九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

モンテカルロ法によるCFRP 直交積層板のトランスバースクラック進展解析

Onodera, Sota

Department of Aerospace Engineering, Tohoku University : Graduate Student

Okabe, Tomonaga

Department of Aerospace Engineering, Tohoku University : Professor

Nagumo, Yoshiko

Department of Aerospace Engineering, Tohoku University : Assistant Professor

http://hdl.handle.net/2324/4403330

出版情報：日本複合材料学会誌. 43 (4), pp.124-132, 2017-07-15. 日本複合材料学会バージョン：

権利関係：

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1 原稿種類：研究論文

題目：モンテカルロ法による C F R P 直交積層板のトランスバースクラック進展解析

( P r e d i c t i o n o f t h e p r o g r e s s i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k i n g i n c a r b o n f i b e r - r e i n f o r c e d p l a s t i c c r o s s - p l y l a m i n a t e s u s i n g M o n t e C a r l o m e t h o d )

氏名および会員資格：

小野寺壮太・学生会員 ( S o t a O N O D E R A )^{* 1} 南雲佳子・正会員 ( Yo s h i k o N A G U M O )^{* 2} 岡部朋永・正会員 ( T o m o n a g a O K A B E ) ^{* 3}

勤務先および職名：

* 1 ~ * 3 東北大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻

( 9 8 0 - 8 5 7 9 宮城県仙台市青葉区荒巻字青葉 6 - 6 - 0 1 )

D e p a r t m e n t o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g , T o h o k u U n i v e r s i t y

* 1 大学院生 G r a d u a t e S t u d e n t

* 2 助教 A s s i s t a n t P r o f e s s o r

* 3 教授 P r o f e s s o r

連絡先：南雲佳子

〒 9 8 0 - 8 5 7 9 宮城県仙台市青葉区荒巻字青葉 6 - 6 - 0 1

東北大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻 T E L : 0 2 2 - 7 9 5 - 6 9 3 2 F A X : 0 2 2 - 7 9 5 - 6 9 8 3

E - m a i l : n a g u m o @ p l u m . m e c h . t o h o k u . a c . j p

使用ソフト： M i c r o s o f t W o r d 2 0 1 6

使用機種： M i c r o s o f t W i n d o w s 7 P r o f e s s i o n a l

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邦文要旨

本論文では， 90^°層を含む積層板におけるトランスバースクラック挙動のモデル化を行った．トランスバースクラックを有する単層板の応力分布を熱残留ひずみの影響を考慮できるように拡張した応力分布 ( R S F )モデルにより定式化し，定式化した応力分布によりトランスバースクラック発生に伴うエネルギー解放率を求めた．また，比較のために連続体損傷力学 ( C D M )モデルによるエネルギー解放率の定式化も行った．その後，臨界応力およびエネルギー解放率に基づく応力クライテリオンおよびエネルギークライテリオンを設けてモンテカルロ法によるトランスバースクラック進展解析を実施し， C F R P 直交積層板のトランスバースクラック挙動を調べた．その結果，本論文で提案した R S F モデルおよび C D M モデルは，実験値を良く表現できることが示された．本論文で提案した解析モデルは 90^°層を含む積層板に対して適用が可能である．

( 3 7 0 文字 / 4 0 0 字以内 )

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英文アブストラクト

I n t h i s s t u d y , t h e p r e d i c t i o n o f t h e p r o g r e s s i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k i n g i n l a m i n a t e s , i n c l u d i n g 9 0 ° p l i e s , w a s d i s c u s s e d . A r e f i n e d s t r e s s f i e l d ( R S F ) m o d e l w a s f o r m u l a t e d t h a t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e t h e r m a l r e s i d u a l s t r a i n f o r p l i e s , i n c l u d i n g t r a n s v e r s e c r a c k s , a n d t h e e n e r g y r e l e a s e r a t e a s s o c i a t e d w i t h t r a n s v e r s e c r a c k i n g w a s c a l c u l a t e d u s i n g t h i s R S F m o d e l . F o r c o m p a r i s o n , t h e e n e r g y r e l e a s e r a t e b a s e d o n a c o n t i n u u m d a m a g e m e c h a n i c s ( C D M ) m o d e l w a s a l s o f o r m u l a t e d . N e x t , t h e p r e d i c t i o n f o r t h e p r o g r e s s i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k i n g i n c a r b o n f i b e r - r e i n f o r c e d p l a s t i c ( C F R P ) c r o s s - p l y l a m i n a t e s , i n c l u d i n g 9 0 ° p l i e s , b a s e d o n b o t h s t r e s s a n d e n e r g y c r i t e r i a w a s i m p l e m e n t e d u s i n g M o n t e C a r l o m e t h o d s . T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e R S F a n d C D M m o d e l s p r o p o s e d i n t h i s p a p e r c a n p r e d i c t t h e e x p e r i m e n t r e s u l t s f o r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t r a n s v e r s e c r a c k d e n s i t y a n d p l y s t r a i n i n 9 0 ° p l i e s . T h e m o d e l s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r c a n p o t e n t i a l l y b e a p p l i e d t o a n y a r b i t r a r y l a m i n a t e t h a t i n c l u d e s 9 0 ° p l i e s .

