数値解析手法による薄板のせん断座屈後挙動に関する研究

【論 　 文 】 　 　

』

日本 建 築 学 会構 造 系論 文 報 告 集 第435号

・

1992年5月

Journat　of　Strdct

．

　Constr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

435

，

　May

，

1992

数値解析 手 法

に

よ

る

_薄板

の せ

ん

断座 屈

後

挙 動

に

_関

_す

る

研

究

　

ON

　

POST

−

BUCKLING

　

BEHAVIOR

　

OF

　

THIN

　

PLATES

層

UNDER

　

SHEAR

　　　 　　　 　　　 　　

FORCE

　

BY

　

NUMERICAL

　

METHOD



’

　　　　

鈴 木 敏 郎

＊

，木 村 克 次

＊ ＊

，

元結

正

次

郎

＊＊ ＊

Toshiro

　

50Z

 

， 檢 広

吻

ゴ

KIMURA

　and 　

ShOjiro

　

MOTOYUI

」

　This　paper　describes　the　relation 　of　

buckling

　

behavior

　and 　tension 　fieid　phenomenon 　of　thin

plates

　under 　shear　

forces

．

’

lt　is　

known

　that　thin　plqtes　under 　shear　

force

　

buckle

　when 　the　

load

　

level

　reaches 　the　shear 　

buck

_二

1ing

　strengt ｝l　at 　

f

主rstε

｝hd　the　stress 　condition 　of 　thin　plates　

belongs

　to　tension 　

field

　afte_∫the　

bUck

．

ling

　

behavior

．

　But　it　is　unknown 　how　the 且ateral 　

displacement

　

distribution

　of　thin　_plates　changes 　

from

　

buck−

ling　mode 　to　wrinkling 　mode

．



ト

　

In

　this　paper

，

　we 　

illustrate

　the　results 　of　calculating 　the　

buckling

　

behavior

　and 　the　post

−

buckling

　

behavior

　with 　

finite

　element 　method 　considering 　_geometrical　non

−

linearity

_，

　and 　clarify the　process　

from

　the　

buckli

・

ng 　mode 　to　wrinkling 　mode

．



・

　

KeywOiils

：shear　buckling

，

　tension　

field

，

　thin　

Plate

，

　geometrical　nanlinear 　analysis

　 　 　 せ ん断 座 屈

，

張 力 場

，

薄板

，

幾 何 学 的非 線 形 解 析

L

序 　純 せ ん断応 力 が作 用し て い る薄 板の座 屈 後 挙 動は_{， 単} 純に圧縮 力が作 用 する場

．

合の座 屈 挙 動とは異な り座 屈し た後も非常に_安定し た挙 動 を示すことは既に多くの論 文 に よ り明ら かに さ れており_， そ の現 象は通 常 張 力 場 理論 を用い て説 明さ れて い る

。

こ の張 力 場 理 論は

Wagner

に よ

・

りプレ

ー

トガ

ー

ダ

ー

の ウェ ブの鋼 板の せ ん断 耐 力が せ ん断 座屈 耐 力 を 超 え たのち も 上昇するという現 象を説 明 す る た めに考え出さ れ た もの で あ り］）

，

せ ん断 座 屈 後 再 び安 定し た挙 動に 移 行し たの ちの 釣 合い _状態を求め る た めに考 案され た工学 的に非 常に有益 な 理 論で あ る

。

その 後

，

様々な 展 開 を 受け， 張 力 場理論は確立さ れ て き た が2｝

．

7LSI

，一

方で ；

’

せ ん断 座 屈 後 どの よ う な過 程で張 力 場に至る の か につ い て は

，

感 覚 的な解 釈は さ れてい る も の の実 際に は不 明確な点 が 多いの が 現状で あ る

。

す な わ ち

，Fig．

1に示す よ うに作 用せ ん断力と代表点にお け る 変 位と の関 係で い う ならば

_，

座 屈 前の_関係 （線形 理論 ） お よび 座屈後か な り耐力が上 昇し た段 階で の関 係 （張 力 場 理 論 ）が 現 在 明ら かに さ れてい るの み で

，

’

そ の間を ど のような経 路で前 者の釣 合い か ら後 者の釣 合いへ 移 行_す る かが明らか に され ていない ので あ る

。

本来張 力 場 理論 は曲 げ剛 性が零とい う非 常に大 胆な る仮 定 をお く こと に より_， 解 析 的に シ ワ発 生 現 象 を解 明可 能にする こ とを目 的とした略 算 的 手 法で あり

，

こ の ような解析 的 手 法は シ ワ 発生現象 の 傾 向 を探る に は最 も適 した手 法である もの の_{， 実 際}の

鋼

板の よ うな場 合 必ず有 限の曲げ剛 性を有レ て お り その曲 げ剛 性の影 響

』

（現 象 上か らみれ ば不 完 全 張 力場に おける せ ん断 座 屈と張 力場との関 係 ）につ い て明 らか にする ことは張 力 場理論を用い ては不 可 能であ る

