NDC 501．9
状態フィードバックによる2次元システムの分離可能性と
2次元状態観測器＊
湖西二郎＊＊西山宗弘＊＊富田信昭＊＊
（昭和55年4月30日受理）
Separability of Two−Dimensinal Systems by State Feedback and Two−Dimensinal State Observer
Jiro SHIMoNlsHi Munehiro NisHiyAMA Nobuaki ToMiTA
（Received April 30， 1980）
This note mainly proposes a method to construct a state observer for two−dimensional systems where the Roesser s model is used to represent the systems． First， we introduce the concept of separability in two−dimensional systems and show a necessary and sufficient condition for a two−dimensional systern to become separable by means of state feedback． Next， we present a sufficient condition for the state observer of two−dimensional systems to exist and a method for constructing the state observer by applying the concept of systern separability．
1．ま え が き
最近，リモートセンシング，医用画像処理，パターン認 識などの発達と共に，2次元画像処理に関する研究が急速 に盛んになってきた1）・2）。従来，2次元信号の処理には2 変数の伝達関数で記述される2次元ディジタルフィルタが 有効と考えられ，主に安定問題3）や設計問題4＞5）などが解 析されてきた。しかし，この数年来のうちに2次元システ ムに対する幾つかの状態変数モデル6）〜8）が提案され，2次 元システムの可制御性，可観測性などの内部構造が明らか にされつつあるが8），状態推定に関する報告は見当らない ようである。そこで，ここではRoesserモデル7）で表現さ れる2次元システムに対する状態観測器を構成することを 考える。状態観測器はその伝達関数の分母多項式が1変数 多項式の積で表わされるような分離可能2次元システム注）
で構成される。本稿では2次元状態空間モデルに対する分 離化の概念を導入し，状態フィードバックによる分離可能 性について考察する。そしてその結果から2次元状態観測 器が存在するための条件を検討する。
2。分離可能2次元システム
Roesserモデルによる2次元システムの内部記述は次式 で与えられる。
：P： ﾕ1｛H食1貸：］［ご；：1］・「1：弼
聯一［鯛［l111：1］
（1）
＊一部は第24回システムと制御研究発表講演会にて講演
＊＊電気工学科
ここで，勲幻∈Rnおよびκ 翻eR常はそれぞれ∫，ノ時点に おける水平および垂直局齎状態，uおよびyはそれぞれス
カラーの入力および出力であり，A1， A2， A3， A4， b1， b2，
C1， C2は適当なサイズの実行列を表わす。
最初に分離可能2次元システムをつぎのように定義す
る。
＜定義1＞ システムΣPにおいて，A2＝Onxmあるいは A3＝0翅吻であるとき，Σpを分離可能2次元システムと呼 注）Eising9）はそれぞれ異なった変数で表わされる．1次元 伝達関数をもつ2つのシステムがカスケードに接続される
．システムを分離可能2次元システム（Separable 2−D System）
と呼んでいる。すなわち，この場合，伝達関数は分母分 子多項式共に1変数多項式の積で表わされることが必要で
ある、
一57一
津：山高専紀要．第18号 （1980）
ぷ。
定義1は分離可能2次元伝達関数の概念。）を状態空間モ デルに適用したものであり，両者の関係はつぎの定理で明
らかにされる。
＜定理1＞ システムΣρが分離可能2次元システムであ るための必要十分条件はその伝達関数丁（S，X）の分母多項 式4（s，a）が1変数の多項式の積q1（s）・q2（e）に分解できる
ことである。
（証明） 十分性：伝達関数からの実現問題であり，
T（s，2）の分母多項式がql（s）・q2（2）と分解できるとき， A2
＝＝OnxmあるいはA3＝O．×nであるようなRoesserモデル が実現できることがKungらの実現法8）によって示される。
必要性：式（1）においてA3＝ Om・nとする。このとき，そ の伝達関数は次式で与えられる。
・剛叫§∵兆義］う［1：］ （2）
式②よりT（s，2）の分母多項式が1変数の多項式の積に分 解できることは明らかである。 （証明終り）
つぎに分離可能2次元システムの解に関する既に知られ ている性質を記しておく。
〈定義2＞8）xh。，ゴ＝0（ノ≧1）， xVi，。＝＝ O （i≧1）のとき，
X。，。全［xho，oT， xVO，oT］TをシステムΣpの局所初期状態と 呼ぶ。ただし［・］Tは，・の転置を表わす。
〈補題1＞1D分離可能2次元システムにおいて， u毎講0
