Stress Function for Dislocation Loops inAnisotropic Crystals
7
0
0
全文
(2) 九州大学 応用力学 研究所所 報. 第137号(183‑188)2009年9月. 異方性弾性体 中の転位ルー プに対応す る応力関数 大澤. Stress Kazuhito. 一 人*1矢. Function. for. 木. 雅 敏*1小. 泉 大 一2蔵. (2009年7月30日. 受 理). Dislocation. Loops. 元. 英 一*1. in Anisotropic. Crystals. OHSAWA, Masatoshi YAGI, Hirokazu KOIZUMI and Eiichi KURAMOTO E-mail of corresponding. author:. ohsawaariam.kyushu-u.ac.jp. Abstract Most of actual crystals are anisotropic elastic bodies in the continuum elastic limit. Therefore, analyses in terms of the anisotropic elasticity theory are necessary and effective for investigations of crystalline properties. Stress function is useful for solving the problems associated with the elasticity theory. We derive a convergent integral representation of the stress function for stress field produced by dislocation loops in anisotropic crystals. The convergent form of the stress function is convenient for numerical calculations and the derivation is supposed to be easily comprehensible. As an application, we derive energy of interaction between dislocation loops. Key words. 1.は. : dislocation loop, anisotropic Green's function. elasticity,. 現 実 に 存 在 す る ほ とん どの 結 晶 は 連 続 体 極 限 で は 異 方 性 弾 性 体 に な る。 従 っ て 、 異 方 性 弾 性 論 に よ る結 晶 の研 究 は 必 要 で あ り 有益 で もあ る。 応 力 関 数 は この よ うな 連 続 弾 性 論 に 関 係 す る 問題 を 解 くの に 便 利 な 概 念 で あ る。 本 研 究 で は異 方 性 弾 性 体 中 の 任 意 の 形 状 を し た転 位 ル ー プが 作 る応 力 場 に 対 応 した 応 力 関 数 を 導 出 す る。 しか も、 そ の 応 力 関 数 は収 束 す る積 分 形 式 で 書 か れ て い る た め に 数 値 計 算 に 便 利 で あ り、 また そ の 導 出 過 程 は非 常 に 理 解 しや す い と考 え て い る 。 応 力 関 数 の 応 用 と して 転 位 線 に 沿 った 線 積 分 の 形 式 で書 か れ た転 位 ル ー プ間 の相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー の 計 算 式 を示 す。 応 力 関 数 は 弾 性 論 の 問題 を 解 くの に 便 利 であ る。 た とえ 応 力 関 数1)で. Westergaardの. は 平 面 歪 の 問 題 が解 け る 。 ま た 、. 応 力 関 数2)は. 応 力 拡 大 係 数 と関 連 し て い. て 破 壊 力 学 に よ く見 られ る 。 三次 元 の 応 力 関 数 はBeltrami の 応 力 関 数3,4)と. interaction. energy,. irradiation,. 