。

ま た近 年 膜 構 造を対 象と し て張力場の概 念を有 限 要素法 に組み込ん だ解析 手法が

MillerS

〕

，

西村ら！）

・

1°） によっ て 誘 導さ れ

，

さ らに張 力 場上で生 じ る座屈波形 を シ ワ波

o Disp］ac

¢

ITIL

’

tlt

Fig

．

1　Load

・

d

】splacernent 　curve 摩

東京工業大 学 エ 学 部 建 築 学 科　教 授

・

工 博 榊 _{東 急 建 設 構 造設計 部　部 長}

＊＊ ＊ _{東 急 建 設 構 造 設 計 部}

・

_{工 博}

Pro‘

．

，

Dept

．

　o ‘Architec重ure

，

　Faculty　of　

Engineering

，

　Tokyo　Institute of 　Technolegy

，

　Dr

．

　Eng

．

General　Ma 皿ager

，

　Dept

．

　of 　Struct

．

　Design

，

　Tokyu 　CQnstructlon

．

Dept

．

　Qf　Struct

．

　Design

，

　Tokyu 　Construction

，

　Dr

．

　Eng

．

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

（wrinkles _）と折 り目 （

folds

）と区 別 し た上で折り目 につ いて挙 動 追 跡を可 能にす る幾何学的非線形 性を考 慮 し た 解 析 手 法 が

，Contri

ら1 ］

_，

　

Bauer5

）に よっ て提 示 さ れ てい る。 著 者らも後者の論点か ら静的

・

動的両解析を 行い

，

内 部に発 生す る圧 縮 力 を膜 が 解 放し てい く 過程で 折 り 目が生 じ る こ とを 示し た13 ）

・

M ）

。

こ れ らの数値解 析 手 法は複 雑な形 状 あるい は複 雑な境 界 条 件 を有す るものに 対 して も張 力 場 理 論 を適 用 可 能にする とい う点 また巨 視 的に み た張 力 場 発 生 後の挙 動 追 跡を可 能にする点で注目 に値す る が， 当 然の ことなが ら

，

上 述し た有 限 曲 げ 剛 性 を有す る薄 板のせん 断座 屈 と張 力 場 との関 係につ い て そ れ らの解 析 手 法 を用い て明らか にする ことは不 可 能で あ る。 　こ の よ う な薄 板の せん断 座 屈お よ び座 屈 後 挙 動は幾何 学 的 非 線形 問題と して評 価する ことによ り初め て 挙動 追 跡

・

把 握す ることが可 能 となる ことは明ら か であるが， 同様な座屈 問題で あ る 圧縮 力を受け る柱や板の座屈 など が古く か ら座屈後 挙 動も含めた変 形 領 域につ い て究 明さ れ てい るにもか か わ らず

，

せん断 力 下におけ る挙 動につ い て は解析 上の困 難 さのためにその よ うな解 析に よる研 究は十 分に は行わ れ て い な い の が現 状で ある。 　 しか しなが ら

，

様々な数 値 解 析 手 法が確 立 され高 度な 非 線 形 方 程 式の取 扱いが容 易になり様々 な問 題に適 用 さ れ て い る現在

，

張 力 場とい う略 算 的手 法 を用い な くとも 薄 板のせ ん断 力 下での実 挙 動の解 明 も また可 能と なっ て きてい るものと 思わ れ る

。

　そこで本 論 文で は有限の曲げ 剛性を有す る薄 板が せ ん 断 力 を受け る場 合の挙 動につ いて着 目し， 幾 何 学 的 非 線 形 性 を考 慮 し た有 限 要 素 法 を用いて忠 実に挙 動 追 跡する ことで そ の座屈 挙 動お よび 座屈 後の シ ワ発生現 象へ の移 行 する過 程が とらえられ ることを示 すと ともに現 在 推 測 で し か ないせ ん断 座 屈か ら張 力 場へ _{の移 行 過 程に}つ い て 明 ら かにす る

。

2．

解 析モデル 　本論文では

，

薄板の材料特 性と しては等方弾性と し

，

形 態と して は張 力 場を形成す る最も典型的な例と し て 長 方形 薄 肉弾 性 体が せ ん断力 を受け る場合につ いて考え

2node8

　

beam

　

element

Rigid　bea皿 2

8node5

　

sheli

　

element

  E

畳

鳥 配  

羅

X四

、

伽， Zlwρ5〕 mgid　be巴m 　 　 　3

一

₁₁₀

　

