一様乱流における圧力場の統計
名工大 日比野豊(Yutaka Hibino)
名工大 後藤俊幸(Toshiyuki Gotoh)
1
Introduction
二点間の速度差 $|\delta \mathrm{v}(l)|$ は乱流のスモールスケール ($l\ll L,$ $L$ はエネルギーインプットのス ケール) を特徴づける. 流体の運動は慣性力, 圧力勾配, 粘性力の釣合によって決まるが, 一般に乱 流のスモールスケール $(1/k_{d}\ll l\ll L)$ でのダイナミクスに重要なのは圧力勾配である.流体の 非圧縮性を保ちながら, 圧力勾配は流体を加速したり変形させたりする. 圧力はポアソン方程式の 解として与えられ, 積分核を通して速度場のラージスケールに支配される量であるが,ソース項は 速度勾配の二次で表されるため,圧力場の統計はnon-Gaussian
になる.圧力場の統計が重要になる例として Lagrangian velocity auto-correlation がある. 簡単のために $\nu=0$ として, 十分に
小さい $t-s$ で展開すると, $[1]1^{s}1$
$R_{L}(t, s)= \langle \mathrm{v}(t)\cdot \mathrm{v}(s)\rangle=c_{0}+\frac{1}{2}C_{2}(t-S)^{2}+\cdots$ , $t\geq s$
.
(1)ここに,
$C_{0}$ $=$ $2 \int_{0}^{\infty}E(k, S)dk$,
$C_{2}$ $=$ $- \langle(\nabla p(\mathrm{X}, S))2\rangle=-\int_{0}^{\infty}k^{2}P(k, S)dk$
$=$ $- \int\frac{\langle D(\mathrm{k},s)D(-\mathrm{k},S)\rangle}{k^{2}}d\mathrm{k}$, (2)
$D( \mathrm{k}, s)=kik_{j}\int\int_{\mathrm{P}+=}\mathrm{q}\mathrm{k}d\mathrm{p}d\mathrm{q}ui(\mathrm{p}, s)uj(\mathrm{q}, s)$
,
(3)$\langle p^{2}(_{\mathrm{X}}, s)\rangle=\int_{0}^{\infty}P(k, S)dk$
.
(4) (2)式は $R_{L}(\tau)$ の初期の曲率が圧力勾配に支配されていることを示している.速度場が
Gauss
分布に従うと仮定したときは次式で与えられる.$C_{2}^{G}$ $=$ $- \langle(\nabla p(\mathrm{X}, S))2\rangle G=-\int_{0}^{\infty}k^{2}PG(k, S)dk$
$=$ $- \int_{0}^{\infty}dk\int_{0}^{\infty}dqkqJd(\frac{q}{k})E(k, s)E(q, S)$
.
(5)$J_{3}(x)= \{(a^{2}-1)2\log\frac{1+a}{|1-a|}-2a+\frac{10}{3}a^{3}\}/(2a^{4})$
,
$a= \frac{2x}{1+x^{2}}$,
(3-D)$J_{2}(x)=\{$ $3x-X3$, $x<1$
,
方, $R_{L}(\tau)$ は乱流拡散において重要な量である. すなわち, テイラーの拡散理論では, 定常
様乱流中の時刻 $\tau=t-s$ における拡散係数 $K$ は次のように表される.
$K( \tau)=\int_{0}^{\mathcal{T}}\langle \mathrm{v}(0)\cdot \mathrm{V}(T)’\rangle d\tau^{r}=\int_{0}^{\tau_{R_{L(}}}\tau’)d_{\mathcal{T}’}$
.
(6)$K$ は $R_{L}(\tau)$ の積分で表される量である. したがって, もし $|C_{2}|$ が $|C_{2}^{G}|$ より大きければ, $R_{L}(\tau)$ は速く減衰し,
Navier-Stokes
(N-S) の拡散係数はGaussian
理論のそれより小さくなると考えら れる. これは流体粒子が周囲の流体と混合して初期の情報を失う時間が短いことを意味する. この 意味において, 圧力勾配の統計は乱流における輸送係数と結び付いている. 本研究ではGotoh
&Rogallo
(1994) による三次元一様定常乱流における結果を参考にして, 新たに二次元一様定常乱流の直接数値計算を行ない, 圧力と圧力勾配の統計について, 同じエネルギースペクトルをもった turbulent field と
Gaussian
field の比較, $R_{\lambda}$依存性, 3次元 (Gotoh&Rogallo, 1994) と2次元の比較を行なった.
