■数ベクトル空間の基底と成分表示  

線形代数学Ⅲ 参考資料 1

2021

^年度前期

工学部・未来科学部 2 ^年 情報メディア学科 他 ( ^金曜 5 ^限 / 2803 ^教室 ) 担当 : ^{原 隆} ( 津田塾大学学芸学部数学科・准教授 )

■数ベクトル空間の基底と成分表示  

定義 ( 数ベクトルの線形独立性 / ^{線形従属性} ) ^復習 : [ ^新井他 ] p.128 ^定義 5.12   n ^{次元数ベクトル空間の} k ^{個の数ベクトル} a

1

, a

2

, . . . , a

k

に対し

c

1

a

1

+ c

2

a

2

+ . . . + c

k

a

k

=

0

· · · (∗)

を 満 た す よ う な 実 数 組 (c

1

, c

2

, . . . , c

k

) ^が (0, 0, . . . , 0) ^{のみである} と き 、数 ベ ク ト ル の

組 a

1

, a

2

, . . . , a

k

は 線形独立 linearly independent ^{であるという。}

線形独立

= “

ばらばらな方向を向いている

”

  また、等式 (∗) ^{を満たすような実数組} (c

1

, c

2

, . . . , c

k

)̸=(0, 0, . . . , 0) ^{が存在するとき} ( ^つまり 線形独立ではないとき ) a

1

, a

2

, . . . , a

k

は 線形従属 linearly dependent ^{であるという。}

※1次独立/ 1次従属と表記されることも多い([新井他]とか) babababababababababababababababababab

復習

a

1

a

2

. . . a

k

_{行基本変形}

−−−−−−→

a

^′₁

a

^′₂

. . . a

^′_k

のとき、

c

1

a

1

+ c

2

a

2

+ . . . + c

k

a

k

=

0

⇐⇒ c

1

a

^′₁

+ c

2

a

^′₂

+ . . . + c

k

a

^′_k

=

0

 特に、数ベクトル a

1

, a

2

, . . . , a

k

の線形独立性は行列

a

1

a

2

. . . a

k

を行標準形

(

^階段行列

)

に変形することで判定出来る

!!

[ ^新井他 ] p. 134 ^定理 5.2 ^参照

※

Rⁿ

^の

(n+1)

^{個以上の 数ベクトルは 自動的に 線形従属 となる} ( 並べた行列の階数 ≤ min { ^行の数 | {z }

=n

, 列の数

| {z }

≥n+1

} = n なので )

定義 ( ^{数ベクトル空間の基底} ) [ ^新井他 ] p. 135 ^定義 5.30 ^を参照  

n

^{個の 線形独立な}

n

^{次元 数ベクトルの組} b

1

, b

2

, . . . , b

n

∈

Rⁿ

^を n ^{次元数ベクトル空間}

Rⁿ

^{の 基底} basis ^{と呼ぶ。順序も含めて 考えた基底}

B

= ⟨ b

1

, b

2

, . . . , b

n

⟩ ^{を、数ベクトル空間}

Rⁿ

^{の 順序付き基底} ordered basis ^と呼ぶ。

命題

1.1 B

= ⟨ b

1

, b

2

, . . . , b

n

⟩ ^を

Rⁿ

の順序付き基底とするとき、任意の n ^{次元数ベクトル} x

に対して

x = x

1

b

1

+ x

2

b

2

+ . . . + x

n

b

n

を満たす実数組 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) が 一意的に 存在す

る。 [ ^新井他 ] p. 135 ^定理 5.31 ^を参照

このとき、 x = x

1

b

1

+ x

2

b

2

+ . . . + x

n

b

n

= (b

1

b

2

. . . b

n

)



 

 x

1

x

2

.. . x

n



 

 ^を x =



 

 x

1

x

2

.. . x

n



 



B

と略記して

x ^の ( ^{順序付き基底}

B

^に関する ) ^成分表示 component form ^と呼ぶ。

※ 標準基底canonical basis E=⟨e1,e2, . . . ,en⟩に関する成分表示は、通常の意味での(例えば[新井他] の第1章,第5章で説明されている意味での)ベクトルの成分表示に他ならない。

【命題

1.1

^の証明】

1.