運 動 に起 因 して い る と言 わ れ て お り転 位 論 の 重 要 な 研 究 課. じめ に. ば 、Airyの. stress function,. 呼 ば れ て お り、 三 次 元 の連 続 弾 性 論 に. 関 す る 問 題 を解 くの に 便 利 で あ る 。 本 論 文 で は 転 位 ル ー プ が 作 る 応 力 場 に 対 応 す るBeltramiの. 応 力関数 を導 出する. こ とに な る。 固体 中 の 転 位 は物 質 の 様 々 な 機 械 的 、 光 学 的 、電 磁 的 な 特 徴 を決 定 して い る5)。 特 に 、 塑 性 変 形 は 転 位 の非 可 逆 的 *1九 州大 学応用 力学研究 所 *2明 治大 学理工学 部. 題 で あ る6・7)。 さ らに 、 照 射 組 織 の 形 成 の研 究 か ら、 高 エ ネル ギー 粒 子 の 照 射 に よ っ て材 料 中 に生 成 さ れ た 数十 ナ ノ メー トル の 転位 ル ー プ に 関 心 が 集 ま っ て い る8)。 これ ら の 転 位 ルー プ は 自己 格 子 間 原 子 集 合 体 が1つ. の 結 晶面 に 集 積. し た も の で あ り9)、 透 過 型 電 子 顕 微 鏡 の 観 察 か ら特 徴 的 な 一 次 元 運 動 を し て い る こ とが 知 ら れ て い る10・11) 。 さ ら に 、 本 来 は 部 分 転 位 に な っ て しま う は ず のFCC金. 属でも. 同 じよ うな 一 次 元 運 動 が 観 察 さ れ て い る12)。 この よ うな 転 位 ルー プ の 一 次 元 運 動 は照 射組 織 の 形 成 に 重 要 な 役 割 を 果 た して い る と 生 成 バ イ ア ス モ デ ル13,14)で. は 考 え られ. て いる。 転 位 の理 論 的 研 究 は最 近 で こそ 強 力 な 計 算 機 の 出 現 で 数 値 計 算 に 頼 る と こ ろ が 多 くな っ て き た。 分 子 動 力 学 的 計 算 8・15・16)や第 一 原 理 計 算17)な ど で あ る 。 そ れ に 対 して 転 位 を 連 続 弾 性 論 の 立 場 か ら張 力 を 持 った 紐 の よ うに 扱 う18) 弦 モ デ ル の 手 法 も以 前 か ら行 わ れ て き た 。 この 方 法 で は マ イ ク ロ メ ー トル 程 度 の 広 い 領 域 で 起 こ る現 象 を 研 究 す るの に 適 した 方 法 であ る。 ま た、 こ の モ デ ル に よ っ て 転 位 の 移 動 た 対 す る 活 性 化 エ ネ ル ギ ー も 計 算 され て き た19,20,21)。 さ ら に 、 転 位 の 集 団運 動 を 弦 モ デ ル で シ ュ ミ レー シ ョ ンす る計 算 コー ドも開 発 さ れ て い る22)。 本 研 究 は この 転 位 の 弦モ デルの立場か ら線型弾性論 を使 って転位を研 究す るも の で あ る。.
(3) Table 1 Anisotropy ratio A = 2C44/ (C11 —C12) and structure of cubic metals at room temperature 23). A = 1 means an isotropic crystal.. そ の 時 に 問 題 に な る の は ど の よ うな 弾 性 論 を 使 うか で あ る。Table1か. ら も分 か る よ うに 、 タ ン グ ス テ ン を 除 く. ほ とん ど全 て の金 属 は 実 際 は 相 当 に大 き な 弾 性 的 異 方 性 を. こ こ でXkh=X11+X22→‑X33で な ら ば 式(2)は. あ る 。 も し 、a=‑1/3. 特 異 変 換 に な る の で 除 く。 式(2)を. 式(1). に代入 す ると. 持 って い る 。 従 っ て 、 そ の 異 方 性 を考 慮 す る こ と は現 実 の 結 晶 中 の転 位 の 性 質 や 固 体 の 物 性 を研 究 す る時 に 必 要 で あ る 。 等 方 性 弾 性 論 と異 方 性 弾 性 論 か ら導 か れ る結 果 の 違 い を 示 す 興 味 あ る例 を 示 す こ とに す る 。 