崩壊問題の動的解析と静的解との比較 : 材料および幾何学的非線形を考慮した鋼構造骨組の動的崩壊解析 その2

【論 　 文】

UDC 　：624

．

Ol4

．

2　：624

．

072 　：624

．

042

．

7

　 　 日 本 窪築学 会 構 造系論 文報 告 集 第 4ZO 号

・

1991 年 2 月

Journal　of　Struct

．

　Constr

．

　Engng

、

　AIJ

、

　No

．

420

，

　Feb

．

，

19

．

　

91

崩 壊 問題

の

_{動 的解 析}

と

静 的 解

と

の

_{比 較}

材料

お よ び

幾何学的非線形

を

考

慮

し た

_鋼構造

_骨

_組

の

_{動的崩壊解析}

その

2

DYNAMIC

　

ANALYSIS

　

FOR

　

THE

　

COLLAPSE

　

PROBLEMS

　

AND

　　

THE

　

COMPARISON

　

OF

　

ITS

　

RESULTS

　

WITH

　

STATIC

　

Amaterial

　and 　

geometrical

　nonlinear 　

dynamic

　collapse 　analysis

　　　　　　

for

　

the

　space 　steel 　

frame

　

Part

　

2

　　　

久

保

田

英

之

＊ ，

和

田

　章

＊ ＊ ，

林 　賢

一

＊ ＊ ＊

Hideyuki

　

．

KUBOTA

，　

Akira

　

WAI

）

A

　and 　

Kenichi

且

4

　

YA

盟

1

　

There

　are　many 　

difficulties

　in　the　nQnhnear 　statical 　analysis 　

for

　the　collapse 　of　structures

，

　In the　case 　of　considering しhe　discontinuity　of　the　mechanical 　

behavior

　of　a　materials

_，

　

further

hardships

　will　obstruct 　to　obtain 　a　_gQQd　solution 　

because

　of　the　abrupt 　

dropping

　of　the　strength

．

AII　structural 　problems　which 　many 　researchers 　had　treated　as　sta 巨cally　should 　have　a　

dynamic

effect 　tacitly　such 　as　the　

inertia

　

force

　of　the　own 　weight 　of　

deforming

　structural 　element

．

　

At

　the

critical 　or　

llmit

　_pomt

，

　the　inertia　term　will 　

help

　to　solve 　the　equlibrium 　eqations

．

　

In

　this　_paper

，

　a　comparison 　

between

　statical 　analysis 　method 　and 　

dynamic

　is　

done，

　and　three

numerical 　examples 　show 　the　eHectiveness 　of　the　

dynamlc

　method

．

　1

．

　 yielding　and 　

breaking

　analysis 　of　straight 　

bar

　2

．

　snap　through 　problem　of　ret 重culated 　space 　truss

　

3．

　material 　and 　_geometrical　nonlinear 　analysis 　of　

double−layered

　space 　frame

　

Keywortts

；

dyiamic

　analysis

，

　collaPse

，

　nonlinear

_，

　sPa‘eframe

_，

　

buckling



’

1．

序 　 論 　すべ て の力 学 現 象は

，

た と え そ の変 化が緩い と し ても

，

広 義の動

11

勺問題 と考え るこ と がで き る

。

力 学 現 象 を

，

釣 合い_{状 態}の_{変 化}と して_静的に扱うこ とよりも， 運動 状態 の_変化 と し て と らえ た方が実 現 象に忠 実であ る。 　 我々はこの考えに基づ き実 現 象に忠 実な解 析モ デルを 設定し， そ の モ デル を用い て数 値 解析によ り 構 造 物の崩 壊 挙 動 を 追 跡する こと を目標と して い る。 　その 1凵_{で は} 材 料お よ び幾 何 学的非線形 を考慮し た動 的 構 造 解 析 法の提 案と

，

不 安 定 現 象を 生 じ る 簡単な例題 に よ る解析 法の確 認につ い て論 じ た。 　その中ではま ず

，

節 点に存 在 する回転自由度を消去し 並進 自由度だ けの運 動 方 程 式 を導く手 法

，

解 析 手法の基 礎と し た静 的 解 析 法か らの改 良 点につ いて述べ _た 。 　つ い で

，

非 線 形 問 題

，

不 安 定 問題の _解の _{存 在 条 件}と動 的 解 析 法をそ こに適 用 す る 是 非に つ い て 論 じ

，

エ _ネル ギ

ー

的 立 場か ら 動的解析 法による解の解 釈を行っ た

。

　例題 と し て

，

直線部 材の引 張 破 断 問 題と圧 縮 座 屈 問題 を解析し， 静 的 解 析 法の適 用し に くい不 安 定 問題で あっ ても動 的 解 析 法 を用い るこ とに よ り解を得られ ること を 明らか に し た

