物理数学☆演習 I 1 夏のプチテスト
龍谷大学理工学部数理情報学科
2003
年06
月13
日樋口さぶろお2
プチテスト参加の際の注意ポイント
1. 裏もあります . 全部で 3 問です .
2.
過程も答えよう. 最終的な答えが正しいことがわかるような過程を記そう.3.
問題文に現れない記号を使うときは, 定義を記そう.4.
答案の扱いについて, 次の2
つのうち希望する方を, 答案用紙の欄にマークしよう.マークしなかった場合, (b)として扱います. この選択に関わらず, メールによる点数 の通知は, 別紙の要領で行ないます.
(a) 1-508
前引き出しで答案を返却する(他の人が採点後の答案を見る可能性がある).
(b)
答案を返却せず廃棄する.1
x, y, z
軸の正の向きの基本ベクトルをi, j, k
とする. ベクトルA = i − j =
³ +1
−1 0
´ , B = i + 2j + k =
³ 1 2 1
´
とする.
1. A · B
を求めよう.2. A × B
を求めよう.3. B × (B − 2A)
を求めよう.4.
ベクトルA, B
の両方がのっている平面は1
つだけある(図では薄く塗られている.
そ れはxy
平面とは異なる). 下の図は,その平面を斜めから見たものである.A B
T 1
H 1
T 2 T 3 H 2 H 3
ベクトルがこの平面の表裏どちら側を向いているかについて,
H 1 , H 2 , H 3
のようなベ クトルを表向き,T 1 , T 2 , T 3
のようなベクトルを裏向きということにする.時刻
t
とともに変化するベクトルp(t) =
³ 0 6 sin 2t
1
´
を考える. 時間帯
0 5 t < π
のう ち,p(t)
が表向きである時間帯を求めよう.0 Copyright c °2003 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.
1 http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/physmath1/
2 mailto:[email protected], http://www.math.ryukoku.ac.jp/~hig/,
へや1-508,
でんわ077-543-7501
1
2
質量
m = 3
の物体の, 3次元空間での運動を考える. 時刻t
における位置ベクトルをr(t) =
µ x(t) y(t) z(t)
¶
とする. この物体は, 力
F(t) =
à −6 cos 1 2 t
−6 sin 1 2 t 3
!
のもとで運動している. 初期条 件は
r(π) =
³ 0
1 8
2 π 2
´
, dr dt (0) =
³ 0 4 1
´
である.
1.
運動方程式を書こう(運動方程式以外のものは書かないでね).
2.
時刻t
における速度ベクトルを求めよう.3.
速さが5
になる時刻を求めよう.4.
時刻t = 2π
における物体のz
座標z(2π)
を求めよう.3
下に描かれた
2
つの経路の上を, それぞれ等速運動(速さ一定の運動)
する2
個の物体が ある. 物体は, 等速運動している. 例として, 点P,Q
での, 速度ベクトルv
と加速度ベクト ルa
が描かれている.点
A,B,C,D,E
における速度ベクトルv
と加速度ベクトルa
を,点P,Q
の例のように描こう.
注意
•
この問では理由の記述は不要です.•
ベクトルの大きさは, 点P,Q
の例と正しい比になってるように描いてね.•
零ベクトルになっている点では, 矢印のかわりに•
をうってね.•
直角は直角っぽく描いてね.•
接しているところは接しているっぽく描いてね.•
等速運動であり,特に右の図は等加速度運動(放物運動)
でないことに注意してね.A
B
D Q
C v
a v
a P
E
2
物理数学☆演習 I 3 夏のプチテスト略解
龍谷大学理工学部数理情報学科
2003
年06
月13
日樋口さぶろお4
1
1. A · B = 1 · 1 + (−1) · 2 + 0 · 1 = −1.
2. A × B = ³ −1
−1 +3
´
3. B × (B − 2A) = B × B − B × 2A = 0 − (−1)(2A × B) = 2A × B =
³ −2
−2 +6
´
4.
図より, 表向きであるとは,hA, B, p(t)i
が左手系であることと同じ. したがって, 条 件は(1) p(t) · (A × B) < 0
すなわち,
−6 sin 2t + 3 < 0.
よって, sin 2t >1 2 .
よって,π 6 < 2t < 5 6 π.
よって,1
12 π < t < 12 5 π
あるいは,
−A × B
は平面に垂直で表向きのベクトルなので,p(t)
と−A × B
のなす 角θ
がπ/2
より小さいという条件(2) cos θ = p(t) · (−A × B)
|p(t)| · | − A × B| > 0
から導いてもよい.2
1.
運動方程式は,3 · d 2 x
dt 2 (t) = − 6 cos 1 2 t, (3)
3 · d 2 y
dt 2 (t) = − 6 sin 1 2 t, (4)
3 · d 2 z
dt 2 (t) =3.
(5)
2.
両辺を積分して,dx
dt (t) = − 4 sin 1 2 t + C 1 (6)
dy
dt (t) = + 4 cos 1 2 t + C 2 (7)
dz
dt (t) =t + C 3 . (8)
初期条件より
³ C 1
C 2
C 3
´
= ³
0 0 1
´
2 Copyright c °2003 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.
3 http://sparrow.math.ryukoku.ac.jp/~hig/physmath1/
4 mailto:[email protected], http://www.math.ryukoku.ac.jp/~hig/,
へや1-508,
でんわ077-543-7501
3.
(9) 5 2 = dr
dt (t) · dr
dt (t) = (−4 sin 1 2 t) 2 + (4 cos 1 2 t) 2 + (t + 1) 2
を解いて,(10) (t + 1) 2 = 9
より,t = −4, +2.
4.
もう一度積分して初期条件を用いると,x(t) = + 8 cos 1 2 t
(11)
y(t) = + 8 sin 1 2 t (12)
z(t) = 1 2 t 2 + t − π.
(13)
よって,
z(2π) = 2π 2 + π.
問題に答えるためだけなら,積分してx(t), y(t)
を求めることは不要.
3
A
B
D Q
C v
a v
a P
E
描く上での注意点
速度ベクトルの方向は軌跡の接線方向. 向きは進行方向. 速度ベクトルの大きさは一定
(あらかじめ描いてあるものにそろえる)
加速度ベクトルの向きは, 速度ベクトルの向きに直交し,鋭角側
(円形なら内側)
向き. 加 速度ベクトルの大きさは, 鋭く曲がっているところほど大きくなる. 特に, 円部分では半径 に反比例, 直線の部分では0.
答案の返却について
答案の返却は