K e y w o r d s : C F R P, c o m p o s i t e l a m i n a t e , t r a n s v e r s e c r a c k , e n e r g y r e l e a s e l a t e , M o n t e C a r l o m e t h o d

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モンテカルロ法による C F R P 直交積層板のトランスバースクラック進展解析

P r e d i c t i o n o f t h e p r o g r e s s i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k i n g i n c a r b o n f i b e r - r e i n f o r c e d p l a s t i c c r o s s - p l y l a m i n a t e s

u s i n g M o n t e C a r l o m e t h o d 小野寺壮太，南雲佳子，岡部朋永

1 諸言

近年，炭素繊維強化プラスチック ( C F R P )を初めとする繊維強化プラスチックは，優れた比強度と比剛性を有することから，特に軽量化が重視される航空・宇宙分野で実用化されてきている．実用的には，一方向繊維強化プラスチックが持つ強い異方性を利用して，これを重ね合わせて所定の力学特性を有する積層板として用いられる．積層板には，一方向繊維強化材を荷重方向に対して ₀^および ₉₀^方向に重ね合わせた直交積層板， __^に重ね合わせた斜交積層板，そして面内の弾性特性において等方性を有する擬似等方積層板などがある．これら種々の積層構成を有する積層板を実際の構造部材に使用するためには，詳細な破壊プロセスを知ることが必要不可欠である．繊維強化複合材料を用いた積層板は，特有の破壊プロセスを有しており，特に最も初期に起こるトランスバースク

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ラック（繊維に対して平行方向のき裂）の発生によって応力の再分布が起こってクラック先端の応力集中が層間はく離や繊維破断を生じる要因となる．このため，トランスバースクラックの生じた積層板の力学的挙動を把握することはとても重要である．

トランスバースクラックを有する積層板に対して，様々な研究がなされている 1 ) - 2 9 )．P a g a n o ら ^{1 )}は，ある一定の熱力学的負荷を受けているときにトランスバースクラックが無制限に伝播する状態 ( s t e a d y - s t a t e c r a c k i n g )を仮定して定式化した解析モデルにより，積層構成 [ 0 / 9 0n/ 0 ] (n= 1 , 2 , 3 , 4 )の積層板について初期き裂発生応力を算出し，実験値との比較を行った．彼らの研究によると，試験片幅方向に貫通き裂が生成される場合，解析モデルと実験結果は一致することが示されている．また，彼らは M c C a r t n e y1 4 , 1 5 )，D v o r a k ら ^{1 3 )}のモデルとの比較も行っている．

Wa n g ら ^{2 )}は，トランスバースクラックが ₉₀^層の潜在欠

陥が成長して発生するとして，有限要素法によってトランスバースクラック進展に伴うエネルギー解放率を計算し，有効欠陥長さおよびその間隔の分布を仮定してモンテカルロシミュレーションを行い，応力とトランスバースクラック密度の関係を得た．

G u d m u n d s o n と Z a n g^{7 )}は，トランスバースクラックを有

する複合材料積層板の熱弾性特性を予測する解析モデル

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を提案している．彼らのモデルでは，トランスバースクラックによる平均き裂開口変位が等方弾性体のものと近似できると仮定し，トランスバースクラックが発生した層のひずみ増分を算出している．また，彼らはこの手法を古典積層板理論へ組み込んだことによって，任意の積層構成を持つ積層板のトランスバースクラック密度と力学的特性の関係を解析的に予測することができる． K o b a y a s h i ら ^{8 )}は， G u d m u n d s o n と Z a n g のモデルを用いてトランスバースクラックのエネルギー解放率を導出し，擬似等方積層板のトランスバースクラック形成の予測を行った．G u d m u n d s o n と Z a n g のモデルでは，積層板の各層内の平均応力分布を計算することができるが，層内の局所的な応力分布を計算することができない．

O k a b e ら ^{1 0 )}は，連続体力学的手法を用いて，トランス

バースクラックを有する任意の積層構成を有する複合材料積層板の剛性低下予測モデルをクラック密度の関数として定式化した．そして，先行研究の実験及び有限要素解析結果と比較して提案されたモデルが有効であることを示した． O k a b e らのモデルでは， G u d m u n d s o n と Z a n g のモデルでは計算できないトランスバースクラックを有する層内の局所的な応力分布を計算することができる．本論文では， 90^°層を含む積層板におけるトランスバースクラック挙動のモデル化を行った．まず，トランスバースクラックを有する単層板の応力分布を O k a b e ら ^{1 0 )}

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のモデルで熱残留ひずみの影響を考慮できるように拡張した応力分布 ( R S F : R e f i n e d s t r e s s f i e l d )モデルにより定式化した．そして，定式化した応力分布によりトランスバースクラック発生に伴うエネルギー解放率を求めた．また，比較のために，連続体損傷力学 ( C D M : C o n t i n u u m

d a m a g e m o d e l )モデルによるエネルギー解放率の定式化

も行った．その後，臨界応力およびエネルギー解放率に基づく応力クライテリオンおよびエネルギークライテリオンを設けることにより，定式化した層内の応力分布およびエネルギー解放率を用いてトランスバースクラック挙動を調べた．最後に，定式化したモデルを用いて直交積層板の初期き裂応力およびトランスバースクラック密度 ― 実ひずみ関係について先行研究の実験および解析結

果 1 ) , 9 )と比較して本モデルの有効性を評価した．また，

本論文では直交積層板についての解析結果を示したが，本論文で提案する解析は 90^°層を含む積層板に対して適用が可能である．

2 力学モデル

2 . 1 トランスバースクラックを有する単層板の応力分布

トランスバースクラックを有する単層板の応力分布を，

O k a b e ら ^{1 0 )}のモデルで熱残留ひずみの影響を考慮できる

ように拡張した応力分布 ( R S F )モデルの定式化について述べる．モデルを確立する上で F i g . 1 ( a )のようなトラン

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スバースクラックを有する単層板を考え， ( i ) 単層板の厚さは薄い， ( i i ) 損傷は主にトランスバースクラックによるき裂からなる，ことを仮定した．仮定 ( i )により，単層板の曲げ変形は考慮せず，仮定 ( i i )により層間はく離による損傷を無視した． F i g . 1 ( b )は，両端にトランスバースクラックを有する単層板内の代表体積要素である． x 軸は厚さ方向， y 軸は繊維垂直方向とする．クラック間隔を 2𝑙，単層板の厚さを 𝑡_ply = 2𝑡とする．代表体積要素 (単層板 )は y 方向にトランスバースクラックによる開口変位量を考慮した実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝だけ変形するとする．仮定として，トンネル状のクラック表面を有するトランスバースクラックを考え，トランスバースクラック表面は y 軸に対して対称であると仮定する．また，隣接する層内にはトランスバースクラックは進展しないものとする．問題の対称性により， 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡， 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑙の領域を考えることとする．