^任意の

Rⁿ

^の元 x ^が b

1

, b

2

, . . . , b

n

の線形結合で表されること 既に見たように (n + 1) ^個の

n ^{次元数ベクトル} b

1

, b

2

, . . . , b

n

, x ^{は 線形従属となる ので、実数} c

1

, c

2

, . . . , c

n

, c

n+1

で

c

1

b

1

+ c

2

b

2

+ . . . + c

n

b

n

+ c

n+1

x =

0

· · · ( † )

1

(c

1

, c

2

, . . . , c

n

, c

n+1

) ̸= (0, 0, . . . , 0, 0) · · · (†)

2

が成り立つようなものが存在する。ここで もし c

n+1

= 0 ^{であると仮定する と、} ( † )

1

に c

n+1

= 0 ^{を代入して} b

1

, b

2

, . . . , b

n

の線形関係 c

1

b

1

+ c

2

b

2

+ . . . + c

n

b

n

=

0

· · · ( † )

^′₁

^を

得るが、 b

1

, b

2

, . . . , b

n

は数ベクトル空間

Rⁿ

の基底であり、定義から 線形独立 なので

(†)

^′1

の係数 c

1

, c

2

, . . . , c

n

はすべて 0 でなければならない。したがって c

n+1

= 0 ^と併せて

(c

1

, c

2

, . . . , c

n

, c

n+1

) = (0, 0, . . . , 0, 0) が成り立つはずであるが、これは c

1

, c

2

, . . . , c

n

, c

n+1

の 選び方 ( † )

2

と矛盾する。したがって 背理法 により c

n+1

̸ = 0 であることが従うので、 ( † )

1

を

x = − c

1

c

n+1

b

1

− c

2

c

n+1

b

2

− . . . . − c

n

c

n+1

b

n

と書き直すことが出来る。最後に x

1

= − c

1

c

n+1

, x

2

= − c

2

c

n+1

, . . . , x

n

= − c

n

c

n+1

とおき直せば、

命題

1.1

^{の主張のような} x の線形結合表示が得られる。

2.

b

1

, b

2

, . . . , b

n

による線形結合表示が一意的であること n ^{次元数ベクトル} x ^が b

1

, b

2

, . . . , b

n

の線形結合として 2 ^{通りの表示}

x = x

1

b

1

+ x

2

b

2

+ . . . + x

n

b

n

= x

^′₁

b

1

+ x

^′₂

b

2

+ . . . + x

^′_n

b

n

を持つとすると、 2 つの線形結合表示を辺々引き算することで等式

x

1

b

1

+ x

2

b

2

+ . . . . + x

d

b

n

= x

− ) x

^′₁

b

1

+ x

^′₂

b

2

+ . . . . + x

^′_n

b

n

= x

(⋆) : (x

1

− x

^′₁

)b

1

+ (x

2

− x

^′₂

)b

2

+ . . . . + (x

n

− x

^′_n

)b

n

=

0

を得る。一方で b

1

, b

2

, . . . , b

n

は 線形独立 である から、式 (⋆) ^に於ける b

1

, b

2

, . . . , b

n

の係 数はすべて 0 でなければならない。ゆえに

x

1

= x

^′₁

, x

2

= x

^′₂

, . . . , x

n

= x

^′_n

^{が成り立つ。これ}

は x ^の b

1

, b

2

, . . . , b

n

による線形結合が一意に定まることを表しているのに他ならない。

□

■基底の変換行列

:

基底を取り替えるとどんな影響が発生するか

?



b1

b2

x

x y

O

b^′₁ b^′₂ x

x y

O

2 ^{次元数ベクトル} x = 1

3

は、順序付き基底

B

=

b

1

= 3

1

, b

2

= − 2

2

を用いると

x =

"

1 1

#

B

と表され ( ^左図参照 ) ^{、順序付き基底}

B^′

=

b

^′₁

= −2

0

, b

^′₂

= 1

1

を用いると

x =

"

1 3

#

B^′

と表される ( ^右図参照 ) ^。

⇝

2 つの成分表示の間にはどんな関係があるだろうか ?

定義 ( ^{基底の変換行列} ) サポートページ『基底の変換』参照

^*1

  n 次元数ベクトル空間

Rⁿ

^の 2 つの順序付き基底

B

= ⟨ b

1

, b

2

, . . . , b

n

⟩ ,

B^′

= ⟨ b

^′₁

, b

^′₂

, . . . , b

^′_n

⟩ に対して

b

^′₁

b

^′₂

. . . b

^′_n

| {z }

B^′

= b

1

b

2

. . . b

n

| {z }

B

P

_B→B′

を満たす n ^{次正則行列を}

B

^から

B^′

^{への 基底の変換行列} change-of-basis matrix ^{と呼ぶ。基} 底の変換行列を表す記号は特に決まっていないが、この講義では P

_B→B′

と書くことにする。

命題

1.2

^{順序付き基底}

B

= ⟨b

1

, b

2

, . . . , b

n

⟩ ^および

B^′

= ⟨b

^′1

, b

^′₂

, . . . , b

^′_n

⟩ ^{での数ベクトル} x ^の

成分表示が x =



 

 x

1

x

2

.. . x

n



 