一

一

Fig

．

2　Analytical　model

る

。

薄 肉弾 性体の_{境 界}条件として は_， 周 辺 単 純 支 持とす る と と もに微 小 変 位 時に純せ ん断 応 力状 態とな るよ うに

Fig．

2に示すよ うな設 定を行っ て い る

。

具 体 的に は

，

・

_{辺  上}の節 点につ い ては

，

u

，

　v

、

　w の並 進変位成分の み拘 束する

。

。

_{辺     上}の節点につ い て は 並 進変位 成 分の う ち ω の み を拘束す る。

。

_{辺  上}の _節点につ い ては並 進変位成 分の うちw およ び 回転 変位成 分の う ち θ。を 拘束す る

。

・

_{片 持ち梁 状態 か ら生じ る全体的な曲 げ応 力 を排 除す る} た め に辺      上に剛な断面性能 を有す る梁要素を配す る。 た だ し

，

単 純 支 持を表現す る た めに ね じ れ 剛性は零 と して いる。 ま た

，

辺     および辺    の交点は各 梁 要 素がピン接 合とな る よ う に設 定し てい る。 　解 析に用いたモ デル の薄 肉 弾 性 体の デ

ー

タ値 は

，

材 料 定数と してヤング係数

E ＝2100t

／cmZ _， ボア ソン比 v

＝

0

．

3と し

，

ま た 形状デ

ー

タ と して幅 厚 比

b

／t

＝

1000 （

t

＝＝O

．

1 ，

b

＝ 100

．

0）， 辺長 比 α

＝

1

．

5 （a

＝

150

．

Oc皿

，

　b

＝

100．

Ocm

）と設 定 し てい る

。

また周 辺の境 界 梁につ い て は剛 な 断 面 性 能 を確 保 する ために断 面 積 A

＝

1

．

OX105

cm2

_，

断 面 2次モ

ー

メ ン ト1

＝

1

．

0×IO5　cma を設定し て い る

。

　なお

，

実 際に用い た要 素タイ プと して は

，

薄 肉弾性体 の部 分が 8節 点シェ ル要 素］1 ）_であり

_，

周 辺 梁 部 分には通 常の 2節 点 梁 要 素 を採 用して い る。 シェ ル要 素による分 割 数は長 辺 方 向に 16_， 短 辺 方 向に 8 と して い る。 幾 何 学 的 非 線 形 性 を考 慮する場 合の定 式 化とし て は

，

ひずみ な らびに回 転につ い ては変 位に比し小さい _もの と仮 定し て お り

，

ひずみ お よ び応 力につ い て

Green

の ひずみ

，2

nd 　Piola

・

Kirchhoff

_{応 力 を そ れ ぞ れ用 い た}

Tota

_且

・

Lagrange 定式 化を採用している

。

　解 析手順と し て は， まず上 記で設 定した モデル を用い て計 算 式に よる推 定 座 屈 荷 重の 1／4程 度を加 力した の ち 座 屈解 析を 行い_， 座 屈 荷 重お よび座 屈モ

ー

ドの算 定を 行っ ている

。

次に得ら れ た座 屈モ

ー

ドを初 期 不 整と して モ デル に付 加した状 態で辺   の中 央 点の変 位 制 御に よ り 有 限変位解 析を行っ て い る

。

た だし

，

変 位 制 御で解 析を 行う場合制 御点の変 位 が 逆 行す るよ うな現 象は追 跡でき ない。 この よ う な 場合に は

一

_{旦別の釣 合い経 路に移 行さ} せ た後 制 御点の_{変 位}を減少させ る こ と によっ て そ の移行 区 間の挙動 を極 力 再現 す る手 順 を踏んで い る

。

　な お

_，

初期 不 整 として与え るモ

ー

ドの振 幅の大きさに つ いて は板 厚の 1／100とし て い る。

3．

解 析 結 果 3

．

1　 座 屈 挙 動につ い て 　Fig

，

3

は初 期 不 整な しの_状態で_{微 小}な せ ん断 力 を作用 さ せ た と き の線形 座屈解 析の結 果で

，

1次

一

4次の座 屈 N工 工

一

Eleotronio _Library

Fig

_．

_3aBuckling　mode

Fig

_．

_3cBuckhng　mode

i モ

ー

ドの面 外 変 位の分 布 状 態を表して い る。

1

次モ

ー

ド 図 中の

Q

。。t は数値解析に よ る値で あ り，　

Q

。i の値は次 式に よっ て求め た結果を示し た もの であ る

。

　

　

　

Q

・t

−

［

・ 1，

告

9

、、）

（

吾）

1

・

_bt

．．

．．

_{（1 ）}i、） 　 　 　

h＝

5

．

34十4

・

（

b

／α）1 　 両 者は よ く対 応し て おり解析上設 定し た モ デル化が妥 当であ_ること を示 して いるtu1） 。 　既に多く の文

tUil

’ で_報告さ れ てい る よ う に

1

次の座屈 モ

ー

ドは非 常に単 調

．

な波形 を 示 しており

，

張力場におい て想 定して いるいわ ゆ る シワ波 形と は直 接 結びつ _くもの では な く

，

同 様に

2

次 以 降の座 屈 波 形も張 力 場を 想定す る に は不 満 足な分布 状 態と なっ て いる。 　 次に上 記の座 屈モ

ー

ドを 初 期 不 整として与えて行っ た 非 線 形 解 析 結 果につ い て述べ る わ けであ る が

，

膜の よう に板 厚が非 常に薄い場 合に は初 期 不 整に敏 感に_屎応する ために初 期 不 整の_存在状態の_乱れ が その_後の_{挙 動}に多 大

、

な影 響を与え ること が文 献4 ）に記さ れ て ている ご と か ら

_，

まずこ こ で は本解析モ デル の場合 （幅厚 比 ＝ 1　OOO_） の初 期 不 整の分 布 状 態が座 屈およ び座 屈 後 挙 動に与え る 影 響につ い て簡 単な検 討 を行 う。 　Fig