F i g . 1 ( b )の等方面内 (𝑥 − 𝑦平面 )で平面熱ひずみ問題を

考える．𝑥, 𝑦方向の変位をそれぞれ 𝑢, 𝑣とする．熱残留ひずみを考慮した場合， H o o k e の法則により等方面内のひずみと応力の関係は次式のようになる．

𝜀_𝑥^𝑀 =𝜕𝑢^𝑀

𝜕𝑥 = 𝜀_𝑥− 𝛼₂Δ𝑇 = 𝐶₁𝜎_𝑥− 𝐶₂𝜎_𝑦 ( 1 ) 𝜀_𝑦^𝑀=𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑦 = 𝜀_𝑦− 𝛼₂Δ𝑇 = 𝐶₁𝜎_𝑦− 𝐶₂𝜎_𝑥 ( 2 )

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9 𝛾_𝑥𝑦=𝜎𝑥𝑦

𝐺₂₃=𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑥 +𝜕𝑢^𝑀

𝜕𝑦 ≈𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑥 ( 3 )

ここで，定数 𝐶₁, 𝐶₂は

C₁=1 − 𝜈₂₁𝜈₁₂

𝐸₂ , 𝐶₂=𝜈₂₃+ 𝜈₂₁𝜈₁₂

𝐸₂ ( 4 )

とおいた．𝜎_𝑥, 𝜎_𝑦はそれぞれ 𝑥, 𝑦方向の応力，𝜀_𝑥, 𝜀_𝑦はそれぞれ熱ひずみの影響を含む 𝑥, 𝑦方向のひずみ，𝜀_𝑥^𝑀, 𝜀_𝑦^𝑀および 𝑢^𝑀, 𝑣^𝑀 はそれぞれ熱ひずみの影響を含まない機械ひずみおよび変位， 𝜎_𝑥𝑦はせん断応力， 𝛾_𝑥𝑦は工学せん断ひずみ， 𝛥𝑇は応力フリー温度 𝑇_𝑠𝑓から対象としている温度 𝑇間での温度差 (𝛥𝑇 = 𝑇 − 𝑇_𝑠𝑓)である．また，𝐸₁は長手方向ヤング率，𝐸₂は横方向ヤング率， G₂₃は面外せん断弾性係数， 𝛼₂は横方向熱膨張係数， ν₁₂は面内ポアソン比， ν₂₃は面外ポアソン比， ν₂₁= 𝐸₂𝜈₁₂/𝐸₁であり，添え字 1，2，3 は F i g . 1 ( a ) で示した方向である．式 ( 3 )において，変位 𝑢^𝑀の 𝑦方向勾配は非常に小さいと仮定した．また，ひずみ 𝜀_𝑥^𝑀と 𝜀_𝑦^𝑀の間には以下の関係が成り立つとする．

𝜀_𝑥^𝑀= 𝑎𝜀_𝑦^𝑀 ( 5 )

ここで，𝑎は比例定数であり，平衡方程式を満たすように決定される．式 ( 1 )，( 2 )，( 5 )より応力 𝜎_𝑥, 𝜎_𝑦は以下のようになる．

𝜎_𝑥=𝑎𝐶₁+ 𝐶₂ 𝐶₁²− 𝐶₂²

𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑦 ( 6 )

𝜎_𝑦=𝐶₁+ 𝑎𝐶₂ 𝐶₁²− 𝐶₂²

𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑦 ( 7 )

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また，式 ( 3 )より， 𝜎_𝑥𝑦は以下のようになる． σ_xy= 𝐺₂₃𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑥 ( 8 )

式 ( 6 ) - ( 8 )を平衡方程式

𝜕𝜎_𝑥

𝜕𝑥 +𝜕𝜎_𝑥𝑦

𝜕𝑦 = 0 ( 9 )

𝜕𝜎_𝑥𝑦

𝜕𝑥 +𝜕𝜎_𝑦

𝜕𝑦 = 0 ( 1 0 )

へ代入することにより，比例定数 𝑎および変位 𝑣^𝑀に関するラプラス方程式が得られる．

𝑎 = −{𝐶2+ 𝐺23(𝐶₁²− 𝐶₂²)}/𝐶1 ( 1 1 )

∂²𝑣^𝑀

𝜕𝑥² + 𝜆²𝜕²𝑣^𝑀

𝜕𝑦² = 0; 𝜆 = √ 𝐶₁+ 𝑎𝐶₂

𝐺₂₃(𝐶₁²− 𝐶₂²) ( 1 2 )

変位 𝑣^𝑀を決定するために，ラプラス方程式 ( 1 2 )の境界条件を以下のように与える．

𝑣^𝑀= 0 on 𝑦 = 0 ( 1 3 )

𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑦 = 0 on 𝑦 = 𝑙 ( 1 4 )

𝜕𝑣^𝑀

𝜕𝑥 = 0 on 𝑥 = 0 ( 1 5 )

𝑣^𝑀= {𝜀_𝑦^𝑝+ (𝛼_𝑐− 𝛼₂)𝛥𝑇}𝑦 on 𝑥 = 𝑡 ( 1 6 )

ここで，α_cは積層板の 0^°方向の熱膨張係数である．式 ( 1 3 ) では 𝑦 = 0で変位 vはないと仮定している．式 ( 1 4 )は，クラック表面 (𝑦 = 𝑙 )において応力 𝜎_𝑦 = 0と考え，式 ( 7 )より定めた．式 ( 1 5 )は，単層板の中心線上 (𝑥 = 0)でせん断変形が生じない (σ_xy = 0)と仮定して，式 ( 8 )より定めた．また，層界面での変位分布を与える式 ( 1 6 )は既存の研究例 ^{2 5 )}に従い，トランスバースクラックに関係なく隣接する層は実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝と熱残留ひずみ (𝛼_𝑐− 𝛼₂)𝛥𝑇で一様に変形していると考えた．上記のように境界条件を与えて変数分離法を用いると，境界条件 ( 1 3 ) - ( 1 6 )を満たすラプラス方程式 ( 1 2 )の