｛（i，カ≧（0，0）｝とする。このとき，（i，の≧（1，1）時点 における解は次式で与えられる。
［：lll］一［λ識λl18］鞠
［ll［lll］一［：讐判鞭
（for A2＝＝O） （3）
（for A3＝O） ｛4）
ただし，（i，の≧（k，r）はi≧kかつi≧〆であるようなす べての整数の対である。
さて，システムΣρを状態フィードバックによって分離 可能システムにすることを考えよう。
＜定理2＞状態フィードバックによってシステムΣpを 分離可能システムにできるための必要十分条件はA2＝bl k2あるいはA．3＝・b2k1のいずれかを満たすk1T∈Rn， k2T
∈Rmが存在することである。
（証明） システムΣpに
ui，i＝［klk2］ ［：：ill ］
（5）
「ll諸］一寸ll食：二1：1：］［鷲：1］
（6｝
なる閉ループシステムを得る。すなわち，A2・＝b1 k2（A3
＝b2kl）を満たすk1（k2）が存在することが，状態．フィー ドバックによってシステムΣpを分離可能システムにでき るための必要十分条件であることがわかる。（証明終り）
なお，定理2を満たすような対（A2， b1）あるいは（A3，
b2）を以後分離可能対と呼ぶ。
3．2次元局所状態観測器
今，つぎの2次元システムを考える。
恥鳴｛H畿1［llll］・［ll］陶
＋［：1］ yi，i ， （7）
ただし，物ヴ∈Rn， z〃房∈RmはシステムΣoにおける水平 および垂直局所状態であり，F1， F2， F3， F4， h1， h2，
91，92はそれぞれ適当なサイズの実行列である。
ここで，システムΣ0の局所初期状態を定as 2と同様に 定義し，システムΣpの状態観測器をつぎのように定義す
る。
＜定義3＞ システムΣpとΣoの間にXo，o，Zo，oおよびUf，ゴ に関係なく
［lkv：ll］ ＝ ［ii：li］
（8）
によってフィードバックを施す。このとき，
となる有限整数の対（k，r）が存在するとき，システムΣoを システムΣpの局所状態観測器という。
＜定理3＞ システムΣpの局所状態観測器が存在するた めの十分条件は
i） （A3T， CIT）が分離可能対であり，かっ，（A1， C1）
が可観測対注＞
ii）（A2T， C2T）が分離可能対であり，かつ，（A4， C2）
が可観測対
のいずれかが成立することである。
（証明） 最：初に，
［：：ijj．］A一［1：1［jl］一［iglljj］
を定義しておく。このとき，式（1）および式（7）より次式を得
る。
一58一
注）ここでの可観測対の意味は1次元システムの場合と 同様の意味である。
状態フィドバックによる2次元システムの分離可能性と2次元状態観測器 下西・西山・富田
［ご淵一［；：；1］［1：1］一｛［ll髭］
一瓢］・［二］［・・C・］｝匿；：1］・｛［
一 ［：1］ ｝ ui・i
ここで，
うに選ぶ
Fi＝Ai−giCi， F2＝A2−giC2， bi＝＝hi F3＝＝A3−g2Ci， F4＝A4−g2C2， b2＝h2
脚
（9）
F1， F2， F3， F4， h1， h2をそれぞれつぎのよ
（10）
まず条件i）について考える。式（10）において（A3T， CIT）
が分離可能対であれば適当なg2∈Rmが存在して， F3＝0 とでき，（A1， C1）が可観測対であればよく知られている ように，あるg1∈Rnが存在してF1をべき零マトリクス にできる。このとき，式（10）は
［：：1；t i］ ＝ ［ 」 ．i］ ［：h，1［il［］ ae
のように書換えられるので，式（4）に注目すれば，整数の有 限対（k，r）≧（n＋1，1）に対してek，h＝・Oとできる。ただ し，ek，r今［ehk，rT， eVle，rT］Tである。条件ii）についても 全く同様にして，（le， r）≧（1，m＋1）に対してele，h−0とで きる。 （証明終り）
4．あ と が き
2次元システムの状態空間モデルに対する分離化の概念 を導入し，状態フィードバックによる分離可能性の条件を 求めた。また，この結果が2次元システムの状態観測器の 構成に応用できることを示し，その十分条件を与えた。こ
こで得られた条件は幾分厳しいように思われるが，プロパ ーな2次元伝達関数）からこの条件を満たすようなRoesser モデルを実現することは可能であり（付録参照），閉ループ システムの入出力特性に注目するような設計法における状 態フィードバックに，ここでの観測器を利用することが考 えられる。
なお，本稿での結果は多入出力システムの場合にも容易 に拡張できる。
最後に，筆者の一人が日頃お世話になっている神戸大学 工学部教授前川禎男，助手雛元孝夫（現カナダQueen s大 学留学中）の両先生に深く感謝の意を表する。
文 献
1 ） T． S． Hung （ed．） ： Picture Processing and Digital Fil−
tering， Springer （1975）
2） A． Rosenfeld and A； C． Kak ： Digital Picture Proces−
sing， Academic （1976）
3） Anderson， B． D． O． and Jury， E． 1．， IEEE Trans． Audio，
AU−21， 4， p．366 （1973）
4） Hu， J． V． and Rabiner， L． R．， IEEE． Trans． Audio， AU−