2
Numerical
simulation
速度場は三次元, 二次元ともに低波数での forcing による–様等方性定常乱流である. Forcing
は三次元については速度に対して積の形で $\alpha(k, t)$ が, 二次元については渦度に対して和の形で
凡が入っている. さらに, 二次元の場合には低波数へのエネルギーの逆カスケードを抑えるため
に drag term $d\nabla^{-2}\omega$ が加わっている.
[3-D] (CTR data$\mathrm{b}\mathrm{a}s\mathrm{e}^{1}2]$)
$( \frac{\partial}{\partial t}+I^{\text{ノ}}k^{2}-\alpha(k, t))ui(\mathrm{k}, t)=Mi\iota m(\mathrm{k})$ $\sum$ $u\iota(\mathrm{p}, t)um(\mathrm{q}, t)$,
$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{k}$
$\alpha(k, t)=\{$
$c(t)$, for low wavenumber,
$0$, otherwise, $M_{ilm}( \mathrm{k})=\frac{1}{2}[k_{m}P_{il}(\mathrm{k})+k_{l}P_{im}(\mathrm{k})]$, $P_{il}(\mathrm{k})=\delta_{itil}-kk/k^{2}$
.
格子数 $N^{3}=256^{3}$ for $R_{\lambda}=172,96$, $N^{3}=128^{3}$ for $R_{\lambda}=63$, $N^{3}=64^{3}$ for $R_{\lambda}=38$.
[2-D] (present)$\frac{\partial\omega}{\partial t}+\frac{\partial\Psi}{\partial y}\frac{\partial\omega}{\partial x}-\frac{\partial\Psi}{\partial x}\frac{\partial\omega}{\partial y}$ $=$ $F_{\omega}+d\nabla^{-2}\omega+\nu\nabla^{2}\omega$
,
$\nabla^{2}\Psi$
$=$ $-\omega$
,
凡:Gaussianforce ($4\leq k\leq 6$
,
whitenoise in
time),$d=\{$
$c$
,
for $k\leq 3$, $0$,
otherwise.初期条件: $\omega(\mathrm{x})=0$, $(t=0)$ 格子数 $N^{2}=2048^{2}$ for $R_{\lambda}=42$, $N^{2}=1024^{2}$ for $R_{\lambda}=25$, $N^{2}=512^{2}$ for $R_{\lambda}=19$
.
本研究での $R_{\lambda}$ の定義は次のとおりである. $R_{\lambda}(t)= \frac{\{\Omega(t)\}^{3/2}}{\eta(t)}$, (2-D),$R_{\lambda}(t)= \frac{\lambda_{3}(t)\cdot u(t)}{\nu}$, $\lambda_{3}(t)=\sqrt{\frac{5E(t)}{\Omega(t)}}$, (3-D).
$E(t)= \frac{1}{2}\langle|\mathrm{u}(\mathrm{x}, t)|^{2}\rangle=\int_{0}^{\infty}E(k, t)dk$
:Total energy
per unit mass, $\Omega(t)=\frac{1}{2}\langle|\omega(\mathrm{x}, t)|^{2}\rangle=\int_{0}^{\infty}k^{2}E(k, t)dk$ :Enstrophy,$\eta(t)=2\nu\int_{0}^{\infty}k^{4}E(k, t)dk$ :Enstrophy dissipation rate.
圧力場はスペクトル法 (de-aliased spectral methods) で求めている.
3
Result
Turbulent
field
(2-D $\{|y$ 3-D)数値計算によって得られた二次元定常乱流のエネルギ一スペクトルを Fig 1(a) に示す. 独立 変数を $\overline{\eta}$ を使ってスケーリングしている.
100
ステップ毎に得られたスペクトルを重ねて描い てあり, スペクトルの時間的変化を見ることができる. この図から定常性は良好であることがわか る. スケ一リング則に関しては Kolmogorov 理論と同様な次元解析によって得られる慣性領域ス ペクトル $E(k)\propto k^{-3}$ は $R_{\lambda}=42$ に於いても実現していない. Fig 1(b) に三次元定常乱流のエネルギースペクトルを $R_{\lambda}=96$ の場合について示す. この図 もあるステップ毎に得られたスペクトルを重ねて描いてあり, 定常性は良好であることがわかる. $\overline{\frac{\simeq}{\omega}}$ (a) (b)Fig1. (a) スケーリングされたエネルギースペクトル (2-D) : $\eta^{-2/3}k^{3}E(k)$;各 $R_{\lambda}$ について 100 step 毎
にplot した. (b) エネルギースペクトル (3-D) : $E(k)$;十分離れた時刻毎に plot した $(R_{\lambda}=96)$
.