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解 𝑣^𝑀は以下のように書くことができる．

𝑣^𝑀=8𝑙

𝜋²(∑ (−1)^𝑛+1 (2𝑛 − 1)²

∞

𝑛=1

cosh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑥/(2𝑙)]

cosh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑡/(2𝑙)]sin [(2𝑛 − 1)𝜋𝑦

2𝑙 ]) (𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀𝑡ℎ) ( 1 7 )

ここで，𝜀_𝑡ℎ= (𝛼_𝑐 − 𝛼₂)𝛥𝑇とおいた．上式を式 ( 6 ) - ( 8 )に代入することで，次式で示される代表体積要素内の応力分布を得る．

𝜎𝑥(𝑥, 𝑦) =4 𝜋

𝑎𝐶₁+ 𝐶₂

𝐶₁²− 𝐶₂²𝑓(𝑥, 𝑦)(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀𝑡ℎ) ( 1 8 )

𝜎_𝑦(𝑥, 𝑦) =4 𝜋

𝐶₁+ 𝑎𝐶₂

𝐶₁²− 𝐶₂²𝑓(𝑥, 𝑦)(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀_𝑡ℎ) ( 1 9 )

𝜎_𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) =4

𝜋𝐺₂₃𝜆𝑔(𝑥, 𝑦)(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀_𝑡ℎ) ( 2 0 ) ただし 𝑓(𝑥, 𝑦)， 𝑔(𝑥, 𝑦)は次式のようになる．

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ (−1)^𝑛+1 (2𝑛 − 1)²

∞

𝑛=1

cosh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑥/(2𝑙)]

cosh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑡/(2𝑙)]cos[(2𝑛 − 1)𝜋𝑦

2𝑙 ] ( 2 1 )

𝑔(𝑥, 𝑦) = ∑ (−1)^𝑛+1 (2𝑛 − 1)²

∞

𝑛=1

sinh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑥/(2𝑙)]

cosh [(2𝑛 − 1)𝜋𝜆𝑡/(2𝑙)]sin[(2𝑛 − 1)𝜋𝑦

2𝑙 ] ( 2 2 )

2 . 2 R S F モデルによるエネルギー解放率の定式化

ここでは， 90^°層におけるトランスバースクラックの発生を考え， 2 . 1 節で O k a b e ら ^{1 0 )}のモデルに熱残留ひずみの影響を考慮した応力分布 ( R S F )モデルを用いてエネルギー解放率の定式化を行う． F i g . 2 のように，もともと存在しているクラック間で新しいクラックが進展するときを考え，エネルギー解放率 𝐺を次のように定義する．

𝐺 =𝑈(𝑙) − [𝑈(𝑙₁) + 𝑈(𝑙₂)]

2𝑡 ( 2 3 )

ここで， 𝑈(𝑙)は F i g . 1 ( b )に示すクラック間隔 2𝑙の代表体積

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要素が蓄えているひずみエネルギーである．このひずみエネルギー 𝑈(𝑙)は，次式により表される．

𝑈(𝑙) =1

2∫ (𝜎_𝑥𝜀_𝑥+ 𝜎_𝑦𝜀_𝑦+ 𝜎_𝑥𝑦𝛾_𝑥𝑦)𝑑𝑉

𝑉

( 2 4 )

ただし，領域 𝑉は F i g . 1 ( b )の代表体積要素内部とする．この式に，熱残留ひずみを考慮した H o o k e の法則を表す

式 ( 1 ) - ( 3 )，および代表体積要素内の応力分布を表す式

( 1 8 ) - ( 2 0 )を代入すると，ひずみエネルギーは以下のよう

に表すことができる．

𝑈(𝑙) = ∫ {∫ (𝐴{𝑓(𝑥, 𝑦)}²(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀_𝑡ℎ)²+ 𝐵{𝑔(𝑥, 𝑦)}²(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀_𝑡ℎ)²

𝑙 0 𝑡 0

+ 𝐶𝑓(𝑥, 𝑦)(𝜀_𝑦^𝑝+ 𝜀_𝑡ℎ)) 𝑑𝑦} 𝑑𝑥

( 2 5 )

ただし， 𝐴， 𝐵， 𝐶は定数であり，

𝐴 =32 𝜋²

(1 + 𝑎²)𝐶₁+ 2𝑎𝐶₂

𝐶₁²− 𝐶₂² ( 2 6 )

𝐵 =32

𝜋²𝐺₂₃𝜆² ( 2 7 )

𝐶 = 8

𝜋𝛼₂Δ𝑇 1 + 𝑎

𝐶₁− 𝐶₂ ( 2 8 )

である．式 ( 2 5 ) - ( 2 8 )を式 ( 2 3 )に代入することにより，エネルギー解放率を計算することができる．ここで，式 ( 2 5 ) を解析的に解くのは難しいため，ガウスの数値積分法を用いて計算を行った．

2 . 3 C D M モデルによるエネルギー解放率の定式化

次に， R S F モデルにより定式化したエネルギー解放率

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との比較のために連続体損傷力学 ( C D M )モデルによるエネルギー解放率の定式化も行った．C D M モデルを用いる

と， F i g 1 ( b )のクラック間隔 2𝑙の代表体積要素が蓄えるひ

ずみエネルギー 𝑈(𝑙)は次式のように表すことができる． 𝑈(𝑙) =1

2⋅ 𝐸₂(1 − 𝑑₂(𝑙))(𝜀_𝑦^𝑝)²⋅ 4𝑡𝑙 ( 2 9 )

ここで，𝑑₂(𝑙)は F i g . 1 ( a )で示した 2 方向（繊維垂直方向）の損傷変数である．O k a b e ら ^{1 0 )}によると，G u d m u n d s o n と