．

3に示 し た座 屈モ

ー

ドの う ち 3次モ

ー

ドお よび4 次モ

ー

ドにつ い て は

．

より低い座 屈 荷 重 点におい て それぞ 注1）：式 （1）は近 似 式であるが辺 長比 1

．

5の場合精算値と 　 　 　よい_{対 応 を示}すこと か ら本 式に て比 較 検 討し て いる

。

1

Fig

．

3bBuckhng 　mode

Fig

_．

_3d

Buckling　 mod ざ

れ ユ次モ

ー

ド_， 2次モ

ー

ドに吸 収さ れ る こ

_．

とは明 白であ るの で省略す るもの とし， 2次モ

ー

_{ドを初 期 不 整} として 与えた場 合につ いて数 値 解析 結 果を通してその影 響を検 討する。 　

Fig．

4に荷 重変 位曲線を示す

。

縦 軸は せ ん断 力

Q

を 1次せ ん断 座 屈荷重

Q

。1で無 次 元 化し た値を

，

横 軸は 図

中

に記 して_各点で の_面外 変 位 W を板 厚 tで除 し た 値 を そ れ ぞ れ表し ている

。

また Fig

．

5はFig

．

4 _中に示 し た 各 荷 重レ ベ ル での面 外 変 位 分 布 状態を示し てい る

、

両 図 か ら， 2次モ

ー

ドで初 期 不 整を 与 えてい る た めに座屈荷 重 点 以 前の段 階

一

A

一

に て そ の モ

ー

ド分 布に応

1

じ た面外変

　　　　　　　

位が増 加している のが わ か る

。

し か し な が ら

1

次 座 屈 点 近伊で極めて数 値 的に不 安 定な状 態と な り

，

別の釣合い 　

QIQ

・1 　 　 　

1．

o

　 △ 　

．

B

冒

△

・

△

・

O．

5

・

A

−

　q！qd

＝

o

．

19

−

Bg　q／Qd

昌

1

、

聞

一

G 　Q／q

・

1

＝

1」3 w _／t

一

_〇

_．

₀₅

₀

_．

₀

_o．

₀₅

_0．

₁₀

Fig

_．

₄Load

．

displacement　curve

0．

15

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

QIQ

・］ 　30

．

0

20．

o

10

．

O

ん

髭

曹

A

・

Q／Qcl

＝

　1

．

OD

−

B

−

　Q〆Qcl

＝

　2

，

14

−

C

−

　Q／Qd

＝

　6

、

31

−

D

−

　Q〆Qd

＝

11

、

31

−

E

−

　QIQci

≡

　s

．

！4

曹

F

曹

　Q〆Qd 冒 30！墨4

　　　　　　／

L’nea 「s°【

’

つ 　 　 　 　

・

D

・

−

_C

−

／

密

γ

　

・▽

．

_急

Fig

，

5a　Lateral　displacement

Fig

_．

_5bLateral　displacement

0』　

−

B

・

　　 　　　　 0

．

5　　　 　　　　　 1

．

O

　 　 　 　 　Fig

．

6　Load

．

d亘splacement 　curve

一

₂

_．

O　　　

圃

1

．

D　　　　D

．

0　　　　1

．

0　　　　2

．

O 　Fig

．

7a　Load

．

Lateral　displacement　curve

Q／Qd

　　

1

　 　

30

・

o

一Ω

昏

叶

一

Q

−

　 　

1

　 　 　 20』 10

，

W ／t

Fig

_．

_5cLateral　displacement

一

4

・

0　　　　　　　

−

2

，

0　　　　　　　　0

．

0　　　　　　　　2

．

0　　　　　　　　4』

　Fig

．

7b　Load

・

late［a ［displacernent　curve

経 路に急 激に移 行す る現 象が み ら れ る

。

移行し たの ちの 面 外 変 位 分 布状態は もは や 2次 座 屈モ

ー

ドの よ う な逆対 称モ

ー

ドで は な く

，

1次モ

ー

ド同様 対称モ

ー

ドと なっ て お り後述 す る初 期 不整 と して

1

次モ

ー

ドを与え た 場合の 解 （

Fig．

10参 照）とよく対応し てい る

。

以上の ことか ら

，

本 解 析モ デル の場 合に は

，

2次座屈モ

ー

ド以 上の高 次の モ

ー

ド形の初 期 不 整の場 合

，

ある_{程 度 変 形}が_{進 行}してい く過 程で 1次モ

ー

ドに吸収さ れ る た め に本論 文で取り扱 うよ うな座屈 後の大 変 形 領 域での_挙動には そ れ ほ ど 影 響 を与え ない_もの と判 断さ れ る。 3