。

　本 論 文では

，

直 線 部 材の引 張 破 断 問 題

，

網状ス ペ

ー

ス ト ラスの非線形解析， 実 験の行わ れ て い る実 規 模 構 造の 複層立 体 トラス の非 線 形 解 析につ い て

，

載 荷 速 度 を変 化 させ た考 察 等を行い

，

従 来 静 的に解か れ ていた問題 を動 的に扱うことの意 義と有 効 性につ い て述べ る。

2．

動的解 析 と静 的 解 析 　 静 的 解 析は動 的 解 析の特 殊な もの である と考え られ る

。

　こ こ で は単純 化のた め

，

減 衰がない理 想 的な状 態を仮 定する

。

構 造 物の 剛 性K は時 刻 tの状態の ま まで t＋ At まで変 化し な い と す る と

，

時 刻 t＋

At

に お け る 運 動 方 程 式は式 〔1）の よ うに書け る

。

　 　　

Mat

，At＋KtAx ＋ft

＝

Ft，

．

。t

………・

…’

・

……・

・

（1＞ こ こに

M

は質量マ ト リッ クス， a は加 速 度

，

　 Ax は増 　1 _{日本 電 信 電 話 株 式 会社} ＃ _{東 京工 業 大 学　教授}

・

_工博 ＃ ＊ _{東 京工業 大学 　 大 学 院生}

NipPon　Telegraph　and　Telep卜Qne　

Corporahon

Prof

．

，

Tokyo　Institute　of　Technobgy

，

　Dr

．

　Eng

．

Grad

_．

uate 　Student　of　Tokyo　Institute　of　Tec卜nology

分変 位ベ _{ク ト}ル

，

’ は構 造 物が発 揮 し て い る内 力

，

F は外 力ベ ク トル である。 ま た添字 t

，

t＋

At

は そ れ ぞ れ 時 刻t

，

t＋At にお け る値であ る

。

　式 （1）で慣 性 力

Ma

が_恒等的に

0

で あると する立場 が 静的解析で あ り，

0

で な く て も構わ ない とす る立 場 が 動 的解析である

。

　慣 性 力Ma が無 視で き る の は次の 2つの_場合である

。

1） M が無 視で きる_， す なわ ち大 変 軽い

。

し かも積

Ma

が無 視できる程 度の a である

。

2＞ a が無 視できる_，すな わち変形が_大変緩やか であ る。 しか も積 〃 ご が無 視で き る程 度の

M

で あ る

。

　

M

は あ る程度大き く な るの が 通例で あり

，

仮 定 1は 考え に くい の で

，

仮定 2 に帰 着す る。

一

般に静 的 解 析が 行わ れ るの は

2

の仮 定に基づいてい る と考え ら れ る

。

　静 的 解 析 を行う た めに は_， 式 （1）か ら慣 性 力の項 を 除い た式 （2）が常に成り立つ こ と が必 要で あ る

。

　 　 　KtAx 十

ft＝

F，＋at

・

…………・

………・

……・

…

〔2） 　 外力変化が非 常に緩や かであっ た と して も そ の応 答が 緩 や かであ る とは限 ら ない

。

た と え ば 系に材料非線形

，

あ るい は_{幾何 学的非線形}を示す部分が存在し

，

部 材の座 屈や破断に伴う急 激な変化が生じ る と

，

部分的に大き な 加速度 が 発 生 し

，

式 （

2

）の前 提 が 必 ず し も 成 り 立 た な く な る。 　材料 非線形を例に と る と

，

部材の破断 現象は内力 の 急 激な減 少をもた ら す。 式 （2）が成り立つ と する な らば

，

内 力の_{急 激}な減 少は

，

外 力が ほ と ん ど変わ ら ない こと を 仮 定す れば

、KtAx

が 急 激 に増加す るこ と を意 味す る

。

．

_{部材の破 断に よ} っ て剛性が 増 加 す ることはないか ら

，

結 局 Ax が急 激に増 加する_， すな わ ち変 形が急 激に進 行 す ることに な る

。

そ の ため

，

式 （2） を 満たす よ うな Ax を静 的に求め る ことは通 常 大 変 難し い ことに な る

。

　 ところ が 式 （1）の下では

，

部 材の破 断 現 象が発生 し た と き は

，

’ の減 少 分ci〃

Mat

_．rlt＋

KtAx

で吸 収さ れ る。 加 速度は_変位

，

時 間と独立で はない か ら

，

式 （11 を満 た す よ うに

Ax ，

　at．dt を定め ること は可 能であ る。 　シェ ル など幾何学 的非線形性が強い場合は

，

静的な釣 合い経路が非常に複雑にな ること が あ る。 こ の ような時 間の経 過 を 無 視 し た釣合い経路 を求め る ことは力 学 的お よ び数 学 的 研 究と して の意 味は大きいが