B

=



 

 x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 



B^′

であるとき、



 

 x

1

x

2

.. . x

n



 



B

=



 

 P

_B→B^′



 

 x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 



| {z }

通常の行列の積



 



B

が成り立つ (B ^か

ら

B^′

への基底の変換行列が分かっていると、

B^′

^{に関する 成分表示から}

B

^{に関する 成分表示} が分かる ; ^どちらが

B

^{でどちらが}

B^′

か 非常に混乱しやすい ので 要注意 !! ) ^。

【命題

1.2

^の証明】

数ベクトルの基底に関する成分表示の定義と、基底の変換行列の定義から直ちに従う ; ^即ち

x =



 

  x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 

 

B^′

成分表示の定義

= b

^′₁

b

^′₂

. . . b

^′_n

| {z }

B^′



 

  x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 

 

変換行列の定義

=





b

1

b

2

. . . b

n

| {z }

B

P

_B→B^′





| {z }

B^′



 

  x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 

 

結合法則

= b

1

b

2

. . . b

n

| {z }

B



 

  P

_B→B′



 

  x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 

 



 

 

成分表示の定義

=



 

  P

_B→B′



 

  x

^′₁

x

^′₂

.. . x

^′_n



 

 



 

 

B

より従う。

□

線形代数の

“

^極意

”

状況に応じて自由自在に (“ ^都合良く ”) 基底を取り替えてしまおう !!

*1https://www.cck.dendai.ac.jp/math/support/ch5-supp/^{基底の変換}.pdf

■演習問題  

演習問題

1-1.

( 数ベクトル空間の基底と成分表示 ) 以下の設問に答えなさい。

Ⅰ . 2 ^{次元数ベクトル空間}

R²

( ^{平面ベクトル} ) について以下の設問に答えなさい。

(1)

B

=

b

1

= − 1

3

, b

2

= 2

− 5

が

R²

^の ( ^順序付き ) 基底となることを示しなさい。

(2) ^{順序付き基底}

B

^{に関する平面ベクトル} x = 3

− 4

の成分表示を求めなさい。

Ⅱ . 3 ^{次元数ベクトル空間}

R³

( ^{空間ベクトル} ) について以下の設問に答えなさい。

(1)

D

= ⟨ ^d

¹

^{=     1 0 2     , d}

²

^{=     3 1 0     , d}

³

^{=     − 2 1 1    } ⟩ ^が

^R3

^{の ( 順序付き ) 基底となることを}

示しなさい。

(2) ^{順序付き基底}

D

^{に関する空間ベクトル} y =



 

 3

− 8 9



 

 の成分表示を求めなさい。

演習問題

1-2.

( ^{基底の変換行列} ) 以下の設問に答えなさい。

Ⅰ . 2 ^{次元数ベクトル空間}

R²

( ^{平面ベクトル} ) ^の基底

B

=

b

1

= 1

− 2

, b

2

= −2

3

及び

B^′

=

b

^′₁

=

2

− 7

, b

^′₂

= 1

− 3

に対して

(1) ^{基底の変換行列} P

_E→B′

, P

_B→B′

を求めなさい。但し

E

=

e

1

= 1

0

, e

2

= 0

1

は標 準基底とする。

(2) ^成分表示 x =

"

1 3

#

B^′

で表されている平面ベクトル x に対して、その順序付き基底

E

および

B

に関する成分表示を求めなさい。

Ⅱ . 3 ^{次元数ベクトル空間}

R³

^の基底

D

= ⟨ ^d

¹

^{=     − 1 1 1     , d}

²

^{=     3 0 1     , d}

³

^{=     0 1 0    } ⟩ ^及び

D^′

= ⟨ ^d

^′1

^{=     − 2 1 2     , d}

^′2

^{=     2 1 0     , d}

^′3

^{=     1 1 1    } ⟩ ^に対して

(1) ^{基底の変換行列} P

_E→D′

, P

_D→D′

を求めなさい。但し

E

= ⟨ e

1

, e

2

, e

3

⟩ ^{は標準基底とする。}

(2) ^成分表示 y =



 

 2 1

−1



 



D^′

で表されている空間ベクトル y に対して、その順序付き基底

E

および

D

に関する成分表示を求めなさい。