等 方 性 弾 性 論 の 計 算 で は真 っ 直 ぐな 螺 旋 転 位 の 周 りの 歪 場 に は圧 縮(膨. 張)は. とな る 。 こ こ で. な い24)。 しか しな が ら、 異 方 性 弾 性 論 に よ る と螺 旋 転 位 の 周 りで もち ゃ ん と圧 縮(膨. 張)す. る歪場が存在す る こと. が 導 出 で き る25)。 こ の 事 実 よ り、 た と え 螺 旋 転 位 で あ っ て もCottrell26)の. 理 論 に よ る と点 欠 陥 と転 位 は 相 互 作 用. を 使 っ た 。 さ らに 付 録 で 証 明 す る よ うに ゲ ー ジ条 件. を す る こ とに な る 。 実 際 に 、 ア トム プ ロ ー ブ法 で そ の よ う なCottrell雰. 囲 気 を 観 察 し よ う と し た実 験 が あ る27)。. Green関. 数 法 は線型 弾 性論 に基 づ いた定量 的 な計算 を. を 課 す こ と が で き る 。a=‑1と. この ゲ ー ジ 条 件 よ り、 式. す る 場 合 に 有 効 な 方 法 で あ る。 等 方 性 と六 方 晶 に 対 す る Green関. 数 に は解 析 解 が 存 在 す る28)こ. とが 知 られ て い る。. (3)は 簡 単 に な る。. 以 前 は 異 方 性 弾 性 体 に 対 して も解 析 解 を み つ け よ う と努 力 さ れ た よ うで あ る29)が. 成 功 しな か っ た 。 一 般 の 異 方 性 弾. 性 体 に 対 して はGreen関. 数 の積 分 形 しか存 在 しな い が 、そ. れ は 簡 単 な 周 回 積 分 の 形 式 で 書 か れ て お り30,31)か. えっ. て 便 利 で あ る と も 言 わ れ て い る。 さ らに 高速 で精 度 が 高 い Green関. 数 の 数 値 計 算 に つ い て の 研 究 も行 われ てい る32)。. この 式 は 応 力 関数 の導 出 に重 要 な役 割 を す る。式(6)は う ど左 辺 σijが 電 荷 分 布 、 右 辺xη よ う なPoisson方. 程 式 に な っ て い る 。Poisson方. 質 は よ く知 られ て い るの で 、 式(6)を. 次元応力関数. 数 ψη と 勘. 程式 の性. 解 く こ とは 比 較 的 容. 易 で あ る 。 ま とめ る と、 本 論 文 で 扱 うBeltramiの. 2.三. ちょ. が ポ テ ン シ ャル に な る. 応 力関. の関係 は. 最初 に本 論 文で 三次 元応 力関 数 を導 出す るため に必要 な表記 をま とめてお く。置換 演算子 ξ励 を次 のよ うに定義 とな る 。. す る。. 3.異. 方 性 弾 性 体 中 の 転 位 ル ー プ の応 力 場 に対応 す る 応 力 関 数. 他 の 成 分 は0で. あ る 。 こ こ でBeltramiの. 応 力 関 数3・4)を. 定義す る。. とGreen関 数 につ い て簡単 に ま とめ て述べ る こ とにす る 30,31)。異方性弾性体中の転位ルー プC'が 作 る応力場の成. 論 文 を 通 して 、 繰 り返 し た添 え 字 は 和 を と る も の とす る 。 ま た 、 連 続 で微 分 可 能 な 関 数fに 分 はf,iの よ うに 表 す 。Beltramiの. まず 始 め に 、応 力 関 数 の 導 出 に 必要 な異 方 性 弾 性 論. 対 す るxiに. 分は転位線 に沿 った線積分 の形式 で書 くことがで きる33)。. よ る空間微. 応力関数 によって応力. σijは 自動 的 に 力 の 釣 り合 い 条 件 σij,o=0が. 満足 される。. 今 後 の 計 算 の た め に 新 しい 別 の 応 力 関 数xη を 定 義 す る 。. こ こで 、積 分 は 転 位 線 娠 に 沿 って 行 うも の と し、 σ枷 は異 方 性 弾 性 体 に 対 す るGreen関 転 位ル ー プ0'のBurgersベ. 数 、0励zは. 弾性定数、臨 は. ク トル で あ る。式(8)のGreen.