，

実 現 象の解 析 を 目 的 と す る 場合に は

，

そ の結 果の意 味 付け は難し い と 考え る

。

釣 合い 経 路 を 求 め た だ けで は

，

外 力に対 す る構 造 物の応 答 を 求め たことにな ら ないか ら で あ る

。

3．

解析方法 3

．

1 概 　 要 　解析手法の基本的な考え方は そ の ユ1） で述べ _た 。 こ こ では要点だ け を ま と め る

。

1 ）動 的 数 値 解 析に は_{運 動 方 程 式}を短い_{時 間 間 隔}で逐 次 積 分し てゆ く直 接 積 分 法の

一

種である Newmark

一

_{β法 （β}

＝1

／4：定加 速 度 法 ）を用いる。 2） 解 析で用いる自 由度は1節 点につ い て

，

並 進 3成分

，

各軸回りの_{回 転}3_{成 分}で ある_{。 本論文}で は_部材と して_鋼 管 を用いてい るのでこ の

6

成分の 自 由度に よっ て解 析い るいる

，

H型 鋼の よ うな開 断 面 部 材の解析の ために断 面 の そ りを考 慮し た解 析 も行え る よ うに理 論 展 開し てあ る

。

3

） 回転 自 由度の項に は慣 性 力 お よ び外 力は作 用せず 骨 組の_各節点に おける並 進 運 動の_項だけに_慣性が_作用す る と す る

。

4） 構 造 物の 剛 性は時 刻 tの 状 態の ま まで t＋

At

まで 変化し ないと する

。

3

．

2　 収 束 計 算 　本 研 究で は各 積 分ステップで外 力と （ひずみ に よる内 部 節点 力＋慣 性力〉との釣合い を チェ ッ ク し

，

釣 合い の 精 度が 悪 け れば_{収 束計算}を行うことに よ り精 度を確 保し てい る

。

し か し

，

以下の_例題で は

At

を 十分に小さ く取っ て い る の で収束 計 算の必 要は な か っ た

。

4．

数値解 析 例

1一

単純引張 問 題 　こ の問 題 は_， その lnで も 取 り上げ た

，

図

一

1の よ う な直線 部材を材軸方 向に引 張り， 破 断さ せ る とい う簡単 な もの で あ る

。

本 解 析 例は

，

破 断 を伴う急 激な状 態の変 化に よ りa＝

O

_とい う 静 的解 析が可 能で あ る た めの前 提 が崩れ る た め， 動的 解 析によ ら な くて は厳 密な解は得ら れ ない

。

　こ こ で は

，

3種 類の載 荷 速 度に対 して解 析を行い ， そ の結 果を 比較 検 討する。 4

．

1 解 析モ デル 　表

一

1に諸元 を示す

。

な お部 材の途中に は質量 を置か な い。 表

一

1 材 料 定数等 R 名称 記号 　 　 数値 　 　 単 位

9

：

］

ddL 1 _{内部 筋点} M δ F 図

一

1　単純 引張 問 題 部材長 ’ 2

．

om 軅 ぱ 0

．

1m 内 径 dL0

．

09m 囀 41

．

49xlO

−

3m3 弾 性 剛 性 E2

．

06× 101， Pa 塑性剛性 EP5

．

15xlO8Pa 降伏 応 力度 σ_， 235xlO6P ＆ 降伏ひず み ‘ ” 1

．

14xlO

−

3 破 断ひずみ ε61

．

14

・

×10

嘗

1 質量 M1

．

00xlO2Kg 弾性固有周期 T5

．

07xlO

−

38 降伏後 固 有周期 r5

．

07x10

’

33 稠 分間隔 △ε LO ×10

−

4s

　外力

F

［

N

］は時間

t

［sec _］の関 数と して式 （3）

に従っ て作 用 さ せ る

。

　　 　

