2008.04.14.

2008.04.14.

数学

II

担当：原 隆（数理学研究院）：六本松

3-312

e-mail: [email protected] http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html

Office hours:

了後にも質問を受け付けます．

注意：

１．以下は５月１２日現在での暫定版である．４月１４日のものとは，２の部分を膨らませて２つに分けた点，

更に

4/14

（特に３と４を入れ替えるかも）ので注意されたい．

２．昨年までと講義内容をかなり変える予定である．特に実数論は授業評価でも不評のようであったので，実 数論を減らし，その代わりに極限や微分などについてもう少し詳しく述べるようにする．この結果，期末試験 でも「マトモな数学の問題」を多数出題するだろう．結果的に，この講義に合格するのは昨年までよりも難し くなる可能性が高いので，要注意である．

講義の暫定的計画：

微分積分の理論を厳密に展開するには高校までの知識では不十分で，実数と極限の概念から築き直す事が必要で ある．しかし，昨今の大学教育では，この点に十分な時間が割けない．この講義では通常の微分積分学に飽き足ら ない学生諸君の知的興味に応えることを目標とし，微分積分学の基礎になる「極限」と「実数」の概念を丁寧に解 説する．なお，本来ならば演習を多用すべきであるが，この教室でやる以上，演習を取り入れる事は実質上，不可 能であろう．

1.

(a)

(b)

²-δ

(c)

2.

(a)

i.

ii.

iii.

(b)

3.

(a)

(b)

(c)

4.

——

5.

6.

——

参考書：

•

•

•

I, II」（岩波）．上の解析概論を少しとっつきやすくした感じ．記述はおおむね平明かつ

•

1, 2」（東大出版会）．最近の硬派の定番ともいえる．かなり分厚いけど，その分，記述

•

評価方法： 受講者数などを見て，判断する予定なので，現時点では未定とせざるを得ません．ただし，いくら 受講者数が多くとも，ある程度しっかりした数学の試験（たんなるエッセイではない）を期末試験として行う予定 です．そのような数学の試験をちゃんと受ける覚悟のある方のみ，受講することをお勧めします．

1

1.1

定義

1.1.1

a n

α

a n

n → ∞

α

lim

n →∞ a n = α

以下の（ア）が成り立つことと定義する：

（ア）任意の（どんなに小さい）正の数

²

N (²)

すべての

n > N (²)

¯¯ a n − α ¯¯ < ²

(1.1.1)

（ア）は以下のように言っても良い．

（アの言い換え）任意の（どんなに小さい）正の数

²

すべての

n > N(²)

¯¯ a n − α ¯¯ < ²

(1.1.2)

N (²)

（ア）は数式では以下のように書く（これは数学科の講義ではないので，この書き方は以下では使わない）：

∀ ² > 0 ∃ N (²) (

n > N (²) = ⇒ ¯¯ a n − α ¯¯ < ² )

(1.1.3)

n lim →∞ a _n = + ∞

定義

1.1.2

a _n

a _n

n → ∞

lim

n →∞ a _n = + ∞

⁰

（ア

⁰

K

N (K)

すべての

n > N(K)

a _n > K

(1.1.4)

（注）

lim

n →∞ a n = + ∞

lim

n →∞ a n = −∞

{ a n }

1.2

前節では数列の極限，つまり，nが無限大になったときに

a _n

x

x

a

f (x)

定義

1.2.1

f (x)

a, b

(x)

x → a

b

lim

x → a f (x) = b」というの

（イ）任意の（どんなに小さい）正の数

²

δ(²)

0 < | x − a | < δ(²)

x

¯¯ f(x) − b ¯¯ < ²

(1.2.1)

（イ）は数式では以下のように書かれる（以下では使わない．将来の参考までに）：

∀ ² > 0 ∃ δ(²) > 0 (

0 < | x − a | < δ(²) = ⇒ ¯¯ f (x) − b ¯¯ < ² )

(1.2.2)