(4) 関 数 の1回. 微 分Ghp,。 の 具 体 的 な 形 式30)は. 大変 に複雑 で. あ る こ と が 知 られ て い る。 異 方 性 弾 性 体 に対 す るGreen関. こ こで δ(x‑x')はDiracの. 数 は次の式 を満たす。. デ ル タ 関数 で あ る。 次 の よ う. な三次元行 列を定義 する。. こ こで Fig. 1 で あ る 。 行 列(10)は. 対 称 行 列 で あ る 。 こ こで 凡 」(ξ)をそ. の 余 因 子 、D(ξ)を 行 列 式 とす る。行 列(10)は す な わ ち 任 意 の ξに 対 して常 にD(ξ)>0で. The. unit. circular. 正定値行列、. plane. sphere path. S2 in the. of line integral. perpendicular. -space. S'. The. lies on the. to x.. あ る34)。 この. 条 件 は 変 形 の な い弾 性 体 は 任 意 の 変 形 に対 して 弾 性 エ ネ ル ギ ー が 必 ず 上 昇 す る こ とを 保 障 し て い る。 弾 性 体 のGreen 関 数 は 次 の よ うな 三 次 元 フ ー リエ 積 分 で表 現 され る 。. さ ら に 、 この 三 次 元 積 分 は 二 次 元 ま た は一 次 元 の 積 分 に 書 き 直 す こ とが で き 、 実 際 の 計 算 は こち ら で す る。. こ こで 、1ξ1=1で ル、S2は にxに. あ りフ ー リ エ 空 間 で の 長 さ1の. ベ クト. フー リエ空 間 の 単 位 球 表 面 、siはFig.1の. よう. 垂 直 な 平面 上 に あ る 単 位 円 で あ る 。. 本 論 文 で 重要 な 関 数 瓦3をS2上. の 積 分 形 で 定 義 す る。. Fig. 2 Closed (dislocation) loop C bounding a surface S. 4.転. 位 ル ー プ間 の 相 互 作 用 エネ ル ギ ー. Beltramiの 応 力関数 の応 用 と して2つ の転位 ルー プ問 こ の 関 数 は次 の 関 係 を満 た す こ とが 証 明 で き る。. の相互作 用エネルギー 計算が ある。線型弾 性論 による と転 位ルー プ と外場 のコとの相互作用 エネル ギー は、 その転位 ループが外場の中で生成され るまでに必要 な仕事 に等 しい。. 式(15)の. 関 係 は 式(14)を2回. 微 分 す る こ とで簡 易 に証. 従 って、相互作用 エネル ギー は4). 明 で き る。 つ ま り、 ▽21x・ ξ1=2δ(x・ ξ)で あ る 。 こ こ で 尋+壼+鳶=1で. あ る こ と を 使 っ た 。 た だ 、 この 問 題 に. 対 し て は 厳 密 な 証 明35)も 式(6)、(8)、(15)、. な されてい る。. で あ る。 こ こ で、b,は 転 位 ルー プ0のBurgersベ. よ り応 力 関 数jXl,3が 計 算 で き る。. 面 積 分 はFig,2で. 示 す よ うに 転 位 ル ー プ0が. ク トル 。 縁 にな るよ. うな 任 意 の 曲面 θ の 上 で 行 う。 も しも σり が 他 の 転 位 ル ー プ に よ っ て作 られ た応 力 場 な らば式(17)は2本 こ こで 式(16)は. 単 に式(8)のGkpをHkpに. 置 き換 え た だ. け で あ る こ とに 気 が つ く だ ろ う。 さ ら に 、Xη は 式(7)で 仮 定 し た ゲ ー ジ 関 係X漏=0も 明 す る。. 満 足 す る こ と は付 録 で 証. の転位ルー. プ 間 の 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー に な る。 式(1)を. 式(17)に. 代 入 してStokesの. 定 理 を 使 う と相互.