F

（t）

＝

＝

ξ

ttt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

…

　

tt・

…

　（3｝ ξは載 荷速 度 を表すパ ラメ

ー

タ である

。

文 献1） と同 じ

ξ＝ IOT ［

N

／sec ］ （以下 case 　F と呼ぶ ）の ほ か に

，

速 度

の小さ な IOG ［

N

／sec］（以 下case 　M と_呼ぶ ）

，

ユ05［N／sec _コ

（以 下case 　

S

_と呼ぶ ）の全3ケ

ー

ス の解 析を行い

，

結 果 を比 較する

。

4

．

2 解 析 結 果 　今 回の解 析では材料の力 学的牲 質に速度の影 響を無 視 し

，

中 間の_質量を考慮し て いない た め

，

反 力

R

と変形 δとの 関 係は図

一

2に示 す よ うに ξに よ らず同 じで あ る。 　反 力 R と時 刻を ξで基 準 化し た もの との関 係は 図

一

3 の よ うに な る。 また加速度 α と時刻 を ξで基準化 し た もの との関 係は図

一

4の ように な る。 系に減 衰を考 慮 し て い な い た め

，

図

一

3

，

図

一

4ど ち らの関係に も 固有 振 動の影 響が見ら れ る

。

　固有周期は降伏前

5．

07

×

10

−

3 _［sec _］， 降 伏 後1

．

02× 10

−

L ［sec_］で あ る

。

固有 周 期は _ξに よ らず

一

定で ある

0

一

₁ 　

一

2R ［105N］ 　

−

3

一

₄

一

₅ 　

一曾

3　

一冒

25　

− ．

2　

− ．

15 　

− ．

1　

−

O

．

05　　0 　 　 　 　6回 　 　 　 図

一

2　 変 位

一

反 力 関 係 0

一

₁ 　

一

2R ［105NI 　

− 3

一

4 01 　 　 2　 　 3　 　 4 　 　 　 t_！ξ［10

−

5sec2 ／N_］ 　 図

一

3　反力時刻 歴 56 ］

一

0

一

₁

一

₂ 　 　

一

3 α［103m！s21 　 　

−

4

一

₅

一

₆

一

₇ 　 012 　 　 3　 　 4 t1ξ［lo

’

5sec2！N］ 図

一

4 載 荷 点 加速度時 刻 歴 56 の で

，

ξ が小さ く現 象に 時 間 を長く要する もの ほ ど

，

固 有 振 動 数の_{影 響}が相 対的に目立た な く な る

。

具 体 的に は case　

F

_{で は降 伏まで約}

7

_回 ，　 case 　M で は約70回

，

case 　

S

_では約 700_回の振 動が起こっ て いる

。

　 こ の振 幅は 1／4固有周期の間の変 位量で決 定 さ れ るの で，載 荷 速 度の小さい もの ほど振 幅も小さ く なっ ている

。

加 速 度の変 動 も同 様の理由で_載荷速度の小さい もの ほど 小さくなっ て い る、 こ の 関係 は 降 伏 後 も変わ らない

。

こ れら の こと が

，

ξが小さい もの ほ ど時刻 歴が直線 的に な る理 由であ り

，

外 力 の変化につ いて考えると

，

問 題 を静

一

的に扱っ て いることに近 く な る

。

　 　 　 　 　 e 　図 中a _点で降 伏し た後は_{降 伏}に よる剛性低 下の た め に 固 有 周 期が約

20

倍に_伸び る

。

case 　

F

で は固 有 周 期の 1／4程 度の時 間で破 断ひ ず み

b

点に 達 し破 断する が

，

case 　S _{で は破 断まで固有周期}の 90 倍程 度の時 間を要す る

。

　

b

点で破 断 し た 後 は Mα

＝

F（t）の 直線に乗る こと が 分か る

。

　こ の解 析 例で分か るよ うに

，

部 材の状態の_変化によっ て系に大き な加速度が 急 激に発生す るこ と がある

。

慣 性 力を無 視 し た静 的解析 法で は この よ うな現象 を扱うこ と は難しい。

5．

数値解 析 例

2一

網 状 スペ

ー

ス トラス 　図

一

5に示す解析 例題は多くの研 究 者 （たとえば半 谷 ら31

，

Tachibana“

，

　

WilliamssJ

，

　

Zienkiewicz

らa ）

，

　D

．

Karamanlidis らη

_，

　K

，

　Kondoh らs 〕な ど）が解 析を行っ て き た有 名な網 状スペ

ー

ス トラス の snap 　through問 題 である

。

かつ て筆 者ら も文 献

g

）で静 的 解 析 を行っ た。 　こ の例は釣 合い経路

一

ヒに特 異 点を持つ _{構 造 物 で}

，

_{通 常} の手 法では解 析する ことは難し い。 5

、

1 解 析モ デル 　部 材はすべて同

一

の_材料

・

断 面と す る

。

こ こ で は鋼 材 を想 定 し ヤン グ係 数

E

； 2

．

06×1011 ［

Pa

］ ， 断 面 ＆

’

