● 前回の講義のまとめ

２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第４回 1

● 前回の講義のまとめ

• 円周率 πの近似値を計算する方法として, 半径1の円に内接および外接する正多角形の周長で近似 することを考えた.

• ℓⁿ を半径1 の円に内接する正n角形の周長の半分,Lⁿ を半径1 の円に外接する正n角形の周長の 半分とおくと,簡単な考察により,任意のn≥3に対して,

ℓn< π < Ln, ℓn=nsin(π/n), Ln=ntan(π/n)

が成り立つ. また, 数列ℓⁿ, ℓ2n, ℓ4n, . . .は単調増加であり, 数列Lⁿ, L2n, L4n, . . .は単調減少である ことから,{ℓ2ⁿN₀},{L2ⁿN₀}は収束することがわかる.

• 三角関数の半角の公式を用いると, ℓ2n= 2n

s 1−p

1−(ℓⁿ/n)²

2 , (1)

L2n= 2n² Lⁿ

−1 +p

1 + (Lⁿ/n)²

, (2)

2 L2n

= 1 ℓⁿ + 1

Lⁿ (3)

が成り立つ.

• sin(x), tan(x)のテイラー級数

sin(x) =x−x³

3! +O(x⁵), tan(x) =x+x³

3 +O(x⁵) を用いることにより,

|ℓⁿ−π|= π³

3!n⁻²+O(n⁻⁴),

|Lⁿ−π|= π³

3 n⁻²+O(n⁻⁴) が成り立つ.

• そこで,ℓ6= 3,L6= 2√

3 を初期値にとり, (1-2)または(1-3)を用いることにより,半径1 の円に 内接・外接する正3×2ⁿ 角形の周長を求めることができる.

• 浮動小数点計算において,「近い値を持つ２つの数の差」を計算すると, その結果は, 有効桁の末尾 にある「誤差を含む」数値が上位桁にあらわれ,計算結果に大きな誤差が生じることがある. これを

「桁落ち」または「相殺」と呼ぶ.

• 式 (1)において,nが大きいときp

1−(ℓⁿ/n)²は1に近い数となるため, 1−p

1−(ℓⁿ/n)²の計算 で桁落ちが発生することが理由で,上の計算はうまく進まない. （式(2)においても同様の減少が発 生する）

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2 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第４回

• これを回避するには, sin(x)の半角の公式を次のように書き換える必要がある.

sin(x/2) =

r1−cos(x)

2 =

s

sin²(x) 1 + cos(x)

= v u u t1−

q

1−sin²(x)

2 =

v u u t

sin²(x) 2(1 +q

1−sin²(x))

• したがって,求めるべき式は

ℓ2n =

√2ℓⁿ q

1 +p

1−(ℓⁿ/n)²

, (4)

2 L2n

= 1 ℓⁿ + 1

Lⁿ (3)

となる. この式にしたがって計算することで,円周率π の近似値を相対誤差10⁻¹⁵ 程度で求めるこ とが可能となる.

• なお,より望ましい式としては

2 L2n

= 1 ℓⁿ + 1

Lⁿ, (5)

ℓ2n =p

ℓⁿL2n (3)

がある.

● 講義資料

▼ 講義予定

• テイラー級数による円周率πと自然対数の底eの近似値の計算（打ち切り誤差）

• √

2の近似値の計算 – 区間縮小法 – ニュートン法

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２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第４回 3

▼ 計算結果

★ arctan(x)の値の計算

1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

1 10 100 1000 10000

arctan(x)の近似値として

n

X

k=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+ 1 を計算した時の誤差（絶対誤差）

x= 1.0, 0.9999, 0.9995, 0.999, 0.995, 0.99, 0.95, 0.9

★ Newton法

1e-16 1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

0 1 2 3 4 5 1e-16

1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

f(x) =x²−2 fⁿ(x) = (x−1)ⁿ(x+ 1) (n= 1,2,3,4)

z²+ 1 = 0 z³+ 1 = 0 z⁴+ 1 = 0

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4 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第４回

● 実習内容

1. マチンの公式

π

4 = arctan(1/5)−4 arctan(1/239) を用いて,円周率の近似値を絶対誤差10⁻¹²以内で求めなさい.

2. 区間分割法を用いて√

2 の値を絶対誤差10⁻¹²以内で求めなさい.

3. ニュートン法を用いて√

2の近似値を相対誤差10⁻¹²以内で求めなさい.

4. ニュートン法をf(x) = (x+ 1)(x−1)^k に適用して,解 x= 1への収束の様子を図示しなさい.

5. ニュートン法および区間分割法をもちいて x−cos(x) = 0の区間[0, π/2]に置ける解の近似値を相 対誤差10⁻¹²以内で求めなさい.

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