Z a n g^{7 )}のモデルにより定式化した損傷変数 𝑑₂は，次式のよ

うに表すことができる．

𝑑₂(𝑙) =𝜋 2

𝑡𝐸₁(1 − 𝜈₁₂𝜈₂₁) 𝐸₁− 𝐸₂𝜈₁₂²

1

𝑙 ∑ 𝑎_𝑗 (1 + 𝑡/𝑙)^𝑗

10

𝑗=1

( 3 0 )

ここで，定数列 𝑎_𝑗は T a b l e 1 のように与えられる．以上より，連続体力学的手法を用いると，式 ( 2 9 )，( 3 0 )を式 ( 2 3 ) へ代入することによりエネルギー解放率を計算することができる．

3 モンテカルロ法によるトランスバースクラック進展解析手法

臨界応力に基づいた応力クライテリオンおよび臨界エネルギー解放率に基づいたエネルギークライテリオンを用いてトランスバースクラック進展解析を行った．トランスバースクラック進展解析手法について説明する．ま

ず，F i g . 3 に示すように，長さ 𝐿の解析領域について 90^°層

を 𝑛個の要素に離散化する．ここで，横方向強度は，材料

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14

内に発生する初期欠陥により異なると考えられる．したがって，各要素 𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛)の強度分布 𝑅_𝑖が以下のような

We i b u l l 分布に従うと仮定して，要素 𝑖の横方向強度 𝐹_𝑖を計

算した．

𝑅𝑖 = 1 − 𝑒⁻

Δ𝐿 𝐿₀(𝐹_𝑖

𝜎₀)^𝑚 ( 3 1 )

ここで，𝐿₀はゲージ長さ，𝛥𝐿は要素間隔，σ₀は横方向引張強度，𝑚は形状パラメータである．𝑅_𝑖は各要素に擬似乱数を割り当てることにより決定し，式 ( 3 1 )より各要素の強度 𝐹_𝑖を計算した．擬似乱数は M a t h e m a t i c a 9 . 0^{3 0 )}により生成したものを用いた．また，本研究では 𝑚をフィッティングパラメータとした．その後，実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝を与えて以下の応力クライテリオンを満たした要素にマイクロクラックが発生すると仮定した．

𝜎_𝑦(0, 𝑦) > 𝐹_𝑖 ( 3 2 )

ここで，𝜎_𝑦(0, 𝑦)は式 ( 1 9 )にて与えられた R S F モデルの 𝑥 = 0 における 𝑦方向応力 𝜎_𝑦である．

次に，実ひずみが 𝜀_𝑦^𝑝のときに発生しているマイクロクラックのうち一つがトランスバースクラックへ進展すると仮定する．そして，マイクロクラックが発生している要素のうちでトランスバースクラック進展に伴うエネルギー解放率が最大となる要素を探し，その要素が以下のエネルギークライテリオンを満たした場合，その要素に発生しているマイクロクラックがトランスバースクラックへ進展するとした．

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𝐺 > 𝐺_𝑐 ( 3 3 )

ここで，𝐺_𝑐は臨界エネルギー解放率である．また， 𝐺はエネルギー解放率であり， R S F モデルにより定式化した式あるいは C D M モデルにより定式化した式により計算した．

上記の二つのクライテリオンにより，トランスバースクラック進展解析を行った． F i g . 4 に解析フローチャートを示す．

4 結果および考察

4 . 1 積層板初期き裂発生応力

トランスバースクラック進展解析を行う前に，定式化した力学モデルを用いて積層板の初期き裂発生応力を求

めて P a g a n o ら ^{1 )}の実験および解析結果と比較を行った．

積層板の材料は I M 7 / 5 2 5 0 - 4 とし，解析に使用した材料物性値を T a b l e 1 に示す．積層構成 [ 0 / 9 0n/ 0 ] (n= 1 , 2 , 3 , 4 )の積層板に対して 90^°層にトランスバースクラックによる初期き裂が発生するとして解析を行った．なお，ここではクラック間隔は等間隔 (𝑙₁ = 𝑙₂ = 𝑙/2 )であると仮定し，トランスバースクラック密度を 𝜌 = 1/𝑙と定義した．積層板の初期き裂発生応力は，以下のような手順で求めた．

( 1 ) 実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝を負荷したときのエネルギー解放率 𝐺を

トランスバースクラック密度 𝜌の関数として計算し，

(17)

16

エネルギー解放率の最大値が臨界エネルギー解放率 G_c となるときのトランスバースクラック密度 𝜌_𝑐と実ひずみ (𝜀_𝑦^𝑝)_𝑐を求める．

( 2 ) O k a b e ら ^{1 0 )}が定式化した剛性低下モデルによりク

ラック密度 𝜌_𝑐における積層板の有効コンプライアンス 𝑪̅を求め，構成則を用いて (𝜀_𝑦^𝑝)_𝑐のときに積層板 0^°方向に負荷される応力 𝜎_𝑐を求める．この応力 𝜎_𝑐を積層板初期き裂発生応力とする．

F i g . 5 に上記の方法で計算した積層板初期き裂発生応力

𝜎_𝑐と 90^°層厚さの関係を示す． P a g a n o ら ^{1 )}の実験結果に関しては，トランスバースクラックが試験片幅方向に貫通したときの実験データを示した． R S F モデルによって計算された積層板初期き裂応力は，どの解析モデルよりも大きい値となった．これは， R S F モデルではトランスバースクラックが発生している層の界面は境界条件 ( 1 6 )により一定のひずみとなっており，トランスバースクラック発生による層界面のひずみ分布の変化を考慮していないからだと考えられる．また， R S F モデルと実験値を比較すると， 90^°層の厚さが厚くなるほど，両者の値は近くなった．C D M モデルにより計算した積層板き裂応力については，どのモデルよりも小さい値となった．また，これらのモデルの中で R S F モデルは積層板き裂発生応力の上限値を，C D M モデルは下限値を与えることが確認でき

(18)