_A

_・

_＝

一 45 一

0

一

₅₀ F［10

−

4EA ］ 　

− 100

一

₁₅₀

　　　　　　　 ↑

_Pt9 z

，

E

_．．‘ 9’ u_〈：

i

 ． 　 　 　 　 L

＿

星 」 単 位：m

一

₂₀₀ 　 　 　0 図

一

5 網 状スペ

ー

ス トラス問題 12 　 　 　3　 　 　4 　 　 tlsec】 図

一

6　 外 力 時 刻 歴

5

6

4

．

77×ユ0

−

z ［m2 ］と する

。

部 材 は常に弾 性 を 保 ち 個材座 屈は 生 じ ないものと し

，

また部 材 接 合 部ばすべ て ピン接 合と す る。 　載荷点であ る中 央の節 点に 2

．

82×IO4 ［kg］

，

それ以 外の_節点に

2，

59×IO2 _［kg_］の質 量を付 加し て質 点と す る。 　こ の_状態で総 自由度 数21

，

固 有 周 期は 1次が0

．

354 ［sec _］

_，

2次 が O

．

0513 ［sec_］

_，

21_次が0

．

00256 ［sec_］

であ る。 　 滅 衰マ _{ト リ}ッ ク ス は

，

初 期 剛 性か ら求め た1次固有円 振 動 数 ω，と そ れに対する減 衰 定 数 h，よ り2hi ／ωtを求 め

，

現 時 点の剛性マ _{ト リ}ッ ク ス に乗じ る瞬 間 剛 性 比 例 型 とし

_，

並 進 自 由 度の項に作 用 するものとす る

。

　節 点 ユ の 2 方 向に外 力

F

を 作 用 さ せ る

。

外力 は 図

一

6に示すように最 大 値は 150 ［10

−

4EA _］と し， 外 力 を

0

に戻す まで の秒 数の違いで 2ケ

ー

スの解 析す る

。

す な わ ち

，

2 ［sec _］後に 0 に戻る場 合 （case　

F

_）と

_，

　case

F の 3倍の時 間 をか け る case 　

S

の 2ケ

ー

スである

。

0

一

₅

一

_10dfm 】

−

₁₅

−

16

．

432

一

₂₀

一

₂₅ 　 　 0

0

一5

一

_10d ［m】

−

₁₅

−

16

．

432

一

₂₀

一25

　 　 0

．

5 1t 【sec_】 1

．

5 図

一

7 変 位 時 刻 歴 ［case　F_］ 2 100 0 　

一

100 P_［10

−

4EA ］ 　

−

200

一

₃₀₀

一

₄₀₀

一

₅₀₀ 1　 　 2　 　 　3　 　 　4　 　 　5 　 　 　 t［sec_】 図

一

8変 位 時 刻 歴 ［case 　S_亅

6

0　 　 　 　

．

5　 　 　 　 1　 　 　 　1

．

5 　　　 　　　 　　 　t_［sec_］ 図

一

9　 中央 点 内 力 時 刻 歴 ［case　F］ 2 　積 分 間 隔は O

．

　OOI _【sec］

，

減 衰 定 数

h

，は 3％ と す る。 5

．

2 解 析 結 果 　図

一

7

，

8は中央の _節点 1の z 方 向 変 位の時 刻 歴で あ る

。

a _点において構 造物は 反転 位 置に達して い る。 質 量 は節 点1に大き く偏っ て い る た め

，

こ の 節点の 挙 動が全 体に支配的であ る

。

この例は減衰が あ り

，

最 終 的に荷 重 が 0にな る た め， 反 転 位置で振 動が収まっ て いる。

100 0 　

一

1dO P［lo

−

4EA _】 　

−

200

一300

一

₄₀₀

一

₅₀₀ 100

0

　 　 1　 　 2　 　 3　 　 4　 　 5 　 　 　 ¢_圜 図

一

10　中 央点反 力 時 刻 歴 ［case　

S

_］ 6 0 　

一

100 P_［10

−

4EA ］ 　

−

200

一300

一

₄₀₀

一

₅₀₀ ← d

冶 認

論

ノ

　　　　