20， 4， p．249 （1972）
5） Costa， J． M． and Venetsanopoulos， A． N．， IEEE Trans．
Acoust． Speech ＆ Signal Process．， ASSP−22， 6， p．432 （1974）
6） Fornasini， E． and Marchesini， G．， IEEE Trans， Autom．
Control， AC−21， 4， p．484 （1976）
7 ） Roesser， R． P．， IEEE Trans． Autom． Control， AC−20， 1，
p．1 （i975）
8 ） Kung， S．， L evy， B． C．， Morf， M．， and Kailath， T．， Proc．
IEEE， 65， 6， p．945 （1977）
9 ） Eising， R．， IEEE Trans． Autom． Control， AC−24， 3，
p．508 （1979）
10） Abramatic， J． F．， Francois， G． and Rosencher， E．， IEEE Trans． Acoust． Speech ＆Signal Process．， ASSP−27， 5，
（1979）
11）雛元，佐野，前川，信学論（A），J62−A，2， P．143 （昭54−2）
《付 録》
2次元伝達関数からの2次元実現
式（A−1）で与えられる2次元伝達関数はプロパー9）で あるものとする。
あ
砲ゴD−1暮；t：；｝｝一尋影が禦（A一・）
．Σ翠σ ゴ27ico一ノ ．1＝O 」 ＝o
最初に式（A−1）を回路で実現するためにつぎの2種 類のダイナミックス．素子を用意する。
X（2−1， to一］）
X（2−1， to−1）
xL 1
to−1
2一］x（z−1， to uz 1）
co−lx（2一 1， toL ］）
すなわち，ct水平方向遅れ素子（2n 1）（Horizontal Deley El−
ment） とtc垂直方向遅れ素子（ω『1）（Vertical Deley E1−
ment） である。
さて，実現は2段階に分けて行なわれる。
（First Realization）まず，式（A−1）を次式のように表 現する。
Zbi（tu−1）2−i
H（2−i，to−i）＝＝一 O （A−2）
Z］ai（tu−i）xi ゴ≡0
ただし，2−iの係数ai（to−1）， bi（ω 1）は変数ω一1をもつ有理 関数である。式（A−1）において，一般性を失うことなく aoo・＝1とおくことができ，式（A−2）におけるao（ωml）は つぎのように表現できる。．
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津山高専紀要第18号（1980）
ao （tu−i） 21 ｛一 ao （ca−1）
このとき，式（A−2）は1次元システムの場合と同様にし て，いわゆるtt可観測正準形 に実現できる（図1）。ただ
Fig．1 First realization of a 2−D transfer function
し，乗算器はω一1の有理関数F（ω一1）で表わされている。
（Second Realization） 次1こ，フィードバックゲインを与 えるためにm個＠（ω一1），仁0，…，m）のV． D．Eとそして 入力ゲイ．ンを与えるために他のm個（bi（ω一1）， i＝0，…，m）
のV．D． Eを用いて合計〃＋2mの遅れ素子をもつ図2の 実現を得る。
◎．o 昏巳。 昏30 昏」。
璽。ﾖ瑠
る「◎1 寺ll 伽 渉訊
ω冒「
X誓
渉
oよ
@ ．直
@ zG︐直︒
か鵬
@ rl
@ z
@割3a噛
ら4
@ Z o
Y3ｿz2
か鑓
璋ω
aOI α鱒 ￠≧8 α謬1
ユ扇
ｰ
乱lo a30 乱30
一1．
Fig．2 Circuit realization of a 2−D transfer function
さて，図2で実現された回路の状態変数モデルを求めよ う。いま，図に示したように水平局所状態物σ＝1，…，n）
そして，垂直局所状態劣芦σ＝1，…，肱ノ＝1，2）をそれぞれ 決めれば次式で表現できるRoesserモデルが容易に得られ
る。
＼xhi＋1，ノ
ノ
吻 rVli，ゴ＋1
Y
xV2 i， 1一＋1 吻x
＝A
ツi・ゴ＝￠胸ゴ
ただし，
b＝＝
bno
−boo
A＝＝
κ転ゴ
xVli，ゴ
xv2i，ゴ
胸・ゴ
i ．
一ano O
−1 9 1 0 6
e
十bμガ （A−3）
一qio 1． 0 ：i］ 一 J aiptlSn Z；im
・、i 1 ］1／iii∂ガi
Oiあ1彫……ππ zi勧1．一一一一bnm
ロ ヨ
1−aOi一一一一一aOmトbOl一一一一一bOm
ロ
11 1 1 ＼ O l
l ＼ l l ＼、 「 O
iO＼、。i
ド
2 10
へ
1 江 ・、
1 、 「 ト 、 、 「 ト 」 、
1 0
C＝［1……oi ao1……a伽iう01・…・・西。祠
ここで，
σ ノ＝砺ゴーaieaoブ
Siノ＝ゐゴブーαゴ。δoゴ
1＄iEm；；n， 1＄jErm！g m
1＄i−sg；n， 1＄jf一｛：m
10
である。
式（A−3）において（A3：「， C1τ）が分離可能対であ り， （A1， C1）が可観測対であることがわかる。
一60一