．

2

　座屈 後 挙動につ い て 　こ こ で は 座屈 後さら に変形 が 進 行 し た 領域につ い て検 討 する。 与え る初 期 不 整と しては 上述 し た よ う に

2

次以 上の座屈モ

ー

ドにつ い て は無 視して

1

次モ

ー

ドのみ と し て い る

。

　Fig

．

6

，

　

Fig，

7に荷 重変 位 曲線を示す

。

　

Fig．

6は_荷重 と荷 重 方向の_面内変位関係を，

Fig．

7a，　

b

は荷 重と図 中 に示 した各 点で の面 外 変 位との 関 係を そ れぞれ表し てい る

。

無 次 元 化の方 法は前 述と同 様である

。

　 Fig

．

6か_{ら薄 肉 弾 性 体 内 部}の_{面 外変位}の_{変 動}に かかわ らず 作 用せ ん断 力と荷 重 点にお け る荷 重 方 向変位との関 係は座屈 直後に緩や かに_勾配 が変化 す るがその後は直線 的であ り

，

その_意味で は せん断座 屈後の挙 動は_非常に安 定してい る よ うにみ え る

。

た だ し

，

変 形が さ らに進ん だ 段 階 （荷 重 レ ベ ル

ー

D

−

）に達 し た直 後 数 値 的に極め て不 安 定な状 態と なり

，

その結_果荷重

，

変位と もに急 激に減

一 112一

N工 工

一

Eleotronio _Library

' Fig8a Fig.8b Fig.8c Fig.9aPrmcipaldirection

'

Principal Prlncipal Principal stresses stresses stresses Fig.9bPrincipal ' direction

-113-Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service ArchitecturalInstitute of Japan Fig.10a LateraldispLacement Fig.10c ttt

t t tt

Lateral

-.t

.

,

Fig.10e Lateral displacement

.t

-tt

'

:/

t :,

'

t/tii

ii

displacernent

114

--Fig.11

Bucklingmede Fig.10b

-.tt

Lateratdis

-/4

Jt

i

placement

'

･

Jtt

' + +- i Fig. 10d--i-Lateral

w'

..

t/.

.1,+

-l -+ J- -d --disptacernent Fig.1OfLateraldisplacement Fig12Configuration

少し

一

旦

一

E

一

点に ま で戻り そ の後 再び ほとん ど 同

一

の 直 線上 を 上昇 する とい う逆 行 現 象 （図 中 細 線で示す）が生 じて いる。 こ こ で

，

こ の座 屈 後の勾 配 を完 全 張 力 場 理 論 による解と比 較す る

。

張 力 場_環論による

一

定ひずみ状態 （本 解 析 対 象に相 当 〉で の

Q

−U

_{関 係 は次 式}で与え ら れ る。

　

　

　

Q

一

礬

・

σ一 _臨

・

_・

……・

………・

…・

……

_（・）

　

こ れ か_う座 屈 前の_勾配

Kiin

。ar と張 力場状態で の勾配

・

_Kten

の比 は 次の よ うにな る

。

　　　

K・。 。／・・ineaT

一

 

一

・釧 ・

一

・

，

3）

……・

（・） 　 本 結果 に よる勾配の変 化を

Fig．

6か ら求める と o

．

72 となる

。1

割 程 度 本 解 析 結 果が大き く なっ て いる が

，

後 述 するよ うに境 界 周 辺 部分は張 力 場 状 態と なっ ていない こ とを考 慮す れ ば妥 当な数 値と思わ れ る

。

　 ．

　

一

方

，

面 外 変 位に着 目

「

する とFig

．

7a，　

b

か ら わ か る ように上述の座 屈 解 析に より算 定 され たせん断 座 屈 耐 力

’

点で 1次の モ

ー

ド形の面 外 変 位が増 大す るとい う いわゆ る 座屈 現象が み ら れてい る が

，

その_{後 直 ち}に端 部 近 傍の 点での変位が逆行してお り

，

面 外変位の増 分 状 態が初 期 不 整と して_与え た 座屈モ

ー

ドか ら変 化し て い る_のがわ か る。 せ ん断 力が増 加して い くにつ れこ の ような現 象 がよ り中 央 部に近い点の変 位へ _と徐々 に波 及してい き

，

さ ら に荷重が増加 し た

_，

段 階

一

D

一

に お い て再び数 値 的に不安 定 な状 態と な り全く別の _{釣 合}い経 路に飛び移る現 象 が 起こ る。 特に

Fig．

7b

に示す よ うに中 央 点の面 外 変 位は座 屈 荷 重 点 以降成 長 したの ちジ荷重レベ ル

ー

D 一

に お い_{て 急 激} な変化 を示し実質 上零に_等しい値に まで減 少して い る。 こ の極め て強い非線形 性 を示す現 象を明ら か に す る た め に次に

Fig．

6中に示 し た各 荷 重レベ ル で の応 力度分布 状 態お よび面 外 変位 分 布 状 態にっ い て述べ る

。

　 ま ず

，

．

Fig、8に各 荷 重レベ ルでの最 大 主 応 力

・

最 小 主 　

’

　　　　　　r 応

・

力の分 布 状 態を示 す

。

ただ し

，

図 中の値は次式にて求

　　　