7

丶 　 　 　 　b

一

₂₅

−

₂₀

−

₁₅

−

₁₀

−

₅ 　 　 　 d［m _］ 　 　図

一

11　中央 点変位

一

内 力 関係 0 　 加 力 点の z 方 向 内 力の時 刻歴 を表 し た もの が 図

一

9

，

lGで

あ

る

’

1

構 造 物が反 転 位 置に達 し た後

，

内力の _変動 が激 し く な り

，

急激な運 動 が生じ て い る こと が 分 か る

。

　図

一

ユ1は節 点1の 2 方 向の 内 力 と変位の関係で ある

。

b

点までは 静 的 解 析結果 とほぼ

一

致 して い る

。b

点 を過 ぎ る と自ら変 位 を 進め ようと す る力が発 生 し

，

snap through 現 象が 起 こっ て い る の が分か る。 こ の snap through現 象は載 荷の 遅い case 　S の _方が載 荷の 速い case 　

F

に比べ_{相 対 的}に急 激で あ ること が 分_牟る

。

その 後 c

−d

点 問で振 動 し ながら減 衰し反転位置

E

点に落 着 くが

，

こ の c

−

d_{点 閙}に描か れ る曲線は

，

この _{構造 物}の 初 期 状 態に対し て z 方 向上向きに外 力を作 用さ せ た 場 合の原 点か ら描か れ る曲 線と同

一

である

。

　

な お， こ こ で示 した反 転位置と は

，

節 点 1の 2 方 向 変 位が

一

16

．

432 ［m ユの 時を指 して い る。 ま た図

一11

に お ける静 的 解 析 結 果は文献9）におい て得られ た もの である。 　こ の よ うに

，

実現象に忠 実に

，

系が運 動 を 起こすこと を考慮す れ ば

，

釣 合い経 路 上の特 異 点を超えて の解 析が 司

．

能である

。

較 材

：

節点数

．

呂2 郁材凱92 89

．

1φx32 山

＝

関

．

8 ・_，

＝

3

、

41・1伊IP司 N_，

＝

2

・

肘・105四

一

● 支点

　　．

．

  載荷点 斜材

：

60

．

5φx3

．

8 λ

＝

86

、

6 σ

，

訓

．

03×1皚 P 司 馬

＝

2

．

了3xLOじ圖 E

＝

2

．

06×10且互［Pa］

，

8

＝

2

．

06xl困P

己

1

p

a

｝

2000　 　 　2000　 　　2eOO　　 　2000　　 　2000 図

一

12　複 層立体ト ラス構 造 物の解 析 例

6．

数値解析 例

3一

複 層 立 体 トラス 　そ の

11

］ と本 論 文の 4

，

5で は簡 単な例 題を用いて

，

従 来 静 的に扱わ れ て き た問題 を動 的に扱う意義につ いて述 べ てきた

。

こ こ で示し た方法 を実際に設計さ れ建 設され る規 模の構 造 物に対して も応 用す ることが できれば， 設 計の時 点で構 造 物の 力 学 的 性質を最終崩 壊ま で把 握で き

，

非 常に有 意 義である

。

こ こ で は

1984

年に実 験 が 行 わ れ た立 体 トラス構 造1°） を例 題と して この_解析法を適用 し てみ る

。

こ の実 験は文 献

2

｝で も 比較対象と し て扱っ てい るQ 　 解 析に要 した時 間は CRAY

−

2 を使っ て lcase につ き

CPU

で 3時 間 程 度で あ り

，

現時点で は実用的と は言え ない

。

し か し計 算 機の 進歩に は目覚ま しい ものがあり

，

近い将 来には実用 的 な 計 算時間で 処理で き る よ う に な る と考え る

。

6

．

1 解 析モ デル 　 こ の解析 例は図

一

12に形 状を 示す 複 層 立 体 トラス構 造 物で ある

。

　各 節 点の質 量は

，

その節 点に取りつ いてい る部材の_質 量の み からな るとす る

。

す な わ ち

，

各 部 材の_質量 を その 部 材の両 端の節 点が均 等に負 担 する ものと して定め る。 　解 析の境 界 条 件は

，

図

一

12中 ●で示す点を 鉛直方向 に_支持し

，

▲ で示す点 を水 平 方 向に支持す る。 　 各 部 材の端 部は節 点に剛 接 合し てある_もの と す る。 　 荷 重は中 央 部 下 弦 材の 4交 点  に均 等に作 用さ せ る