$p/\mathit{0}_{p}$ $p/u_{p}$
Fig 2. 圧力$P$ の pdf (3-D). (a) 各$R_{\lambda}$ について plot (N-Sfield). – :$R_{\lambda}=172,$ $—-$ : $R_{\lambda}=96$,
–: $R_{\lambda}=63$, –: $R_{\lambda}=38,$ $\mathrm{O}:\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$. (b) N-S field$\mathrm{v}\mathrm{s}$
.
Gaussian velocity field; –:N-Sfield $(R_{\lambda}=172),$ $+—-$
:
Gaussian field, $\mathrm{O}:\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$.
三次元乱流 (N-S field) における圧力の pdf を Fig2(a) に示す. 分布は正負非対称であり, 圧
力変動が負の領域では漸近的に exponential form $P(p)$ oc $\exp(-a|p/\sigma_{p}|^{\alpha})$ に近くなる. ここ
に $a$ は無次元定数, $\alpha$ は1よりわずかに小さい値.分布の tail は $R_{\lambda}$ が大きくなるに従って長く
伸びているが, $\alpha$ の値は $R_{\lambda}$ に対してあまり変化しない.圧力変動が正の領域では
Gauss
分布に近く, $R_{\lambda}$ に対する変化はほとんど見られない. N-S field と同じエネルギースペクトルを持った
Gaussian
velocity field における圧力の pdf を Fig2(b) に示す.N-S
field とほぼ同じ傾向を示しているが, 負の領域の tail は N-S ほど伸びていない.
圧力勾配$P,i(\equiv \mathrm{g}_{x_{*}})$ の1成分の pdf を Fig3(a) に示す. 分布は対称で ta垣は $R_{\lambda}$ が大きく
なるに従って長く伸びている. Fig3(b) に $R_{\lambda}=172$ における圧力勾配3成分の分布と
Gaus-sian field から得られる圧力勾配 3 成分を示す.圧力勾配は等方的である. しかし,
N-S
field とGaussian
velocity field の差は顕著であり,N-S
field における分布の tail は漸近的にstretchedexponential form $P(p_{i},)\propto\exp(-b|P,i/\sigma_{p},:|^{\beta}),$ ($b$ は無次元定数, $0<\beta<1$) に書け, tall が
長く伸びている部分に対して $\beta\sim 1/2$ である. これは三次元乱流における圧力勾配は非常に間欠
的である (Gauss分布からずれている) ことを示している [2].
One-point one-time
statistics
($\mathit{2}- D$pressurefield)次元乱流における圧力の pdf を Fig$.4.(\mathrm{a})$ に示す. 三次元と同じように正負非対称である.
分布の負の領域は exponential tall になるが,今回調べた $R_{\lambda}$ の範囲では tail の伸び方に $R_{\lambda}$ の
依存性は見られなかった.
Gaussian
field (Fig$4.(\mathrm{b})$) においても傾向は同じであるが,N-S
よりtail の伸びは短い. 圧力変動が正の部分は発達が弱く
Gauss
分布にも達していない. むしろ,平均の近くのピークが目立つ.
N-S
field と同じエネルギースペクトルを持つGaussian
field も同様の傾向がある.
圧力勾配2成分の pdf を Fig5(a) に示す.分布は対称で等方的である. しかし, 三次元と大
きく違い,
N-S
field における分布の tail は $P(p_{i},)\propto\exp(-a’|p,i/\sigma_{p,:}|^{\alpha})$ ’で, $R_{\lambda}$ 依存性もほと
んど見られない.
Gaussian
field (Fig$5.(\mathrm{b})$) も同様な傾向であるが,分布のtail の伸びが弱く, より
Gaussian
に近い.Two-points
one-time statistics
($\mathit{3}- D$pressurefield)スケーリングされた圧力勾配のスペクトルを Fig $6.(\mathrm{a})$ に示す. 同時にスケーリングされたエ
ネルギースペクトルが示されている.エネルギースペクトルのスケーリングは良いが, 圧力勾配ス
ペクトルについて良いスケーリングを得るには $R_{\lambda}^{1/2}$
$P,i/\sigma_{\mathrm{P},:}$
Fig3. 圧力勾配$P,i$ の pdf (3-D). (a) 各 $R_{\lambda}$ について 1 成分. (N-Sfield) – : $R_{\lambda}=172,$ $—-$ : $R_{\lambda}=96,$ $\cdots\cdots\cdot$
.
:$R_{\lambda}=63$, –:$R_{\lambda}=38,$ $\mathrm{O}:\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}S\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$.
$(\mathrm{b})$ N-S field $\mathrm{v}\mathrm{s}$.