(5) 作用 エネル ギーは. とな る。 す な わ ち 、S上 の 面 積 分 が0に 換 さ れ る。 次 に 、 式(7)を. さ ら に 、 この 式(19)は. 式(18)に. 沿 った 線 積 分 に 変. 代 入す る 。. ・. も っ と簡 単 な 形 式 に 書 き換 え る こ. とが で き る。. こ こ でCl。tCunt==δ1udm一. δ1nδ。,、 の 関 係 を 使 っ た 。 式(7). の ゲ ー ジ 関 係 よ り 式(20)の. 第2項. Fig. 3 Two coaxial circular dislocation loops, C and C', located on {111} plane. Burgers vectors of the two dislocation loops b are assumed to be parallel to the (111) direction.. は消 え る。 要 す るに 、 転. 位 ル ー プ 間 の 相 虹作 用 エ ネ ル ギ ー は応 力 関 数 蜘. に よって. 5.相. 互 作 用 エ ネ ル ギ ー の 数 値 計 算. 次 の よ うに 書 く こ と が で き る。. 最 後 に 、 転 位 ル ー プ 間 の 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー を 式(23) に 基 づ い て 数 値 計 算 し て み る 。 例 と し て 、Fig.3の な 同 軸 状 の2つ 式(16)を. 式(21)に. 代 入す る と. ル ー プ の 半 径 は 同 じaで 、{111}面. EI=. に 乗 っ て い る もの とす. る。 転 位 ル ー プ 問 の 距 離 はd、 同 じ大 きさ の 〈111>軸 平 行 なBurgersベ. よ う. の 円形 転 位 ル ー プを 考 え て み よ う。2つ の. に. ク トル を 持 つ も の とす る 。 この よ うな 配. 置 の 場 合 、 等 方 性 弾 性 体 中 の 転 位 で あ れ ば相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー は 解 析 的 に 書 く こ とが で き る36)。 式(4)よ. り、. こ こでk2ニ4a2/(d2+4a2)、 1種 と第2種. ま たKとEは. それ ぞれ第. の 完 全 楕 円 積 分 で あ る 。 定 数 μ とvは. ぞ れ剪 断 弾 性 率 とPoisson比 用 エ ネ ル ギ ー の 距 離dへ. で あ る。Table2に. の依 存 性を 書い た。 そ して、式. (23)に よ る 数 値 計 算 と式(26)の でa・=1.Ob、u;0.25と. それ. は相互作. 解 析解 を比較 した。 ここ. した。そ の結果 両者 はほぼ 一致. し 、 少 し の違 い は 数 値 誤 差 の 範 囲 で あ る こ とが わ か っ た 。 さ らに、異方性 弾 性体 中 の転 位 ルー プ の相互 作用 エ ネル ギー を 計 算 した。 こ こで はa=1.Ob、d=4.Ob、C12/011=0.6 こ こで. と し、Table3の. よ うに 異 方 性 因子Aを1.0か. ら5.0ま で. 変 化 さ せ た。 6.議. と. 論. 応 力 関 数 の 応 用 と し て 、2つ の 転 位 ル ー プ 間 の 相 互 作 用 エ ネル ギー を式(23)の を使 う。 結 局 、 式(23)の. よ うに 転 位 ル ー プ間 の 相 互 作 用 エ. ネ ル ギ ー の 計 算 は 転 位 線CとC'に で 見 られ るs1上. 沿 っ た線 積 分 と式(25). の 周 回 積 分 で構 成 され る 。. の2回. 微 分 は 式(25)で. よ う に導 出 した。 式(14)のH承x) 示 す よ う にs1に. 沿 った周回積 分. に なる。結局、転位 ルー プ間の相互 作用エネ ルギー計算で は転 位 ル ー プCとC'に. 沿 っ た 線 積 分 とs1上. の周回積分.
