Numerical simulation of a hyperbolic free boundary problem with volume conservation constraint

Numerical simulation of a hyperbolic free boundary problem with volume conservation constraint

著者 Yamazaki Takashi

著者別名 山?, 崇志

journal or

publication title

博士学位論文要旨 論文内容の要旨および論文審査 結果の要旨／金沢大学大学院自然科学研究科

volume 平成19年9月

page range 6‑10

year 2007‑09‑01

URL http://hdl.handle.net/2297/26677

山崎崇史 博士(理学）

博甲第８３９号 平成１８年９月２８日

課程博士（学位規則第４条第１項）

Numericalsimulationofahyperbolicfreeboundaryproblemwithvolume

conservationconstraint

（体積保存の拘束条件の下での双曲型自由境界問題の数値シミュレーション) 小俣正朗（自然科学研究科・教授）

宮)|｜鉄朗（自然科学研究科･縮)，伊藤秀一（自然科学研究科･教授)，

畑上到（自然科学研究科･教授)，長山雅晴（自然科学研究科･助教授）

氏名 学位の種類 学位記番号 学位授与の日付 学位授与の要件 学位授与の題目

論文審査委員（主査）

論文審査委員(副主査）

lModelEquation

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，thehyperbolicfree-boundaryproblemunderthevolumeconservation conditionistreated・Thetypicalphenomenoncorrespondingtothisproblemisthemotion ofabUbbleonwatersurface、Ｔｈｅａｉｍｉｓｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｍｏｔｉｏｎｉｎｎｕmericalsimulation・

Thebubblemovesonwatersurfacewithchangingitsshapeandsupport・Theinertia fbrceofthebubblefilmoranonunifbrmdistributionofsurface-activeagentcanbethe drivinｇｆｂｒｃｅｏｆｉｔｓｍｏｔｉｏｎ

Ｗｅｕｓｅｔｈｅｇｒａｐｈofscalarfimctionutodescribetheshapeofthebubble・Thezero levelsetofucoincideswiththewatersurface・ＴｈｅｓｅｔｗｈｅｒｅｔｈｅｂｕbbletouChesthe watersurfaceiscalledﾉｹ℃ｅ－ＭＭ剛.Thebubbleisassumedtokeepitsvolume,ie.,the

v.､…畑…d・dby`M1…．…d(〃伽-V-…〕TMmo｛ bubbleisassumednottOgounderthewatersurface(ｕ三Ｏ)．Therefbre,theproblem becomesafree-boundaryproblemofdegeneratehyperbolictypewithvolumeconstraint・

ThefO11owingequationdescribesthephenomenawell：

肋>outt＝△ｕ－Ｒ２)(し(伽)＋Ｌ)(“>ｏ（ｚｅＱ,Ｏ＜ｔ＜γ)， (L1）

whereQisaboundeddomainofW(ｍｅＮⅥO})．

Here,theindividualtermsofequation(1.1)hasthefbllowingmeaning：Theterm mttshowstheacceleratiｏｎｏｆｔｈｅｖｅｒｔｉｃａｌｍｏｖｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｆｉｌｍａｎｄ△urepresentsthe fbrceoriginatingintheelasticenergyofsurfacetensionofthefilm・ＴｈｅｔｅｒｍＸｕ>oisthe chaJCacteristicfimctionoftheset{ｕ＞O}and雌ＳＯ２(Ｒ)isasmoothingfimctionofX

satisfj7ing

{1'二1'１

昨(s)＝

withinterpolatinginO＜ｓ＜EinsuchawaythatlXL(s)'三Ｃ／ＳThetermR2XL(u)ｉｎ (1.1)describestheadhesivefbrceJtisduetothisrestrictionfbrcethatthegeneration

ofthenewsurfaceormovementoffree-boundarycouldbedisturbed、Itisassumed thatthecoefIicientRｄｏｅｓｎｏｔｄｅｐｅｎｄｏｎｔｉｍｅａｎｄｉｓｂｏundedfrombelowandabove

(Ｏ＜Ｒｍ≦Ｒ二ＲＭ)．Theabove-mentionedthreetermsrepresentkineticefIects・The firstfeatureofthiseqUationliesinthecoeHicientXu>oontheleft-handside・Becauseof thiscoefIicient,non-negativityofthesolutionisguaranteed．