（注）上の定義には

| x − a | > 0

x = a

f (x)

a

f (a) 6 = b

(a) = b

x 6 = a

1.2.1

これからは

lim

x → a f (x) = b

•

lim

x →∞ f (x) = b

² > 0

L(²)

x

| f (x) − b | < ²

• lim

x →−∞ f(x) = b

0

x < − L(²)

x

| f(x) − b | < ²

• lim

x → a f (x) = + ∞

M > 0

δ(M )

| x − a | < δ(M )

x

f (x) > M

• lim

x → a f (x) = −∞

M > 0

δ(M )

| x − a | < δ(M )

x

f (x) < − M

•

lim

x →∞ f (x) = ∞

lim

x →−∞ f (x) = ∞

以上，ゴチャゴチャといろいろな定義をしたけども，混乱しそうな人は（初めのうちは）最も基本的な

lim

n →∞ a n = α

lim

x → a f (x) = b

1.3

ここまでで，数列の極限，関数の極限をそれぞれ定義した．これらの間の関係を考えるべく，以下の２つの命題 を考えたい：

（あ）

lim

x → a f (x) = b

（い）

lim

n →∞ a _n = a

n

a _n 6 = a）となるすべての数列 { a _n }

lim

n →∞ f (a _n ) = b

両者にはどんな関係があるのだろうか？（あ）ならば（い）であることはすぐにわかる

¹

定理

1.3.1

関数の極限（0

< | x − a | < δ

n

（注）上の命題の（い）は

a n → a

1「すぐにわかる」と書いたが，きちんと証明できる人は案外すくないのではないか？考えておくように

第１回レポート問題： （4月

28

²-N

問

1

² > 0

(a)

(d)

(a) (ある ² > 0

| a − b | < ²) = ⇒ a = b (b) (すべての ² > 0

| a − b | < ²) = ⇒ a = b (c) (

² > 0

x > 2 − ²) = ⇒ x > 2 (d) (すべての ² > 0

x > 2 − ²) = ⇒ x ≥ 2

問

2：

1) ² > 0

¯¯ ¯ n

n + 3 − 1 ¯¯ ¯ < ²

n

²

2)

lim

n →∞

n

n + 3

問

3

lim

x →− 2 x ³

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

9

13:00

24

3-312

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

（５月１２日：先週の木曜からひどい胃腸風邪で，まだレポートを採点してません．すみません．）

（前回の補足）前回，定理

1.3.1

a n 6 = a

（あ）ならば（い）の証明

（あ）を仮定する．つまり，

lim

x → a f (x) = b

n

a _n 6 = a，かつ lim

n →∞ a _n = a」

であるような数列

{ a n }

n lim →∞ f (a n ) = b (1.3.1)

であること，つまり前回の（い），を示したい．

さて，

lim

x → a f (x) = b

² > 0

δ(²) > 0

0 < | x − a | < δ(²)

| f (x) − b | < ² (1.3.2)

a n 6 = a

lim

n →∞ a n = a

δ(²)

N (δ(²))

n > N(δ(²))

0 < | a _n − a | < δ(²) (1.3.3)

n > n > N(δ(²))

0 < | a n − a | < δ(²)

| f (a n ) − b | < ² (1.3.4)

lim

x → a f (x) = b

2

今までの話は，我々の扱っている数の体系が実数でなくても（例えば有理数であっても）形式的に成り立つこと ばかりだ．しかし，これではどうも具合が悪い，というのが近世以降，数学の発展途上でわかってきたことである．

特に，「明らかにこの極限には存在してほしい」のにその極限の存在が保証されない，ようなことが頻発したため，

我々の数の体系を考え直す必要が生じた．天才たちの苦闘の末，実数論が整備されたのは１９世紀の後半で，そん なに旧いことではない．この問題の解決にここまでかかったということは，この問題は単純ではないことを示唆し ているだろう．

この章では，実数の何が問題なのか（有理数では何が足りないのか），また，その問題がどう解決されたのか，を 見て行く．実数の一番重要（かつ，一見，難しいと思われる性質）はこの章では「公理」として述べる．後で，こ の「公理」を満たす実数が本当に構成できることを示す．（この後の部分については「実数の構成に関するノート」