Gaussian velocity field;– : $\partial p/\partial x,$$—-$
:
$\partial p/\partial y,$$\cdots\cdots\cdot$. :$\partial p/\partial z$forN-S$(R_{\lambda}=172);+--$ : $\partial p/\partial x,$$0_{-}---$ :$\partial p/\partial y$,$\mathrm{X}^{--}-\cdots$ – :$\partial p/\partial z$ for Gaussian filed; $\mathrm{O}:\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$
.
Fig 4. 圧力$P$ の pdf (2-D). (a) N-Sfield. (b) Gaussian velocityfield.
(a)
$k/k_{d}$.
(b)
Fig6. (a) スケーリングされたエネルギースペクトル (3-D)(上): $\overline{\epsilon}\nu 1/4-5/4E(k)$ と圧力勾配のスペク
トル (3-D)(下): $R_{\lambda}^{-1/2/}\overline{\epsilon}\nu^{-1/}k^{2}322P(k)$
.
(b) 圧力勾配スペクトルの Ratio function (3-D) : $F_{3}(k)=$$\int_{0}^{k}k^{;2}p(k’)dk;/\int_{0}^{k}k^{\prime_{2}}pc(k’)dk’$;– : $R_{\lambda}=172,$ $—-$
:
$R_{\lambda}=96$,-...,. : $R_{\lambda}=63,$$-\cdot-$ : $R_{\lambda}=38$.
圧力勾配の Ratio function を次のように定義する.
$F_{3}(k)= \int_{0}^{k}k’2P(k’)dk’/\int_{0}^{k}k^{\prime 2\prime}PG(k’)dk$
.
(7)従って, $F_{3}(k_{\max})$ は $\frac{\langle(\nabla p)^{2}\rangle}{((\nabla p)^{2}\rangle_{G}}$
を意味する. Fig$6.(\mathrm{b})$ に Ratlo functlon $F_{3}(k)$ を示す. $R_{\lambda}$ が
大きくなるに従って$-f\mathrm{E}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}’\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\sim 1}\underline{\not\cong}\llcorner \text{す}\backslash 6\text{まて^{}\backslash }\text{の}k$ は大きくなっている. これは, $R_{\lambda}$ 力吠きくなるにつ
れ
Gaussian
field よりもN-S
の方がより小さなスケールで圧力勾配が重要であることを示している. 即ち, Lagrangian velocity auto-correlation の初期の曲率は
N-S
の方がGaussian
field よ りも大きく, $R_{\lambda}$ と共に増大していることを示している.圧力のスペクトルを Fig7(a) に示す.
P(
初が外力を受けている波数を除いた全波数で$P_{G}(k)$ を上回っている. 圧力スベクトル
ratio
を次のように定義し, Fig$.7.(\mathrm{b})$ に示す.$K_{1}(k)= \frac{P(k)}{P_{G}(k)}$
.
(8)$R_{\lambda}^{1/2}$ の補正により $k/k_{d}\leq 1/2$の範囲で良く-致し,
$K_{1}(k) \simeq\alpha 3R_{\lambda}-1/2\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}(\frac{k}{k_{d}})+\beta_{3}$, $k/k_{d}\leq 1/2$ (9)
の関係がある. 傾き $\alpha_{3}$ は対数正規分布の理論 (Kolmogorov
1962,
Oboukhov
1962) から$\alpha_{3}=\frac{2\mu}{9}$
,
(10)と与えられ, $\mu$ として 0.2\sim 0.25 の値を与えると良く -致する.
Two-points one-time statistics
(2-Dpressure
field)スケーリングされた圧力勾配のスペクトルを Fig 8(a) に示す. 二次元の場合は $R_{\lambda}$ による補
正なしでスペクトルのスケーリングは良い. 三次元(Fig $6.(\mathrm{a})$) は圧力勾配スペクトルがフラット
であるのに対して, 二次元は forcing の波数帯より高い波数で勾配が急であり, 低波数で支配的で
$P(k)$ or $P_{G}(k)$ $R_{\backslash }^{-1/2}$ P(k)/P シイ$k$) $\hat{\underline{\mathrm{Q}}}$ $\underline{.\overline{\mathrm{g}}}^{\mathrm{I}}$ $\overline{\mathit{4}}\vee$ $k/k_{d}$ (a) (b)
Fig7. (a) 圧力スベクトル (3-D): $P(k)$ or$P_{C\pi}(k)-$
:
$P(k),$ $—-$:
$P_{C},(k)$.
(b) 圧力スベクトルratio (3-D)
:
$R_{\lambda}^{-1/2}K_{1}(k)$.