。

　 解 析は載 荷 速 度の違い により 2通 り行う

。

静 的 解 析で の最 大 耐 力 （約 50　ton　＝ ：4

．

　9xlo5 _［

N

_］〉の_{約 2}倍が 1秒 後に_作用 す る よ うにす る case 　

F ，

5秒 後に作 用する よ うにす るcase 　

S

_{で あ る}

。

いずれ の場 合 も荷 重が

一

定の

一

₄₇

一

o

一

_〇

_．

₀₂

一

_〇

_．

_04d ［m _］

− O ．

06

一

_〇

_．

₀₈

一．

1 　 　

0

　 　 0

．

3／2

．

O t_［s  】（ca8e 　F_！case 　S_） 図

一13

　 中 央点 変 位

一

時刻 歴 O

．

6／3

．

0 0

一

₁ 　

一

2R ［1（_糊 　

一

3

一

₄

一5

　

− ．

1 　 　 　 　

一

〇

。

05 　 　 　 　 　己_回 図

一

15　反 カ

ー

変 形 関 係 o 0

一

₁ 　

一

2H ［1PtNl 　

−3

一

₄

一

₅ 　

0

　 　

0 ．3

／

2 ．

O

t_［sec_］（c畿 F！case 　S_） 図

一

14　反力時 刻 歴 割 合で増加す る よ うに作 用さ せ る。 　こ の 構 造 物 は

87

自 由 度あ り

，

0

．

0436秒，　 2次，　 3次 が 共 に 0

．

0372秒

，

0

．

00168秒で ある

。

O ．6

／

3 ．0

固有周期 は 1次が

87

次 が 　 数 値 解 析の時 間積 分の間 隔は 0

．

001秒とする

。

6

．

2　 解 析 結 果 　図

一

13 に中 央 点の _{鉛 直 変 位}の _{時 刻 歴}を示す。 また図

一14

に支 持 点 （図

一12

の● ｝の 鉛直方向反 力の 時 刻歴 を 示 す

。

図

一

15には 反 力 と 鉛直 変 位との関 係を示す。 図中に_示し た 「実 験 結 果 」は 上述の _{実 験 結 果}lo） であ る。 　 解析結果と 比べ

