解析学１ No.3 2006. 4.27
2. 微分と積分 2.1 微分とは
担当：市原 関数の極限¶ ³
関数y=f(x)が
「変数xの値が限りなくaに近づくと関数値f(x)が一定値bに限りなく近づく」
を満たしているとき,
「xがaに近づくとき関数y=f(x)はbを極限値としてもつ」
といい, lim
x→af(x) =b で表す.
µ ´
例題 4 次の極限値を求めなさい. ただし,存在しないときは「存在しない」とかくこと. (1) lim
x→3
(
2x2+ 3x− 1 x
)
(2) lim
x→0
1 x
¶ 微分係数 ³
関数y=f(x)のグラフ上の点(a, f(a))における接線の傾きを, y=f(x)のx=aにおける微分係数といい,f0(a)で表す.
微分係数f0(a)は lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h で計算できる.
µ ´
例題 5 関数y=x3のx= 2における微分係数をもとめなさい.
¶ 導関数 ³
どんなx=aにおいてもf0(a)が存在する関数を微分可能関数という.
微分可能関数y=f(x)が与えられたとき,「対応 a7→f0(a)」によって決まる新しい関数 をy=f(x)の導関数という.
式で表せば,導関数は y=f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h となる.
y=f(x)から導関数を求めることを微分するという．
µ ´
例題 6 関数y= 2
x を,定義に基づいて微分しなさい.
3
解析学１ No.3 2006. 4.27
2. 微分と積分 2.1 微分とは
担当：市原問題 4 次の極限値を求めなさい. (1) lim
x→1
x−1 x2+ 2x+ 1
(2) lim
x→1
x2−1 x2−2x+ 1
問題 5 次の式で表される関数の,与えられたxの値における微分係数を,定義に基づいて (lim を使って) 求めなさい.
(1) y=−x2+ 3 [x=−1]
(2) y=√
x [x= 3]
問題 6 次の式で表される関数を,定義に基づいて (limを使って) 微分しなさい. (1) y= 1
x−2
(2) y= 1
√x
[Challenge] y=√3 x
