ルベーグ積分速講

ルベーグ積分速講

山上 滋

2007

5

23

とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので しょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ とでしょうか。

いわゆるルベーグ積分の構成を

Peano-Jordan-Borel

Lebesgue

「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの で。技術的なレベルの違いはあっても、

Archimedes

一方で、積分なるものは、

Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat

Newton

Leibniz

まり、

Cauchy

の積分の定義も含まれています。

さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対 象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま せん。

現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論 が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進 歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確 率論の専門家の手になるものが多いように思われます。

翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の

段階で

Daniell

る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導 入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの 下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気 もしますが、しばらくお付き合いください。

参考書をいくつか挙げておきます。

•

(1963) ( U 4,200)

•

(1965) ( U 2,600)

•

(1966)

•

(1972) ( U 2,700)

•

(1980)

•

(1995)

•

(2000) ( U 2,500)

•

(2000) ( U 3,200)

•

(2004) ( U 3,600)

•

(2005) ( U 4,000)

•

(2006) ( U 4,000)

• P. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand (1950)

• L.H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, Van Nostrand (1953)

• N. Bourbaki, Int´ egration, Hermann (1965)

•

W. Rudin, Real and Complex Analysis, Academic Press (1970)

• H.L. Royden, Real Analysis, 3rd ed., Prentice-Hall (1988)

• F. Riesz and B. Nagy, Functional Analysis, Dover (1990)

[

]

[

]

[

]

(F. Riesz

)

[

]

Bourbaki

(

Daniel

)

[

]

W.H. Young

[

]

Riesz

見の蔓延すること甚だし、ということであろうか。

[

]

[

]

[

]

[

]

Fubini

Riesz-Fisher

[

]

[

]

[

]

[

]

めで使いこなせないといけない、という至極もっともなしかし意外に見過ごされがちな方針に基づいているよ うで、随所に見られる歴史的コメントも面白い。

[Halmos]

み、内容的には「測度と確率」にぴったりなのであるが、多分に高踏的なところがどうも好みに合わぬ。

[Loomis]

[

]

[

]

[Rudin]

Daniell

まあ、困るほどのことではない。

[Bourbaki]

が、いわゆる

Riesz-Radon

Daniell

[Rudin]

れていて、お薦めである。具体的な積分の計算は、複素解析で行うのが簡明であることがしばしばである。縄 張りにこだわる必要はないといったことを知る上でも役に立つ。

[Royden]

Daniell

本自体は良いのであるが。

目次

1

4

2

7

3

12

4

14

5

18

6

21

7

24

8

27

9

33

10

39

11 Postscript 43

自然数の集合

N

0

Z = { 0, ± 1, ± 2, . . . } , R =

, R

= [0, + ∞ ), R = [ −∞ , ∞ ], C =

. a ∨ b = max { a, b } , a ∧ b = min { a, b } , a

↓ a, a

↑ a.

実数値関数

f : X → R

[a < f < b] = { x ∈ X; a < f (x) < b } . X

[f ] = [f 6 = 0], [f 6 = 0] = { x ∈ X ; f (x) 6 = 0 }

＊印のついた項目は省略しても一通りのことが学べるようになっている（はずである）。

1 実数からリーマン積分へ

微積分をはじめとする解析学を深く理解しようと思ったならば実数の何たるかを避けて通ることはできない であろう。現代数学における実数の性質として重要なものは次の３つ。

•

•

•

代数構造は、まあ良いであろう。順序構造に関連して、

a ∨ b = max { a, b } , a ∧ b = min { a, b }

a

∨ a

∨ · · · ∨ a

といったものが括弧のつけ方によらずに定まる。実際、

a

∨ · · · ∨ a

= max { a

, . . . a

} , a

∧ · · · ∧ a

= min { a

, . . . a

} .

実数からなる集合

A

sup A, inf A

A

A

A

A

sup A

sup A = + ∞

A

inf A = −∞

±∞

y = arctan x

x = ±∞

y = ± π/2

R

(extended real line)

R = [ −∞ , + ∞ ]

まとめると、

A

sup A, inf A

R

定義から明らか。

A ⊂ B = ⇒ sup(A) ≤ sup(B), inf(A) ≥ inf(B).

この大小関係の対応を考慮して、

sup ∅ = −∞ , inf ∅ = + ∞

実数列

{ a

}

sup { a

; n ≥ 1 } ≥ sup { a

; n ≥ 2 } ≥ . . .