め た値に て無 次 元 化し て い る

。

　　　

a

．

≒筆

’

…

…………・

…・

・

……・

…・

・

………

（・_）

Fig．8a

に示 すように_{座 屈直後}の_荷重レベ ル

ー

A

一

で は極 めて狭い範囲で最大

・

最 小主 応力と もに存 在して お りほ ぼ純せ ん断 状 態が保たれて い る

。

こ の ことは座屈により 生じた_単調な面 外 変 位の応 力 状 態に及 ぼす影 響は小さい こと を意 味す る

。

また座 屈 後 徐々 に薄 板の 中 央 部 分に最 大 主応 力が集 中し始め る

一

方で最 小 主 応 力が減 少し てお り応 力の流れ が

一

方 向を示す よ うになる （Fig

，

8b）

。

そ の_{後 数値 的}に_安定な状態になっ た段 階

一

F 一

での応 力 分 布 状態 は

，

境界 付近

，

特に 2方 向を境界に接してい るコ

ー

ナ

ー

部 分では その 拘 束 効 果に よ り負の最小 主 応 力 が か な りのオ

ー

ダ

ー

で存在している もの の

_，

_中央部分で は最 小 主 応 力 と 最 大 主 応 力 との比 が 0

．

10以下と なっ ており張 力 場に近い状態と なっ て いる。 完全 張 力 場理論に よ る解 と比較す る と

，

無 次元化に用い た応 力度 （式 （4 ）｝が

一

_{様 な ひず}み状 態で の張 力 場 理 論 _によ る解で あ るこ と お よ び本解析 結果が

Fig．

8c1

に示す よ う に中央 部 分で 1

．

0 近 傍の値と なっ てい ること か ら両 者は ほ ぼ対 応して い る こと が わ か る

。

な お

，

荷 重 レベ ル

ー

A − F 一

で の主応 力の 方向を

Fig．9

に示す

。

　

Fig．

ユ

O

は各 荷 重 レベル で の面 外変位分布を示し た も の で あ る

。

まず

Fig．

10a

に示す座 屈直後の_荷重レ ベ ル

ー

_{A 一}

_{での面外変位分布は}

_Fig．3．

_{に示し た座 屈モ}

ー

_{ドと よ} く

一

致してお り

，

圧 縮 力下で の座屈挙 動同様初期不 整と して与えた座屈モ

ー

ドと座屈時の変 位増 分モ

ー

ドが 等 し い こと が わか る。 しか しな が ら

，

荷 重 変 位 曲 線に て端 部 で の_{変 位}が逆行し て い る ことか らも わか るよ うに コ

ー

テ

ー

部の _負の_{変 位 領}域 （青色部分）が 拡 大 してい く ど と も に そ の局 所 的な波 形の極 大 点が中 央 部に移動 して いく 様子 が み ら れ る （

Fig．

10　a

−

c）

。

ま た さ らに変 形 が 進 行 した段 階で の変 位分布図 （

Fig．

Iod

）に はコ

ー

ナ

ー

部に 次の正の変 位領域が生 じ てい る （緑 色 部分）

。

この よ う な新た な波の発 生お よびその 波の中 央 部へ の伝 播の結 果， 中 央 部に おけ る正の変 位 領 域での波 形は振 幅 （面 外 変位 〉が成 長す る

一

方で波 長が次第に短く なっ てい くこ と が わ か る

。

　 　 　 　

．

　 　 　 　

． ・

　 　

、

「

　

」

　

点

一

D 一

に 到るまで

上

述の 現 象は継 続 され る が

，

点

一

E 一

へ _{移 行す る過 程で そ れ ま で対 角 線に対 し て対 称であっ た} 波形が非 対 称な変 位 分 布に変 化してい る。 こ の現 象 を説 明 する ために数 値 的に不安 定に な る点

一

D

一

で座屈解 析を 行っ た結 果 をFig

．

11 に示 す。 図か

．

らわか るように求め ら れ た座 屈モ

ー

ド_に前 述し た線 形 座 屈 解 析の低 次の モ

ー

ドと は も は や対応 して お らず

，

．

その段 階での_面外変_位分 布状 態 （

Fig，

10d ＞の _{稜 線， 谷線部 分}と座 屈 波 形の_{節 部} が位

置

的に ほ ぼ対 応す る モ

ー

ドと なっ てい る

。

　ま たこの座屈モ

ー

ドは数 値 的に再 び 安 定し た段 階で の 面外変位状態と 比較す る と よ く対応してお り

，

こ の こと は急激に変位モ

ー

ドが対称モ

ー

ドか ら非対称モ

ー

ドへ 移 行す る とい う非線形解析の結果が妥当な もの であ るこど を意味してい るe2） 。 　こ のよ う なモ

ー

ドの 急激な変化は 近藤7｝ や

Mansfield6

｝ らによっ て既に

一

部 想 像されて い た が， 実 際に は次の よ うな原 因に よっ て生 じる

。

すな わ ち_， 座 屈 後 作 用せ ん断 力が_{大 き}くな る につ れ_{単 純}な_{座 屈}モ

ー、

ド波形が_{成 長 す}る の で あ る が

，

変 形が進 行す る過 程でコ

ー

_ナ

ー

_部におい て 注2）

’