(6) 謝. Table 2 Interaction energy (µb2) between two circular dislocation loops in isotropic media with changing d, where a = 1.0b and v = 0.25.. 辞. こ の 研 究 は 日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 補 助 金(No. 20560616)の. 援助を受 けて いる。. 参 考文 献 1) L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Pergamon Press, London, (1959) p. 53. 2) G. A. Papadopoulos, Fracure Mechanics, SpringerVerlag, London (1993) p.15.. Table 3 Interaction energy (C44b2) between two circular dislocation loops in anisotropic media, with changing the anisotropic ratio A for the case of a = 1.0b, d = 4.0b, and C12/C11 = 0.6.. 3) C. Teodosiu, Elastic Models of Crystal Defects, Springer-Verlag, Berlin (1982) p. 82. 4) R. deWit, Solid State Physics 10, Academic Press, New York (1960) p.249. 5) F. R. N. Nabarro, Theory of Crystal Dislocations, Clarendon Press, Oxford (1967). 6) T. Suzuki, Y. Kamimura and H. O. K. Kirchner, Phil. Mag. A 79 (1999) p. 1629.. で 、合 計 三 次 元 の線 積 分 を 実 行 す る こ とに な る。Fig.3で 示 す よ うに 、 同 軸 状 の 円形 転 位 ル ー プ を 例 に 相 互 作 用 エ ネ ル ギー を 計 算 した 。 等方 性弾 性 論 に 対 す る解 析 解(26)と 較 す る こ とで 式(23)に. 比. よ る数 値 計 算 の精 度 を検 証 した。 数. 値 計 算 で は単 に 台形 公式 を使 っ て い る だ け で あ る が 、Table 2で 示 す よ うに 数 値 誤 差 程 度 の 違 い が あ る だ け で 両 者 は よ. 7) K. Ohsawa, H. Koizumi, H. O. K. Kirchner and T. Suzuki, Phil. Mag. A 69 (1994) p. 171. 8) T. Diaz de la Rubia and M. W. Guinan, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) p.2766. 9) M. Kiritani, J. Nucl. Mater. 251 (1997) p.237.. く一 致 し た 。 本 論 文 で 紹 介 した 応 力 関 数 の特 徴 は そ の積 分形 が 収 束 す る よ う に 書 か れ て い る こ とで あ る 。 つ ま り行 列(10)が 定 値 で あ る た め に 、式(14)のHiゴ(x)の. 正. 計 算 な ど、 数 値 計. 算 の 途 中 で ゼ ロ で 割 る こ とに よ る発 散 は 起 こ らな い 。 こ の こ とは 数 値 計 算 に とっ て は 大 変 に 有 利 で あ る 。 本 論 文 で 紹 介 した 計 算 式 は閉 じた 転 位 ル ー プ に 対 して 正 しい の で あ っ て 、 開 い た転 位 、 真 っ 直 ぐな 転 位 線 な どに 応 用 して は な ら な い こ とが わ か っ た。 い わ ゆ る転 位 の 終 端 効. 10) K. Arakawa, M. Hatanaka, H. Mori and K. Ono, J. Nucl. Mater. 329-333 (2004) p.1194. 11) K. Arakawa, K. Ono, M. Isshiki, K. Mimura, M. Uchikoshi and H. Mori, Science 318 (2007) p.956. 12) Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science 318 (2007) p.959. 13) S. I. Golubov, B. N. Singh and H. Trinkaus, J. Nucl. Mater. 276 (2000) p.78.. 果 に つ い て は 慎 重 に 考 慮 す べ きで あ る 。 さて、最後にな ったが定量的 な転位の研究 には弾性的異 方 性 の 影 響 は必 ず 考 慮 さ れ な け れ ば な ら な い と思 う。 今 ま で は 等 方 性 弾 性 論 の 範 囲 内 で 済 ませ て い た 議 論 が 随 分 多 く あ っ た よ うに 思 う。 異 方 性 弾 性 論 が 敬 遠 さ れ が ち な の は 、 そ の形 式 が複 雑 そ うに 見 え るか ら だ と思 う。 しか しな が ら、 計 算 機 が 進 歩 した こ と な どの 理 由 で 異 方 性 弾 性 体 に 対 す る Green関. 数 も 短 時 間 で 計 算 で き る よ うに な っ て き て い る 。. こ の よ うな 状 況 か ら今 後 は著 者 は弾 性 的 異 方 性 を 考 慮 し た 転 位 論 を 展 開 して ゆ き た い と考 え て い る。 本 論 文 で も紹. 14) H. Trinkaus, B. N. Singh and S. I. Golubov, J. Nucl. Mater. 283-287 (2000) p.89. 15) Y. N. Osetsky, D. J. Bacon, A Serra, B. N. Singh and S. I. Golubov, Plil. Mag. 83 (2003) p.61. 16) V. Bulatov, F. F. Abraham, L. Kubin, B. Devincre and S. Yip, Nature 391 (1998) p.669. 17) C. Woodward and S. I. Rao, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) p.216402.. 介 した が 、 任 意 の 形 状 の 転 位 ル ー プ に 関 連 した様 々 な 計 算. 18) J. Lothe, Phil. Mag. 15 (1967) p.353.. コー ドは作 成 さ れ つ つ あ る。. 19) A. Seeger, Phil. Mag. 1 (1956) p.651. 20) V. Celli, M. Kabler, T. Ninomiya and R. Thomson, Phys. Rev. 131 (1963) p.58.. T.