17 る．

4 . 2 トランスバースクラック進展解析

ここでは， 2 章で定式化した力学モデルおよび 3 章で述べた方法によりトランスバースクラックの進展解析を実施し，小林 ^{9 )}の実験結果との比較を行った．材料は， T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 および G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0 を用いた直交積層板について解析を行った．T a b l e 3 に使用した物性値を示す．ここで，形状パラメータ 𝑚の値は，小林 ^{9 )}が実験より取得

した [ 0 / 9 0 ]s 積層板のトランスバースクラック密度 ― 実

ひずみ関係と R S F モデルによる解析結果をフィッティングすることにより決定し，T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 では 1 0 . 5，G 4 0 -

8 0 0 / 5 2 6 0 では 7 . 5 を用いた．また，解析領域の長さ 𝐿は

5 0 m m とし，要素の数 n は 8 0 0 0 とした．要素間隔 Δ L は

解析領域の長さ L を要素数 n で割ることによって計算し， Δ L =6 . 2 5×1 0^{- 3}m m とした．トランスバースクラック密度はトランスバースクラックの本数を解析領域の長さ 𝐿で割って算出した．

まず， T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 を用いた [ 0 / 9 0 ]s 積層板の解析結果について述べる． F i g . 6 は， R S F モデルにより計算した実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝 = 1 . 0 8 %および 1 . 2 %のときの 90^°層端面のトランスバースクラック分布を表している．F i g . 6 ( a )では，マイクロクラックは 2 4 本，トランスバースクラックは

1 2 本， F i g . 6 ( b )ではマイクロクラックは 3 3 本，トラン

(19)

18

スバースクラックは 2 8 本であった．F i g . 6 のように，トランスバースクラックの位置に不自然な偏りは見られず，実ひずみが大きくなるにつれクラックがほぼ均一に分布することを確認した．F i g . 7 は，3 章で述べたモンテカルロ法により計算したトランスバースクラック密度と実ひずみの関係を示したグラフである．また，比較のために

F i g . 7 には小林 ^{9 )}の実験結果を示した． F i g . 7 を見ると，

R S F モデルおよび C D M モデルは実験結果とよく一致し

ていることが分かる．初期き裂発生ひずみは，C D M モデルよりも R S F モデルのほうが高い値となっている．これは，F i g . 5 の結果と一致している．また，F i g . 7 から C D M モデルおよび R S F モデルの挙動は，トランスバースクラック密度が大きい範囲ではほぼ一致した．このことを説明するために，F i g . 8 にクラック間隔を等間隔と仮定 (𝑙₁ = 𝑙₂ = 𝑙/2)し，トランスバースクラック密度を 𝜌 = 1/𝑙と表したときの実ひずみ 𝜀_𝑦^𝑝 = 1 . 0 %におけるエネルギー解放率 𝐺とトランスバースクラック密度 𝜌の関係を示す．F i g . 8 を見ると， 𝜌が小さい範囲では， R S F よりも C D M モデルのほうがエネルギー解放率が大きいが，𝜌が大きい範囲では両モデルはほぼ一致する．このため， F i g . 7 でトランスバースクラック密度が大きい範囲では両モデルの挙動はほぼ一致する．

次に，G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0 を用いた積層板の解析結果について述べる． F i g . 9 に [ 0 / 9 0 ]s 積層板， F i g . 1 0 に [ 0 / 9 02]s 積

(20)

19

層板のモンテカルロ法により計算したトランスバースクラック密度と実ひずみの関係を示す．比較のために F i g .

9 , 1 0 にも小林 ^{9 )}による実験結果を示してある． F i g . 7 の

ときと同様に，F i g . 9 では， C D M モデルが初期き裂発生ひずみの下限値， R S F モデルが上限値を与え，またトランスバースクラック密度が大きいほど C D M モデルと

R S F モデルはほぼ等しい挙動を示した．F i g . 1 0 では，実

験値は両モデルよりも高い値となった．しかし， F i g . 9 , 1 0 より，両解析モデルと実験値は 90^°層の厚さによらず良く一致しており，この解析の妥当性を示すものであると考えられる．さらに，R S F モデルに関して F i g . 9 と F i g . 1 0 を比較すると，[ 0 / 9 0 ]s よりも 90^°層の厚さが厚い [ 0 / 9 02]s

のほうが初期き裂発生ひずみの予測値と実験値が近い値となった．このことは， F i g . 5 の結果と一致する．

ここでは，直交積層板についての解析結果を示したが，本論文で提案する解析は 90^°層を含む積層板に対して適用が可能である．また，O k a b e ら ^{1 0 )}の剛性低下モデルと組み合わせることにより，積層板の応力 ― ひずみ線図を予測することが可能となる．

5 結言

本論文では， 90^°層を含む積層板におけるトランスバースクラック挙動のモデル化を行った．まず，トランスバースクラックを有する単層板の応力分布を O k a b e ら ^{1 0 )}

(21)

20

のモデルで熱残留ひずみの影響を考慮できるように拡張した応力分布 ( R S F )モデルにより定式化し，定式化した応力分布によりトランスバースクラック発生に伴うエネルギー解放率を求めた．また，比較のために連続体損傷力

学 ( C D M )モデルによるエネルギー解放率の定式化も行っ

た．その後，臨界応力およびエネルギー解放率に基づく応力クライテリオンおよびエネルギークライテリオンを設けることにより，定式化した層内の応力分布およびエネルギー解放率を用いて C F R P 直交積層板のトランスバースクラック挙動を調べた．その結果，本論文で提案し

た R S F モデルおよび C D M モデルは，実験値を良く表現

でき，提案した解析モデルの妥当性が示された．また，本論文では直交積層板についての解析結果を示したが，本論文で提案する解析は 90^°層を含む積層板に対して適用が可能である．

参考文献

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(22)

21

5 ) J . M . B e r t h e l o t , P. L e b l o n d , A . E l M a h i & J . - F . L e C o r r e : C o m p . P a r t A, 2 7, 1 0 ( 1 9 9 6 ) , 9 8 9 - 1 0 0 1 .