こ の よ うに対 称モ

ー

ドか ら非 対 称モ

ー

ドへ _{移 行す}る現 　 　　象は_{本来分岐座 屈現象}で あ る が

，

本解析では_解析モデ 　 　 　ルが有し ている極め て小さ な非 対 称 性か ら外 乱を与え 　 　 　な くて もその挙 動 追 跡が可 能 となっ て い るものと思わ 　 　　れる

。

そのた めに こ こで は得ら れ た非 線_形解 析結果の 　 　 妥 当性を固 有 値 解 析に よ り確 認して いる

。

一

・

−

₁₁₅

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

ー

Q

L

一

Q

剛 。n

Flg

_．

₁₃Conditionafter 　

buekling

座屈モ

ー

ド波 形と は異な る波 形が発 生す る

。

そ の波が 徐々 に中 央 部へ _{伝 播 する結 果 中 央 部}の _{波 形}は振 幅が成 長 する反 面 波 長が短 く な り

，

座 屈直後は薄板全体を占め て い た波 形がバ ン ド状の_局所的な波 形に 変 化す る

。

この変 位モ

ー

ドが変化す る 挙動は せ ん断 座屈後の 直接 基 本 釣 合 い上に存 在し て お り，

一

様圧 縮 力 下での球 形シェ ル の軸 対 称 座 屈 挙 動に もみ られ る現 象で あ るe こ の バン ド状の 面 外 変 位の局 所 的な増 加と ともに応 力の_{釣 合}いか ら生 じ る正の最 大 主 応 力 もま た増 加す る（主 応力図 ：

Fig．

8b

＞

。

Fig．

13はその よ うな状 態の概 念 図を示したもの で あ る が， 当然ながら増 加す る正の主 応 力は面 外 変 位の急 激な 増 加を次 第に拘 束 して い く

。

こ の ことは Fig

．

7で荷 重 レベ ル

ー

B 一

か ら荷 重レベ ル

ー

D 一

に至る間の荷重と中央 点 で の面 外 変 位 との _{関 係}が下に _凸の _{曲 線}に なっ て いること か らも理 解さ れ る。 さ ら に そ の拘束効 果が徐々 に大き く なり

，

荷 重レベ ル

ー

D 一

を越えた直後 局 所 的に成 長し てき た中 央の_{面外 変位}が 正の主 応 力に よ り押し戻さ れ面 外 変 位波 形 が よ り複 雑に 分 割 され る結 果と なっ て い る （

Fig．

10e）

。

ま た その後の変 位 分 布 状態 を み る と前述 の座 屈 直後の挙 動 同様コ

ー

_ナ

ー

_部で発生 し た波が中央 部 へ _{伝 播 され る現 象が みられ}て いる が

，

継 続 的に_{面 外変位} 波 形が増え続 けるの で は な く

，

荷重レ ベ ル

ー

F 一

以 降は変 位波 形 状 態は変 化せずそ の波 形 振 幅の みが 成長し て い き 数 値 的に は安 定し た状 態が最 終 段 階 （

QIQCi

＝

9326 ） まで継 続し た

。

面 外 変 位 波 形 方 向は

Fig

．

10　

f

の面 外変 位分布図 をみ る か ぎり ほ ぼ薄 板 全 体で

一

定 方 向とな っ て お り その値は約42度と先の最 大 主 応 力 方 向と よ く対 応 し てい る

。

　以上の考 察か ら本 解 析 結果 は 張 力 場 理 論 に て想定 して い る シ ワ_{発 生 現 象}を 十 分な精 度で追 跡し て い るもの と_考 え ら れ る

。

最後に極めて大きい せ ん 断 力 （

QIQ

。i

；

9326 ） 下での変形 状態に つ い て

，

よ り視 覚 上と らえや すい よ う に コ ン ピュ

ー

タ グラ フ ィッ ク に よ る変 形 図を Fig

．

12に 示す

。

一

₁₁₆

一

4

．

結　論 　本 論 文で は薄肉弾性 体がせん断 力 を 受ける場 合の座屈 挙 動お よ び座 屈 後 挙 動と し ての張 力場がどの よ う な移 行 経 路 をたどるの か を

，

幾 何 学 的 非 線 形 問 題と して解 明 を 図っ た

。

その結 果 次の点が明ら か とな っ た。

・

_{せ ん断座 屈 耐 力 を越え た直 後}せ ん断 力 とその荷 重 方 向 の変 位 との関 係は緩や かに勾 配が変 化 する が

，

そ の後は 単なる_単調 増 加で は な い もの の ほ ぼ 直 線 的な関 係を保 つ o ・与_{え る}初期 不 整の波 形 として は本 解 析 例で は最 低 次の 座 屈モ