を参照）．ただし，講義の順序は後で変えるかもしれない．

2.1

まずは実数の「公理」とやらを天下りに述べよう．細かい言葉の定義はまあおいておいて，大体の感じをつかん でほしい．通常、実数というのは以下の公理を満たすもの（数）の集合をいう．

公理

2.1.1 (実数の公理 I)

R

I)

1. R

α, β

+ β ∈ R

• α + β = β + α（交換法則）が成り立つ．

• α + (β + γ) = (α + β) + γ

•

0 ∈ R

α ∈ R

α + 0 = α

•

α ∈ R

+ ( − α) = 0

− α ∈ R

なお，α

+ ( − β)

α − β

2. R

α, β

αβ ∈ R

• αβ = βα（交換法則）が成り立つ．

• α(βγ) = (αβ)γ

• (α + β)γ = αγ + βγ

•

1 ∈ R

α ∈ R

α1 = α

•

α ∈ R , α 6 = 0

1/α ∈ R

なお，

α(1/β)

α/β

これで加減乗除が

R

R

II)

1. R

α, β

α < β

α = β

α > β

• α < β

α = β

α ≤ β

• α ≤ β

β ≤ γ

α ≤ γ

R

2.

• α ≤ β

α + γ ≤ β + γ

• α ≤ β

γ ≥ 0

αγ ≤ βγ

3. α > 0

0

4. α ∈ K

| α |

| α | :=

 



α (α ≥ 0)

− α (α < 0)

(2.1.1)

III)

I), II)

R

上の公理のうち，I)と

II)

III)

困ったことに，「実数の連続性」の公理は，それ自身を理解するのが少しだけややこしい．また，この公理には互い に同値な，いくつかの表現が可能だ．話をややこしくしないため，ここでは以下の３バージョンのみを紹介する．

以下，３つの公理を書くが，後から証明するようにこれらは互いに同値である．だから，この３つを公理とし て要請するというよりも，この３つのどれか一つを公理として要請すると思った方が良い．

2.1.1

—

少し概念を準備する．

定義

2.1.2 (部分列)

a ₁ , a ₂ , a ₃ , . . .

{ a n }

お約束として，

{ a n }

{ a n }

（例）数列

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

1, 3, 5, 7, 9, ...

1, 4, 9, 16, 25, ...

1, 2, 5, 10, 100, 10032, 2323445, ...

次に「有界な数列」の概念を定義する．

定義

2.1.3 (有界列)

{ a n }

L

n

a n < L

K

n

a _n > K

（注）

K, L

{ a n }

n

n a

K L

以上の下で，実数の連続性（完備性）の公理を述べることができる．

公理

2.1.4 (実数の連続性の公理 I —

まり，有界な無限数列

{ a n }

{ b n }

{ b n }

この公理が何を言っているのかは，数直線上に

a ₁ , a ₂ , a ₃ , . . .

K

L

point）という．

a 1 a

2 a ₃

a 4

a ₅ a ₁₅ a ₉

K ^{a 8 a 12} L

a 11 a ₂₃

a ₁₀₀

2.1.2

—

定義

2.1.5 (単調列) a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ . . . ≤ a n ≤ . . .

a n

（言葉に関する注）

•

(monotone) increasing，単調減少＝ (monotone) decreasing，単調非減少＝ (monotone) non-decreasing，単調非増加＝ (monotone) non-increasing.

