第２学年 数学科学習指導案 １ 単 元 「図形の性質と合同 証明」 ２ 指導観 ○ 小学校では、作業的・体験的活動など算数的活動を通して、基本的な平面図形や立体図形につ いて理解できるようにし、様々な問題解決の場面で図形の定義や図形の性質を活用して、適切に 判断したり、的確に表現したり、処理したりしてきた。また中学校第１学年の図形の学習におい ては、小学校に引き続いて、図形に関する観察、操作的な活動、実験の直観的な取り扱いを中心 に、平面や空間における図形の基本的な性質や構成について理解を深めている。第２学年におい ては、前単元「図形の調べ方」で平行線の性質や多角形の内角・外角の性質を明らかにすると同 時に、演繹的に推論する論証の素地を学習してきた。 ○ 次のような、診断テストを実施した。（平成19 年 10 月実施：生徒数28 名）そして、次の３点 のことがわかった。１点目は、問題を読み取り、表や図または文中から問題を解決するために必 要な条件を見つけることにつまずきがある生徒が多い。２点目は、多くの生徒が、既習の性質を 利用して発展させた考え方に気づくことができる。３点目は、論理がつながっているかどうかの 判断は十分にできる。しかし、論理がつながらない根拠となる反例を示したり、論理をつなぐ新 たな考え方に気づいたりする生徒は少ない。 ○ 本単元においては、カードをつくり並べて整理する活動を通して証明の学習を行っていく。カ ードとは、証明に必要な条件を生徒が記入する付せん紙である。このようなカードを利用した活 動を通して、次のように単元の指導を行う。第１次は、証明の学習に必要な用語や合同条件につ いて学習を行う。第２次は、証明に必要な辺や角を見つける活動を行う。第３次は、証明に必要 な条件を、結論を導くように並べる。第４次は、前後のつじつまがあうように必要な条件を付け 加えたり入れ替えをしたりして、仮定から結論をつなぐ活動を行う。そして第５次は、カードの 並び方を基にして、証明を書く活動を行う。このように問題の中にある証明に必要な条件を明ら かにし、証明に必要な条件を既習の性質を利用して結論を導くように並べ、条件の並び方を確か め、並び方に飛躍がある場合には、必要な新たな条件を付け加えたり、条件を入れ替えたりして 仮定から結論をつなぐ生徒を育てることを目指す。 ３ 単元の目標 観 点 内 容 関心・意欲・態度 ・三角形が合同になるために必要な辺や角の条件を見つけようとする。 ・仮定と結論を把握し、仮定や根拠となる既習の性質を利用して、証明を 行っていこうとする。 見 方 や 考 え 方 ・問題文や図の中から仮定や結論及び文中に記されていない証明に必要な 条件を見つけ出す。 ・証明に必要な条件を、仮定から結論を導くように並べる。 ・証明の前後のつじつまが合っているかどうかを確かめる。 表 現 ・ 処 理 ・用語の意味や図形の性質を数学的な記号を利用して表すことができたり、 言葉や記号で表されたことを読み取ることができる。 ・三角形の合同条件や既習の性質などを根拠として、図形の性質を適切に 表現することができる。 ・推論の過程を適切に表現することができる。 知 識 ・ 理 解 ・三角形の合同条件について理解する。 ・仮定や結論の意味を理解する。 ・証明の意義と証明の仕組みを理解する。
４ 単元指導計画（１１時間） 次 学 習 活 動 具体的な指導上の留意点 第１次 (3 時間) ○ ある事柄の仮定と結論 を見つけ、逆を確かめる。 ○ ２つの合同な三角形を 探し、対応する辺と角を見 つける。 ○ 必要な辺と角の組み合 わせを探して、三角形の合 同条件を見つける。 ・ある事柄の逆を確かめるとき、逆が「偽」と考える 生徒全員に、なぜ「偽」であるかの理由または反例 を記述する場を設ける。 ・事柄の真偽を全員で確かめさせ、各自が判断する活 動を設定する。 ・竹ひごの辺と画用紙の角を組み合わせて、合同な三 角形を組み立てる活動を設定する。 ・組み合わせ方が正しいかどうかわからないときは、 コンパス、定規、分度器を使って、作図を利用して 確かめさせる個別指導を行う。 第２次 (3 時間) ○ 合同条件を満たす３枚 のカードと、合同な三角形 のカードを見つける活動 を利用して、証明に必要な 辺と角などの条件を見つ ける。 ・合同条件を満たすために必要な辺や角を見つけるた めに、見通しが立てやすい問題を利用する。 ・仮定からわかる辺と角を色分けしてカードをつくる 活動を設定する。 ・合同条件を示した図と問題が示す色分けした辺と角 の図を比較させる場を設けて、合同条件を満たす必 要な辺と角に気づく活動を設定する。 ・証明に必要な条件を見つけにくい問題を利用して、 問題に記されていない証明に必要な辺や角に気づく 活動を設定する。 