ー

ド を考 慮すれ ば座屈後の挙 動は十分解 析で き るQ 。面 外 変 位は座 屈モ

ー

ド形の全 体 的な波 形で

一

旦は進 行 す るが_， そ の後 徐々 に バ ン ド状の局 所 的な波 形1に変 化し て いき

，

さ らに_変形が進 行してい く な かで同 様に増 加 す る 正 の主 応 力に よっ て そ の座屈 モ

ー

ド型の面外変位が次 第に 拘 束

・

抑制され る

。

その拘束 効果 が あ る 限 界 点に達 し た段階で_， つ い に はより安 定し た全く別の釣

・

合い_状態 に移 行す る

。

・応 力 度 状 態は せ ん断 座屈後た だ ちに張 力 場 状 態に達す るのではな く， 座屈後の面外変位の成 長状態に対応 して 徐々に部分的な領域に応 力が集 中し始め張 力場を形成し てい く

。

　な お

，

本 論文で は幾何 学的非線形 解析に よ り薄肉 弾 性 体の シ ワ発生挙動 を追 跡す ることを主た る 目的と し てい る た めに様々な 条件下で の定暈的な検討 は行っ てい な いo こ の点につ い て は今 後 別 報に て議 論 して い く予 定であ る

。

参 考 文 献

1）H

．

Wagner ；Ebene　Blechwandtrager　mit 　selrr 　dunnem

　 　Stegblech

，

　ZFM

，

　Vol

．

20

，

　No

．

8pp

．

200

〜

2Cト7

．

2）　E

，

Reissner：On　Tension　Field　Theory

，

　 Proc

．

5th

　 　Internatienal　

Congress

　fo【Applied　Mechanics 　_pp

．

88

〜

　 　92

，

　1938

．

3）

RK ．

　Miller：Finite　elementanalysis 　ofwrinl ：ling　mem

．

　 　brane

，

　NASA 　CR　172325

，

　April　1984

．

4）　P

．

Contri　and 　B

．

A

．

　SchrefleT：Ageometrically 　non

−

　 　linear　finite　element 　analysis 　of　wrinkled 　membfane

　 　surfaces 　

by

　a　nen

・

compressien 　material 　medel

，

　

Com ・

　 　munications 　in　Applied　Numer

．

　MethoCl　pp

，

5

・

一

ユ5　VoL　4 　 　No

．

11988

．

5）　N

．

Bauer：Zロr　Darstellung　vDn　Falten　irL　Membranen

　 　mit　Hilfe　der　Methode　der　finiten　Elemente

，

SFB 　64

，

33

　 　1975

．

6）E

．

H

．

　 Mansfield：Tension　field　theory

，　 Proc

．

12th

　 　International　

Congress

　of 　Applied　Mechanics

，

　_pp

．

305

〜

　 320　1968

．

7）近藤

一

夫：平 面 張 力 場 の

一

般解

，

日本 航 空 学 会 誌

，

第5 　 巻 　 第41号

，

pp

．

285

−

299

_，

昭 和13年9月

8） 井合　毅 ：極大エ _ネルギ

ー

_の定理によ る弾性問題の解 法

，

　 　日本 航 空 学 会 誌

，ng

　le巻

，

　

ag

　96号

，

　pp

．

158

〜

180

，

昭 　 　 和18年4月 9）　西 村敏雄

，

登 坂 宣 好

，

本 間 俊 雄 ：有限要 素 法による張 力

．

　 　場 解 杤 手 法につ い て

，

日本 建築 学 会 論 文 報告集

，

第351号

，

　 　pp

．

76L83

，

昭和60年5月 10｝ 西村敏 雄

，

登 坂 宣 好

，

本 間 俊 雄 ：_{有 限要素法}によ る平面 　　張力場 解 析

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第368号

，

　 　 pp

．

27

−

36

，

昭 和 61年 10月

11）　KJ

．

　Bathe　and 　E

，

N

．

　Dverkin ：Aformu ］ation 　ofgenerat

　 　 shellelements

−

the　use 　of　mixed 　interpolatlon　Q ｛tenserial

　 　components

，

　Int

．

　

J．

　Numer

．

　methods 　Eng皿g

、

　Vol

．

22

，

12）

13）

14）

pp

、

697

−

722

，

　1986

例えば

，

Timoshenko

，

　S

，

　 and　Gere

，

　

J．

M

．

：Theory　of elastic　stabitity

．

　 Newyork 　l　McGraw

−

Hlll

，

2nd　ed

．

1961

．

鈴 木 敏 郎

，

小河利 行

，

元 結 正 次 郎

，

末 岡利 之 ：不安定 な 膜構 造の動 的 応 答 解 析

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演梗 概 集 （中国〉， pp

．

1167

〜

1168

，

1990年 鈴 木 敏 郎

，

小 河 利 行

，

元結正 次 郎

，

原　郁雄

．

；_膜構造に お け る シ ワ発生現象の解 析

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概集 （九 州 ｝

，

PP

．

ll75

〜

1176

，

1989年 （1991年11月8日原 稿 受理

，

1992年2月14日 採 用 決 定 ）

一

₁₁₇

一