－６－

FunctionL,whichappearsinthelasttermof(1.1)isaLagrangenmtipliercoming fromthevolume-preservationcondition.TheexplicitfbrmoftheLagrangemultiplierL

isobtajnedasfO11ows：

Ｌ(‘)÷仏…｡+ＭＭ趣x:仏小〃 ^(L2）

byfbrmalcalculationwithvolumeconstraintconditionundertheassumptionthatL doesnotdependonspacevariablesltisthesecondfeatureofthisequationthatsuch non-1ocaltermappears・Theintegralrepresentationabovemakestheproblemmore difIicultHowever,anapproximatesolutionto(1､1)canbecalculatedbyuseofatime- semidiscretizedfilnctionalwhichiscalleddjsc泥teMmwse/7CuﾉのＭＦソｑﾉﾉZZ/perMjctZ/pe

withouteXplicitlyconsideringthevolumeconstraint．

ｚＤｉｓｃｒｅｔｅＭｏｒｓｅＦ１ｏｗａｍｌＡｐｐｒoximateSolution

Weintroduceanapproximateproble、ｔｏ(1.1)Here,wegivethevolumeconstraint intheadmissiblespacefbrfindingaminimizerofatime-semidiscretizedfunctionalcor-

respondingtotheLagrangian．

Problem2､1．Ｌｅ川ｂｅｑＭｎｄｅｄｄｏｍａｉ７ＭｎＲｍ・Ｆｂｒｎ＝2,3,…，元ｎｄｎＷｕｉｍｉｚｅｒｕ”

qﾉｫﾉWblJouﾉ、,九"ctMMLZ：

ﾉ(!'迦一加景芸…'２…+;小Ｍ+ﾉ(;R2x蘆(鱸)“（2,）

Jh(u）

ＺｎｵﾉZe九nctjonset

岬十W'2(QR昨Ｍａｎル…－V＞

凡冗ctjo"smo,u1dCU，伽ｵﾉＺｕ，＝ｕｏ＋huoqme9jUenqMtbese9uence｛u"｝ｊｓｔｏｂｅ

`ete7wBi"ecMDcluctjuelZ/､MOmeouer,６１ﾉｕｓｅｑﾉｫﾉZesemmimjzems,ＣＯ"structquﾉeqAsoMion

toa.zﾉ．

Accordingtotheminimalitypropertyiwecanshowthenon-negativityandexistence ofthenmnimizer・H1rthermorewegetthefbllowingtheoremabouttheregularityof

rn1nTTTI1ZZer．

Theorem2､1．ｌ７ｂｒｑＪｍＣＣＱ,the7℃ezistsqPos伽econs伽tajMePende"ｔｑ/ｎＭｔｈ

O＜α＜1,suCMmtm伽伽zelws皿nMon9toCα(､)．

ThisisindispensablefbrtheappliCationoffirstvariationfbrmulatoJh、

Inaddition,wecamyoutinterpolationintimeofminimizers{u"}andconstructthe

approximateweaksolutionto(11)．

Wedefine面ｈａｎｄｕｈｏｎｎ×(０，｡｡)ｂｙ 誠(z,t)＝u"(Ｚ)，

噸１Ｗ)=卜(竿')伽迦化)+竿…(麺几 ^{(2.3） (2.2）}

天h(t)＝入れ， (24）

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for(⑳,t)ＥＱ×((、－１)Ｍｈ],ｎｅＮＨｅｒｅ，

恥÷ﾉ！[…丙;+……+M'２+R廻螂xI(蝋)ﾙ〃

isaLagrangemultiplier，

Wecanconstructtheapproximateweaksolutiontothebubbleprobleminｔｅｒｍｓｏｆ

面handTLh．

Definition２．１(Approximatesolution).Let{u､}ｄＣＷＭｌｅ堀/Wzduh6edQ/ined

czsqMe.〃仇eoMouﾉｍ９ｃｏＭ伽oｎｓ

ﾉ(T/I(㈹一等(ﾄﾊ)②+ｗ+E圏(x`(鰯､)ﾙﾙ刎臘

＝ﾉ(Tﾉ(;W伽､のEC;｡(m1qT1n{迦心0}〕（25）

uｈ＝ｏ Ｍｘ(Ｍ)({"ｈ>O}，（26）

(ｚＭｔｈｅｍ伽lIcM伽onsnh(O)＝ｕ0,皿h(ん)＝〃o＋/woqmesqtj蛾ed,ｔｈｅｎｕ）ｅｃａｌｌ両h

qMtL/Ｚａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔ/zeb7Lb肱ｐｍ６肥、．

ｓＮｕｍｅｒｉｃａｌＲｅｓｕｌｔ

HerewepresentthenumericalInethodandexperimentalresults・Weapplyafinite elementmethodwithminimizingalgorithmandfinClminimizeroftheapproximatefUnc- tionalJW」)defincdaboveviasteepestdescentmethodfbrafixedtimestep血Ｔｈｅ ｔｉｍｅｓｔｅｐｈａｎｄｄｉａｍｅｔｅｒｏｆｅａｃｈｆiniteelementarechosensmallenoughrelatedtothe