，

_{実 験 結 果}の方が反 力が小さい のは

，

実 験では部 材 端 部が細くな っ ており

，

ボル トに よ り接 合 して いる のに対 し

，

解 析で は

一

様 な 太 さで節 点で剛に接 続 して い る もの と仮 定し た ためであると考える

。

図

一

13 の 曲 線の折 れ 曲 が り a 点は

，

中央 上 弦材が 塑性座屈す る ことに よ り生じて い る

。

ゆっ く り 載荷 し た case 　

S

の_方 が例 題2の場 合と 同様に座屈後 急 激に変形 が進行し

，

こ の間の支 持 力は ほ と ん ど増 加し てい ない こ と が分か る

。

　a _点で上弦 材が塑 性 座 屈し たあと_， 静 的 解 析と動 的解 析と は反 力

一

変 形 関 係が異なっ て い る。図

一

ユ3によれ ば

，

　 　 4 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2 　 　 　 　 丼

1

_醐 　 　 0 　 　

−

₂　

一

₄

−

₀

_．

₀₆

_−OgO4



_{− 0 ．02}

　　　 　　　 　　 　　 d［m _］ 　 　 　 図

一

16変 位

一

軸 力 関 係 ［case　F_］ 4 2 N _［10SN_】1 　 　

0

一2

0

一

₄

−

₀

_．

₀₆

−

_O

_．

₀₄　 　　 　

−

0

．

02 　 　 　 d［m］ 　 　 　 図

一

17　変 位

一

軸 力 関 係 ［case 　S_］

0

座屈 後急激に変形が進 行し て い る

。

こ の時の加 速 度によ る慣 性 力の_{影 響}で全 体の変 形が変 化し たものと考え る

。

　図

一16

か ら

18

に中 央 部の変 形と代 表 的 部 材の軸 力と の関 係 を 示 す

。

座 屈 発 生 までは どの 解 析 法でも 同 じ結 果 で あ るが_， 座屈 発生によ り急 激 な 運 動 が始ま る と

，

質 点 に作 用す る慣 性 力の影 響で

，

変 形が運 動 状 態に よっ て異

4 2 丿v_にOSN_］ 　 　

0

一2

一

₄

−

₀

_．

₀₆

一

〇

．

04d 回

一

_〇

_，

₀₂ 図

一

18　変位

一

軸 力関 係 ［静 的 ］ な る た め

，

微妙な違い が見ら れ る。 0

7．

考　察 　例 2

，

例

3

の よ う に静 的解す な わ ち釣 合い経 路が得ら れ てい るものと 動 的 解 を 比較す る と

，

載 荷 開 始 当 初は同 じ変 位

一

荷 重 曲 線を描 く

。

幾 何剛性の _{変 化}あ るい は塑 性 化に よる剛 性の低 下によっ て変 形が急 激に進行す る よ う に な ると

，

静 的 解 析 解と

，

動 的 解 析解 とで違 う変位

一

反

　　　　　　　げ

力関 係に な る。 また

，

動 的 解 析で あっ て も_， 載荷の仕 方 に よっ て も か なり異なる変 位

一

反 力 関 係になる こ と も 分 か る

。

その_他に も質量の 分布形に よっ て も挙 勤が異な る川 。 これら はすべ て動的解析の場 合に質 点に作 用す る 慣 性 力の影 響であると考える

。

8．

結 　 論 　構 造 物に外 力が作 用 し た時の_挙動を

，

材料の構 成 則

，

釣 合い条 件

，

適 合 条 件の 3つ の

_基

_{本 式}を用い て_， 静 的な 釣 合い条 件の変 化と考え て_{解 析}す る方 法が静 的 解 析であ る。 つ まり構 造 物に生 じ る加 速 度

，

速 度は 無視で き る と 考えて いる。 　静 的 解 析 は構 造 物 が安 定 範 囲に あ る と き に は_{， 外}力に 対 して生じ る変形， 応 力状態 が 1対 1に対 応し

，

その結 果 得られ る変 形

，

ひずみ

，

応 力は構 造 物の力 学 的 挙 動を 理解す る の に非 常に有益で あ る

。

　構 造 物が不 安 定状 態に入っ た後の挙動の 解 析につい て も

，

静 的に与え た外 力 と構 造 物の抵 抗の釣合いとい う考 え方で解を得る研 究は数 多くな され ている

。

し か し

，

本 論 文で述べ たよ うに_， 部 材の_{座 屈， 破断}な どによっ て構 造 物の中に急 激な変 化が生じ た と き

，

あ く まで外 力と構 諠 物の抵 抗の釣 合い を保つ とい う考え方で解を得る こと は非 常に難しくな る

。

　実 際 現 象とし て も構 造 物に は質量 が存 在し

，

急 激な構 造 物の変 化に は大き な加速 度

，

速度 が 生 じ るか ら

，

こ の ような不 安 定 問 題は動 的に扱う方が合理的で あ る と考え られる

。

　その 1に引き続き本論文では 3つ の例 題を用い

，

特に 外 力の作用 時 閙 を 変 数 と して数 値 解 析を行い_考察する こ と に よっ て， 不安定問題の構 造 解 析 を動 的に扱 うこ との 有 効 性を示し た

。

　動的解 析は こ の よ うに 利 点 が多い が

，

膨 大な計 算を 必 要と す る とい う欠 点が あ る。 解 析 例か ら分か るよ うに

，

構 造 物の最 も長い固 有 周 期の 数倍の_時間に わ た っ て解析 し な け れ ば

，

構 造 物の 固有振 動の影 響 を 強 く う け る。 　

一

方で

，

数 値 積 分の制 約か ら， 構 造物の最も 短い固 有 周 期 より短い積 分 刻み で積 分 を行わ な け れば発散 現 象を 起こ して しま う

。

し たがっ て

，

数 千

，

数万の時間ステッ プにわた り非 線 形 解 析 を行わな けれ ばな ら な く な る。 　 次には

，

部 材の中 間にも 質量 を分 布させ て部 材 内の動 きに も慣 性 力 を考 慮し な が ら構 造 物の非 線形 挙 動 を 追 跡 することを考え て い るが， こ の場 合， 最短固有周期は本 論 文で扱っ たもの より さ らに短く な る難 し さ が あ る_。 　 自然現 象は連 続 的な現象で あ り

，

数値解 析 に用い てい る時 間 刻み At は必 要な く

，

載 荷 時間 はい く らで も 遅 く す ること がで き る。 わ かりやすく言い換え ると 自然界は 無 限 回の_積分 を行っ て い る こ と に な る

。

　以 上 述べ _{て き た ように}

，

_{現 状の計 算 機に よ} っ て自然に 起き ている現象を そ の ま ま再 現しよ うとする の は非 常に 難しいが

，

計 算 機の 能 力の 向上に は目 覚まし い もの があ り， 近い将 来こ の よ う な解 析を行うことも可 能になると 考えて いる。 参考 文 献 1） 久 保 田英 之

，

和 田 　 章 ：崩 壊 問 題の勤 的 解 析 法

一

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