いる. これは圧力勾配の分散への寄与がほとんどスペクトルの低波数成分から来るのと, 低波数で
の分布がほぼ
Gaussian
であるためであると考えられる. $F_{3}(k_{\max})$ の $R_{\lambda}$ 依存性はほとんど見られない. したがって, Lagrangian velocity auto-correlation の初期の曲率は
N-S
とGaussian
で三次元ほどの大きな違いはないと思われる $(R_{\lambda}\leq 42)$
.
圧力スベクトルを Fig$.9.(\mathrm{a})$ に示す. 三次元と傾向が逆で $P(k)$ が $P_{G}(k)$ の下になっている. その比をとったのが Fig 9(b) で, 傾きは負であり, $R_{\lambda}$ による補正なしで良く -致し, $k/k_{d}>1$ の波数まで伸びている. 従って, $K_{1}(k)$ は次のように表される. $K_{1}(k)\simeq\alpha_{2}\log(k/k_{d})+\beta_{2}$.
(11) 傾きは $\alpha_{2}\sim-0.19$ であったが, 説明はついていない. $\llcorner\epsilon\vee\wedge \mathrm{f}$ (a) (b)Fig8. (a) スケーリングされた圧力勾配スペクトル (2-D): $\overline{\eta}^{-5//2}\epsilon_{\nu^{-3}}k2P(k)$
.
(b) 圧力勾配スペクトル(a) (b)
Fig9. (a) 圧力スベクトル (2-D) : $P(k)$ or$P_{C}.(k)$
.
$(\mathrm{b})$ 圧力スベクトル ratio (2-D) : $\mathrm{A}_{1}^{r}(k)$4
Conclusions
本研究では新たに二次元等方定常乱流を数値計算によって実現し
,
その圧力と圧力勾配の統計を調べ, 三次元の場合 (Gotoh&Rogallo,1994) と比較した.
.
三次元において圧力勾配の pdfは
N-S
field では tail がstretched exponential form になり,Gaussian
velocity field との問に顕著な違いがあるが, は二次元の場合にはN-S
field の tail はexponentialform であり,
Gaussian
field との差は小さか \supsetた.二次元での圧力勾配の Ratio function $F_{3}(k)= \int_{0}^{k}k^{\prime 2}P(k’\rangle$$dk’/ \int_{0}^{k\prime}k’2PG(k’)dk$ の値は低
波数で–定値に落ち着いており, $R_{\lambda}$ によってあまり変化しないことがわかった $(R_{\lambda}\leq 42\rangle$
.
二次元における圧力スペクトルは $P(k)$ が$P_{G}\text{ }$ が三次元と逆で下になっていた. また, その
比は $P(k)/P_{G}(k\rangle$ $\simeq\alpha_{2}\log(k/k_{d})+\beta_{2},$ $\alpha_{2}\sim-0.19$の関係があり, 三次元と違い $R_{\lambda}$ の依存
性はなく $(\dot{R}_{\lambda}\leq 42),.\text{傾き_{の}説明もでき_{て^{いな}}い}$
.
$[$圧力勾配の統計たおいて二次元乱流の
N-S
field とN-S
field と同じエネルギースペクトルを持つ
Gaussian
velocity field との間の違いが小さかった. これは, 二次元乱流の渦運動が三次元に比べラージスケールが支配的であり, 従って, 圧力勾配もラージスケールに集中し, さらにラー
ジスケールでの分布がほぼ
Gaussian
であるためであると考えられる. したがって, 二次元乱流の圧力場の統計はある程度
Gaussian
theory で近似できる. しかしながら,圧力スベクトルの比$P(K\rangle$$/P_{G}$(紛は
N-S
field とGaussian
field の違いを示すものである. したがって, 三次元のみならず二次元の結果も説明できるような
Non-Gaussian
theory の構築が今後の課題である.参考文献
[1] T.Gotoh, $\mathrm{R}.\mathrm{S}$.Rogallo, $\mathrm{J}.\mathrm{R}$.Herring and $\mathrm{R}.\mathrm{H}$.Kraichnan, 1993, Phys. Fluids. A5,2846.
[2] T.Gotoh and $\mathrm{R}.\mathrm{S}$.Rogallo, 1994, $\alpha Stati_{S}ti_{C}s$
of
pressure and pressure gradientin homogeneoutisotropic turbulence,” Centerfor Turbulence Research, Proceedings of
the Summer Program 1994pp.184.
[3] Y.KanedaandT.Gotoh, 1991,Phys. Fluids. A3, 1924. [4] A.N.Kolmogorov, 1962, J. Flnid Mech. 13, 82.