(7) 21) K. Ohsawa and E. Kuramoto, Phys. Rev. B 72 (2005) p.054105. 22) N. M. Ghoniem and L. Z. Sun, Phys. Rev. B 60 (1999) p. 128. 23) Smithells Metals Reference Books 7th edition, edited. 付 式(16)で. 表 さ れ る 応 力 関 数Xijが. て い る こ とを 証 明 す る。Stokesの の 面 積 分 に 変 換 さ れ る。. by E. A. Brandes and G. B. Brook,. Butterworth-Heinemann. Ltd., Oxford (1992) 15-5.. 24) J. P. Hirth and J. Lothe, Theory of Dislocations, McGraw-Hill, New York (1968) p. 59. 25) Y. T. Chou, Acta Metal. 13 (1965) p.251. 26) A. H. Cottrell and B. A. Bilby, Proc. Phys. Soc. A62 (1949) p.49. 27) J. Wilde, A. Cerezo and G. D. W. Smith, Scripta Mater. 43 (2000) p.39. 28) E. Kroner, Z. Phys. 136 (1953) p.402. 29) P. H. Dederichs and G. Leibfride, Phys. Rev. 188. だ か ら、. (1969) p.1175. 30) D. M. Barnett, phys. stat. sol. (b) 49 (1972) p.741. 31) T. Mura, Micromechanics of defects in solids, Martinus Nijhoff Publishers, Hague (1982) p. 18. 32) S. I. Golubov, X. Liu, H. Huang and C. H. Woo, Comp. Phys. Comm. 137 (2001) p.312. 33) 31) p. 40. 34) J. W. Steeds, Introduction to Anisotropic Elasticity Theory of Dislocations, Clarendon, Oxford (1973) p. 10. 35) T. Mura and N. Kinoshita, phys. stat. sol. (b) 47 (1971) p.607. 24) 36)p . 113.. 録. こ こで 次 の 関 係 を 使 っ た 。. ゲー ジ関係 を満 足 し. 定 理 よ り式(16)はs'上.
(8)
関連したドキュメント
Mean scores of each item ranged from 1．11（S． D．；1．00 understanding questions in examination and tests
Hisashi Mitsuishi ＊1 ，Kei Maeda ＊2 ，Yuya Matsuki ＊2 ，Iroha Murakami ＊3 ，Yoshiko Aoki ＊1.. ＊1 Department of Health and Sports Science, Kyoto University of
Cardiac strain in different seasons were measured in terms of work heart rate (WHR), relative cardiac cost (RCC), net cardiac cost (NCC), cardiovascular stress index (CSI)
Since histological examination showed grade 3 transitional cell carcinoma containing giant cells that were positive for a-human chorionic gonadotropin (B-HCG), we made
Acute stress, which was induced by transfer of mice to a new cage and keeping them with a crowded condition for 12 hours, inhibited the recovery of barrier function after
先に述べたとおり、今回は絵や写真を貼るのではなく、着色した画用紙を自由に切り抜
The present study was intended to analyze the role of maladaptive perfectionism and social interests as stress buffering factors in stress process as well as
The stress effect may not be the only factor contributing to the complete recovery of radiation damages at the time of fault