第３次 (3 時間) ○ 仮定から結論を導くよ うにカードを組み合わせ たり、並べたりする活動を 利用して、結論を導くよう に条件を並べる。 ・問題の意味を作図を利用して確かめさせ、証明に必 要な条件に気づく場を設ける。 ・証明に必要な辺や角に気づく図に色分けをする活動 を設定する。 ・カードの並べ方に気づくため、カードの組み合わせ でカードの分類をする活動を設定する。 ・組み合わせができない残りのカードは、図形の性質 と照らし合わせて並べる活動を設定する。 ・残りのカードを並べることができない生徒に対して は、図形の性質一覧表を利用させて個別指導を行う。 ・合同な三角形に気づきにくい問題の時は、結論を図 示し、それを利用して合同な三角形や証明に必要な 辺や角に気づくことができる学習プリントを準備す る。 第４次 (2 時間) ○ 条件の前後のつじつま が合わない部分を確かめ、 必要なカードを付け加た りカードを入れ替えたり する活動を利用して、仮定 から結論をつなぐ。 ・カードの並び方を図形の性質を利用して確かめる場 を設ける。 ・前後のつじつまが合わないカードの条件を図示させ、 図を利用しながら必要なカードを付け加えさせたり カードを入れ替えをする活動を設ける。 ・カードの並び方が正しいかどうか、図を利用してつ じつまを確認する場を設定する。
５ 主 眼 条件の前後のつじつまが合わない部分を確かめ、必要なカードを付け加たりカードを入れ替えたりする活動 を利用して、仮定から結論をつなぐ。 ６ 準 備 ・学習プリント ・黒板掲示用の問題の図 ・黒板掲示用カード（マグネット付き） ・付せん紙（生徒全員分） ７ 展 開（11／11） 段 階 学習活動・内容 指導上の留意点 配 時 形 態 つ か む １ 本時の学習課題を知り、本時のめあてをつ かむ。 (1) 正三角形ＡＢＣとひし形 ＡＤＥＦを２つ組み合わせ た図があります。ただし ＡＦ//ＢＣです。この図の 中に辺の長さが等しくなる ところを下の図に黄色で色を塗りなさい。 (2) 本時のめあてをつかむ。 〔めあて〕 問題の図を利用して、ＢＤ＝ＣＦであるこ とを調べよう。 ・図の中の等しい辺に気づきにくいので、 気づいた辺が実際に等しいかどうか定規 で長さを測って確かめる。 10 一 斉 ↓ 学 級 集 団 調 べ る ２ 結論を導くように、カードを組み合わせた り並べたりする活動を行う。 〔カードの並べ方〕 ・合同な三角形に気づくために、結論ＡＤ ＝ＣＦを図示して、合同な三角形を見つ ける活動を設定する。 ・見つけた合同な三角形を基にして、つく ったカードの枚数を生徒に尋ねる。 ・答えたカードの枚数の最大の場合のカー ドを尋ね、生徒が答えた条件のカードを 黒板に貼っていく。 ・生徒が気づいたカードが正解かどうかは 確かめない。 15 個 人 ↓ 学 級 集 団 確 か め る ３ カードの並べ方をみんなで確認する活動を 行う。 (1) 調べる段階でつくったカードを基に結論を 導くようにカードを並べる。 (2) カードの並び方をみんなで確かめる。 (3) ∠ＢＡＤと∠ＣＡＦが等しくなる理由を考 える。 (4) カードを付け加え、論理が飛躍している部 分をつなぐ。 ・調べる段階でつくったカードを基にして、 カードの並び方を図形の性質を基にして 確かめていく。 ・∠ＢＡＤと∠ＣＡＦに等しくなる角を、 利用 す る 図形 の性 質 と あわ せて 考 え さ せ、図の中に記号を付け、∠ＢＡＤと∠ ＣＡＦと関連するカードをつくる活動を 設定する。 ・∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＦを導く、カードを選 択し、カードを並べる活動を設定する。 ・図の中で、カードの並びが∠ＢＡＤ＝∠ ＣＡＦとなるように矢印で結び、つじつ まが合っているかどうかを確かめる活動 を設定する。 20 個 人 ↓ 学 級 集 団 ま と め る ４ 本時の学習についてまとめる。 ５ 一 斉 ＡＢ＝ＡＣ ＡＤ＝ＡＦ ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＦ ∠ＢＡＤ＝∠ＡＣＢ ∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＦ △ＡＢＤ≡△ＡＣＦ ＢＤ＝ＣＦ △ＡＢＣは、正三角形 ＡＦ//ＢＣ △ＡＢＣは、正三角形 四角形ＡＤＥＦはひし形 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＦ ∠ＢＡＤ＝∠ＡＣＢ ∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＦ △ＡＢＣは、正三角形 ＡＦ//ＢＣ D A F B C E
