次に， 式 （17）の境 界

r

，に閧 す る 行 列

Fafi

は，　Fig

．

　A

−

2で 示 され た要 素 上の代 表 的な線 素 （局 所 座 標 系 ） を用いることに よ り次の よ う に評 価さ れ る3T） 。

　

　

　

F・e

−

∬

瞭 δ1 ・＋b・S ・_｝ ・

’

…

’

・

・

＋

s

・

・）

［

窄

．

静

・ 　　　 　

＝

［

f

。β，9

。

β］ こ こ で

，

各 係 数を 次 の よ う に置く

。

　

　

　

麁

・

一

去

・

一

晒 （δ

・

ゐ＋b

，

J

・

＋b

・

J

・

） 　 　 　ノ』β

＝

：

e

−

〔恥

一

Ae）_〔δ

2み十bLJI十boJ』）

−

9ae 　 　 　 e

−

BLtS 　 　 　 l 　 　 　J

。

＝−

　　　　　　

B

、

＋ 瓦

　

　

　

J

，

一一

e

_差

躙

_（

　 　 Iln 十 B，

）

噛

　

　

　

J・一

一

e

ゴ

i

圀

（

　 21n　 2 1s＋ B

、

＋ 吾

）

・

含

　

　

　

J…

‘

一

詳

（

恥

讐

・

管

・

却

・

音

　 　 　δ

。

＝

α

、

。

＋α 、

。

xf＋偽

．

x穿＋a

，

。

xfx 響 　 　 　 δ1

＝

a、

。

Xl

＋α ，eXt ＋α ．。（xF，　x，＋鱸

X

、） 　 　 　bt

＝

a弓αXiXi 　 　 　Ao

＝

＝

aixf 十a

：

x ： 　　　B。＝ α

、

xf ＋α ，超

，

　 BI

＝

α、x1＋a，X， た だ し

，

　 　 　 β ＋1 　 　 　 　Stl　 　 　P 　 　 　 　 　置鼬　

一

x1 　 　 　 工 2　

｝

x2 　 　 　 　

，

　x，

＝

＝

　 　 　x，

＝

　 　 　 le 　 　 　 　ln 　 　 　 5

＿

　 　 　 t　 　　 　　5

　

　 　i 　 　 　Xi

−

x｛

，

　 x2

−

x2

　

　

　

aTa

−

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（1992_年2月 20 日原 稿 受理， 1992年6月 29日採用決定）

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