6 ) N . T a k e d a , & S . O g i h a r a : C o m p . S c i . Te c h ., 5 2, 2 ( 1 9 9 4 ) , 1 8 3 - 1 9 5 .

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1 0 ) T . O k a b e , S . O n o d e r a , Y. K u m a g a i & Y. N a g u m o : I n t . J . D a m a g e m e c h . ( i n p r e s s ) .

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1 2 ) G . J . D v o r a k & N . L a w s : J . C o m p . M a t e r., 2 1, 4 ( 1 9 8 7 ) , 3 0 9 - 3 2 9 .

1 3 ) G . J . D v o r a k & N . L a w s : E n g . F r a c . M e c h ., 2 5, 5 - 6 ( 1 9 8 6 ) , 7 6 3 - 7 7 0 .

1 4 ) M c C a r t n e y , L . N . : J . M e c h . P h y s . S o l i d s, 4 0, 1 ( 1 9 9 2 ) , 2 7 - 6 8 .

1 5 ) M c C a r t n e y , L . N . : S t r e s s t r a n s f e r m e c h a n i c s f o r p l y c r a c k s i n g e n e r a l s y m m e t r i c l a m i n a t e s , N P I , R e p o r t C M M T ( A ) 5 0 , N a t i o n a l P h y s i c s L a b o r a t o r y , T e d d i n g t o n ,

(23)

22 U K , 1 9 9 6 .

1 6 ) J . A . N a i r n : J . C o m p . M a t e r., 2 3, 1 1 ( 1 9 8 9 ) , 1 1 0 6 - 1 1 2 9 .

1 7 ) J . A . N a i r n & S . H u : I n t . J . F r a c t . , 5 7, 1 ( 1 9 9 2 ) , 1 - 2 4 .

1 8 ) Y. H u a n g , J . Va r n a & R . T a l r e j a : C o m p . S c i . Te c h ., 9 5, ( 2 0 1 4 ) , 1 0 0 - 1 0 6 .

1 9 ) 荻原慎二 , 武田展雄 , 小林訓史 , 小林昭 : 材料 , 4 7,

1 ( 1 9 9 8 ) , 6 8 - 7 2 .

2 0 ) 武田展雄：日本航空宇宙学会誌， 4 3, 4 9 5 ( 1 9 9 5 ) ,

2 4 5 - 2 5 3 .

2 1 ) 武田展雄 , 新妻秀規 , 荻原慎二 , 小林昭 : 材料シ

ステム , 1 4, ( 1 9 9 5 ) , 7 3 - 7 8 .

2 2 ) E . V. I a r v e , M . R . G u r v i c h , D . H . M o l l e n h a u e r , C . A . R o s e & C . G . D á v i l a : I n t . J . N u m e r. M e t h . E n g ., 8 8 , 8 ( 2 0 1 1 ) , 7 4 9 - 7 7 3 .

2 3 ) E . V. I a r v e , S . C h e l l a p i l l a & D . H . M o l l e n h a u e r : I C C M 1 5 C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s , D u r b o n , S . A f r i c a J u n e 2 7 - J u l y 2 , ( 2 0 0 5 ) .

2 4 ) M . R . G u r v i c h : C o m p . S c i . Te c h ., 5 9, 1 1 ( 1 9 9 9 ) , 1 7 0 1 - 1 7 1 1 .

2 5 ) J . W. L e e , D . H . A l l e n a n d C . E . H a r r i s : J . C o m p . M a t e r. , 2 3, 1 2 ( 1 9 8 9 ) , 1 2 7 3 - 1 2 9 1 .

2 6 ) S . M u r a k a m i : C o n t i n u u m D a m a g e M e c h a n i c s : A

(24)

23

C o n t i n u u m M e c h a n i c s A p p r o a c h t o t h e A n a l y s i s o f D a m a g e a n d F r a c t u r e . D o r d r e c h t H e i d e l b e r g L o n d o n N e w Yo r k : S p r i n g e r , ( 2 0 1 2 ) .

2 7 ) Y. K a n a g a w a , S . M u r a k a m i , Y. L i u , Q . B a i & K . T a n a k a : J . S o c . M a t . S c i . , J a p a n 4 5, 2 ( 1 9 9 6 ) , 2 0 6 - 2 1 1 . 2 8 ) Z . C . X i a , R . R . C a r r & J . W. H u t c h i n s o n : A c t a M e t a l l .

M a t e r., 4 1, 8 ( 1 9 9 3 ) , 2 3 6 5 - 2 3 7 6 .

2 9 ) Z . H a s h i n : E n g . F r a c . M e c h ., 2 5, 5 - 6 ( 1 9 8 6 ) , 7 7 1 - 7 7 8 .

3 0 ) Wo l f r a m R e s e a r c h , I n c . , M a t h e m a t i c a , Ve r s i o n 9 . 0 , C h a m p a i g n , I L ( 2 0 1 2 ) .

F i g . 1 S c h e m a t i c s o f t r a n s v e r s e c r a c k m o d e l . ( a ) P l y i n c l u d i n g t r a n s v e r s e c r a c k , ( b ) R e p r e s e n t a t i v e v o l u m e

e l e m e n t .

(25)

24

F i g . 2 T h e f o r m a t i o n o f a n e w c r a c k b e t w e e n t w o p r e - e x i s t i n g c r a c k s .

F i g . 3 D i s c r e t i z a t i o n o f t h e 90^° p l i e s f o r d i s t r i b u t e d s t a t i c t r a n s v e r s e s t r e n g t h .

(26)

25

F i g . 4 A f l o w c h a r t o f t h e p r o c e d u r e i m p l e m e n t e d f o r t h e a n a l y s i s o f t h e p r o g r e s s i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k i n g .

F i g . 5 L a m i n a t e c r a c k i n g s t r e s s a s a f u n c t i o n o f t h i c k n e s s o f 90^° p l i e s / t h i c k n e s s o f 0^° p l i e s .