であるから、その極限値を

lim sup

a

{ a

}

(upper limit)

同様に、下極限

(lower limit) lim inf

a

lim

inf { a

; k ≥ n }

R

命題

1.1.

{ a

}

lim inf

a

≤ lim sup

a

a = lim

n→∞

a

⇐⇒ lim inf

n→∞

a

= a = lim sup

n→∞

for a ∈ R .

一般に、実数列

{ a

}

a

≤ a

(j ≤ k)

(increasing sequence)

a

≥ a

(j ≤ k)

(decreasing sequence)

{ a

}

a

a

↑ a

{ a

}

a

a

↓ a

注意

.

a

< a

(j < k)

次に級数について考えよう。本質を把握するために、実数族

{ a

}

X

i∈I

| a

| ∈ [0, + ∞ ]

の定義を復習。この値が有限である場合に、

{ a

}

(summable)

(sum)

X

i∈I

a

= X

i∈I

a

∨ 0 − X

i∈I

( − a

) ∨ 0 ∈ R

総和可能である場合には、総和の結果は和をとる順序によらない。添え字集合

I

I = G

j∈J

I

と分割されているならば、各

j ∈ J

{ a

}

{ P

i∈I_j

a

}

X

i∈I

a

= X

j∈J



 X

i∈Ij

a



 .

問

1. P

i∈I

| a

| < + ∞

{ i ∈ I; a

6 = 0 }

絶対収束級数は総和を表わすのであるが、条件収束級数は和というよりも数列の極限と理解すべきである。

ここで、いわゆるリーマン積分の復習をしておこう。（以下で必要となるのは、連続関数の場合であるか ら、コーシーの積分と言った方が正確かも知れない。）有限区間

[a, b]

[a, b]

∆ : a = x

< x

< · · · < x

= b

(mesh)

| ∆ | = min { x

− x

, x

− x

, . . . , x

− x

}

f

= sup { f(x); x ∈ [x

, x

] } , f

i

= inf { f (x); x ∈ [x

, x

] }

S(f, ∆) = X

f

(x

− x

), S(f, ∆) = X

i=1

f

(x

− x

).

補題

1.2. ∆

∆

, ∆

S(f, ∆

) ≤ S(f, ∆) ≤ S(f, ∆) ≤ S(f, ∆

).

そこで、

S (f ) = inf { S(f, ∆); ∆ } , S(f ) = sup { S(f, ∆); ∆ }

とおいて

Darboux

(upper and lower integrals)

S(f ) ≤ S(f )

定義

1.3.

f : [a, b] → R

S(f ) = S(f )

Z

f (x) dx

f

(integral)

注意

.

Riemann

(1857)

Darboux

(1875)

同様の考え方は、

2

Riemann

てしまうことを思えば、この段階で深入りするのは得策ではない。以下のアプローチで必要なのは、関数

f

定理

1.4.

f : [a, b] → R

Z

f (x) dx = lim

|∆|→0

X

f(x

)(x

− x

).

リーマン積分自体は、変域も値域も有界である場合に意味がある概念であるが、さすがにそれだけでは何か と不便でもあり、有界な場合からの極限として広義積分

(improper integral)

Z

R

| f (x) | dx < + ∞

一方で、１変数積分においては、

R

0

| f (x) | dx = + ∞

lim

R→∞

Z

f (x) dx

が存在するといった状況にも、しばしば遭遇することになるのだが、この場合の広義積分は、上の絶対収束す る場合と概念的に区別されるべきものである。

例

1.5. (i)

(ii)

(i) Z

0

sin x

1 + x

dx.

(ii) Z

sin x 1 + x dx.

2 コンパクト集合と連続関数

次の定理は実数の連続性と同等の内容のもので、その証明の要点は、「無限部屋割り論法」（絞り出し論法）

にある。

定理

2.1 (Bolzano).

{ a

}

N

N

k 7→ n

{ a

}

系

2.2.

R

K

K

K

定義

2.3.

(X, d)

K

(compact)

X

が完閉であるとき、距離空間は完閉であるという。

また、

a ∈ X

B

(a)

r > 0

(locally compact)

R

注意

.