approximationparametera

WeshowthenumericalresultundertheNeumannboundarycondition(seeFigure

l)．Wechoosetheparametersasfbllows：ノ､＝５×10-3,9＝Ｏ１ａｎｄＲ２＝0.35．The

bubblewhichhassucllainitialvelocitythatitmovesinthediagonaldirectiontothe boundarynlovestowardtheboundaryandtouchesit・Themorethebubbleleansagainst tlleboundary，ｔｈｅｓｍａｌｌｅｒｔｈｅａｒｅａｏｆｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｏｆｔｈｅｂｕｂblebecomes・Thebubble movesalongtheboundaryandfinallyfindsthecornerofthedolnainandsettlesthere．

４Conclusion

Anumericalmethodfbrsolvingthehyperbolicfiree-boundaryproblemunderthe volumeconservationconstraintwasdevelopedThisproblemcorrespondstypicallyto themotionofbubblerestrainedonwatersurface・Themodelequationisadegellerate

hyperbolicincludinganon-localterm(Lagrangemultiplier)comingfromthevolume

constraint・WChaveintroducedavariationalmethodcalleddiscreteMorseHowtosolve

thisproblemanditgavegoodnumericalresults・Ｔｈｉｓｍｏｄｅｌｃａｎａｌｓｏｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎｏｆｏｉｌｏｎｔｈｅｂｏｔｔｏｍｏｆｗａｔｅｒｏrtoproblemsrelatedtothephenomenonofa water-dropdrippingfromceilingThisworkhasmanyapplicationsandissignificantfOr

thefilturestudyingofhyperbolicfree-boundaryproblems．

－８－

；

:

１．４ １.Ｐ １

，．０ ０．６ ０．４ ０．２

⑧

|:非

ＤＢｑ２０

●●●ＣＤ０００

ユ

(a)ｔ＝0.0 (b)ｔ＝１．０

；

：

句２１０ｃｑ２日●◆●□⑤Ｃｌ１０００３ ｑ２１０Ｇｄ２０●●●●●●Ⅱ１００００

：

(a)ｔ＝２０ (b)ｔ＝２２

ｉ

ｑＰⅡ「⑥６句２０ＱＣｃ●●●

Ⅱ１００００

１．分「_{２１ＢＧ４２、}

●●●●●Ⅱ００００

ユ

(c)ｔ＝3.1 (d)ｔ＝８．０

Figurel：UndertheNeumannboundarycondition，aftertouchingtheboundaryi

■■■■ －

LﾕらｕＬＵＬ・ｕ１Ｌｕヒエしuu1wulIiannoounqarycono1tlon，altertoucmngtheboundaryithe

bubblemovesalongthebOundaryThebubblestopsandkeepsthesmallestsurface

whenreachingthecomerofQ．

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学位論文審査結果の要旨

平成１８年８月３日に口頭発表､その後に審査委員会を開催し、慎重審議の結果以下の通り判定 る質疑を妓終試験に代えるものとした。

口頭発表におけ した。なお、

本論文は、双曲型自由境界問題の数値解法に関して、具体的な問題として水面に浮かぶ泡のダイ 波動方程式に基づいて運動する泡の表面の挙動を､泡が囲い込む空気が体積

ナミクスをモデルに、

:Mi成を行ったものである。ざらにここで 保存するという条件の下で、数植解法の開発９近似弱解の

シミュレーションを行い、従来解析が困難であ った現象を的硴に再 開発きれた方法によって実際に

現することに成功している。本論文の中心的方法は､時間差分空間微分型変分汎関数の最小値を求 める離散勾配流法と呼ばれるものであるが､この方法論を今まで適用が困難であった双曲型自由境

界問越を取り扱えるように改良し､さらに体積保存条性も無理なく取り扱う工夫を行った。 また、

ＭＩＩ散解のヘルダー連続

近似弱解のIMi成では、変分汎関数の最小性を使った精密な評価から 得られる 近似解としての意味づけがうまくいくことを示した。

|生を示し

以上の研究成果は、数学的には双曲型自由境界問題、体積保存の時間依存問題に新しい知見をも たらし、数値的には接触角で運動する液滴のダイナミクスなど時間に依存する結果がほとんど知ら

授与に値するものと判 定した

れていない分野を切り開くものでありγ本論文は博士（理学）

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