•

•

は「真に単調増加（strictly increasing）」という事が多い．

n n

公理

2.1.6 (実数の連続性の公理 II —

{ a _n }

n lim →∞ a n

{ a n }

lim

n →∞ a n

2.1.3

—

またもや概念が必要だ．まず，実数の部分集合の「上界」と「上限」を定義しよう．

• R

A

x ∈ A

x ≤ L

L ∈ R

L

A

A

• R

A

数列

{ a n }

{ a n }

• R

A

α ≤ L

A

α

α

A

(supremum)

A

sup A

A

同様に「下界」「下限」も定義する．

• R

A

x ∈ A

x ≥ K」となるような K ∈ R

K

A

(lower bound)

• R

A

• R

A

A

K

K ≤ β

A

β

A

(infimum)

inf A

公理

2.1.7 (

III-

)

• R

A

A

α = sup A

• R

A

A

α = sup A

以上３つの連続性の公理

I, II, III

実はこの他にも連続性の公理の表現はある．大雑把にいうと

•

II

III

•

•

などである．これらについては「実数の構成に関するノート」に詳しく書いてあるから，興味のある方は参照され たい．

５月１９日：レポート採点に難渋しています．皆さんが苦戦しているのが伝わってくるだけに，こちらとして も見捨て難い．レポートそのものは今晩中に採点して，明日の夕方までには僕の部屋（３号館３１２号室）の 前の箱の中に入れておきます．

なお，「例題や類題が欲しい」という要望が多数，寄せられました．これについては

•

•

AB」のもの）

•

などをお奨めします．（これだけヒントを与えているので，この先は自分で探してくださいな．）

かなりの人が苦戦しているのは僕は把握しており，予想の範囲内ではあります．ここはそれなりに難しいとこ ろなので，楽をして通り抜けられるものではありません．ある程度は苦しんで，自分で考えようとすることが 大切です．もちろん，質問にくれば懇切丁寧にお答えします．

なお，（間違った意味の）プライドなどは捨てて，友達に訊いてみるのも大変に良いことですよ．友達同士で考 えてると急にわかることがあります

——

第２回レポート問題：^今回は

²-δ

問

4

lim

x → 5 x ²

²-δ

問

5

lim

x →− 2 (x ⁴ + 2x ³ − 2x)

²-δ

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

5

23

24

3-312）の前の箱に

入れてください．整理の都合上，用紙は

A4

—————————————————

—————————————

問

1：

(a)

a = 0, b = 1, ² = 2

(b)

a 6 = b

= | a − b | /2

| a − b | < ²

(c)

x = 2

(d)

2

= (2 − x)/2 > 0

x > 2 − ²

問

2

1)

3

| n + 3 | < ²

| n + 3 | > 3

²

n

3

² − 3

n

n < − 3

² − 3

2)

² > 0

N = 3

² − 3

n

n > N

¯¯

¯¯ n n + 3 − 1 ¯¯

¯¯ < ²

(1)