ここで距離空間

(metric space)

距離空間あるいはもっと具体的にユークリッド空間（それも１・２次元）を思っておけば十分である。ユーク リッド空間では当たり前と思える主張に遭遇したなら、先へ進むことも可能であり、そうすることで準備工作 的な部分をかなり省略できるはずである。

距離関数

(metric) d : X × X → [0, + ∞ )

(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x).

(iii) [

] d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

例

2.4. (i) X = R

d(x, y) = qP

j=1

| x

− y

|

.

(ii) *

X

B(X )

d(f, g) = sup {| f (x) − g(x) | ; x ∈ X } . (iii) *

X

d(x, y) =

( 0 if x = y, 1 if x 6 = y.

これは、埋め込み

X 3 x 7→ δ

∈ B(X)

例

2.5. *

(X, d)

sup { d(x, y); x, y ∈ X } < + ∞

M > 0

に対して、

M ∧ d

(K, d

)

X = K N

d

(x, y) = X

n≥1

1

2

d

(x

, y

).

問

2. * K

X

問

3. * K = { 0, 1, . . . , p − 1 }

K N

t ∈ [0, 1]

p

命題

2.6. *

X

(i) A, B

X

A ∪ B

(ii)

K ⊂ X

問

4. *

距離空間

(X, d)

B

(a) = { x ∈ X ; d(x, a) < r } , B

(a) = { x ∈ X ; d(x, a) ≤ r }

a ∈ X

r > 0

(open ball)

(closed ball)

注意

.

B

(a)

B

(a)

B

(a)

B

(a)

が、例

(iii)

問

5. *

a ∈ X

B

(a)

r > 0

距離空間の部分集合

A 6 = ∅

d(x, A) = inf { d(x, a); a ∈ A }

とおき

x ∈ X

A ⊂ X

(distance)

d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A

| d(x, A) − d(y, A) | ≤ d(x, y), x, y ∈ X

x 7→ d(x, A)

問

6.

補題

2.7. *

r > 0

K

K

= { x ∈ X ; d(x, K) ≤ r }

K

X

K

r > 0

Proof.

∃ r > 0, ∀ x ∈ K, B

(x) is compact

を示す。そうでなければ、

K

{ x

}

B

(x

)

x

→ x ∈ K

B

(x)

r > 0

n

d(x

, x) ≤ r/2

1/n ≤ r/2

B

(x

) ⊂ B

(x

) ⊂ B

(x)

より閉球

B

(x

)

B

(x)

本題に戻って、上で存在が確かめられた

r > 0

K

y

∈ K

x

∈ K

d(x

, y

) ≤ 2r/3

x

→ x ∈ K

d(x

, x) ≤ r/3

n

d(y

, x) ≤ d(x

, y

) + d(x

, x) ≤ r

B

(x)

{ y

}

K

つぎに、距離空間の完備性を復習。まず、距離空間内の点列

{ a

}

⊂ X

a ∈ X

(converge)

n

lim

d(a

, a) = 0

であることと定義する。このとき、

a

{ a

}

(limit point)

a = lim

a

Cauchy

lim

d(a

, a

) = 0.

∀ ² > 0, ∃ N, ∀ m, n ≥ N, d(a

, a

) ≤ ²

問

7. *

lim

a

= a, lim

a

= a

a = a

距離空間は、すべてのコーシー列（

Cauchy

(complete)

R

距離空間が完備でない場合でも、コーシー列に対する仮想的な極限点を付け加えることで、完備距離空間に 一意的に拡充できる。これを距離空間の完備化

(completion)

R

Q

ここで、遅ればせながら実数値連続関数の定義を。

(i)

∀ x ∈ X , ∀ ² > 0, ∃ δ > 0, y ∈ B

(x) = ⇒ | f(x) − f (y) | ≤ ².

(ii)

∀ a, b ∈ R , [a < f < b] ≡ { x ∈ X ; a < f (x) < b }

問

8.

(i)

(ii)

連続関数

f, g : X → R

Φ : R

→ R

Φ(f, g) : x 7→ Φ(f (x), g(x))

f + g, f g, f ∨ g, f ∧ g

問

9.

(a, b) 7→ a ∨ b, a ∧ b

距 離 空 間（ よ り 一 般 的 に 位 相 空 間 ）の 上 で 定 義 さ れ た 関 数

f

(support)

[f ] ≡ [f 6 = 0]

f (x) = 0 (x 6∈ [f ])

[f + g] ∪ [f ∨ g] ∪ [f ∧ g] ⊂ [f ] ∪ [g], [f g] ⊂ [f ] ∩ [g].

