1.3 ベクトル空間の基底（解答）

線形代数学2 No.3 2004.10.18

1.3 ベクトル空間の基底（解答）

問題 5 部分空間V =













 x1

x₂ x₃







¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

x1 +x2+x3 = 0









を考える.

(1)V の基底を一組もとめなさい.

条件x3=−x1−x2より,V の任意のベクトルは 0 B@

x y

−x−y 1

CAと表せる.

ここで, 0 B@

x y

−x−y 1 CA=

0 B@

x 0

−x 1 CA+

0 B@

0 y

−y 1 CA=x

0 B@

1 0

−1 1 CA+y

0 B@

0 1

−1 1 CAより,

V の任意のベクトルは 0 B@

1 0

−1 1 CAと

0 B@

0 1

−1 1

CAで表せる.

さらに,x 0 B@

1 0

−1 1 CA+y

0 B@

0 1

−1 1 CA=

0 B@

0 0 0

1

CAとおいて,連立方程式を解くと,解はx=y= 0だけなので,

0 B@

1 0

−1 1 CAと

0 B@

0 1

−1 1

CAは一次独立.

以上より, 0 B@

1 0

−1 1 CAと

0 B@

0 1

−1 1

CAはV の基底になる.

(2)b1= 0 B@

1 2

−3 1 CA,b2=

0 B@

2 1

−3 1

CAもV の基底になっていることを示しなさい.

x 0 B@

1 2

−3 1 CA+y

0 B@

2 1

−3 1 CA=

0 B@

0 0 0

1

CAとおいて,連立方程式を解くと,解はx=y= 0だけになる.

よって,b1とb2は一次独立.

また,条件x3=−x1−x2より,V の任意のベクトルは 0 B@

x y

−x−y 1

CAと表せる.

ここで, 0 B@

x y

−x−y 1 CA=p

0 B@

1 2

−3 1 CA+q

0 B@

2 1

−3 1

CAとおいて連立方程式を解くと,p=x−2y

3 ,q= 2x−y

3 と解ける.

従って,V の任意のベクトルはb1とb2で表せる.

以上より,b1とb2はV の基底になる.