lim

n →∞

n

n + 3 = 1

（注）²が大きくなると上の

N

n ≥ 1

問

3

² > 0

δ = min {

1, ² 19

}

| x + 2 | < δ

| x ³ + 8 | = | x + 2 | × | x ² − 2x + 4 | < δ × 19 = ²

lim

x →− 2 x ³ = − 8

（注）

δ < 1

するように，1に特別の意味はありません．δ <

0.55

δ < 0.1

1

５月２６日：今日はコーシー列の予定でしたが，これまでの質問に答える意味も込めて，先週の証明をもう少 し丁寧に説明します．時間があればコーシー列に入ります．

—————————————————

—————————————

今回は皆さん，割合とできていました．自力でできた人は

²-δ

問

4

行き先は

25

² > 0

δ = min {

1, ² 11

}

ととる．さて，

| x ² − 25 | = | x − 5 | × | x + 5 |

であるが，

| x − 5 | < 1

4 < x < 6

| x + 5 | < 11

| x − 5 | < δ < 1

| x ² − 5 | < δ × 11 ≤ ²

11 × 11 = ²

lim

x → 5 x ² = 25

（裏の計算；11をどうやって見つけたのか？）

| x − 5 | < 1

4 < x < 6

| x + 5 | < 11

11

²/11

問

5

δ < 1

0.1

行き先は

4

² > 0

δ = min {

0.1, ² 11.261

}

ととる．さて，

| (x ⁴ + 2x ³ − 2x) − 4 | = | x + 2 | × | x ³ − 2 |

であるが，

| x + 2 | < 1/10

− 2.1 < x < 1.9

| x ³ − 2 | < 2.1 ³ + 2 = 11.261

| x + 2 | < δ < 0.1

| (x ⁴ + 2x ³ − 2x) − 4 | < δ × 11.261 ≤ ²

11.261 × 11.261 = ²

lim

x → 5 (x ⁴ + 2x ³ − 2x) = 4

—————————————————

—————————————

いろいろとレポートに質問が書いてあったので，まとめて回答します（黒丸が質問，棒線が僕の答えです．）

•

–

過去問を配ってほしいという要請は激しく却下．

–

•

–

•

²-δ

–

• ²-δ

–

ほとんどトレースできないので，結局は書かなかった人の不利になりますよ．（特に試験の時）

•

–

•

–

•

–

•

–

—————————————————

—————————————

まず，先週からやってる実数の公理の同値性を示す（一つの）順序をまとめておきます．

I = ⇒ II = ⇒ IV = ⇒ I (2.1.2)

これで

I, II, IV

II ⇐⇒ III (2.1.3)

も示します．これで

I

IV

重要な注意

先週の講義の後で，複数の人から質問があったので注意しておきます．先週「実数の公理（性質）

I

公理

I :

A 1

B 1

II :

A ₂

B ₂

の形をしており，「公理

I

II

A 2

I

B 2

を証明する」とやった訳です．講義の後で出た質問は「性質

II

II

A ₂

定して良いのか？」というものでした．もちろん，やっていいのですが，この混乱は「命題とは何か」が少しあや ふやになったために生じたものでしょう．（もっといえば，皆さんが今まで見てきた命題よりも公理

I, II

A 2

II

A 2

A 2

極限に関する重要な性質について

レポートへの質問で，極限の基本的な性質についてのものがありました．簡単には最初の頃に言ったつもりなの ですが，まとめておいた方が良いかもしれません．これらの補題は１節の極限の定義から直接，出てきます（実数 の連続性は必要ありません）．その意味で，１節に書いておくべきことではあります．

補題

2.1.8 lim _{n →∞} (a _n − b _n ) = 0

{ a _n } , { b _n }

_n

α

_n

β

このとき，

α = β

（証明）背理法で証明する．今

α 6 = β

² = | β − α | /3

²-N

²

N 1

N 2

n > N 1

| a n − α | < ² (2.1.4)

n > N 2

| b n − β | < ² (2.1.5)

が成り立つはずだ．そこで，

N 1

N 2

n

| a n − α | < ²

| b n − β | < ² (2.1.6)

が成り立ってるはず．ところがこの２つは，この

n

| a b − b n | = | (a n − α) + (α − β) + (β − b n ) | ≥ | α − β | − | a n − α | − | b n − β | > | α − β | − 2² = | α − β |

3 (2.1.7)

N ₁

N ₂

n

lim n →∞ (a n − b n ) = 0

α = β

補題

2.1.9

(i)

n

a n ≤ b

{ a n }

α

≤ b

(ii)

n

a _n ≥ c

{ a _n }

α

≥ c

補題

2.1.10

{ a n }

α

{ b n }

β

(i) lim

n →∞ (a _n + b _n ) = α + β (ii) lim

n →∞ (a n b n ) = αβ

(iii) β 6 = 0

b _n 6 = 0

lim

n →∞

a _n b n

= α β

（上の２つの補題の証明は各自でやってくだされ．） 続いて「区間縮小法」について

通常，区間縮小法というのは，閉区間でやるものをさします

s．先週やった，開区間のものでも正しいのですが，

まずは閉区間のものからまとめておきます．

公理

2.1.11 (実数の連続性の公理 IV-区間縮小法)

{ a _n } , { b _n }

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ . . . a n ≤ . . . ≤ . . . ≤ b n . . . ≤ b 3 ≤ b 2 ≤ b 1 (2.1.8)

n lim →∞ (b n − a n ) = 0 (2.1.9)