問

10. (i)

(ii) R

f , g

[f g] 6 = [f ] ∩ [g]

問

11. f

f(x) = 0 (x 6∈ F)

F

局所完閉距離空間

X

X

C

(X )

C

(X)

f, g ∈ C

(X ) = ⇒ f ∨ g, f ∧ g, f g ∈ C

(X)

問

12 (F. Riesz). *

(X, d)

F

h : F → [0, + ∞ )

f (x) =

( h(x) if x ∈ F , d(x, F ) sup n

d(x,y)

; y ∈ F o

if x 6∈ F

X

定義

2.8.

(X, d)

f : X → R

δ > 0

f

(the degree of uniform continuity)

C

(δ) = sup {| f (x) − f (y) | ; d(x, y) ≤ δ }

問

13.

f : R → R

M = sup {| f

(x) | ; x ∈ R}

C

(δ) ≤ M δ.

定理

2.9 (Heine).

f : X → R

lim

δ→0

C

(δ) = 0.

この性質を一様連続性

(uniform continuity)

Proof.

∃ ² > 0, ∀ δ > 0, ∃ x, y ∈ X, d(x, y) ≤ δ, | f (x) − f (y) | > ².

とくに、

δ = 1/n

∃ x

, y

∈ X, d(x

, y

) ≤ 1

n , | f (x

) − f (y

) | ≥ ².

そこで、部分列

{ x

}

x

→ a

y

→ a

f

n

lim

f (x

) = f (a) = lim

n→∞

f (y

)

| f (x

) − f (y

) | ≥ ²

問

14. R

ユークリッド空間

R

(rectangular solid) [a, b] = [a

, b

] × · · · × [a

, b

]

数

f : [a, b] → R

Z

[a,b]

f (x) dx

[a, b]

∆

S(f, ∆) − S(f, ∆) ≤ C

( | ∆ | ) (b

− a

) . . . (b

− a

)

問

15. *

[a, b]

∆

| ∆ |

関数

f ∈ C

( R

)

[f ]

[a, b]

Z

R

f (x) dx = Z

[a,b]

f (x) dx

とおくと、これは

[a, b]

(i) C

( R

) 3 f 7→ R

R

f(x) dx

(ii) f ≥ 0

R

R

f(x) dx ≥ 0.

(iii) y ∈ R

Z

R

f (x + y) dx = Z

R

f (x) dx.

(iv)

T : R

→ R

Z

R

f (T x) dx = 1

| det(T ) | Z

R

f (x) dx.

問

16. *

[a, b] ⊂ R

Φ : [a, b] → R

f : [a, b] → R

lim

|∆|→0

X

f (x

)(Φ(x

) − Φ(x

)) = Z

a

f (t)dΦ(t)

が存在することを示せ。この極限値を右辺のように書いて

Stieltjes

最後に少しだけ測度論的な話題を。集合

X

A

(indicator function)

1

(x) =

( 1 if x ∈ A, 0 otherwise.

有界集合

A ⊂ R

n-

| A |

A

| A | = Z

1

(x) dx

例

2.10. *

X

{ x

}

{ r

}

U = [

i≥1

B

(x

)

およびその補集合としての閉集合

F

X = R

{ x

}

r

= r/2

| U | ≤ X

i

| (x

− r

, x

+ r

) | = X

r

2

= 2r

3 連続関数と一様収束定理

集合

X

f : X → R

{ f

: X → R}

∀ x ∈ X, lim

n→∞

f

(x) = f (x)

であるとき、

f

f

(converge point-wise)

f

{ f

}

(limit function)

{ f

}

x

{ f

(x) }

(monotone sequence)

{ f

}

f

f

↑ f

f

↓ f

{ f

}

f

関数

f : X → R

k f k

= sup {| f (x) | ; x ∈ X } ∈ [0, + ∞ ]

とおく。関数

f

k f k

< + ∞

f

f

(converge uniformly)

n

lim

k f

− f k

= 0

となること。

| f

(x) − f (x) | ≤ k f

− f k

一様収束の概念はリーマン積分と相性が良い。逆に言うと、一様収束でない場合は、積分と極限の順序交換 に注意を要するということでもある。

注意

.

k k

∞

p→

lim

( | a

|

+ · · · + | a

|

)

= | a

| ∨ · · · ∨ | a

|

命題

3.1.

f : [a, b] → R

¯ ¯

¯ ¯

¯ Z

[a,b]

f(x) dx

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ (b

− a

) · · · (b

− a

) k f k

.