(27)

26

F i g . 6 P r e d i c t i o n o f t r a n s v e r s e c r a c k d i s t r i b u t i o n i n t h e 90^° p l y f o r [ 0 / 9 0 ]s T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 l a m i n a t e a l o n g t h e l o n g i t u d i n a l l e n g t h L u s i n g R S F m o d e l . E a c h v e r t i c a l l i n e

r e p r e s e n t s o n e t r a n s v e r s e c r a c k : ( a ) u n d e r 𝜀_𝑦^𝑝= 1 . 0 8 % , ( b ) u n d e r 𝜀_𝑦^𝑝= 1 . 2 % .

F i g . 7 T r a n s v e r s e c r a c k d e n s i t y i n t h e 90^° p l y f o r [ 0 / 9 0 ]s

T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 l a m i n a t e a s a f u n c t i o n o f p l y s t r a i n .

(28)

27

F i g . 8 E n e r g y r e l e a s e r a t e a s s o c i a t e d w i t h t r a n s v e r s e c r a c k i n g i n 90^° p l y a s a f u n c t i o n o f e q u a l l y s p a c e d t r a n s v e r s e c r a c k d e n s i t y f o r [ 0 / 9 0 ]s T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 l a m i n a t e (𝜀_𝑦^𝑝 =1 . 0 % ) .

F i g . 9 T r a n s v e r s e c r a c k d e n s i t y i n t h e 90^° p l y f o r [ 0 / 9 0 ]s

G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0 l a m i n a t e a s a f u n c t i o n o f p l y s t r a i n .

(29)

28

F i g . 1 0 T r a n s v e r s e c r a c k d e n s i t y i n t h e 90^° p l y f o r [ 0 / 9 02]s G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0 l a m i n a t e a s a f u n c t i o n o f p l y

s t r a i n .

(30)

29

T a b l e 1 N u m e r i c a l p a r a m e t e r 𝑎_𝑗 u s e d i n e q n . ( 3 0 )^{7 )}.

𝑗 𝑎𝑗 𝑗 𝑎𝑗

1 0 . 6 3 6 6 6 6 - 3 3 . 0 9 4 4 4 2 0 . 5 1 8 0 6 7 7 4 . 3 2 0 0 2 3 0 . 5 1 6 9 5 8 - 1 0 3 . 0 6 4 1 1 4 - 1 . 0 4 8 9 7 9 7 3 . 6 0 3 3 7 5 8 . 9 5 5 7 2 1 0 - 2 0 . 3 4 3 2 6

(31)

30

T a b l e 2 M a t e r i a l p r o p e r t i e s o f I M 7 / 5 2 5 0 - 4 .^{1 )}

L o n g i t u d i n a l Y o u n g ’ s M o d u l u s 𝐸₁ ( G P a ) 1 6 5 . 4 7 5 T r a n s v e r s e Y o u n g ’ s M o d u l u s 𝐸₂ ( G P a ) 1 0 . 3 4 2

I n - P l a n e P o i s s o n ’ s R a t i o 𝜈₁₂ 0 . 3 1 O u t - o f - P l a n e P o i s s o n ’ s R a t i o 𝜈₂₃ 0 . 5 6 I n - P l a n e S h e a r M o d u l u s 𝐺₁₂ ( G P a ) 5 . 7 9 2 2

L o n g i t u d i n a l T h e r m a l E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t 𝛼1 ( 1 0^{- 6}/℃ )

0 . 4 5

T r a n s v e r s e T h e r m a l E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t 𝛼2 ( 1 0^{- 6}/℃ )

2 4 . 6 6

S t r e s s F r e e T e m p e r a t u r e 𝑇_𝑓 (℃ ) 1 8 0

Ambient Testing Temperature 𝑇 (℃ ) 2 4

P l y t h i c k n e s s 𝑡0 ( m m ) 0 . 1 2 7

C r i t i c a l E n e r g y R e l e a s e R a t e 𝐺𝑐 ( J / m²) 2 2 5

(32)

31

T a b l e 3 M a t e r i a l p r o p e r t i e s o f T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 a n d G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0 .^{8 , 9 )}

T 8 0 0 H / 3 9 0 0 - 2 G 4 0 - 8 0 0 / 5 2 6 0

L o n g i t u d i n a l Y o u n g ’ s M o d u l u s 𝐸1 ( G P a ) 1 4 3 . 0 1 5 2 . 0 T r a n s v e r s e Y o u n g ’ s M o d u l u s 𝐸2 ( G P a ) 7 . 9 9 1 0 . 0

I n - P l a n e P o i s s o n ’ s R a t i o 𝜈12 0 . 3 5 0 . 3 3

O u t - o f - P l a n e P o i s s o n ’ s R a t i o 𝜈23 0 . 4 9 0 . 4 9 I n - P l a n e S h e a r M o d u l u s 𝐺12 ( G P a ) 3 . 9 6 6 . 9 4

L o n g i t u d i n a l T h e r m a l E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t 𝛼₁ ( 1 0^{- 6}/℃ )

- 1 . 5 - 0 . 6

T r a n s v e r s e T h e r m a l E x p a n s i o n C o e f f i c i e n t 𝛼₂ ( 1 0^{- 6}/℃ )

3 4 . 3 3 6 . 0

S t r e s s F r e e T e m p e r a t u r e 𝑇𝑓 (℃ ) 1 6 5 1 9 5

Ambient Testing Temperature 𝑇 (℃ ) 2 5 2 5

P l y t h i c k n e s s 𝑡_ply ( m m ) 0 . 1 8 0 . 1 4

G a u g e l e n g t h 𝐿₀ ( m m ) 8 0 8 0

C r i t i c a l A v e r a g e S t r e s s σ₀ ( M P a ) 7 2 7 5

Distribution Shape Constant 𝑚 1 0 . 5 7 . 5

C r i t i c a l E n e r g y R e l e a s e R a t e 𝐺_𝑐 ( J / m²) 3 0 0 3 3 0

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