3.2. f

→ f (uniformly)

n

lim

Z

[a,b]

f

(x) dx = Z

[a,b]

f (x) dx.

定理

3.3. *

X

f

例

3.4.

定理

3.5 (Dini).

K

{ f

}

∀ x ∈ K, f

(x) ↓ 0

lim

k f

k

= 0

Proof.

k f

k

→ 0

∃ r > 0, ∀ N ≥ 1, ∃ n ≥ N, k f

k

> r.

とくに、

n

< n

< . . .

k f

k

> r (j ≥ 1)

k f

k

> r

∃ x

∈ X , f

(x

) > r

{ x

}

x

→ x ∈ X

各

m ≥ 1

j ≥ 1

n

≥ m

f

(x) = f

(x) − f

(x

) + f

(x

) ≥ f

(x) − f

(x

) + f

(x

) > f

(x) − f

(x

) + r.

ここで、

f

x

→ x (j → ∞ )

f

(x) ≥ r

m ≥ 1

系

3.6.

f

: R

→ R

f

↓ 0

n

lim

Z

R

f

(x) dx = 0.

定義

3.7. *

f : X → R

(lower semicontinuous)

(i) lim

x

= x

lim inf

f (x

) ≥ f (x).

(ii) ∀ x ∈ X, ∀ ² > 0, ∃ δ > 0, d(x, y) ≤ δ = ⇒ f (y) ≥ f (x) − ².

(iii)

a ∈ R

[f > a]

また、

f

(upper semicontinous)

− f

問

17. *

命題

3.8. *

Proof.

f

f

α ∈ R

[f > α] = S

n≥1

[f

> α]

問

18.

1

, 1

, 1

, 1

定理

3.9 (Baire). *

X

f : X → ( −∞ , ∞ ]

{ f

: X → R}

f

(x) = inf { f (x

) + nd(x, x

); x

∈ X }

(i) | f

(x) − f

(y) | ≤ nd(x, y) (x, y ∈ X).

f

Lipschitz

(ii)

f

f

↑ f (n → ∞ ).

Proof. (i) x, y ∈ X

∀ ² > 0, ∃ x

∈ X, f(x

) + nd(x, x

) ≤ f

(x) + ².

このとき

f

(x) − f

(y) ≥ f

(x) − (f (x

) + nd(y, x

)) ≥ − nd(y, x

) + nd(x

, x) − ² ≥ − nd(x, y) − ².

² > 0

f

(x) − f

(y) ≥ − nd(x, y). x, y

(ii)

f

↑

f

≤ f

f (x)

x = a

∀ ² > 0, ∃ δ > 0, d(x, a) ≤ δ = ⇒ f (x) ≥ f (a) − ².

とくに、

inf { f (x) + nd(x, a); d(x, a) ≤ δ } .

n > 0

nδ + inf

f (z) ≥ f (a) − ²

d(x, a) ≥ δ = ⇒ f (x) + nd(a, x) ≥ inf

z∈X

f (z) + nδ ≥ f (a) − ².

二つを併せると

f

(a) ≥ f (a) − ² if n ≥ f (a) − ² − inf f (z)

δ .

これから

lim

f

≥ f

問

19. * (ii)

f (a) < + ∞

f(a) = + ∞

4 ベクトル束と積分

集合

X

L

f, g ∈ L = ⇒ f ∨ g, f ∧ g ∈ L

X

(vector lattice)

(f ∨ g)(x) = max { f (x), g(x) } , (f ∧ g)(x) = min { f (x), g(x) } .

L

L

= { f ∈ L; f ≥ 0 }

例

4.1.

(i)

R

C

( R

).

X

C

(X ).

(ii) *

N ≥ 1

X = { 1, 2, . . . , N } N

L.

(iii) *

X

f

[f 6 = 0]

L.

(iv) *

S

= { x = (x

, x

, . . . , x

) ∈ R

; (x

)

+ (x

)

+ · · · + (x

)

= 1 }

C(S

).

問

20.

| f | = f ∨ 0 − f ∧ 0 ∈ L.

とくに、

L = L

− L